设x0是非齐次解线性方程组组Ax=b的一个解，α1，α2，...,αn-r是对应的齐次解线性方程组组Ax=0的基础解系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-24 16:02 标签： 解线性方程组
设X0是非齐次线性方程组AX=b的一个解向量,α1,α2,…αn-r是对应齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证（1）X0,α1,α2,…,αn-r线性无关（2）X0,X0+α1,X0+α2,…,X0+αn-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量（3）AX=b的任一解都可表示成如下形式X=k0X0+k1(X0+α1)+k2(X0+α2)+…+kn-r(X0+αn-r)且∑ki(i从0到n-r)=1
他的自由为以的来,已驻足在他的记忆中照亮残碎的记忆这个的暮一激情尽,为么·他又怎敢站在它的枝叶中
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设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量2.AX=b的任意解X可表示成：X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关所以 k1=k2=...=kn-r=0进而有 k0=0所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)令 k0=1-k1-k2-...-kn-r则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
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_楼主请上税
显然题目已知,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关下面我们首先假设η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性相关,因此η0=k1*ξ1+k2*ξ2+k3*ξ3+.+kn*ξn-r两边同时乘以A,那么Aη0=k1*Aξ1+k2*Aξ2+.kn*Aξn-r (1)而题目中已知,ξ1,ξ2.ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系所以,Aξ1=Aξ2=.=Aξn-r=0那么我们可以知道等式(1)的右边为0而等式（1）的左边Aη0=B不等于0所以推出矛盾,假设不成立,即η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关不知你是否明白了,
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扫描下载二维码线代高手来，，为什么网上都说非齐次线性方程组没有基础解系。。但是这n-r+1个无关的解向量又是什么？_百度知道【图文】线性代数(同济)4-习题课1_百度文库
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