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正弦定理详解
在一个中，各边和它所对角的正弦的比相等。　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径）　　这一定理对于任意三角形ABC，都有　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R　　R为三角形外接圆半径　　a=bsinA/sinB　　=csinA/sinC显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c = 2R。若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。∵在同圆或等圆中直径所对的是直角。∴∠DAB是直角。若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。若∠C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得故对任意三角形，定理得证。正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则正弦定理是指()
A.\frac{a}{sinA}=\frac{b}{cosB}
B.\frac{a}{b}=\frac{cosB}{cosC}
C.\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}
D.\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}
由正弦定理：\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}，可知选项D正确．故选D．
在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边的边长．(1)试叙述正弦或余弦定理并证明之；(2)设a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥\frac{1}{3}．
解：（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，正弦定理为：\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R，证明：作出△ABC的外接圆O，连接BO并延长，与圆O交于D点，连接CD，可得∠A=∠D，∠BCD=90°，设圆的半径为R，BC=a，AB=c，AC=b，在Rt△BCD中，设BD=2R，∴sinD=sinA=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}，即\frac{a}{sinA}=2R，同理\frac{b}{sinB}=2R，\frac{c}{sinC}=2R，则\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca，又a+b+c=1，∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2=1，则a2+b2+c2≥\frac{1}{3}．&&
（1）写出正弦定理，作出三角形ABC的外接圆，设外接圆半径为R，利用圆周角定理及锐角三角函数定义即可证明；（2）由a，b及c都大于0，利用基本不等式得到a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三等式左边两边相加后得到一个不等式，不等式左右两边都加上a2+b2+c2，右边利用完全平方公式化简，变形后即可得证．
测试题精选
在△ABC中，a=xcm，b=2cm，B=45°，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x的取值范围是_____．
余弦定理和正弦定理都反映了同一三角形中边、角之间的度量关系，是解斜三角形的重要工具：你能总结解斜三角形的类型吗？
在△ABC中，AD为∠A的平分线，请用正弦定理证明：。
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正弦定理和余弦定理
知识点总结
知识点总结
&& & & &本节主要包括正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识点。其中正弦定理和余弦定理是重点，主要从定理的内容、证明、应用等几个方面理解掌握这两个重要的定理。
&& 5、判断三角形的形状，一般是利用正余弦定理边化角或角化边。
&& 6、解三角形的一般规律：
&& (1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解；
&& (2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。
&& 7、解三角形，属于几何的问题，所以一般要先画图，再分析，后解答。
&& & & &本节在段考中是必考内容，选择题、填空题和解答题都有命题，主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形。在高考中，多和三角恒等变换、三角函数联合考查，难度属于中等。
&& & & &解三角形，如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。学生往往忘记检验。
【经典例题】
知识点精练
练习题一　难易度：易
练习题二　难易度：中
练习题三　难易度：难
[高一数学]已解答
提问学生：
题型:解答题
德智币:5.0德智币
提问时间: 10:19
.钝角三角形
外接圆证明正弦定理
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
[高一数学]已解答
提问学生：
题型:解答题
德智币:5.0德智币
提问时间: 07:28
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
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　　设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）
　　该定理从老版高中教材人教版《数学》必修第二册（下A），P35的例1：“河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤脚水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走10m时人升高了多少？”抽象出来的一般结论．
　　三正弦定理示意图
三正弦定理 -
　　如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．
　　于是，sinγ=CO︰AC，sinα=sin∠CBO=CO︰BC，
　　sinβ=sin∠BAC=BC︰AC．
　　由此容易推得sinγ=sinα·sinβ
三正弦定理 -
　　如果将三正弦定理和联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！
　　例1　如图，已知A1B1C1－ABC是，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)
　　三正弦定理应用之例1题图三正弦定理应用之例1解答例2　已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)
　　三正弦定理应用之例2题图三正弦定理应用之例2解答
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