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设函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1．（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当0＜a＜12时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=13时，设函数g(x)=x2-2bx-512，若对于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，e＜3+1）
题型：解答题难度：中档来源：不详
函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1x-a-1-ax2（2分）（Ⅰ）设点P（x0，y0）（x0＞0），当a=1时，f（x）=lnx-x-1，则y0=lnx0-x0-1，f′(x)=1x-1，∴f′(x0)=1x0-1=lnx0-x0-1x0（3分）解得x0=e2，故点P的坐标为（e2，1-e2）（4分）（Ⅱ）f′(x)=-ax2+ax+a-1x2=-(x-1)(ax-1+a)x2=-a(x-1)(x-1-aa)x2∵0＜a＜12，∴1-aa-1＞0（5分）∴当0＜x＜1，或x＞1-aa时，f'（x）＜0；当1＜x＜1-aa时，f'（x）＞0故当0＜a＜12时，函数f（x）的单调递增区间为(1，1-aa)；单调递减区间为（0，1），(1-aa，+∞)（7分）（Ⅲ）当a=13时，f(x)=lnx-x3+23x-1由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数，在（2，e]上为减函数，且f(1)=-23，f(e)=-e3+23e∵f(e)-f(1)=2-e2+2e3e=3-(e-1)23e，又e＜3+1，∴（e-1）2＜3，∴f（e）＞f（1），故函数f（x）在（0，e]上的最小值为-23（9分）若?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-23（*）（10分）又g(x)=x2-2bx-512=(x-b)2-b2-512，x∈[0，1]①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，[g(x)]min=g(0)=-512＞-23与（*）矛盾②当0≤b≤1时，[g(x)]min=g(b)=-b2-512，由-b2-512≤-23及0≤b≤1得，12≤b≤1③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，[g(x)]min=g(1)=712-2b＜-1712＜-23，此时b＞1综上，b的取值范围是[12，+∞)（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1．（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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与“设函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1．（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的..”考查相似的试题有：
852193868161489863858377557441854221当前位置：
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已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f&（x2&）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞65．
题型：解答题难度：中档来源：东城区二模
（1）由已知，得x＞0，f′(x)=a+1ax-1x2-1=-x2-(a+1a)x+1x2=-(x-a)(x-1a)x2．由f′（x）=0，得x1=1a，x2=a．因为a＞1，所以0＜1a＜1，且a＞1a．所以在区间（0，1a）上，f′（x）＜0；在区间（1a，1）上，f′（x）＞0．故f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．即a+1ax1-1x12-1=a+1ax2-1x22-1，所以a+1a=1x1+1x2=x1+x2x1x2，a∈[3，+∞）．因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜(x1+x22)2恒成立，所以1x1x2＞4(x1+x2)2，又x1+x2＞0，所以a+1a=x1+x2x1x2＞4x1+x2，整理得x1+x2＞4a+1a，令g（a）=4a+1a，因为a∈[3，+∞），所以a+1a单调递增，g（a）单调递减，所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=65，所以x1+x2＞65．
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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与“已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上..”考查相似的试题有：
826092811133767401489147624435887329设f(x)=lnx+a/x （a属于R）g(x)=x ，F(x)=f(1+e^2)-g(x)_百度知道
设f(x)=lnx+a/x （a属于R）g(x)=x ，F(x)=f(1+e^2)-g(x)
设f(x)=lnx+a/x （a属于R）g(x)=x ，F(x)=f(1+e^2)-g(x)（x属于R）（1）若函数上f(x)上任意一点p（X0，Y0）处的切线k&=1/2，求a的取值范围（2）当a=0时若X1，X2属于R且
X1不等于X2，证明F{
(x1+x2)/2
}&{F(X1)+F(X2)}/2(3)当a=0时若方程m{f(x)+g(x)}=1/2x^2(m&0)有唯一解,求m的值
1）函数f(x)的定义域为x&0.k＝f '(x)=1/x-a/x²＝（x－a）/x²&=1/2 ∴a&=-1/2x²+x=-1/2(x-1)²+1/2 ∴ a∈[1/2，＋∞）2) a=0时，f(x)=lnx，g(x)=x ，F(x)=ln(1+e^2)-x此是时 F(x)=ln(1+e^2)-x是一直线必有F{
}={F(X1)+F(X2)}/2 所以题目有问题哦！ 2）m{lnx+x}=1/2x^2有唯一解
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解：f(x)=lnx+a/(x+1)所以x&0且x不等于-1当a=9/2，g(x)=f(x)-k=lnx+9/2(x+1)-k g'(x)=1/x-9/[2(x+1)^2]=(2x-1)(x-2)/[x(x+1)^2]令g(x)=0,即(2x-1)(x-2)/[x(x+1)^2]=0解得：x=1/2或x=2当0&x&1/2时，g'(x)&0,g(x)在（0,1/2）上单调递增， 当1/2&x&2,g'(x)&0,g(x)在（1/2,2)上单调递减当x&2时，g'(x)&0,g(x)在[2,+∞)上单调递增因为函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点所以g(1/2)=-ln2+3-k&0或g(2)=ln2+1.5-k&0解得：3-ln2&k&ln2+1.5
（1）对f(x)求导，f(x)‘=x/1-a/x^2，由题得导数恒小于等于1/2，即求解x^2-2x+a&=0恒成立问题。答案：a&=1
第三问中 两式子相等且导数相等，得m=0.5，第二问应该不是直线一楼不对吧？
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出门在外也不愁已知函数f（x）=（x-a）^2/lnx（其中a为常数）（1）当a=0时求函数的单调区间（2）当0＜a＜1时，设f（x）的3个极值点为x1,x2,x3，且x1＜x2＜x3，求证：x1+x3＞2/√e
已知函数f（x）=（x-a）^2/lnx（其中a为常数）（1）当a=0时求函数的单调区间（2）当0＜a＜1时，设f（x）的3个极值点为x1,x2,x3，且x1＜x2＜x3，求证：x1+x3＞2/√e
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当a=0时求函数
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理工学科领域专家f(x)=(x-a)\lnx,F(x)=根号X.当a=0时_百度知道
f(x)=(x-a)\lnx,F(x)=根号X.当a=0时
f(x)=(x-a)\lnx,F(x)=根号。a属于R f(x)=(x-a)\lnx,F(x)=根号X.当a=0时,(1)求函数y=f(x)的单调递增区间。(2)比较f(2e+1)与f(3e)的大小
抱歉，就是Lnx就是分母
提问者采纳
你好！回答更正如下：当a=0时，即 f(x) = x / lnx(1)f'(x) = (lnx - 1)/ ln²xf'(x)&0得 0& x & e，即 减区间 (0,e)f'(x)&0得 x&e 即 增区间 (e,+∞)(2)e & 2e+1 & 3ef(x) 在 x&e是递增的∴ f(2e+1)
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