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已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，约等于2.71828）
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）&若a=2，则f（x）=x|x-2|-lnx．当x∈[2，e]时，f（x）=x2-2x-lnx，f′(x)=2x-2-1x=2x2-2x-1x＞0，所以函数f（x）在[2，e]上单调递增；当x∈[1，2]时，f（x）=-x2+2x-lnx，f′(x)=-2x+2-1x=-2x2+2x-1x＜0．所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以f（x）在区间[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，又因为f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，所以f（x）在区间[1，e]上有最大值f（1）=1．（Ⅱ）&函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≥0，得|x-a|≥lnxx．&&&（*）（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，lnxx＜0，不等式（*）恒成立，所以a∈R；（ⅱ）当x≥1时，①当a≤1时，由|x-a|≥lnxx得x-a≥lnxx，即a≤x-lnxx，现令h(x)=x-lnxx，则h′(x)=x2-1+lnxx2，因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）的最小值为1，因为a≤x-lnxx恒成立等价于a≤h（x）min，所以a≤1；②当a＞1时，|x-a|的最小值为0，而lnxx＞0(x＞1)，显然不满足题意．综上可得，满足条件的a的取值范围是（-∞，1]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e..”考查相似的试题有：
859423771165825158773113414119246995已知函数f(x)=(x-a)lnx (≥0),
已知函数f(x)=(x-a)lnx (≥0),
已知函数f(x)=(x-a)lnx (a≥0),（1）当a=0时,若直线y=2x+m与函数f(x)的图像相切（2）若f（x）在[1,2]上是单调减函数，求a的最小值 （3)当x属于 [1,2e]时，|f(x)|≤e恒成立，求实数a的取值范围
不区分大小写匿名
1...分别求导.令式一等于式二& 求x& 分别代入可得y 两式相等求得m&
2...求导，[1,2]上是单调减函数等价于导数恒小于等于0
(1) 设切点为（a,b）,先对f(x)=xInx求导，得到f(x)导数为：lnx+1&&& 则 lna+1=2,求得：a=e&& &&&&& 代入f(x)中 解得切点为：（e，e）。再代入到直线中去：解得：m=-e(2)f(1)&f(2),求解：a&2(3)
解：f'(x)=(x-a)'lnx + (x-a)(lnx)' = 1 - a/x +lnx
&&(1)当a=0时，f'(x)=1+lnx&&
&&&&&&令f'(x)=2 得 1+lnx=2&
&&&&&&&&&& x=e
&&&&&当x=e时，f(x)=elne=e
&&&& 把点（e,e）代入y=2x+m得：e=2e+m
&&&&&&&解得m=-e
(2)&& f（x）在[1,2]上是单调减函数，也就是f'(x)≤0在此区间内恒成立
&&&&&& 1 -a/x +lnx ≤0&&& 1+lnx≤a/x
&&&&&& a≥x(1+lnx)=x+xlnx
&&&&&& 令g(x)=x+xlnx
&&&&& 则g'(x)=1+lnx +1 =2+lnx
&&&&& 当1≤x≤2时，g'(x)＞0恒成立 ∴g(x)为单调递增的，∴g(x)max = g(2)=2+2ln2
&&&&&&∴a的最小值为2+2ln2
(3) 有难度，只能给点提示
&&&&& f'(x)=1 -a/x +lnx = (x-a+xlnx)/x
&&&&&(1)令f'(x)≥0恒成立，得出x-a+xlnx≥0 ，a≤x+xlnx,在问题（2）中我们知道x+xlnx是单调递增的，∴a只需要小于x+xlnx的最小值就可以了，此时f(x)单调递增，∴只需要 lf(1)l≤e，lf(2e)l≤e即可
& （2）令f'(x)≤0恒成立......
&&（3）f(x)先递减后递增......
&&&&&
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数学领域专家已解决问题
f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1
f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1& (1)当x&0时，讨论f(X)的单调性&&&&&&&&& 我就先写& 定义域& x&0&&f '(x)=1/x-a+(x-1+a)/x^2&& 令f '(x)=0 即 -ax^2+2x+a-1=0&& 就在我算出此式因为a^2-a&0 知道它是完全平方&& 可就在我穿根时& 我犹豫了& 因为& 我改令a^2-2x-a+1=0& 不知道& 穿根时函数图像要不要倒过来
提问时间： 12:29:07提问者：
那负号等于就是在外面
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亲爱的学员，你说的是哪个位置的负号？ 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
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已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=1x-a，…（1分）f（1）=-a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1-a，所以切线l的方程为y-（1-a）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x．&&&&&&&&&&&&&&&&&…（3分）（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，则F'（x）=1x-1=1-xx=0，解得x=1．
（1，+∞）
↘…（6分）F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1-a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．&&&&&&&&…（8分）（Ⅲ）令f（x）=lnx-ax+1=0，则a=1+lnxx．令&g（x）=1+lnxx，则g'（x）=1-(1+lnx)x2=-lnxx2，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…（10分）若a=1，f（x）=lnx-ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx-ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax-1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=1x-a=0，得x=1a，由函数的单调性得知f（x）在x=1a处取最大值，f（1a）=ln1a＞0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（1a，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（1e)=-ae＜0=-ae＜0，所以f（x）在单调递增区间（0，1a）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
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函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（..”考查相似的试题有：
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