一道三重积分的问题。为什么改变材料截面不能用截面法...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-24 04:38 标签： 为什么改变材料截面
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什么时候可以用截面法计算三重积分
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比如垂直于z轴的截面,面积可以表示成x,y的表达式,剩下的就是x,y的一个二重积分
遇到这种情况怎么办呢？可不可以把(4/25)z²=x²+y²&代入被积函数，如果不可以为什么？
不能代入，(4/25)z²=x²+y² 里的x²+y²和积分里面的x²+y²意义不一样，你可以想，被积函数不是x²+y²，如果是x+y呢
那不带入接下来怎么算呢（除了用柱面坐标法）
都算到这一步了，各类教材上基本有类似解答了
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一道三重积分的问题 用柱面坐标法怎么求呢?
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我们在做重积分的题时,是根据积分区域来选取在哪种坐标系下计算（不同的坐标系也可以说是不同变量替换）,这个题用柱坐标来进行计算显然就麻烦了,甚至还可能无法求解.改用球坐标系就尤为简单……这也是不同坐标系下不同重积分计算中的局限性…………不喜欢这种方法,你还是得用他,因为某一种方法并不是万能的……
答案解析：本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球
面（或柱面）坐标进行计算即可
所以才问柱面
求体积，被积函数是1，用柱面坐标怎么会麻烦？
刚开始没具体去算的，其实都可以……如下：相比之下，用球面坐标来计算要简单得多我说的麻烦，并不是指的被积函数，而是指积分区域在柱面坐标下时，不简洁……从上面就可以看出
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来源：　　作者：孙爱珍;
一题多解在三重积分计算中的应用　 1引言三重积分计算是学习理工科高等数学的一个难点。主要表现为:第一积分区域空间想象和图形不好表达,第二、三重积分计算方法在多样选择上不明确,第三变量的积分上下限不易确定。针对这些特点,下面以一道实例来介绍三重积分计算的投影法、截面法、柱面坐标法、球面坐标法,并分析四种方法最适合使用的条件和应注意的事项。2实例分析计算三重积分Ω蓓z2dxdydz,其中Ω是两个球x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R&0)的公共部分。2.1采用投影法求解(即利用直角坐标,采用“先单后重”[2]的积分次序)由x2+y2+z2=R2x2+y2+z2=2R蓓z解得z=R2,进一步得x2+y2=34R2,所以Ω在xoy面上的投影为x2+y2≤34R2,从而Ω:x2+y2≤34R2,R-R2-x2-y2姨≤z≤R2-x2-y2姨解:原式=x2+y2≤34R2蓦dxdyR2-x2-y2姨R-R2-x2-y2姨乙z2dz=13x2+y2≤34R2蓦(R2-x2-y2姨)3-(R-R2-x2-y2姨)3dxdy=132π0乙dθ姨32R0乙(R2-ρ2姨)3-(R-R2-ρ2姨)3姨姨·ρdρ=-162π0(本文共计2页)　　　　　　　　　　
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