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数学问题解决的学习
数学问题解决的学习
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数学问题解决的学习一、数学问题和数学问题解决的涵义
（一）数学问题的涵义。
1．什么是数学问题。
数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如除数是小数的除法，对初学的学生来说就是一个不能直接用除数是整数的除法法则进行计算的情景状态，它就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。
2．数学问题的结构。
数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。
（l）条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。
（2）目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。如问题“课外活动时，体育委员到保管室领球，按5个人一个篮球、8个人一个排球、10个人一个足球计算，一共要领17个球。全班共有多少人参加课外活动？篮球、排球、足球各要领多少个？”中的“全班共有多少人参加课外活动”和“篮球、排球、足球各要领多少个”就是问题给定的目标信息。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。如在上例中，未求出全班参加课外活动人数和三种球的个数以前它是一个问题系统，一旦求出答案达到目标状态以后，它就是一个稳定系统了。
（3）运算信息。运算在这里是指条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些操作方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的依据。如56.28÷0.67，可以利用除法商不变性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，然后按照除数是整数的除法法则进行计算，这就是问题给定的运算信息，没有这些信息就无法计算出结果。
（二）数学问题解决及其特征。
根据数学问题的涵义，数学问题解决是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。
数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。与其它一般问题解决一样，小学数学学习中的问题解决也具有以下基本特征。
第一，数学问题解决指的是学生初次遇到的新问题，如果是解以前解过的题，对学习者来说就不是问题解决了，而是做练习。
第二，数学问题解决是一种积极探索和克服障碍的活动过程。它所采用的途经和方法是新的，至少其中某些部分是新的，这些方法和途径是已有数学知识和方法的重新组合。这种重新组合通常构成一些更高级的规则和解题方法，因此数学问题解决的过程又是一个发现和创新的过程。
第三，数学问题一旦得到解决，学生通过问题解决过程所获得的解决问题的方法就成为他们认知结构的一个组成部分，这些方法不仅可以直接用来完成同类学习任务，还可以作为进一步解决新问题的已有策略和方法。
二、教学问题解决的功能
数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用，其功能可概括为以下几个方面。
（一）问题解决有利于提高学生数学知识的掌握水平。
数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学问题解决的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。如计算异分母分数加减法，要综合运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
（二）问题解决能培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
（三）问题解决能培养学生数学意识。
在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，他们都有明确的认识，因此数学问题解决能有效地培养学生的数学意识。首先，在数学问题解决中学生能更加明确地认识到过去所学数学知识的重要作用。如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使他们更加深刻地感受到自己所学的数学知识都是有用的。
（四）问题解决能培养学生的探索精神和创新能力。
数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
在教学中挖掘数学问题解决中隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质赋予小学数学学科教学的重要任务。
三、教学问题解决的一般过程
数学问题解决是一个连续的心理活动过程。这个过程通常反映为以下四个基本步骤。
（一）感知、理解问题。
感知和理解问题是数学问题解决的第一步。这一步主要是学习者明确问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象。具体来讲，在这一步先感知问题通过文字描述、画面或其它形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，由此在头脑里形成问题事件的表象，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。
感知和理解问题时要注意对问题的已知条件和问题的初始状态有全面而完整地认识，尤其是对那些综合性强、关系复杂的数学问题，要注意发现问题中的隐蔽条件，充分搜集有用的信息，这对实现问题的解决有重要的意义。例如，在问题“大数和小数的差是80.l，小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等，大数和小数各是多少”中，大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息，题中就没有直接告诉，而是隐蔽在“小数的小数点向右移动一位刚好与大数相等”之中，需要学习者自己去发现。
另外，感知和理解问题时不要忽视问题目标的导向作用，要根据目标信息去搜集条件信息，这样不仅可以更容易获得使问题达到目标状态的所有有用信息，同时还可以有效地排除无用信息的干扰。
（二）确定求解方案。
这是一个根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标状态选择解题方法，制定求解的过程，这是实现问题解决的最关键的一步。这一步是一个复杂的心理活动过程，要连续完成以下几方面的任务。
1．问题类化。
问题类化在这里是指把问题中的主要内容同学习者原有认知结构中有关的数学知识和方法联系起来，并把这些已有的知识和方法作为重新组合成解决问题的新方法的依据和基础。如在上例中，这一步就是将问题中的内容同原来已掌握的“小数点位置移动引起小数大小变化规律”。“解答差倍问题的方法”等内容联系起来，让这些内容在学习者头脑里处于激活状态，为后面确定求大数和小数的解题方法做好准备。
如果问题内容太复杂、太抽象，一时难以类化，就应采取适当的措施降低难度，使问题同学生原有认知结构中的有关内容建立起联系。其方法一是可以利用实物、模像或图示等直观手段，使问题中的隐蔽条件明朗化；二是可以利用适当改变问题内容的叙述方式，将逆向表述的问题变成顺向表述的问题，使问题内容同学生原有认知结构建立起直接的联系。
2．寻找解决问题的突破口。
寻找解题的突破口，在这里包含两方面的任务：一是抓住问题解决的关键，找到解题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决问题，确定解题思维的起点。这一步对整个解题过程至关重要，它是问题能否实现顺利解决的关键。由于解决问题时所采用的思维方法和思维起点的不同，所以这一步在具体实施过程中具有相对的灵活性，有些问题可以从目标入手去找问题解决的条件，有些问题应当从条件入手通过条件的组合去实现问题的解决，有些问题需要将两者结合起来思考找出问题解决的办法。到底从什么地方入手去解决问题，要根据不同数学问题的具体情况和学习者的思维习惯及发展水平去定，不能一概而论。
3．确定解题步骤。
确定解题步骤是指学生在头脑里拟出问题求解的具体操作程序，即确定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求学生写出书面的解题。从解决问题的思考过程来讲，这一步主要是一个确定解题思维发展方向的问题，即在前面已确定的思考起点的基础上进一步确定出整个解题过程应沿着什么方向思考下去，以保证解题时思维目标信息确定的方向顺利进行。解题时思维过程的发展方向是直接受思考起点制约的，同一问题如果思考起点不同，思维过程展开的方向也不同。例如“小玲读一本故事书，第一天读了全书的25％，第二天读了余下的，还剩下45页没有读。这本故事书一共有多少页？”制定求解方案时，如果以求二天所看页数占全书总页数的分率为突破口，其思维过程就可以沿着“第二天看了全书的几分之几→剩下的45页占全书的总页数的几分之几→全书共有多少页”的方向展开；如果以求第一天看后还剩下的页数为突破口，就先把第一天看后还剩下的页数看做单位“l”，然后再把全书总页数着做单位“l”，其思维过程是：先求出第二天读后剩下的45页对应的分率，再求第一天读后剩下的页数，紧接着求第一天读25％后还剩下百分之几没有读，最后求出全书的总页数。确定解题步骤时，不管以什么为思考起点和沿着什么方向展开思维，都要注意两点：一是要注意问题目标的导向，思考的方向始终要朝着问题的目标状态展开；二是思维活动不能脱离数学问题所给定的条件，只能在问题的运算信息所允许的范围内进行。
（三）实施问题解答。
实施问题解答就是将前面所制定的解题付诸实施，使问题达到目标状态。它要求学习者按照既定的解题思路有序地进行推导、运算、操作，直到得出正确的答案。这一步既是一个执行解题的过程，同时也是一个检验和修正解题的过程。解题时如果发现前面所制定的求解和解题思路不当或者不简便，应及时修正，以减少解题过程中的失误，使问题比较顺利地达到目标状态。
（四）评价。
问题解决以后，学习者还应主动对自己的求解过程和结果进行检验与评价，看解题过程是否合理、简便，结果是否正确。如果发现错误，应认真分析错误的原因，并及时纠正错误，使问题获得正确答案。评价时应注意分析问题还有无其它解答方法、还有哪些新的方法，这样有利于学生养成从不同角度去分析和解决问题的能力及思维习惯。
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某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的，故作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。5、斐波那契数列又学家列昂纳多&斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为&&。　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：&　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对&　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对&　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对&　　依次类推可以列出下表：　
经过月数012345 &6& &7& &8&&9&&10& 11&12
幼仔10112358132134& 55& 89
成兔对数011235813213455& 89&144
总体对数1123581321345589& 144&233
幼仔对数=前月成兔对数&　　成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数&　　总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数&　　可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。&6、我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，（第19位不是）&　　斐波那契数列的素数无限多吗？？？我不知道。。
数学问题的意义
这篇文字是摘抄过来的，我觉得比较生动的说明了数学问题的意义这个问题。数学问题特别是数学难题不仅是作为一个简单的问题存在，常常是在解决这个数学难题的基础上寻找出解决类似问题的方法。关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。&&事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，&顺便&解决歌德巴赫猜想。&例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。&&为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？&&一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。&&数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。&&民间数学家解决歌德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决歌德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了歌德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。&&当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰&柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布&柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法&&变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。&&同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：&这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？&的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。&&所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着歌德巴赫猜想这个&下金蛋的鸡&能够催生出更多的理论和工具。
知道哥德巴赫猜想的人挺多，知道黎曼猜想的人就少多了。日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地方，那就是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。那个难题就是&黎曼猜想&。黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为&论小于给定数值的素数个数&的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的&诞生地&。黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中&&尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点(下文中有时将简称其为零点)。有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多&证明从略&的地方。而要命的是，&证明从略&原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些&证明从略&的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多的时间来撰写文章。但有一点基本可以确定，那就是他的&证明从略&绝非类似于调皮学生蒙混考试的做法，而且很可能也并非是把错误证明当成正确的盲目乐观&&后者在数学史上不乏先例，比如法国数学家费尔马在写下费尔马猜想时所表示的&我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来&就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多从略了的证明是做过扎实研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在时隔了几十年之后才被整理出来，也往往仍具有极大的领先性。但黎曼的论文在为数不少的&证明从略&之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼ζ函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。黎曼猜想自1859年&诞生&以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家曾经满怀信心，渐渐地却被它的艰深所震动，态度转为了悲观。我们前面提到过的李特伍德就是一个例子，当他还是学生的时候，他的导师就随手把黎曼ζ函数写给了他，让他利用暑假时间研究它的零点位置。初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。但渐渐地，他的态度发生了变化，甚至表示：&假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些&。曾经在&山寨版&黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊也有过类似的态度转变。当他在&山寨版&黎曼猜想研究上做出成果时，曾像一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心，表示如果自己证明了黎曼猜想，会故意推迟到猜想提出100周年(即1959年)时才公布&&言下之意，自己不迟于1959年就有可能解决黎曼猜想。不过，岁月渐渐磨去了他的乐观，他晚年时曾对一位友人承认，自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特，他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。在1919年的一次演讲中，希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决，但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他：如果他能在五百年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答说最想问的就是：是否已经有人解决了黎曼猜想？&
有8个钢珠。大小一样，其中有一个钢珠质量稍小一点。现在有一个没有刻度的天平。问，至少用多少次测量可以准确的找出那个钢珠。不带蒙的。
看来这道题不会做的人不少啊 转载
我也出一道: &有一个人带了100元钞票买25元的东西,店主因为手头没有零钱找,就到隔壁老板那里换了100元零钱,自己扣下25元,把剩下的75元找给了那个人.过了一会,隔壁老板走来说那100元钞票是假钞,店主仔细一看,果然是假钞,只好赔了隔壁老板100元真钞,问整个过程之中,店主一共亏了多少钱财?
116.205.136.*
124.72.255.*
125.108.249.*
他们的答案对么？
最简短的一场数学报告
1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐上了讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是2是67次方－1，另一个是，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。科乐解决了两百年来一直没弄清的问题，即2是67次方是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了2是67次方不是质数，而是合数。
被称为&17世纪最伟大的法国数学家&费尔马，研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5==641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！&质数的假设 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝不是素数。 还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
一个随机过程的爱情故事 来源： 王越的日志
&&&&&& 从前有一个随机过程A，他喜欢上了另一个随机过程B。虽然他们都映到R上，他们并不定义在同一个概率空间。但概率空间都不一样的随机过程怎么能够在一起呢？A向数学家求助。数学家说：这个容易。我把你同分布地映到B所定义的那个空间就是了。经历种种磨难，A终于到了B所在的那个空间。但他愕然发现，他与B竟然是独立的。A再次找到了数学家。数学家说：你看这种种随机过程，总是独立的多，不独立的少。况且不独立也未见得是好事。你看C和C+1，他们并不独立，协方差是1，但是他们虽然彼此相爱，却永远也不能在一起。A继续恳求，数学家遍查文献，发现了一种方法叫做&耦合&。但这种方法需要双方的配合。数学家找到B说明情况，B被A的诚意打动，决定给A一个机会。数学家做了这个概率空间与其自身的乘积空间，并用卡拉西奥多里扩张定理构造了上面的概率测度结构，附带诱导了轨道空间的概率测度。A和B被写在同一个括号里，构成耦合的过程。岁月无声，B逐渐接受了A的爱情，但由于他们不知道自己将去往何方，他们从未相遇，对此也无能为力，只能感叹造化弄人。A对于这种长期的分隔失去了耐心，又跑去向数学家求助。数学家拿出了cdy老师的应随课本，教给了A应随的知识。A虽然看不懂某些证明，但明白了一条引理：符合一定条件的耦合过程一定会到达对角线。A高高兴兴地回到了未知的生活，并将这条引理教给了B。虽然他们仍不知将去往何方，但他们坚信cdy老师书上的知识必将引导他们相遇。经过了漫长的等待，在世界尽头的某一天，他们相遇了。他们没有说话，只是默默地看着对方，咀嚼着分别酿造的情丝。这时，数学家出现了。他说道：你们仍然独立，这是我改变不了的。此后，你们也许仍将分离，但你们仍会重逢。更重要的是，从此以后，你们的分布是相同的。也就是说，你们将负担彼此共同的命运，直到永远。在此，我以cdy老师的名义祝福你们。说罢，数学家送给他们一本Durrett写的Probability：Theory and Examples (ed.4).A与B向数学家告别，走上了仍然未知的旅途。他们仍将分离，但又会重逢。他们负担着彼此共同的命运，心贴着心，幸福地走下去，直到t趋于正无穷。&
一个有趣的数学问题
甲、乙两个教堂的钟声同时响过之后，分别每隔4/3秒和7/4秒再响一声，如果因为在1/2秒内敲响的两声无法区分而被视为同一声，问在15分钟内可以听到多少声响？
在15分钟内，甲、乙两个教堂的钟声分别敲响了60&15&4/3 = 675声和 60&15&7/4 = 514声。&
假设以听甲教堂的钟声为主，即甲教堂的钟声都能听到，乙教堂的钟声与甲教堂的钟声间隔在1/2秒内者听不到，又设这些听不到的钟声数目为x，则在15分钟内可以听到的钟声数为675+514－x.&
设n、m分别是甲、乙两个教堂的钟声敲响的次序数，则1n675，1m514. 由实际意义可知满足不等式组0|（4/3）n－（7/4）m |1/2的正整数n和m的个数相等，而这个相等的个数就是x.&
& 0|（4/3）n－（7/4）m |1/2 &&0|16n－21m |6 －616n－21m 6.
&&设16n－21m& = k（－6k 6），解之可得&
由1n675，1m514可得&
给k（－6k 6）的各允许值，分别解上述不等式组，求得t的允许值个数，即前述方程组解的个数，就是n（或说m）的个数，也就是x.&
当我们给k的13个允许值，分别解不等式组时会发现，除了当k取－5和6时t都有33个对应的允许值之外，k的其余11个取值t都有32个允许值与之对应，所以共有418个t的允许值，即x = 418.&
所以，15分钟内若不算开始的一声，可听到675+514－418= 771声钟响。
这个题目是网上发现的。原解答把这个问题归结为数论问题。我觉得这个题挺好玩儿。但是下手比较难。
下面我试着用自己的思路解答一下。
首先，先把问题简单化分析下。如果一个3s响一次，一个5s响一次。显然。15s以后，他们又同时响了。这样。用总时间除以15.然后分析下15s内能听见多少次，再分析下剩下的那段不够15s的时间能听见几次，结果就出来了。
对于这个题目，4/3跟7/4同分16/12跟21/12.可以算出最短16*21/12s之后他们可以同时响一次。结果等于28S.
总时间60*15=900 这样的周期有28*32=896 32个周期，加4s。
下面，28S内能听到多少声钟声？
我把他们响的时间，乘以12，列出来，如下表。然后数一下。24声。或者16+21-13=24.&& 32个周期24*32=768，还有4S.4*12=48.看下表，掐到48.能听到3声。768+3=771
解释下这个表。甲 乙两列分别是两个寺庙钟声响的时间乘以12. 后边的数是俩个钟声小于1/2*12=6的次数。
统计21个&&&&&& 16个&& 13个&
无穷大的比较
无穷大与无穷大之间是可以比较大小的。首先，澄清下无穷大的定义。记得小时候，问，你头上有多少头发。答，无穷多。 问，天上有多少星星。答，无穷多。显然，头发不是有无穷多，只是我们懒得去数。同样，天上的星星，到现在能够观察到的，个数也不是无穷大。甚至，能观察到的，包括地球，所以物质的原子个数，也不是无穷大。具体推算的数字好像是10的56次方到10的57次方之间（数据来源于2007年版的《从一到无穷大》）。至少它还没超不过10的100次方。自然数，整数，正整数等都是有无穷大的。一段1厘米的线段，跟一段1米长的线段上的点都是无穷大。无穷大是可以比较的。怎么比呢？这样，最原始的，你拿出一个来，我有一个跟你对应。只要你拿的出来，我就能拿出一个相应的跟你对应。如果，你拿出来的我跟你对应不上了，你比我多。如果，你拿完了，我还有，我肯定比你多。这的话，有一个有趣的结果。 拿自然数举例。全体自然数，跟大于N（N&1）开始的自然数是一样多的。因为，全体自然数n 跟后者之间可以建立一一对应的关系。同样，1cm长的线段跟1m长的线段同样的无穷大。他们之间可以建立一一对应关系。这样，是不是所有的无穷大都是相等的呢？我们比较一下，线段上的点数跟所有的整数之间的多少的问题。这个问题我重新看了下《从一到无穷大》，大致意思是，把线段设为1，线段上的点到某一端的距离可以用小数表示。所有的分数，即可循环小数与整数是一一对应的。对于其中的无理不循环小数，在整数中是无法完全找到与之相对应的数的。线段上的点是比整数大一级的无穷大。通过一一对应的这个原理。可以把无穷大分类。每一类，无穷大的个数是一样的。最低级的无穷大，所有整数和分数。中间等级，线，面，体上所有几何点的数目。最高级，所有几何曲线的数目。参考&
从一到无穷大
这本书我去年买的。当时准备考研，因为要买的两本书需要付邮费，多加十几块钱可以把10块钱的邮费省去。我从热卖推荐里面挑了这本，已经读完，感觉不错。定价29&。淘宝皇冠店正版价18.9 。点击图片可以购买。站长推荐。&以下内容转自百度百科。&&&&&& 作者：（美）&　　原文书名：One Two Three ... Infinity&　　译者：暴&　　副标题：科学中的事实和臆测&　　ISBN：6 ［十位：］&　　页数：329&　　出版社：科学出版社&　　出版年：
》这种书能够在国家强制力的支持下影响一代人，其它的书即便你天天漫天吆喝，在这个信息爆炸的时代也将很快变成故纸堆，例如几年前铺天盖地的《学习的革命》。但有一本写于上世纪中叶的书，既不是有的红宝书，也从没成为过在媒体上狂轰滥炸的&主打&书，却在初版近三十年后悄悄再版，并再一次在新世纪抓住了无数号称叛逆、前卫的&80后&人的眼球，并让我这个&70初&人也再度夜不成寐，通宵&复习&。这本让我二十年后仍然没完没了地好好学习的书是&&《从一到无穷大&&科学中的事实和臆测》。
的相对论和四维时空结构，并讨论了人类在认识微观世界（如基本粒子、基因等）和宏观世界（如太阳系、星系等）方面的成就。这些过程中能定量说明的地方基本都定量了，但不仅没有让人望而生厌，反而让人对书中内容过目不忘。
质数的孤独
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质数的孤独
质数只能被1和自己整除，是所有数字中最迷惑人心的，也是最孤独的，因为它尽管有同伴，却没有规律能指出它的同伴在那里，而它的同伴除了同样是孤独的外，和它之间没有任何共同之处。质数的孤独是无限的，如果到达世界的尽头就能尽情呼喊爱情，它永远没有机会，因为质数的世界没有尽头。这种等级的孤独，谁能用文学表达出来？我不相信26岁的物理学专家能在他的处女作中做到，但事实是，他做到了，《质数的孤独》真的太孤独了。&&
有人说，上帝造人是造一双的。也许真是这样，所以有了&孪生质数&。他们有个看得到、但无法依偎取暖的同伴。孪生质数是两个紧紧跟随的质数，就像3和5、11和13，被一个完满的偶数给隔开。他们咫尺天涯，却又天涯相伴。他们一同陷在孤独的深渊，却又无法互相救赎。但有时候，知道有个人了解自己的苦，也就足够了。《质数的孤独》讲述的就是一对孪生质数的故事，在天地间，他们发现了彼此，无言的孤独让他们互相靠近，但几秒钟的距离却在他们之间筑上永恒的墙。
为什么存在无穷多的质数
如果说，找不到最大的质数，那么质数就有无穷多，这个应该很容易理解。比如，已经证明的最大的质数为N。做N的阶乘。设为K。显然，K远大于N。显然K+1不能被N及N以下的除1外所有正整数整除。余数都为1.如果K+1为质数，则命题证明。如果K+1为合数。则其必有大于N的质数约数。这个是我改版的证明。&教大的质数证明是比较困难的。而且，永远存在更大的未被认识的质数。由此就不难理解质数的孤独了。&&
　　3n+1问题是一个简单有趣而又没有解决的数学问题。这个问题是由L. Collatz在1937年提出的。克拉兹问题（Collatz problem）也被叫做hailstone问题、3n+1问题、Hasse算法问题、Kakutani算法问题、Thwaites猜想或者Ulam问题。&　　问题如下：&　　（1）输入一个正整数n；&　　（2）如果n=1则结束；&　　（3）如果n是奇数，则将n乘3+1，否则n除于2；&　　如此反复，直到n=1&&&&& 需要证明的是，所以的正整数都可以经过这个过程回到1.&　　克拉兹问题的特殊之处在于：尽管很容易将这个问题讲清楚，但直到今天仍不能保证这个问题的算法对所有可能的输入都有效&&即至今没有人证明对所有的正整数该过程都终止。举个例子。N开始等于48.那么接下来的变化应该是。24 12 6 3 10 5 16 8 4 2 1如果N是23。接下来。应该是70 35 106 53 160 80 40 20 10 5& 16 8 4 2 1&&
质数于合数
质数质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。最小的素数是2， 它也是唯一的偶素数。 最前面的素数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，19, 23, 29, 31......
合数比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。自然数中除能被1和本数整除外，还能被其他的数整除的数。如：6能被1和6整除，也能被2和3整除。4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30......
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