& 三角函数中的恒等变换应用知识点 & “已知函数f（x）=2sin（x+π/3）...”习题详情
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已知函数f（x）=2sin（x+π3）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，π2]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=√32，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-嘉兴一模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=2sin（x+π/3）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，π/2]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=根号3/2，b=2，c=3，...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+π3）+√32，利用x∈[0，π2]，可求得2x+π3∈[π3，4π3]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+π3）=0，A为锐角，可知A=π3，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=√7，继而可求得sinB及cosB的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．
解：（Ⅰ）f(x)=(sinx+√3cosx)cosx=sinxcosx+√3cos2x=12sin2x+√32cos2x+√32=sin(2x+π3)+√32…．（4分）∵x∈[0，π2]，∴2x+π3∈[π3，4π3]，-√32≤sin(2x+π3)≤1．∴f(x)∈[0，&1+√32]．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…．（7分）（Ⅱ）由f(A)=sin(2A+π3)+√32=√32，得sin（2A+π3）=0，又A为锐角，故A=π3，又b=2，c=3，∴a2=4+9-2×2×3×cosπ3=7，解得a=√7．&&&&…．（10分）由asinA=bsinB，得sinB=√3√7，又b＜a，从而B＜A，cosB=2√7．∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=12o2√7+√32o√3√7=5√714…（14分）
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．
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已知函数f（x）=2sin（x+π/3）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，π/2]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=根号3/2，b=2...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=2sin（x+π/3）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，π/2]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=根号3/2，b=2，c=3，...”主要考察你对“三角函数中的恒等变换应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
三角函数中的恒等变换应用
三角函数中的恒等变换应用．
与“已知函数f（x）=2sin（x+π/3）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，π/2]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=根号3/2，b=2，c=3，...”相似的题目：
已知，则等于&&&&2346
已知，则的值为&&&&48
已知．（1）求sin2x的值．（2）求的值．&&&&
“已知函数f（x）=2sin（x+π/3）...”的最新评论
该知识点好题
1在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足sinBsinA=1-cosBcosA．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（　　）
2如图，在半径为√3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：&①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；&②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．
3设函数f（x）=sin（2x+π6）+cos2x+√3sinxcosx．（1）若|x|＜π4，求函数f（x）的值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若f（A2）=52，cos（A+C）=-5√314，求cosC的值．
该知识点易错题
1对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得f（a+x）of（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）若函数f2（x）=tanx是“（a，b）型函数”，求满足条件的实数对（a，b）所组成的集合；（3）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求实数m的取值范围．
2如图，在半径为√3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：&①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；&②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．
3设函数f（x）=sin（2x+π6）+cos2x+√3sinxcosx．（1）若|x|＜π4，求函数f（x）的值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若f（A2）=52，cos（A+C）=-5√314，求cosC的值．
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闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center2014 届高三数学（理）二轮复习专题突破在茫茫题海中，如何减少重复的解题，如何开阔思维、发散思维，如何锻炼适应新题的能力，如何更加有效 的提升解题能力，本系类专题将给您一个很好的答案。让你利用最短的时间体会和领悟各地名师带来的有内涵、有 创意、有深度的习题、试题！达到开阔眼界，锻炼思维，提升能力的最终目的.每个专题分为 【热点分类突破】 【押 题精炼】 【专题突破练】三大部分。 【试题来源】精选最新 2014 届最新的各地名校的月考试题、联考试题、市级以上的模拟试题、调研试题的原创试 题！ 【热点分类突破】解析过程详细、步步为营、零错误！ 【押题精炼】针对本题体会它的特点，新颖之处在哪里，应该得到什么的体会和领悟！ 【专题突破练】针对本题的特点总结解题规律和方法，做到触类旁通，举一反三之功效！ 在使用课程的过程中，同一教学内容，可以根据学生水平提出全体学生必须掌握、部分学生基本了解、高分 学生练习参考等不同要求。但建议教师在教学过程中需依据学生的不同基础做适当的拓宽或加深，不要在一些难点 问题上花费太多时间。我要去看得更远的地方第 1 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center目录专题一：集合、简易逻辑、不等式、函数导数 ................................................................... 3 第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 集合与常用逻辑用语 .............................................................................................. 3 函数、基本初等函数的图象与性质....................................................................... 5 函数与方程及函数的应用....................................................................................... 8 不等式及线性规划 ................................................................................................ 11 导数及其应用 ........................................................................................................ 14专题二：三角函数与平面向量............................................................................................. 16 第1讲 三角函数的图象与性质..................................................................................... 16 第 2 讲 三角变换与解三角形 ............................................................................................ 20 第 3 讲 平面向量 ................................................................................................................ 22 专题三：数列、推理与证明................................................................................................. 25 第 1 讲 等差数列、等比数列 .......................................................................................... 25 第 2 讲 数列求和及数列的综合应用................................................................................. 27 第 3 讲 推理与证明 ............................................................................................................ 30 专题四：立体几何................................................................................................................. 35 第1讲 空间几何体 ........................................................................................................ 35 第 2 讲 空间中的平行与垂直 ............................................................................................ 38 第 3 讲 立体几何中的向量方法 ........................................................................................ 43 专题五：解析几何................................................................................................................. 48 第1讲 直线与圆 ............................................................................................................ 48 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 ........................................................................................ 50 第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题 ........................................................................................ 53 专题六：概率统计、复数、算法......................................................................................... 56 第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 排列与组合、二项式定理..................................................................................... 56 概率、随机变量及其概率分布............................................................................. 58 统 计 .................................................................................................................... 61 算法与复数 ............................................................................................................ 66专题七：选修四系列选讲..................................................................................................... 72 第1讲 几何证明选讲 .................................................................................................... 72 第 2 讲 矩阵与变换 ............................................................................................................ 76 第 3 讲 坐标系与参数方程 ................................................................................................ 78 第 4 讲 不等式选讲 ............................................................................................................ 81我要去看得更远的地方第 2 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center专题一：集合、简易逻辑、不等式、函数导数第1讲 集合与常用逻辑用语考点一 集合间的关系及运算 例1 (1)(2012? 课标全国改编)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为________． (2)设函数 f(x)＝lg(1－x2)，集合 A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图 中阴影部分表示的集合为________．(1)(2013? 山东改编)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________． (2)设全集 U＝R，集合 P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合 Q＝{y|y＝ x}，则 右图中的阴影部分表示的集合为________．考点二 四种命题与充要条件 例2 (1)已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________． (2)(2013? 青岛模拟)设 x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x&3 且 y≥3”的________条件．(填“充要、充分不必要、 必要不充分、既不充分也不必要”)1 (1)设 x∈R，则“x& ”是“2x2＋x－1&0”的________条件． 2 (2)给出以下三个命题： ①若 ab≤0，则 a≤0 或 b≤0； ②在△ABC 中，若 sin A＝sin B，则 A＝B； ③在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，若 b2－4ac&0，则方程有实数根． 我要去看得更远的地方第 3 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号) 考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词 例3 (1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________． (2)若命题“?x∈R，使 x2＋(a－1)x＋1&0”是假命题，则实数 a 的取值范围是________．(1)下列命题中，真命题是________．(填序号) ①?m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数； ②?m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数； ③?m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数； ④?m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数． (2)已知命题 p： “?x∈[1,2]，x2－a≥0” ，命题 q： “?x0∈R，x2 ．若命题 p、q 均是真命题， 0＋2ax0＋2－a＝0” 则实数 a 的取值范围是________．1． 已知集合 A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则 A∩B＝________. 2． 下列命题中，正确命题的个数是________． ①若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p∧q”为真命题； 1 π ②“sin α＝ ”是“α＝ ”的充分不必要条件； 2 6 ③l 为直线，α，β 为两个不同的平面，若 l⊥β，α⊥β，则 l∥α； ④命题“?x∈R,2x&0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0” ． π ? π π 3． 已知函数 f(x)＝4sin2? ?4＋x?－2 3cos 2x－1，且给定条件 p：x&4或 x&2，x∈R.若条件 q：－2&f(x)－m&2.且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围．(推荐时间：40 分钟) 1． (2013? 课标全国Ⅰ改编)已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则 A∩B＝________. 2． (2012? 安徽改编)命题“存在实数 x，使 x&1”的否定 是________． ．． 3． (2013? 福建改编)已知集合 A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件．? 1x ? 2 4． (2013? 湖北改编)已知全集为 R，集合 A＝?x|?2? ≤1?，B＝{x|x －6x＋8≤0}，则 A∩?RB＝________. ? ?5． 设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数 m＝________. 我要去看得更远的地方第 4 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center6． (2012? 天津)已知集合 A＝{x∈R||x＋2|&3}， 集合 B＝{x∈R|(x－m)(x－2)&0}， 且 A∩B＝(－1， n)， 则 m＝________， n＝________. 2 7． 已知 R 是实数集，M＝{x| &1}，N＝{y|y＝ x－1＋1}，则 N∩(?RM)＝________. x 8． 设 p： x &0，q：0&x&m，若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 m 的取值范围是__________． x－29． 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k－1 A，且 k＋1 A，那么称 k 是 A 的一个“孤立元” ，给 定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 10．(2013? 陕西改编)设 a，b 为向量，则“|a? b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件． 11． 已知集合 A＝{1,2,3,4}， B＝{2,4,6,8}， 定义集合 A×B＝{(x， y)|x∈A， y∈B}， 则集合 A×B 中属于集合{(x， y)|logxy ∈N}的元素个数是________． 12．已知 p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1&0，若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是________． 13．给出下列命题： ①?x∈R，不等式 x2＋2x&4x－3 均成立； ②若 log2x＋logx2≥2，则 x&1； c c ③“若 a&b&0 且 c&0，则 & ”的逆否命题； a b ④若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题． 其中真命题是________．(填序号) 14．给出下列四个命题： ①命题“若 α＝β，则 cos α＝cos β”的逆否命题；2 ②“?x0∈R，使得 x0 －x0&0”的否定是： “?x∈R，均有 x2－x&0” ；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p 且 q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 15．对于集合 M、N，定义：M－N＝{x|x∈M 且 xD∈/N}，M N＝(M－N)∪(N－M)．设 A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}， B＝{x|y＝log2(－x)}，则 A B＝________.? ?y－1? ≥0? ?，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则 A∩B 所表示的平面图形的面 16．设平面点集 A＝??x，y?? ? y － x ? ? ? x? ? ?积为________．第2讲函数、基本初等函数的图象与性质我要去看得更远的地方第 5 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center考点一 函数及其表示 例1 (1)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ f?2x? 的定义域是________． ln x? ?f?x?，f?x?≤M， (2)设函数 y＝f(x)在 R 上有定义，对于给定的正数 M，定义函数 fM(x)＝? 则称函数 fM(x)为 f(x) ?M，f?x?&M， ?的“孪生函数” ．若给定函数 f(x)＝2－x2，M＝1，则 fM(fM(0))的值为________．?2x，x≥4， ? (1)若函数 f(x)＝? 则 f(log23)＝________. ?f?x＋3?，x&4， ? ?x2＋1， x≥0， ? (2)已知函数 f(x)＝? 则满足不等式 f(1－x2)&f(2x)的 x 的取值范围是________． ? 1 ， x &0 ， ?考点二 函数的性质 例2 (1)已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)&0 恒成立，则 x 的取值范围为________． 1? 2 ? 3? (2)设奇函数 y＝f(x) (x∈R)，满足对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t)，且 x∈? ?0，2?时，f(x)＝－x ，则 f(3)＋f?－2?的 值等于________．(1)(2013? 天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间[0， ＋∞)上单调递增． 若实数 a 满足 f(log2a) 1 ＋f(log a)≤2f(1)，则 a 的取值范围是________． 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x&0 时，f(x)＝ex＋a，若 f(x)在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值 是________． 考点三 函数的图象 例 3 b 形如 y＝ (a&0，b&0)的函数，因其图象类似于汉字中的“濉弊郑饰颐前阉莆搴 ．若当 a |x|－a＝1，b＝1 时的“搴庇牒 y＝lg|x|图象的交点个数为 n，则 n＝________.2 ? ?－x ＋2x，x≤0， ? (2013? 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是________． ?ln?x＋1?，x&0. ?考点四 基本初等函数的图象及性质 例4 (1)若函数 f(x)＝ ?log (? x), x ? 0, 若 f(a)&f(－a)，则实数 a 的取值范围是________． 1log 2 x, x ? 0, ? ? ? ?2(2)已知 a＝ 5log23.4，b＝ 5log43.6，c＝ （ ） 3 ，则 a、b、c 大小关系为________．1 5log0.3我要去看得更远的地方第 6 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1?－0.8 (1)(2012? 天津)已知 a＝21.2，b＝? ?2? ，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为________． (2)使 log2(－x)&x＋1 成立的 x 的取值范围是________．1． 关于 x 的方程 exln x＝1 的实根个数是________． 2． 定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式 f(x)&－1 的解集是________________． 3． 定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对?x∈R，有 f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当 x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函 数 y＝f(x)与函数 y＝loga(x＋1)在 x∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则 a 的取值范围是________．(推荐时间：40 分钟)? 1 ?? 1． 已知函数 y＝f(x)是奇函数，当 x&0 时，f(x)＝lg x，则 f? ?f?100??的值等于________．?log2x，x≥1， ? 2． 已知函数 f(x)＝? 则“c＝－1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的________条件． ? ?x＋c，x&1，3． (2013? 课标全国Ⅱ改编)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 a、b、c 的大小关系为_______． 4． 设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)&0}＝________. 5． 设函数 f(x)＝x(ex＋ae x)(x∈R)是偶函数，则实数 a 的值为________．－f?x1?－f?x2? 6． 设函数 f(x)＝x|x－a|，若对任意的 x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，不等式 &0 恒成立，则实数 a 的取值范 x1－x2 围是________． 3 7． 已知 f(x)＝asin x＋b x＋4(a，b∈R)，且 f[lg(log210)]＝5，则 f[lg(lg 2)]＝________. ax＋1，－1≤x&0， ? ? 1? 8． 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝?bx＋2 其中 a，b∈R.若 f? 2?＝ ? ，0≤x≤1， ? x ＋ 1 ? 3? f? ?2?，则 a＋3b 的值为________． 9． 直线 y＝1 与曲线 y＝x2－|x|＋a 有四个交点，则 a 的取值范围是________． 1?a ?1?b 10．已知实数 a，b 满足等式? ?2? ＝?3? ，下列五个关系式： ①0&b&a；②a&b&0；③0&a&b；④b&a&0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有________．(填序号)我要去看得更远的地方第 7 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center ? ?x －2x?x≥0?， 11．已知奇函数 f(x)＝? 2 给出下列结论： ?ax ＋bx?x&0?， ?2①f(f(1))＝1； ②函数 y＝f(x)有三个零点； ③f(x)的递增区间是[1，＋∞)； ④直线 x＝1 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴； ⑤函数 y＝f(x＋1)＋2 图象的对称中心是点(1,2)． 其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)． 12．给出下列四个函数： ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝ x. 当 0&x1&x2&1 时，使 f? x1＋x2? f?x1?＋f?x2? 恒成立的函数的序号是________． 2 ? 2 ?&13．已知定义在 R 上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当 x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： ①f(2)＝0； ②x＝－4 为函数 y＝f(x)图象的一条对称轴； ③函数 y＝f(x)在[8,10]上单调递增； ④若方程 f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．? ?2－? ?3? ，x≤0， 14．已知直线 y＝mx 与函数 f(x)＝? 1 ?2x ＋1，x&0x 21的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 m 的取值范围是________．第3讲函数与方程及函数的应用考点一 函数的零点 例1 (1)已知函数 f(x)＝logax＋x－b (a&0，且 a≠1)．当 2&a&3&b&4 时，函数 f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则 n＝________.2 ? ?ln x－x ＋2x?x&0?， (2)函数 f(x)＝? 的零点个数是________． ?2x＋1?x≤0?， ?我要去看得更远的地方第 8 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(1)(2012? 天津改编)函数 f(x)＝2 ＋x －2 在区间(0,1)内的零点个数是________． (2)已知函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点 x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数 a、b 满足 2a＝3,3b＝2，则 n＝________. 考点二 与函数有关的自定义问题 例2 若对于定义在 R 上的函数 f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数 λ(λ∈R)使得 f(x＋λ)＋λf(x)＝0 对任意实数 都成立，则称 f(x)是一个“λ－伴随函数” ．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0 是常数函数中唯一一 1 个“λ－伴随函数” ；②f(x)＝x 是“λ－伴随函数” ；③f(x)＝x2 是“λ－伴随函数” ；④“ －伴随函数”至少有一 2 个零点． 其中正确结论的个数是________． 若平面直角坐标系内两点 P， Q 满足条件：①P， Q 都在函数 f(x)的图象上； ②P， Q 关于 y 轴对称， 则称点对(P，Q)是函数 f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．?cos πx?x&0?， ? 已知函数 f(x)＝? 则 f(x)的图象上的“镜像点对”有________对． ?log3x?x&0?， ?x3考点三 函数模型及其应用 例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x) x 2 1 与时刻 x(时)的关系为 f(x)＝| 2 －a|＋2a＋ ，x∈[0,24]，其中 a 是与气象有关的参数，且 a∈[0， ]，若用每 3 2 x ＋1 天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 M(a)． x (1)令 t＝ 2 ，x∈[0,24]，求 t 的取值范围； x ＋1 (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来 净化水质，已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足 y＝mf(x)，其中 f(x)＝? ?x＋14 ?2x－2，x&4，x2 ＋2，0&x≤4， 16当药剂在水中的浓度不低于 4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化． (1)如果投放的药剂质量为 m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为 m，为了使在 7 天(从投放药剂算起包括 7 天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放 的药剂质量 m 的最小值．我要去看得更远的地方第 9 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1 1． 已知函数 f(x)＝( )x－log2x，实数 a，b，c 满足 f(a)? f(b)? f(c)&0(0&a&b&c)，若实数 x0 为方程 f(x)＝0 的一个解，那 3 么下列不等式中，不可能成立的是________．(填序号) ①x0&b；②x0&b；③x0&c；④x0&c. 2． 若 f(x)＋1＝ 1 ，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m 有两个零点，则实数 m 的 f?x＋1?取值范围是________．(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． 若函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是________． 2 2． 函数 f(x)＝2x－ －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是________． x 3． (2013? 天津改编)函数 f(x)＝2x|log0.5 x|－1 的零点个数为________．? x，x&A， 4． 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝? c ? A，x≥A(A， c 为常数)． 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟， 组装第 A 件产品用时 15 分钟， 那么 c 和 A 的值分别是________． 5． 若存在 a∈[1,3]，使得不等式 ax2＋(a－2)x－2&0 成立，则实数 x 的取值范围________． 6． 若关于 x 的方程 4cos x－cos2x＋m－3＝0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是________．?|lg x|，x&0， ? 7． 设定义域为 R 的函数 f(x)＝? 2 则关于 x 的函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点的个数为________． ? － x － 2 x ， x ≤ 0 ， ? ? ?log2x，x&0， 8． 已知函数 f(x)＝? x 且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 ?3 ，x≤0， ?c________．9． (2013? 辽宁改编)已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2， g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max{f(x)， g(x)}， H2(x) ＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x) 的最大值为 B，则 A－B＝________. 二、解答题 10．(2012? 陕西改编)设函数 fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)． 1 ? (1)设 n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间? ?2，1?内存在唯一零点； 我要去看得更远的地方第 10 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(2)设 n＝2，若对任意 x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求 b 的取值范围．11．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费，预 计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2 万件． (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大？并求出 L 的最大值 Q(a)．12．已知函数 f(x)＝ex m－x，其中 m 为常数．－(1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立，求 m 的取值范围； (2)当 m&1 时，判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．第4讲不等式及线性规划考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012? 江苏)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)&c 的解集为(m，m ＋6)，则实数 c 的值为________．? ? 1 ? a2＋b2＋7 ? ? x ≠－ (1)已知关于 x 的一元二次不等式 ax ＋2x＋b&0 的解集为 x? a ?，则 a－b (其中 a&b)的最 ?2小值为________． (2)设命题 p：{x|0≤2x－1≤1}，命题 q：{x|x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)≤0}，若 p 是 q 的充 分不必要条件，则实数 k 的取值范围是__________． 考点二 利用基本不等式求最值问题 例2 (1)(2012? 浙江)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是________． (2)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 2 (1)已知关于 x 的不等式 2x＋ ≥7 在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数 a 的最小值为________． x－a xy 2 1 2 (2)(2013? 山东)设正实数 x， y， z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0， 则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值为________． z x y z 考点三 简单的线性规划问题 我要去看得更远的地方第 11 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center例3(2013? 湖北改编)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为________元． 2x－y－2≥0， ? ? (1)(2013? 山东改编)在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组?x＋2y－1≥0， 所表示的区域上一动点， ? ?3x＋y－8≤0 则直线 OM 斜率的最小值为________． 2x－y＋1&0， ? ? (2)(2013? 北京改编)设关于 x、y 的不等式组?x＋m&0， ? ?y－m&0 求得 m 的取值范围是________．表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝2，1． 若实数 x、y 满足 4x＋4y＝2x 1＋2y 1，则 t＝2x＋2y 的取值范围是________．＋ ＋x－y＋1≥0， ? ? 2． 已知点 A(2， －2)， 点 P(x， y)在?x＋y＋1≥0， ? ?2x－y－1≤0所表示的平面区域内， 则在方向上投影的取值范围是________．(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． (2012? 福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号) 1 x2＋ ?≥lg x(x&0)； ①lg? 4? ? 1 ②sin x＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)； sin x ③x2＋1≥2|x|(x∈R)； ④ 1 &1(x∈R)． x2＋12． 设 a&b&1，c&0，给出下列三个结论： c c ① & ；②ac&bc；③logb(a－c)&loga(b－c)． a b 其中所有的正确结论的序号是________． 3． 设 A＝{x|x2－2x－3&0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则 a＋b＝________. 我要去看得更远的地方第 12 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Centerx－1 4． 已知 p： ≤0，q：4x＋2x－m≤0，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是________． x 5．函数 y＝a1－x1 1 (a&0， a≠1)的图象恒过定点 A， 若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0 (mn&0)上， 则 ＋ 的最小值为________． m n2 6． 在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝ 的图象交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小 x 值是________． x≥1， ? ? 7． (2013? 课标全国Ⅱ改编)已知 a&0， x， y 满足约束条件?x＋y≤3， ? ?y≥a?x－3?， x－2y＋3≥0， ? ? 8． 已知变量 x，y 满足约束条件?x－3y＋3≤0， ? ?y－1≤0， 取值范围为________． y≥0， ? ? 9． 已知实数 x， y 满足?y－x＋1≤0， ? ?y－2x＋4≥0，若 z＝2x＋y 的最小值为 1， 则 a＝________.若目标函数 z＝y－ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数 a 的若 z＝y－ax 取得最大值时的最优解(x， y)有无数个， 则 a 的值为________．x＋y－2≥0， ? ? 10．(2013? 浙江)设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足?x－2y＋4≥0， ? ?2x－y－4≤0. 二、解答题 11．求解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1&0.若 z 的最大值为 12，则实数 k＝________.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射 k 材料的选用与宿舍到工厂距离有关． 若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p＝ 3x＋5 (0≤x≤8)，若距离为 1 km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路， 已知购置修路设备需 5 万元，铺设路面每公里成本为 6 万元．设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和． (1)求 f(x)的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 f(x)最小，并求最小值． 1 13．已知函数 f(x)＝ ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值，在 x＝x2 处取得极小值，且 0&x1&1&x2&2. 3 (1)证明：a&0； (2)若 z＝a＋2b，求 z 的取值范围．我要去看得更远的地方第 13 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center第5讲导数及其应用考点一 导数几何意义的应用 例1 (1)过点(1,0)作曲线 y＝ex 的切线，则切线方程为________． 5 (2)(2013? 南京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1：y＝ax3＋1(a&0)与曲线 C2：x2＋y2＝ 的一个公 2 共点，若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是________． (1)直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________． π (2)若曲线 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝ 处的切线与直线 ax＋2y＋1＝0 互相垂直，则实数 a＝________. 2 考点二 利用导数研究函数的性质 例2 (2013? 广东)设函数 f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)． (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 k&0 时，求函数 f(x)在[k，－k]上的最小值 m 和最大值 M. (2013? 浙江)已知 a∈R，函数 f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|&1，求 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 例3 (2013? 陕西)已知函数 f(x)＝ex，x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； 1 (2)证明：曲线 y＝f(x)与曲线 y＝ x2＋x＋1 有唯一公共点； 2 (3)设 a&b，比较 f? a＋b? f?b?－f?a? ? 2 ?与 b－a 的大小，并说明理由．(2012? 湖南)已知函数 f(x)＝ex－ax，其中 a&0. (1)若对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值集合； (2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1&x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0∈(x1， x2)，使 f′(x0)＝k 成立．我要去看得更远的地方第 14 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1 1． 已知函数 f(x)＝x－ ，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意 x1∈[0,1]，存在 x2∈[1,2]，使 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取 x＋1 值范围是__________． 1－a 2 2． 设函数 f(x)＝ x ＋ax－ln x(a∈R)． 2 (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的极值； (2)当 a≥2 时，讨论函数 f(x)的单调性； (3)若对任意 a∈(2,3)及任意 x1，x2∈[1,2]，恒有 ma＋ln 2&|f(x1)－f(x2)|成立，求实数 m 的取值范围．(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1 1． (2012? 辽宁改编)函数 y＝ x2－ln x 的单调递减区间为________． 2 2． 已知直线 y＝kx 是 y＝ln x 的切线，则 k 的值是________． 3． 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数 y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________． 3 ①当 x＝ 时，函数 f(x)取得极小值； 2 ②f(x)有两个极值点； ③当 x＝2 时，函数 f(x)取得极小值； ④当 x＝1 时，函数 f(x)取得极大值． 4． (2012? 大纲全国改编)已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c＝_______. 1 x 1 5． 已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)＝1，且 f(x)的导函数 f′(x)& ，则 f(x)& ＋ 的解集为__________． 2 2 2 6． 设函数 f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2(其中 x∈R，a，b 为常数)．已知曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)在点(2,0) 处有相同的切线 l，则 a，b 的值分别为________． 7． 设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，则 a 的取值范围为________． 1 8． 已知函数 f(x)＝－ x2＋4x－3ln x 在[t，t＋1]上不单调，则 t 的取值范围是____________． 2 9． (2013? 安徽改编)若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 有极值点 x1，x2，且 f(x1)＝x1，则关于 x 的方程 3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0 的不同实根个数是________． 10．(2013? 湖北改编)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________． 二、解答题 11．设函数 f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中 a∈R，x&0. (1)若 a＝2，求曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程； 我要去看得更远的地方第 15 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(2)是否存在负数 a，使 f(x)≤g(x)对一切正数 x 都成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由． x2 12．已知函数 f(x)＝ ，g(x)＝2aln x(e 为自然对数的底数)． e (1)求 F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，若 F(x)有最值，请求出最值； (2)是否存在正常数 a，使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求 出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由． 13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元．设该公司一年内共?10.8－30x ?0&x≤10?， 生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)＝? 108 1 000 ? x － 3x ?x&10?.2 21(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总 成本)专题二：三角函数与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置 P(x，y)．若初始位置 3 1? ，当秒针从 P0(此时 t＝0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为________． 2 ? ，2?为 P0?(2)(2012? 山东)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心 的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上 沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．我要去看得更远的地方第 16 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Centerπ ? 2π －α ＝a，则 cos? －α?＝________. (1)若 sin? ?6 ? ?3 ? (2)如图，以 Ox 为始边作角 α(0&α&π)，终边与单位圆相交于点 P， 3 4? sin 2α＋cos 2α＋1 已知点 P 的坐标为? 的值． ?－5，5?.求 1＋tan α 考点二 三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式 例2 如图，它是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A&0，ω&0，|φ|&π)的部分图象， 由图中条件，写出该函数的解析式．π π (1)(2013? 四川改编)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω&0，－ &φ& ) 2 2 的部分图象如图所示，则 ω，φ 的值分别是________． (2)(2013? 山东)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cos B 7 ＝ . 9 ①求 a，c 的值； ②求 sin(A－B)的值． 考点三 三角函数的性质 例3 ?sin x－cos x?sin 2x (2012? 北京)已知函数 f(x)＝ . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． (1)已知函数 f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x，有下列四个命题： π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象； 2 ②y＝f(x)g(x)是偶函数； π π? ③f(x)与 g(x)均在区间? ?－4，4?上单调递增； f?x? ④y＝ 的最小正周期为 2π. g?x? 其中真命题是________．(填序号) π? (2)(2013? 安徽)已知函数 f(x)＝4cos ωx? sin? ?ωx＋4?(ω&0)的最小正周期为 π. ①求 ω 的值； π? ②讨论 f(x)在区间? ?0，2?上的单调性． 我要去看得更远的地方第 17 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数” ．给出下列函数： ①f(x)＝sin x－cos x；②f(x)＝ 2(sin x＋cos x)； ③f(x)＝ 2sin x＋2；④f(x)＝sin x. 则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号) 2． 已知函数 f(x)＝sin ωx? cos ωx＋ 3cos2ωx－ π －x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式； π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得 8 π 到函数 y＝g(x)的图象， 若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0 在区间[0， ]上有且只有一个实数解， 求实数 k 的取值范围． 2 3 (ω&0)，直线 x＝x1，x＝x2 是 y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1 2(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 2π 1． 点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为________． 3 2 5 2．已知角 θ 的顶点为坐标原点， 始边为 x 轴的正半轴， 若 P(4， y)是角 θ 终边上一点， 且 sin θ＝－ ， 则 y＝________. 5 3． 已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 ，则 cos 2α 等于________． 3π? π 4． 将函数 y＝cos? ?x－3?的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移6个单位，所得函数的解 析式为________． π 5． 若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A&0，ω&0，|φ|& )在一个周期内的图象如图所 2 示，M，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且? ＝0，则 A? ω 等于________． π? π 6． 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω&0)的图象关于直线 x＝ 对称，且 f? 12 ? ?＝0，则 ω 的最小值为________． 3 π? ?π ? 7． (2012? 课标全国改编)已知 ω&0，函数 f(x)＝sin? ?ωx＋4?在?2，π?上单调递减，则 ω 的取值范围是________． 我要去看得更远的地方第 18 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center8． 函数 f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为 ________． π? π 9．已知 f(x)＝2sin? ?2x－6?－m 在 x∈[0，2]上有两个不同的零点，则 m 的取值范围为________． 10．关于函数 f(x)＝sin 2x－cos 2x 有下列命题： π ? π ①y＝f(x)的周期为 π；②x＝ 是 y＝f(x)的一条对称轴；③? ?8，0?是 y＝f(x)的一个对称中心；④将 y＝f(x)的图象 4 π 向左平移 个单位，可得到 y＝ 2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写 4 上)． 二、解答题 1 1 ?π ?π 1? 11．已知函数 f(x)＝ sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－ ? sin ＋φ? ?(0&φ&π)，其图象过点?6，2?. 2 2 ?2 (1)求 φ 的值； 1 (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)在 2?0，π?上的最大值和最小值． ? 4?π x∈R，ω&0，0&φ& ?的部分图象如图所示． 12． (2012? 湖南)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)? 2? ?(1)求函数 f(x)的解析式； π? ? π? (2)求函数 g(x)＝f? ?x－12?－f?x＋12?的单调递增区间． 13．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x＋2，x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值及对应的 x 的取值集合； (2)画出函数 y＝f(x)在[0，π]上的图象．我要去看得更远的地方第 19 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center第2讲三角变换与解三角形考点一 三角变换 例1 π? (2013? 广东)已知函数 f(x)＝ 2cos? ?x－12?，x∈R. π? (1)求 f? ?－6?的值； 3π π? 3 ? ? (2)若 cos θ＝ ，θ∈? ? 2 ，2π?，求 f?2θ＋3?. 5 π ? (1)(2013? 四川)设 sin 2α＝－sin α，α∈? ?2，π?，则 tan 2α 的值是________． π? 4 π? ? (2)(2012? 江苏)设 α 为锐角，若 cos? ?α＋6?＝5，则 sin?2α＋12?的值为________． 考点二 正、余弦定理 例2 (2013? 课标全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcos C＋csin B. (1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且(2b－ 3c)cos A＝ 3acos C. (1)求角 A 的大小； π (2)若角 B＝ ，BC 边上的中线 AM 的长为 7，求△ABC 的面积． 6 考点三 正、余弦定理的实际应用 例3 (2013? 江苏)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有 两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道 乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速 步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C. 12 3 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量 cos A＝ ，cos C＝ . 13 5 (1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 我要去看得更远的地方第 20 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center在南沙某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海 岛北偏东 60° 的 C 处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60° 的 B 处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口，如 果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？1． 在△ABC 中，已知 tan ① tan A ＝1； tan BA＋B ＝sin C，给出以下四个结论： 2②1&sin A＋sin B≤ 2； ③sin2A＋cos2B＝1； ④cos2A＋cos2B＝sin2C. 其中正确的序号为________． 2． 已知函数 f(x)＝ 3sin x x x cos ＋cos2 . 4 4 42π ? (1)若 f(x)＝1，求 cos? ? 3 －x?的值； 1 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acos C＋ c＝b，求 f(B)的取值范围． 2(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． 设 α、β 都是锐角，且 cos α＝ 5 3 ，sin(α＋β)＝ ，则 cos β 等于________． 5 5π? 4 ? 7π? 2． 已知 cos? ?α－6?＋sin α＝5 3，则 sin?α＋ 6 ?的值是________． 1 3． (2013? 辽宁)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝ b，且 a＞b，则 2 ∠B 等于________． AB 4． 锐角三角形 ABC 中，若 C＝2B，则 的范围是________． AC 2－ 3 1 5． 已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 tan B＝ 2 ＝ ，则 tan B 等于________． 2 2，? 2 a －b ＋c 6． (2013? 重庆改编)计算：4cos 50° －tan 40° ＝________. 我要去看得更远的地方第 21 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center7． (2013? 福建)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC， 2 2 sin∠BAC＝ ，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为______． 3 π 1 2sin2α＋sin 2α π α＋ ?＝ ，且－ &α&0，则 8． 已知 tan? ＝________. ? 4? 2 2 π α－ ? cos? ? 4? 4 9． 在△ABC 中，C＝60° ，AB＝ 3，AB 边上的高为 ，则 AC＋BC＝________. 3 二、解答题 π 10．已知函数 f(x)＝sin(2x－ )＋2cos2x－1(x∈R)． 6 (1)求 f(x)的单调递增区间； 1 (2)在△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝ ，2a＝b＋c，bc＝18，求 a 的值． 2 A－B 11．(2013? 四川)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos2 cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C) 2 3 ＝－ . 5 (1)求 cos A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，求向量在方向上的投影． 12．(2013? 福建)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ＝90° ，OP＝2 2， 点 M 在线段 PQ 上， (1)若 OM＝ 5，求 PM 的长； (2)若点 N 在线段 MQ 上，且∠MON＝30° ，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？ 并求出面积的最小值．第3讲平面向量考点一 平面向量的概念及线性运算 例1 1 2 → → → (1)(2013? 江苏)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝ AB，BE＝ BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2 2 3 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________． → → → → → → → (2)△ABC 的外接圆的圆心为 O， 半径为 2， OA＋AB＋AC＝0 且|OA|＝|AB|， 则向量CA在CB上的投影为________． → → → → → → (1)已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数 m 使得AB＋AC＝mAM成立， 则 m 的值为 我要去看得更远的地方第 22 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center________． → → → → → (2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120° ， → → → → → → → → OA与OC的夹角为 30° ，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2 3，若OC＝λOA＋μOB (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________． 考点二 平面向量的数量积 例2 (1)(2012? 江苏)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边→ → → → CD 上，若AB? AF＝ 2，则AE? BF的值是________． (2)若 a，b，c 均为单位向量，且 a? b＝0，(a－c)? (b－c)≤0，则|a＋b －c|的最大值为________． → → → → → → (1)(2013? 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° ， 且|AB|＝3， |AC|＝2.若 A P ＝λAB → → → ＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为________． → → → → → → → → 1 → (2)(2013? 重庆改编 ) 在平面上， AB1⊥ AB2 ， |OB1|＝ | OB2 |＝ 1 ， AP＝ AB1 ＋ AB2. 若 |OP |& ，则 |OA |的取值范围是 2 ________． 考点三 平面向量与三角函数的综合应用 例3 已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中 0&α&x&π. π (1)若 α＝ ，求函数 f(x)＝b? c 的最小值及相应 x 的值； 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 a⊥c，求 tan 2α 的值． 3 3? 已知向量 a＝? ?sin x，4?，b＝(cos x，－1)． (1)当 a∥b 时，求 cos2x－sin 2x 的值； (2)设函数 f(x)＝2(a＋b)? b，已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝ 3，b＝2，sin B＝ 6 π π ，求 f(x)＋4cos(2A＋ )(x∈[0， ])的取值范围． 3 6 3→ → → 1． 已知两点 A(1,0)，B(1， 3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠AOC＝120° ，设OC＝－2OA＋λOB(λ∈R)， 则 λ＝________. π π 2． 函数 y＝tan( x－ )(0&x&4)的图象如图所示，A 为图象与 x 轴的交点， 4 2 → → → 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点，则(OB＋OC)? OA＝ 我要去看得更远的地方第 23 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center______. 3． 在△ABC 中，向量 m＝(2cos B,1)，向量 n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)，且满足|m＋n|＝|m－n|. (1)求角 B 的大小； (2)求 sin A＋sin C 的取值范围．(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． 下列命题中正确的序号是________． ①若 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0； ②若 a? b＝0，则 a∥b； ③若 a∥b，则 a 在 b 上的投影为|a|； ④若 a⊥b，则 a? b＝(a? b)2. 2． 已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量 a＝i－2j， b＝i＋λj 且 a 与 b 的夹角为锐角， 则实数 λ 的取值范围是________． → → 3． (2013? 湖北改编)已知点 A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为________． → → 4． (2013? 福建改编)在四边形 ABCD 中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为________． 5． (2013? 湖南改编)已知 a，b 是单位向量，a? b＝0，若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________． → → → 6． 若点 M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 5AM＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 7． (2013? 安徽)若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为________． 8． (2013? 北京)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， λ 则 ＝________. μ→ → 9． 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90° .如图所示， → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中 x、y∈R， 则 x＋y 的最大值是________． → → 10．(2012? 湖南改编)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，AB? BC＝1，则 BC＝________. 二、解答题 11．(2013? 江苏)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0&β&α&π. (1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值． 我要去看得更远的地方第 24 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center12． (2012? 湖北)已知向量 a＝(cos ωx－sin ωx， sin ωx)， b＝(－cos ωx－sin ωx， 2 3cos ωx)， 设函数 f(x)＝a? b＋λ(x∈R) 1 ? 的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω∈? ?2，1?. (1)求函数 f(x)的最小正周期； π ? ? 3π? (2)若 y＝f(x)的图象经过点? ?4，0?，求函数 f(x)在区间?0， 5 ?上的取值范围．2A ? 13．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(4，－1)，n＝? n ?cos 2 ，cos 2A?，且 m?7 ＝ . 2 (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，试判断 bc 取得最大值时△ABC 的形状．专题三：数列、推理与证明第1讲 等差数列、等比数列考点一 与等差数列有关的问题 例1 在等差数列{an}中，满足 3a5＝5a8，Sn 是数列{an}的前 n 项和． (1)若 a1&0，当 Sn 取得最大值时，求 n 的值； Sn－an (2)若 a1＝－46，记 bn＝ ，求 bn 的最小值． n (1)(2012? 浙江改编)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和，则下列命题错误 的是 ．． ________．(填序号) ①若 d&0，则数列{Sn}有最大项； ②若数列{Sn}有最大项，则 d&0； ③若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn&0； ④若对任意 n∈N*，均有 Sn&0，则数列{Sn}是递增数列． (2)(2013? 课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝________. 考点二 与等比数列有关的问题 例2 (1)(2012? 课标全国改编)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝________. (2)(2012? 浙江)设公比为 q(q&0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则 q＝________. (2013? 湖北)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3＋a4＝－18. 我要去看得更远的地方第 25 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由． 考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且 a2＋a7＋a12＝－6. (1)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn； (2)将数列{an}的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前 3 项，记{bn}的前 n 项和 为 Tn，若存在 m∈N*，使对任意 n∈N*，总有 Sn&Tm＋λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围． 已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝3 nan.－(1)求证：数列{bn}是等差数列； a1 a2 a3 an 1 Sn 1 (2)设 Sn＝ ＋ ＋ ＋?＋ ，求满足不等式 & & 的所有正整数 n 的值． 3 4 5 128 S2n 4 n＋2a8＋a9 1 1． 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1， a3，2a2 成等差数列，则 ＝________. 2 a6＋a7 1 4 2． 已知正项等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an 使得 aman＝4a1，则 ＋ 的最小值为________． m n 3． 已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是 q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋ S2＝12，S2＝b2q. (1)求 an 与 bn； an (2)设 cn＝3bn－λ? 2 ，若数列{cn}是递增数列，求 λ 的取值范围． 3． (推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． (2013? 江西改编)等比数列 x,3x＋3,6x＋6，?的第四项等于________． 2． (2013? 课标全国Ⅱ改编)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝________. 3． 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和．若 a4＋ak＝0，则 k＝________. 4． 已知等比数列{an}为递增数列．若 a1&0，且 2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比 q＝________. 5． 已知{an}是等差数列， Sn 为其前 n 项和， 若 S21＝S4 000， O 为坐标原点， 点 P(1， an)， Q(2 011， a2 011)， 则? ＝________. 答案 2 011 6． 数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列且 bn＝an＋1－an(n∈N*)．若 b3＝－2，b10＝12，则 a8 等于________． 我要去看得更远的地方第 26 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Centera3a4＋a2a6 1 7． 各项均为正数的等比数列{an}的公比 q≠1，a2， a3，a1 成等差数列，则 ＝________. 2 a2a6＋a4a5 8． 在等差数列{an}中，an&0，且 a1＋a2＋?＋a10＝30，则 a5? a6 的最大值等于________． 1 9．已知数列{an}的首项为 a1＝2， 且 an＋1＝ (a1＋a2＋?＋an) (n∈N*)， 记 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 则 Sn＝________， 2 an＝________. 二、解答题 10．已知{an}是以 a 为首项，q 为公比的等比数列，Sn 为它的前 n 项和． (1)当 S1，S3，S4 成等差数列时，求 q 的值； (2)当 Sm，Sn，Sl 成等差数列时，求证：对任意自然数 k，am＋k，an＋k，al＋k 也成等差数列． 1 3 1 11．已知数列{an}满足 a1＝ ，a2＝ ，an＋1＝2an－an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 b1＝ ，3bn－bn－1＝n(n≥2，n 4 4 2 ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{bn－an}为等比数列，并求出数列{bn}的通项公式． 12．(2013? 湖北)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 (2)是否存在正整数 m，使得 ＋ ＋?＋ ≥1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由． a1 a2 am第2讲数列求和及数列的综合应用考点一 分组转化求和法 例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an＋n2－3n－2，n＝1,2,3，? (1)求证：数列{an－2n}为等比数列； 我要去看得更远的地方第 27 页 共 84 页第二列 2 4 8第三列 10 14 183 6 9闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(2)设 bn＝an? cos nπ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点二 错位相减求和法 例2 (2013? 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； an＋1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋ n ＝λ(λ 为常数)．令 cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 2 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3? 22n 1.－(1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点三 裂项相消求和法 例3 2Sn 1 2 (2013? 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1， ＝an＋1－ n2－n－ ，n∈N*. n 3 3 (1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数 n，有 ＋ ＋?＋ & . a1 a2 an 4 已知 x， f?x? ， 3(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an&0)中，a1＝3，此数列的前 n 项和为 Sn，对 2于所有大于 1 的正整数 n 都有 Sn＝f(Sn－1)． (1)求数列{an}的第 n＋1 项； 1 1 (2)若 bn是 ， 的等比中项，且 Tn 为{bn}的前 n 项和，求 Tn. an＋1 an 考点四 数列的实际应用 例4 (2012? 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入 生产， 到当年年底资金增长了 50%， 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同． 公司要求企业从第一年开始， 每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元． (1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an＋1 与 an 的关系式； (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)． 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千克．若做广告宣传，广告费为 n(n b ∈N*)千元时比广告费为(n－1)千元时多卖出 n千克． 2 (1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S； (2)试写出销售量 S 与 n 的函数关系式； (3)当 a＝50，b＝200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n 分别应为多少？我要去看得更远的地方第 28 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1． 在一个数列中，如果?n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称 k 为这个数列的 公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1＋a2＋a3＋?＋a12＝________. 2． 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感．某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已 知 a1＝1，a2＝2，且 an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数为________． 3． 已知函数 f(x)满足 ax? f(x)＝b＋f(x) (ab≠0)，f(1)＝2 且 f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意 x 都成立． (1)求函数 f(x)的解析式； 2 ?2 1 (2)若正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝ ?3－ .求证：数列{an}是等差数列； 4? f?an?? an (3)若 bn＝ n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 2(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1 1 1 1 1． 已知数列 1 ，3 ，5 ，7 ，?，则其前 n 项和 Sn＝________. 2 4 8 16 S12 S10 2． 在等差数列{an}中，a1＝－2 013，其前 n 项和为 Sn，若 － ＝2，则 S2 013 的值等于________． 12 10 3． 对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1,2，?，则 a2 013＝________. x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 24． 设{an}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，记 Mn＝ab1＋ab2＋?＋ abn，则数列{Mn}中不超过 2 013 的项的个数为________． S1 S2 S15 5． 在等差数列{an}中，其前 n 项和是 Sn，若 S15&0，S16&0，则在 ， ，?， 中最大的是________． a1 a2 a15 1 1 1 1 6． 数列{an}满足 a1＝1，且对任意的 m，n∈N*都有 am＋n＝am＋an＋mn，则 ＋ ＋ ＋?＋ ＝________. a1 a2 a3 a2 012?n2?n为奇数?， ? 7． 已知函数 f(n)＝? 2 且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋?＋a2 012＝________. ?－n ?n为偶数?， ?8． (2013? 安徽)如图，互不相同的点 A1，A2，?，An，?和 B1，B2，?，Bn，?分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn 相互平行， 且所有梯形 AnBnBn＋1An＋1 的面积均相等． 设 OAn＝an， 若 a1＝1， a2＝2， 则数列{an}的通项公式是________．我要去看得更远的地方第 29 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center9． 已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝4(n≥1)且 a1＝9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Sn－n－6|& 是________．1 的最小整数 n 12510．气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费 为 n＋49 (n ∈ N*) 元，使用它直至报废最合算 ( 所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少 ) ，一共使用了 10________天． 二、解答题2 2 11．(2013? 江西)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2 n－(n ＋n－1)Sn－(n ＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式 an； n＋1 5 (2)令 bn＝ ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn& . 64 ?n＋2?2a2 n 1 1 1 12． 将函数 f(x)＝sin x? sin (x＋2π)?sin (x＋3π)在区间(0， ＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n 4 4 2 ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2nan，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式． 1 1 13．在等比数列{an}中，a2＝ ，a3? a6＝ .设 bn＝log2a2 log2a2 n2? n＋12，Tn 为数列{bn}的前 n 项和． 4 512 (1)求 an 和 Tn； (2)若对任意的 n∈N*，不等式 λTn&n－2(－1)n 恒成立，求实数 λ 的取值范围．第3讲.推理与证明考点一 归纳推理 例1 (2013? 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，?，第 n 个三角形n?n＋1? 1 2 1 数为 ＝ n ＋ n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 2 2 2 我要去看得更远的地方第 30 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center三角形数 正方形数 五边形数 六边形数1 1 N(n,3)＝ n2＋ n， 2 2 N(n,4)＝n2， 3 1 N(n,5)＝ n2－ n， 2 2 N(n,6)＝2n2－n??????????????? 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝____________. (1)在数列{an}中，若 a1＝2，a2＝6，且当 n∈N*时，an＋2 是 an? an＋1 的个位数字，则 a2 014＝________. (2)如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针 上．a．每次只能移动一个金属片； b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号 针最少需要移动的次数记为 f(n)． 则①f(3)＝________；②f(n)＝________. 考点二 类比推理 例2 S1 1 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ .推广到空间 S2 4V1 几何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 ＝________. V2 x2 y2 (2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆 2＋ 2＝1(a&b&0)的不平行于对称 a b b2 x2 y2 轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM? kAB＝－ 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线 2－ 2＝ a a b 1(a&0，b&0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM? kAB＝________. (1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有 两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这 a2 两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为 a 的 4 正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________． x2 y2 (2)命题 p：已知椭圆 2＋ 2＝1(a&b&0)，F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过 F2 作∠F1PF2 a b x2 y2 的外角平分线的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题 q：已知双曲线 2－ 2 a b 我要去看得更远的地方第 31 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center＝1(a&b&0)，F1、F2 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过 F2 作∠F1PF2 的________的垂线，垂 足为 M，则 OM 的长为定值________． 考点三 直接证明与间接证明 例3 1 3?1＋an＋1? 2?1＋an? 2 已知数列{an}满足：a1＝ ， ＝ ，anan＋1&0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2 n＋1－an (n≥1)． 2 1－an 1－an＋1 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 2 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝ an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中 λ 为实数，n 为 3 正整数． (1)对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列． 考点四 数学归纳法 例4 an 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ . 2an＋1 (1)求数列{an}的通项公式； 2 1 (2)若 ＝ ＋1，且 Pn＝(1＋b1)(1＋b3)?(1＋b2n－1)，求证：Pn& 2n＋1. bn an 1 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且满足 S2n－1＝ a2 ，n∈N*，数列{bn} 2 n 2 ，n为奇数， ? ? 满足 bn＝?1 Tn 为数列{bn}的前 n 项和． an－1，n为偶数， ? ?2 (1)求 an，bn； n (2)试比较 T2n 与 2n2＋ 的大小． 3n－11． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 45 行从左向右的第 17 个数为________．我要去看得更远的地方第 32 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center1 2． 在计算“1×2＋2×3＋?＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第 k 项，k(k＋1)＝ [k(k＋1)(k＋ 3 1 2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得 1×2＝ (1×2×3－0×1×2)， 3 1 2×3＝ (2×3×4－1×2×3)， 3 ? 1 n(n＋1)＝ [n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]． 3 1 相加，得 1×2＋2×3＋?＋n(n＋1)＝ n(n＋1)(n＋2)． 3 类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋?＋n(n＋1)(n＋2)”的结果为________．( 推荐时间： 60 分 钟) 一、填空题 1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．2． 已知结论：在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则AG ＝2.若把该结论推广到 GD空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体 ABCD 中，若△BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各 面的距离都相等，则 AO 等于________． OM3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，?，则第 60 个数对是________． 1 4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 3 ________________________________________________________________________． 5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设 aij(i、j∈N*)是位于这个 三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 a42＝8，若 aij＝2 014，则 i，j 的值的和为________．我要去看得更远的地方第 33 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center6． 有一个奇数列 1,3,5,7,9，?，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个 数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，?，现观察猜想每组内各数之和为 an 与其组的编号数 n 的关系为 ________． 7． (2013? 陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ? 照此规律，第 n 个等式可为______________． 8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数，且两端的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，?，则第 10 行第 3 个数(从 n 1 2 2 2 3 6 3 4 12 左往右数)为________．7 ? ? ?15 ? ?3 3 3 3 9． 对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：2 ? ，3 ?9 ，4 ? 17 ?5 ? ?11 ?13 ，?.仿此，若?19m3 的“分裂数”中有一个是 59，则 m 的值为________． 二、解答题 10．已知 a&0 且 a≠1，f(x)＝ 1 . ax＋ a(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)； (2)由(1)的结果归纳概括对所有实数 x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若 n∈N*，求和：f(－(n－1))＋f(－(n－2))＋?＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋?＋f(n)． 11．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn (2)设 bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n2 12．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，并且满足 2Sn＝an ＋n，an&0(n∈N*)．我要去看得更远的地方第 34 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center(1)求 a1，a2，a3； (2)猜想{an}的通项公式，并加以证明； (3)设 x&0，y&0，且 x＋y＝1，证明： anx＋1＋ any＋1≤ 2?n＋2?.专题四：立体几何第1讲 空间几何体考点一 几何体的表面积 例1 如图，斜三棱柱 ABC―A′B′C′中，底面是边长为 a 的正三角 形，侧棱长为 b，侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45° 角， 求此斜三棱柱的表面积． 3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积． 考点二 几何体的体积 例2 如图所示，直三棱柱 ABC―A1B1C1 的侧棱长和底面边长都是 a， 截面 AB1C 和截面 A1BC1 相交于 DE，求四面体 B―B1DE 的体积．(1)(2013? 江苏)如图，在三棱柱 A1B1C1－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点，设三棱锥 F－ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1－ABC 的体积为 V2，则 V1∶V2＝________.(2)(2012? 山东)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为 ________． 我要去看得更远的地方第 35 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center考点三 多面体与球 例3 直三棱柱 ABC―A1B1C1 的各顶点都在同一球面上．若 AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120° ，则此球的表面积等 于________． 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB＝6，BC＝2 3，则棱锥 O―ABCD 的体积为________． 考点四 空间几何体的折叠问题 例4 如图所示， 平面四边形 ABCD 中， AB＝AD＝CD＝1， BD＝ 2， BD⊥CD， 将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD， 使平面 ABD⊥平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．如图，把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC＝ 6.(1)求证：面 ABEF⊥面 BCDE； (2)求五面体 ABCDEF 的体积．1． 在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD 的面积分别为 三棱锥 A－BCD 的外接球体积为________． 2． 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正 方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多 面体的体积为________．2 3 6 ， ， ，则 2 2 2. (推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1 ． 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 我要去看得更远的地方第 36 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center________． 2． (2012? 江苏)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥 A－BB1D1D 的体积为________ cm3.3． 如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线 长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是 ________． 4． 若圆锥的侧面积为 2π，底面面积为 π，则该圆锥的体积为________． 5． 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单 几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为 20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为________．6． 已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把△ACD 折起，则三棱锥 D－ABC 的外接球的 表面积等于________． 7． 如图所示， 在等腰梯形 ABCD 中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60° ，E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、 B 重合，形成的三棱锥的外接球的体积为________． 8． 如图所示，已知在多面体 ABC―DEFG 中，AB，AC，AD 两两垂直， 平面 ABC∥平面 DEFG，平面 BEF∥平面 ADGC，AB＝AD＝DG＝2， AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．9． 已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45° ，则棱锥 S―ABC 的体积为 ________． 10．已知正方形 ABCD 的边长为 2 2，将△ABC 沿对角线 AC 折起，使 平面 ABC⊥平面 ACD，得到如右图所示的三棱锥 B－ACD.若 O 为 AC 边的中点，M，N 分别为线段 DC，BO 上的动点(不包括端点)， 且 BN＝CM.设 BN＝x，则三棱锥 N－AMC 的体积的最大值为________． 二、解答题 11．(2012? 江西)如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E、F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝ 12，AD＝5，BC＝4 2，DE＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合于点 G，得到多 我要去看得更远的地方第 37 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center面体 CDEFG.(1)求证：平面 DEG⊥平面 CFG； (2)求多面体 CDEFG 的体积． 12．如图，四棱锥 P―ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PD＝DC＝4，AD＝2，E 为 PC 的中点． (1)求三棱锥 A―PDE 的体积； (2)AC 边上是否存在一点 M，使得 PA∥平面 EDM？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，将△AEF 沿 EF 折 起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得∠PEB＝30° . (1)求证：EF⊥PB； (2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 P―EFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥 P―EFCB 的体积．第2讲空间中的平行与垂直考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号) ①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 ②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 ③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3 共面 ④l1，l2，l3 共点?l1，l2，l3 共面 (2)设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号) ①若 l⊥m，m?α，则 l⊥α 我要去看得更远的地方第 38 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center②若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α ③若 l∥α，m?α，则 l∥m ④若 l∥α，m∥α，则 l∥m (1)(2013? 广东改编)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ________．(填序号) ①若 α⊥β，m?α，n?β，则 m⊥n ②若 α∥β，m?α，n?β，则 m∥n ③若 m⊥n，m?α，n?β，则 α⊥β ④若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是________．(填序号) ①存在一条直线 a，a∥α，a∥β ②存在一条直线 a，a?α，a∥β ③存在两条平行直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α ④存在两条异面直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 考点二 线线、线面的位置关系 例2 如图，在四棱锥 P―ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90° ，∠BAC＝ ∠CAD＝60° ，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA＝2AB. (1)若 F 为 PC 的中点，求证：PC⊥平面 AEF； (2)求证：EC∥平面 PAB.如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC＝BB1， D 为 AC 的中点． (1)求证：B1C∥平面 A1BD； (2)若 AC1⊥平面 A1BD，求证：B1C1⊥平面 ABB1A1； (3)在(2)的条件下，设 AB＝1，求三棱锥 B－A1C1D 的体积． 考点三 面面的位置关系 例3 如图，在几何体 ABCDE 中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥ 平面 ABD.M 为线段 BD 的中点，MC∥AE，AE＝MC＝ 2. (1)求证：平面 BCD⊥平面 CDE； (2)若 N 为线段 DE 的中点，求证：平面 AMN∥平面 BEC.如图所示，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， 我要去看得更远的地方第 39 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：(1)AF∥平面 BCE； (2)平面 BCE⊥平面 CDE.考点四 立体几何中的探索性问题 例4 (2012? 北京)如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点， 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC ＝4，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA＝PB，PD＝PC，N 为 CD 的 中点． (1)求证：平面 PCD⊥平面 ABCD； (2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP，若存在，说 明理由并确定 E 点的位置，若不存在请说明理由．1． 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 1 E，F，且 EF＝ ，则下列结论中正确的是________．(填序号) 2 ①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A－BEF 的体积为定值 ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 我要去看得更远的地方第 40 页 共 84 页闰土教育盐阜路校区RunTu PPTS Learning Center2． 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中 点． (1)证明：平面 ADC1B1⊥平面 A1BE； (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F∥平面 A1BE？证明你 的结论．(推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1． 已知 α，β，γ 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是________．(填序号) ①若 α⊥β，l⊥β，则 l∥α ②若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l∥α ③若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β ④若 α⊥β，α⊥γ，则 γ⊥β 2． α、β 为平面，m 为直线，如果 α∥β，那么“m∥α”是“m∥β”的______________________条件． 3． 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45° ，∠BAD＝90° ，将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥ 平面 BCD，构成三棱锥 A－BCD.则在三棱锥 A－BCD 中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面 ABD⊥平面 ABC ②平面 ADC⊥平面 BDC ③平面 ABC⊥平面 BDC ④平面 ADC⊥平面 ABC 4． 下列命题中，m、n 表示两条不同的直线，α、β、γ 表示三个不同的平面． ①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β；③若 m∥α，n∥α，则 m∥n；④若 α∥β，β∥γ，m⊥α， 则 m⊥γ. 正确命题是的序号为________． 5． 一正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木块锯开， 使截面平行于棱 VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为________．6． 在正三棱锥 S－ABC 中，M，N 分别是 SC，BC 的