洛必达法则无穷大证明_中华文本库
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当然,还有其他不同的证明方 法。 (二)洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时,才能使用洛必达法则。 连续多次使用法则时,每次都要...
214122) 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。...(2) 指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的...
a f ( x) 也是无穷大,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确 g ( x) 定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为 f ( x) 当 x ? a...
这个问题就变成积分上 限函数当上限趋于无穷大时的...?? a f ( x ) d x 是否收敛. 在下面证明狄...一个判别无穷积分的新方法.利用洛必达法则我们可以...
§3.2 洛必达法则 ?未定式 在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大, 那么极限...定理证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃 “零比...文档分类：
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文档介绍：
利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较
摘要通过实例说明,在利用洛必达法则和麦克劳林公式求函数极限时,应因题目不同而加以选择,同时在求极限的过程中,如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法,有可能大大简化求极限的计算过程.
关键词洛必达法则;麦克劳林公式;求极限;比较
关于洛必达法则和含的幂展开的带有佩亚诺型余项的泰勒公式(也就是麦克劳林公式),以及利用它们求函数极限所必须满足的条件,这里均不赘述.本文意图通过实例说明,利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限,各有各的优势,同时如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法,有可能大大简化求极限的计算过程.当然,利用上述两种方法求函数极限也有其局限性,本文将就具体例子对利用这两种方法求函数极限作一比较.
例1 当时,函数与是等价无穷小,求.
解法一利用洛必达法则.
由等价无穷小的定义知,这里.记.第一次利用洛必达法则,有;注意到上式分子趋于零,因而分母必趋于零,且当时可再次利用洛必达法则,即有;同样上式分子趋于零,因此要求分母趋于零,则当时,可第三次利用洛必达法则,即.此时可见分子当时趋于24,因而不满足洛必达法则的条件.要使得当时,则必有.故解得.
解法二利用麦克劳林公式展开.
则当有.或注意到,即,故有.
比较上两种方法,方法二似乎简单一些,但以笔者多年来的教学经验看,初学者(大
一新生)会有把和展开到多少阶为合适的问题.比如,把和分别展开为和,则.这样的展开不仅对求解该题无任何帮助,反而会得出错误结果.若将两者展开到比方法二更高阶,即四阶及四阶以上,则必出现冗余
.因此方法一对初学者而言不失为一种较为稳妥的方法,尽管步骤看起来多一些.
例2 已知,则下列四个结论正确的是( ).
(A);(B);(C);(D).
解法一利用洛必达法则.注意到该极限适合洛必达法则,故由洛必达法则有
,即得,选D.
解法二利用麦克劳林公式将展开.考虑到当时,
,,,因此得,即得,选D.
从例2可以看出,用洛必达法则更好.因为初学者同样面临与例1相似的问题——将函数展开到多少阶为合适的问题.那么可否认为用洛必达法则求极限比用麦克劳林公式求极限更有效呢?
例3 当时,试确定无穷小的阶.
解法一用洛必达法则.这里设,并记,则
这里,上式中已将因式分离出来,因为它的极限为1.故当时,对上式再次利用洛必达法则得到
此时可以看出上式还可以用洛必达法则,但是分子过于复杂.若当时对上式再次利用洛必达法则,解题者将陷入繁琐的求导境地.事实上,考虑用麦克劳林公式将函数展开,则将另有一番天地.
解法二利用麦克劳林公式展开.
即有().因此为时的四阶无穷小.
当然,对有些题目而言,两种方法均可使用,计算均简单.
例4 求极限.
解法一作变换后用洛必达法则.
解法二利用麦克劳林公式展开.
注:例4解法一中先做变量代换之后,再用麦克劳林公式将展开为,这样对学生理解为什么把展开到二阶是有帮助的.因为分母中含,而是时的二阶无穷小,这可以解开学生在利用麦克劳林公式展开函数求极限时展开到多少阶的困惑.
有些题目两种方法均不能使用,如下例5,那只能另辟蹊径了.我们可以考虑利用代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法,再用上述两种方法,以期简化计算.
例5 求极限.
分析本例用麦克劳林公式展开求极限是行不通1
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使用洛必达法则的实质及其注意事项
基础及前沿研究中国科技信息２００９年第１ ５期ＣＨＩＮＡＳＣＩＦ＿Ｎ睫ＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ａｕｇ．２００９使用洛必达法则的实质及其注意事项冯志敏’薛瑞２ １，信阳师范学院数学与信息科学学院４６４０００ ２，信阳师范学院计算机与信息技术学院４６４０００摘要本文主要总结了．洛∞达法则在求未定式极限中的应用，需要注意 的问题，并深八分析了在使用洛必过法目０的时候实质是对无穷小 或无穷大进行降阶，从而经过有限次的使用法则将未定式转化成 一般的极限问题，再利用极限的四则运算法则求出极限。另外指 出在使用的时需要注意条件的满足，与其它求极限的方法如无穷 小的替换的结合。例２求ｌｉｍ－＝≥（玎为正整数，兄；ｒ０）解连续使用洛必达法则ｎ次，得熙蒡＝觋长＝熙譬一?＝熙若＝。ｓｉｎ工ｘ－－’０捷键词极限；洛必迭法则；无穷小‘－‘心ｉ注在使用洛必达法则时，必须验证条件是否满足一： ，一髑所求的极限是不是未定式极限；二：求ｊ乇导数后极限是否存 在．其中第＿二条容易忽略。例３设ｆ（ｘ）为可导函数，ｆ（Ｏ）＝ｆ’（Ｏ）＝ｌ，求极限ｌｉｍ―ｆ――（―ｓ―ｉｎ――ｘ――）―－――１。１洛必达法则洛必达法则是柯西中值定理的重要应用，在计算未定式极 限巾洛必达法则扮演着十分重要的角色。这是因为对丁：未定式极 限来讲其极限是否存在，等ｆ多少是不能用极限的四则运算法 则。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有 效的计算出未定式的极限。其定理叙述如下。 定理１若函数／和ｇ满足： （ｉ）ｌｉｒａ厂（工）＝ｌｉｍｇ（工）＝０： （ｉｉ）在点％的某空心邻域Ｕｏ（ｊｃ０）内可导，且ｇ’（工）≠０：Ｊ＿ｏ解Ｉｉｍ丛型：ｌｉｒａ＿ｆ（ｓｉｎｘ）－ｆ（Ｏ）：八ｏ）：ｌ。ＳＩＮＪ ｘ－ｐＯｓｉｎ工一０注下面的做法是错误的。 ｉ ｍ．ｆ．．．．．，（，．．ｓ．．．ｉ．．ｎ，．．。．ｘ．．．．．）．．．－．．――１ ２ ｌ：一ＣＯＳ矿。（ｓｉｎ工） ｔｌｍ―――＝―――――＝ｘ－ｃＯｓｉｎＸ。＿ｏＣＯＳ工＝ｌｉｍ．ｆ（ｓｉｎｘ）ｒ―｝Ｕ＝ｆ’（０）＝１．这是由于题目中没有给出厂’（ｘ）在ｘ＝０处连续的条件， 所以不知道厂’（ｘ）的极限是否存在．或者说是不满足定理中的 第二条件，题目中只是说在厂’（０）处可导，ｆ｝：ｌ足定理中要求是 在工＝０的某个邻域中可导．（ｉｉｉ）ｌｉｍ≤婴：４（彳可为实数，也可为如∞）； ｇＩｘ）、 ’，一，ｈ则ｌｉｍ型：ｌｉｍ型：Ａ。。’’ｈｇ【ｘ）。。＋ｈｇ’【工）３洛必达法则解决其它的未定式极限对丁‘不定式极限０．００，∞一ＯＯ ｌ‘，００，ｏＯｏ，等类型，可以分 别通过做商，通分，取对数，转化成旦型或竺型的极限，然 后再来计算。定理２若函数，和ｇ满足： （ｉ）ｌｉｍ．厂（工）＝ｌｉｍｇ（ｘ）＝００； （ｉ｛）在点％的某空心邻域Ｕｏ（‰）内可导，且ｇ’（工）≠０；（ｉｉｉ）ｌｉｒａ≤娑：一（爿可为实数，也可为一。或∞）： ，?如ｇｆ（ｘ）、 。。。例４岫（１一砷ｔａｎ詈工则ｌｉｍ丛生：ｌｉｍ≤攀：Ａ。（对于极限过程是趋向无穷大的。＿＋工０ｌｉｍ（Ｉ一工）ｔａｎ要－Ｊ：ｌｉｍ上三：ｌｉｍ―土：ｌｉｍ三ｓｉｎ：要工：三解一上ｇｔｘＪ。呻‰ｇ’【ｘ）‘．＇＋ｃｏｔ！ｘ。叶‘一至ｃｗ２ １Ｊ．。一＇１疗２疗也有类似的定理）注这是将０．∞型化成了兰型，如果选择不当把它化成＝型则解题过程将会比较复杂．读者可以尝试一下．一般的 规律是选择求导后式子简单的那种类型．２洛必达法则能处理的基本未定式极限是？型或竺型倒?求嘞半（扣． 解ｌｉｒａＴＸ－ＳｌｎＸ：ｌｉｒａ罂：ｌｉｍ型～．，一 ｒ 一一３工‘ ｘ枷６ｘ６例５求ｌｉｒａｌｃｏｔｘ一一１１．万方数据这是∞一∞型，将它改写为ｃｏｔＸ－ 一１＝？ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ 就化成了石０型，于是有嘞（ｃ一三）＝蚴警解虽然也是个未定武但是不能用洛必达法则。它的正确解法是Ｊ－＋＋∞ｅ。＋ｅ一‘对于离散的情形可以利用函数极限与数列极限的关系求出。ｌｉｍｍ一＝――――－＝ｌ ―ｅｘ＿―ｅ－ｘ：ｌｉ＿１－ｅ－２ｘ［ｉｒａ：ｌ ，＾＋＋∞ｌ＋ｅ．ｚ。 月＿”Ｉｎ，ｌ：ｌｉｒａ―Ｘ―Ｃ＿ＯＳ―Ｘｘ－－＋ｏ５使用洛必达法则的实质及如何求数列的极限Ｘ’＝＝ｌｉｍ―ｃ―ｏ――ｓ―ｘ―．－――．ｘ．―ｓ―ｉ―ｎ――ｘ―．－――ｃ―ｏ．．ｓ，ｘ―ｔ－＇ｏ倒９求极限ｌｊｍ．兰。２ｘ＝０ｏ解由于ｌｉｍ；：ｌｉｍ÷：佃所以ｌｉｒｎ三：佃。ｘ呻帽ｉｎｘ ’＿＇懈１”呻”Ｉｎ打 工例６Ｊ―坩ｌｉｒａ（ｃｏｔｘｌ试（∞ｏ型）而ｌｉｍ堕坐：ｌｉｍ＿ｔａｎｘ（－ｃｓｅ。ｘ）：ｌｉｍ―二三ｅ¨ 解由于ｌｉｒａ（ｃｏｔｚＦ＝ｌｉｍ Ｊ呻０‘、ｒ一＋Ｏ’ ，１［－－４，０４洛必达法则的实质是对无穷小或是无穷大进行降阶，这 个例子非常简单没有必要使用洛必达法则，这里只是为了说：一ｌ，ＩｎｘＸ－－Ｉ．Ｏ’ｌ明使用洛必达法则的实质。Ｊ呻ｏ＋ｓｉｎ工ｃｏｓｘｌｉｍ曼：ｌｉｍ堑：ｌｉｍ６＿Ｚｘ：ｏ。Ｉ ｘ－－－，Ｏ?１Ｘ‘，＿ｏ２ｘｘ－－＋Ｏ２所以船（ｃ帆）丽２ｊ。对于１。，ｏｑ，秽，类型先对数化成０?∞型再化成０?００，或 ∞一ｏｏ型。连续使用了两次洛必达法则，分子从ｘ一０的三阶无穷小降 到了ｘ一０的同阶，而分母经过两次求导变成了常数２，此时已经 不再是未定式了，直接可以得出结论。对于其它类型的函数将它用 泰勒公式展开的时候也可以看出来使用洛必达法则是在对无穷小 无穷大进行降阶。４不能滥用洛必达法则，?Ｏ例７求ｌｉｍｌｌ－－ＩＣＯＳＸ。‘。Ｘ‘ｓｉｎ工‘６结束语洛必达法则是解决未定式极限的有效的方法，在使用的时候 要注意定理要求的条件，要注意与其它ｊ了法尤其是无穷小的替换 相结合。要知道使用洛必达法则实质是在对无穷小（大）进行降价 处理，使得过未定式一步步的转化，最终分子或是分母中至少有一 个不再是无穷小（大），这时就可以直接用极限的四则运算法毋Ｕ求 出结果。解连续使用两次洛必达法则。．．豫了―７刮舯―２ｘＪｃｏｓｘ２＋―２ｘｓ１一ｃｏｓｘ２ｚ．．２ｘｓｉｎｘ。Ｊ．．０Ｘ ｓｉｎ ｘ２ ２ ｘ－－，０２ｘ ｘ ＣＯＳＸ ３ ２ｘｓｉｎ２嘞―ｘ２ ｃｏｓｘ２―＋ｓｉｎｘ２ＣＯＳ．．２２豫―２ｃｏｓｘ２－―ｘ２ 蚴―２ｘｃｏｓｏｘｃ２ｘｓ－ｏｃ２ｘ＋ｘｎ３ｉ―ｓｓｉｎ工２』’●０Ｓｉｎ２ｘＣＯｓｚ２ ２ｘｃｏｓＸｚ一＋Ｏ２Ｆ ｓｉｎＣＯｓＸ２』＾＋ＯＸＳＯＣ２２ｘｎｉｓｓｉｎ㈣ｌ２注其实这个题目没有必要有洛必达法则，直接使用无穷小的替换反而会更加简单。１。 ，．１一ＣＯＳＸ２．．２一工。 １蚴７ｓ―ｉｎ丁２啤了ＸＪ呻ＯＸ‘ 工‘ Ｊ―’ｏ’２～２参考文献 ［１】高等数学．高等教育出版社．第六版． 【２】刘坤林，谭泽光．大学数学概念．方法、技，芎．清华大１。２ ’２。１当然有的题目是要洛必达法则与无穷小等方法相结合 使用。 例８购磊；面２嘞丁２蚴可２蚴孬２否ｘ―ｓｉｎ工．．Ｉ．Ｘ―ｓｉｎＪ。．１一ＣＯＳＸ．．ｌ学出版社 【５】任传荣．高等数学习题课讲义．天津大学出版社． 【４】数学分析．高等教育出版社． ［５］蔡子华．考研数学复习大会．现代出版社． （６】高等数学训练教程．高等教育出版社． 裕者简介’’当然也有些个别的题目在使用洛必达法则的时候会出现循 环的现象，即某些未定式极限不能用洛必达法则求解。例规鬲ｅ。＿ｅ－Ｘ＝蚬筹＝舰筹万方数据：７．研究方向：模式识别．计算复杂性、组合数学等。使用洛必达法则的实质及其注意事项作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 冯志敏， 薛瑞 冯志敏(信阳师范学院数学与信息科学学院,464000)， 薛瑞(信阳师范学院计算机与信息技 术学院,464000) 中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2009，&&(15) 0次参考文献(6条) 1.高等数学 2.刘坤林.谭泽光 大学数学概念、方法、技巧 3.任传荣 高等数学习题课讲义 4.数学分析 5.蔡子华 考研数学复习大会 6.高等数学训练教程相似文献(10条) 1.期刊论文 林清华 探讨洛必达法则求解极限 -湖北广播电视大学学报)极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转 化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具.2.期刊论文 王悦 关于利用洛必达法则求极限的几点探讨 -科技信息2009,&&(2)&高等数学&是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用&商的极限等于极限的商&这一法则,而 要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致 错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明.3.期刊论文 杨黎霞 使用洛必达法则求极限的几点注意 -科教文汇2008,&&(25)如果当x→a或x→∞时,两个函数∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限lim x→a x→∞∫(x)/F(x)可能存在,也可能不存在,洛必达法则是 计算此类未定式极限行之有效的方法,然而,对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了 分析与探讨.4.期刊论文 吴维峰.Wu Weifeng 对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨 -潍坊教育学院学报)本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.5.期刊论文 于祥 洛必达法则应用误区的分析 -北京电力高等专科学校学报)洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则&商的极限等于极限的 商&而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把 握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析.6.期刊论文 夏滨 利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨 -现代企业教育2008,&&(4)本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题.7.期刊论文 汤茂林.TANG Mao-lin 用洛必达法则求不定式极限的技巧 -职大学报2007,&&(2)本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧.8.期刊论文 张波.李秀菊.赵广华 关于&洛必达法则&求未定式极限的几点思考 -网络财富2009,&&(11)本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况.9.期刊论文 刘蒲凰 洛必达法则应用两则 -高等数学研究)指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广10.期刊论文 段桂花.孙秋娟 洛必达法则的应用――求不定式极限 -科技信息2010,&&(6)洛必达法则是微分学基本定理在极限方面的一个具体应用,它是求不定式极限的一种重要而简便的方法.本文链接：.cn/Periodical_zgkjxx.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3d17f633-4d41-4ab0-9203-9dcd008b41ed 下载时间：日
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请问数学中使用洛必达法则的条件中的问题书中写了洛必达法则的3个条件0/0型：(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x).无穷/无穷型(1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)=A(或为∞),那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x).请问这2个型的第三个条件有什么区别.我怎么感觉是同个意思他们的这第三个条件是什么意思.
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第三个条件是一样的,但是不可以缺少,因为有很多当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零,可是当求导后会出现不等于一个常数值或无穷大,这种情况在三角函数中常出现,遇到事小心点用洛必达法则,第三个条件的意思是在求当x→a时lim f'(x)/F'(x)都存在或为无穷大,讲明白就是分子是常说常数,分母就一定要是常数,分子是无穷小分母就是无穷小,我也说的不是太清楚!举个例子当X→∞时 lim (X-sinX)/(X+sinX)就是不能用洛必达定理,自己可以试试,其就是第三个定理的问题!
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