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第16章《四边形》常考题集（22）：16.4 特殊的平行四边形的性质与判定
1．如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE．
2．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
3．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．
4．已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE•GB=4-2，求正方形ABCD的面积．
5．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
6．如图，△ABC是等腰直角三角?，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．
7．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
8．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是DE=EF；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是NE=BF；③请证明你的上述两个猜想；（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．
9．如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
10．如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．
11．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．求证：AE=FG．
12．已知：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：AE=BF．
13．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，请你观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论．
14．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点F、A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．（1）请在6×8的网格纸中画出运动时间t为2秒时的线段PQ；?2）如图2，动点P、Q在运动的过程中，PQ能否垂直于BF？请说明理由；（3）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
16．如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．
17．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
18．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
19．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
21．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不?要证明）
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．①求证：四边形ADCE为矩形；②求证：DF∥AB，DF=；③当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．
23．如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：（1）用直线分割；（2）每个部分内各有一个景点；（3）各部分的面积相等．（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
24．如图，已知线段AB=2a（a＞0），M是AB的中点，直线l1⊥AB于点A，直线l2⊥AB于点M，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b（a＜b＜2a）．（1）作出点P关于l1的对称点P1，并在PP1上取一点P2，使点P2、P1关于l2对称；（2）PP2与AB有何位置关系和数量关系，请说明理由．--博才网
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正方形ABCD内一点P,且角PAD等于角PDA等于15度,证明三角形PBC为等边三角形.
提问者采纳
用同一法分别作角P'BC=角P'CB=60度,P'为BP'与CP'的交点△P'BC等边三角形角P'BA=30度AB=BC=BP'△P'BA为等腰三角形角P'AB=75度角P'AD=15度同理角P'DA=15度而在A,D处作15度角的边的交点只有一个所以P'与P重合所以，原命题成立
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AngelisI 的方法是正确的。下面从另一个角度给出证明：在正方形ABCD的里面取一点E，使△ADP≌△CDE。∵△ADP≌△CDE，∴PD＝ED，而∠PAD＝∠PDA＝15°，∴∠ECD＝∠EDC＝15°。∵ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠PDE＝∠ADC－∠PDA－∠EDC＝90°－15°－15°＝60°。由PD＝ED、∠PDE＝60°，得△PDE是等边三角形，∴PE＝DE、∠PED＝60°。∵∠ECD＝∠EDC＝15°，∴∠CEP＝180°－∠ECD－∠EDC＝180°－15°－15°＝150°。∴∠CEP＝360°－∠PED－∠CED＝360°－60°－150°＝150°，∴∠CEP＝∠CED。由PE＝DE、CE＝CE、∠CEP＝∠CED，得：△ECP≌△ECD，∴CP＝CD、∠ECP＝∠ECD。由正方形ABCD，有：∠BCD＝90°、BC＝CD，结合证得的CP＝CD，得：BC＝CP。显然，∠PCB＝∠BCD－∠ECP－∠ECD＝∠BCD－2∠ECD＝90°－2×15°＝60°。由BC＝CP、∠PCB＝60°，得：△PBC是等边三角形。
过P作PE垂直AD于E ，延长EP交BC于F因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，所以PF⊥BC。因为∠PAD=∠PDA=15°所以△PAD是等腰三角形而PE⊥AD所以EF为AD的垂直平分线所以PB=PC所以△PBC是等腰三角形设正方形ABCD边长为a那么在RT△PAE 中PE=AE*tan15°=0.5a*tan15°则PF=EF-PE=a-0.5a*tan15°而tan∠PBC=PF/BF= （a-0.5a*tan15） / 0.5a=√3 所以∠PBC=60°而△PBC是等腰三角形所以△PBC是等边三角形备注：tan15°=2 - √3
“√”表示根号
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出门在外也不愁边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点。过点P作PF⊥CD于点F……急求高手解答_百度知道
提问者采纳
证明：（1）连接PD，BE∠BPE=∠BCE=90°，（BCEP四点共圆，可得∠CBE=∠CPE,∠PCE=∠PBE,∠CBP=∠CBE+∠PBE=∠CPE+∠PCE=∠PEF于是有∠CBP=∠CDP=∠PEF）PF⊥DE,所以DF=EF.（2）AC=4√2，AP=x,,CP=4√2－x，
CF=4-√2/2x=PF，DF=4-CF=√2/2x，CE=4-√2xy=S△PCE=1/2CE×PF=1/2 x2 -3√2x + 8（0≤x≤2√2）（3）∠CEP≥90°，若△PEC为等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°，则PE⊥CE，因PE⊥PB，则BP∥CD，所以BP∥BA于是P与AB共线，又P在AC上，所以A与P共点，此时，PA=0
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证明：如图（1）连接PD，∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP∴∠PBC=∠PDC，PB=PD∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF．（2）如图，过点P作PH⊥AD于点H，由（1）知：PA= 2PH= 2DF= 2EFPC= 2CF∴PC-PA= 2（CF-EF），即PC-PA= 2CE．
哦 我懂了。。。谢谢！但是第二问还是没看明白……
也可延长FP哦！！！
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