当前位置： >> 第二章因式分解 知识点 1：分解因式的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： ①x ③? 9 ? 8x ? ( x ? 3)(x ? 3) ? 8 （ ( x ? 3)(x ? 3) ? x 2 ? 9 （ ）2
）②9x 2 ? 4 y 2 ? (9x ? 4 y)(9x ? 4 y) （ 2 2 ④ x y ? 2 xy ? xy ? xy( x ? 2 y) （） ）知识点 2：公因式 公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的确定： （1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式； 例如： 1． 多项式 - 3ab ? 6abx ? 9aby 的公因式是 _________3 2 2 3 2 2．多项式 ?8a b c ? 16a b ? 24ab c 分解因式时，应提取的公因式是（）3 3 D． 24a b cA． ?4ab c2B． ?8ab3C． 2ab33.x(m ? n) 2 ? y(n ? m) 4 ? (m ? n) 3 的公因式是__________知识点 3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几 个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如：n ?1 n ?1 n 3 2 2 4 4 3 1.可以直接提公因式的类型： （1） 9a b ? 6a b ? 12a b =________________； （2） a ? a ? a =____________（3） x(a ? b) 2 ? y(a ? b) 4 ? (a ? b) 5 =_____________ （4）不解方程组 ?2 x ? y ? 3 ，求代数式 (2 x ? y)(2 x ? 3y) ? 3x(2 x ? y) 的值? ?5x ? 3 y ? ?22.式子的第一项为负号的类型： （1）① ? 4x 2 y ? 6x 2 y 2 ? 8x 3 y 3 =_______________ 如： ? 8x 2 ? 18y 2 练习：1．多项式: ? 6ab ? 18abx ? 24aby的一个因式是 ? 6ab ,那么另一个因式是(A.. ? 1 ? 3x ? 4 yB..1 ? 3x ? 4 y3② ? 4(m ? n) 3 ? 8(m ? n) 4 ? 12(m ? n) 2 =_______（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） )C ? 1 ? 3x ? 4 y3D..1 ? 3x ? 4 y2.分解因式－5(y－x) －10y(y－x) 3. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之 前确定的那个公因式。 （若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如6 5 5 ( x ? y) 6 - ( y ? x) 5 ? （y - x） （ - y - x） ? （y - x） （ y - x -1 ）例：( 1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） （3） a(a ? b) 3 ? 2a 2 (b ? a) 2 ? 2ab(b ? a) 练习： 1．把多项式 m (a-2)+m(2-a)分解因式等于（ (A)(a-2)(m +m)32 2( 2)（a+b－c） （a－b+c）+（b－a+c） ? （b－a－c）） (C)m(a-2)(m-1) ） D． x( y ? 3)(1 ? x) (D)m(a-2)(m+1)(B)(a-2)(m -m) B． ( y ? 3)(x ? x )322．多项式 x( y ? 3) ? x (3 ? y) 的分解因式结果（ A． ( y ? 3)(x ? x )3C． x( y ? 3)(1 ? x 2 )3．分解因式： （1） m( x ? y) ? n( y ? x) ? ( x ? y)( ________) 知识点 4 公式法分解因式 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。 即 a -b =(a+b)(a-b) 特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方 . 例如： 1、判断能否用平方差公式的类型 ． （1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ (A)-a +b2 2 2 2（2）－6(x－y) －3y(y－x)45b.两项的符号相反.）2 2(B)-x -y22(C)49x y -z2(D)16m -25n p42 2（2） ．下列各式中，能用平方差分解因式的是（ 2、直接用平方差的类型（1） 16x 2 ? 9 y 2 3、整体的类型： （1） (m ? n) 2 ? n 2）A． x 2 ? y 2B． ? x 2 ? y 2 （3） x 4 ? 1C． x 2 ? xy 2D． 1 ? y 2（2） ? 25x 2 ? 1 （2） ? ( x ? y) 2 ? (2x ? 3 y) 234、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m ―4m= 练习：将下列各式分解因式 （1） ?x 2 ? 1?2 ? 4 x 2 （4） a ? a 5 (2)100x －81y ； （5） ? x 3 ? 9 x2 2．(2) a 3 ? a ?．(3)9(a－b) －(x－y) ； （6） (m ? n) 3 ? (m ? n) （7） (2x ? y) ? 4(2x ? y) 322二、完全平方式分解因式法 完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即 a +2ab+b =(a+b) ; 特点： （1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的 2 倍. 1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解 如：下列多项式能分解因式的是（ ）A． x 2 ? y B． x 2 ? y 2 2、关于求式子中的未知数的问题 如：1．若多项式 x 2 ? kx ? 16 是完全平方式，则 k 的值为（ 2．若 9 x 2 ? 6 x ? k 是关于 x 的完全平方式，则 k= 3.若 x 2 ? 2(m ? 3) x ? 49是关于 x 的完全平方式则 m=__________2 ?4x2 ? 12xy ? 9y 2 3、直接用完全平方公式分解因式的类型 (1) x ? 8x ? 16 ； (2) ； (3)222a -2ab+b =(a-b)222C． x 2 ? y 2 ? y B．4D． x 2 ? 6 x ? 9 C．±8 D．±4）A．―4x2 ? xy ? y 2 4 ；4(4) 94 m2 ? mn ? n2 34、整体用完全平方式的类型 (1)(x－2) ＋12(x－2)＋36；2（2）9 ? 6(a ? b) ? (a ? b) 23 25、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 (1)-4x +16x -16x； （3）已知： ab ? 1, x ? y ? 2 ，求 3abx2 ? 3aby2 ? 6 xyab的值 练习：分解因式（1） x 2 ? 4 x ? 4 （4） ( x ? y) 2 ? 14( x ? y) ? 49 （2） a 2 x 2 ? 16ax ? 64(2)1 2 2 ax y +2axy+2a 2（3） a 4 ? 8a 2 b 2 ? 16b 4 （7） 2 x 2 ? 2 x ? 1 2（5） 9 ? 6(a ? b) ? (a ? b) 23 2 2 （6） 3x ? 12x y ? 12xy知识点 5、十字相乘法分解因式 ．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式： （x+a） （x+b） = x 式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。 如:分解因式： ① x 2 ? 7 x ? 10 (4) x +5x+6 练习： (1) x +7x+122 22? (a ? b) x ? ab ，用来把某些多项式分解因② 2 x 2 ? 5x ? 3 (5) x -5x+62(3) a +6ab+5 b (6) x -5x-6222(2) x -8x+122(3) x -x-122(4) x +4x-122(5) y +23y+222(6) x -8x-202(7) x +9x y-36 y22(4) x +5x-62知识点 6、分组的方法分解因式3 4 如(1) m ? 4m ? 5 ? 20m4 2 2 (2) ? 4x ? y ? 4x ? 1练习： （1）9a 2 ? 4b 2 ? 4bc ? c 2（2）x 3 ? 3x 2 ? 4 x ? 12 （3）x 2 ? 2x ? 6 y ? 9 y 2（4）9 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 （5）xy 2 ? 2xy ? 2 y ? 4小结 因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。 “一提”是指首先考虑提取公因式； “二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式， 三项的用完全和平方、差平方公式） ； “三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法； “四分”是四项以上考虑分组分 解法。 分解因式单元练习 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ （A） 2?a ? b? ? 2a ? 2b2 3） （D） a?a ? b??b ? 1? ? ?a 2 ? ab??b ? 1? )，3 3 3（B） m2 ? 1 ? ?m ? 1??m ? 1? （C） x 2 ? 2x ? 1 ? x?x ? 2? ? 12 2 2 3 32．把多项 式－8a b ＋16a b c －24a bc 分解因式，应提的公因式是( （A）－8a bc2（B） 2a b c2 2 3（C）－4 abc ）（D ）24a b c3．下 列因式分解中，正确的是（ （A） 3m2 ? 6m ? m?3m ? 6?（B） a2b ? ab ? a ? a?ab ? b? （C） ? x2 ? 2xy ? y 2 ? ??x ? y ?2 ） （A） a 2 ? 4（ D） x2 ? y 2 ? ?x ? y ?24．下列多项式中， 可以用平方差 公式分解因式的是（ 5．把－6(x－y) －3y(y－x) 分解因式，结果是( （A）－3(x－y) (2＋y ) （B） 6．下列各式变形正确的是（ （A） ? a ? b ? ??a ? b?3 3 3 3（B） a 2 ? 2 （C） ? a 2 ? 4 （ D） ? a 2 ? 4)．3－(x－y) (6－3y)（C）3(x－y) (y＋2) （D） ）3(x－y) (y－2)3（B） b ? a ? ??a ? b? （C） ?? a ? b?2 ? ??a ? b?2 )．2（D） ?b ? a?2 ? ??a ? b?27．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( （A） 4x －12（B）4x ＋4x－12（C）x －xy＋y21 2 D．x －x＋ [21 世纪教育网 28．因式分解 4＋a －4a 正确的是(2)． （A）(2－a)2（B）4(1－a)＋a （C） (2－a)(2－a)（D） (2＋a) （B ）4 （C）12（D）±12 （D）9229．若 4 x 2 ? m x ? 9 是完全平方式，则 m 的值是（ 10．已知 a ? b ? ?3 ， ab ? 2 ，则 ?a ? b?2 的值是（ 二、填空题（每题 4 分，共 20 分）21 世纪教育网 1． 4a 2b ? 10ab 分解因式时，应提取的公因式是2） （ A ）3） 。 （A）1（B）4（C）16.2． am ? bm ? m??； ? x ?1 ? ???； a ? b ? c ? a ? ??..3．多项式 x 2 ? 9 与 x 2 ? 6 x ? 9 的公因式是2.4．利用因式分解计算： 2012 ? 1992 ?5．如果 a ＋ma＋121 是一个完全平方式，那么 m ＝________或_______。 三、解答题: 1．将下列各式因式分解:（每题 5 分，共 40 分）21 世纪教育网 (1) ? 14abc ? 7ab ? 49ab2 c ； (2)a(x＋y)＋(a－b)(x＋y)；(3)100x －81y ；(4)9(a－b) －(x－y) ；2 2 2 2(5)(x－2) ＋12(x－2)＋36； (6) m?x ? y ?2 ? x ? y2（7） 3x 3 ? 12x 2 y ? 12xy 2（8） ?x 2 ? 1?2 ? 4 x 22.（满分 10 分） 已知：a+b=3,x-y=1, 求 a +2ab+b22-x+y 的值. 3． （满分 10 分）已知 a－b＝2005，ab＝ ，求 a b－ab 的值。 20051、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式 的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式 可以是数、单项式，也可以是多项式。 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） ?a 2 x m?2 ? abx m?1 ? acx m ? ax m?3 （2） a(a ? b) 3 ? 2a 2 (b ? a) 2 ? 2ab(b ? a)分析： （1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，(a ? b) 2n ? (b ? a) 2n ；(a ? b) 2n?1 ? ?(b ? a) 2n?1 ，是在因式分解过程中常用的因式变换。2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算123 ? 987 987 987 987 ? 268 ? ? 456 ? ? 521 ? 68 13683. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 ?2 x ? y ? 3 ，求代数式 (2 x ? y)(2 x ? 3 y) ? 3x(2 x ? y) 的值。 ? ?5x ? 3 y ? ?2 分析：不要求解方程组，我们可以把 2 x ? y 和 5x ? 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和 ?2 ，观察代数式，发现每一 项都含有 2 x ? y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2 x ? y 和 5x ? 3y 的式子，即可求出结果。 解： (2 x ? y)(2 x ? 3y) ? 3x(2 x ? y) ? (2 x ? y)(2 x ? 3y ? 3x) ? (2 x ? y)(5x ? 3y) 把 2 x ? y 和 5x ? 3y 分别为 3 和 ?2 带入上式，求得代数式的值是 ?6 。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n， 3n?2? 2 n ?2 ? 3n ? 2 n 一定是 10 的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10 的倍数即可。3n ? 2 ? 2 n ? 2 ? 3n ? 2 n ? 3n ? 2 ? 3n ? 2 n ? 2 ? 2 n? 3n (32 ? 1) ? 2 n (2 2 ? 1) ? 10 ? 3n ? 5 ? 2 n?对任意自然数 n， 10 ? 3n 和 5 ? 2 n 都是 10 的倍数。? 3n?2 ? 2 n?2 ? 3n ? 2 n 一定是 10 的倍数5、中考点拨： 例 1。因式分解 3x( x ? 2) ? (2 ? x) 例 2．分解因式： 4q(1 ? p) 3 ? 2( p ? 1) 2说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩 下的因式应注意化简。题型展示： 例 1. 计算： 2000 ? 精析与解答： 设 2000 ? a ，则 2001 ? a ? 1?2000 ? 01? ? a[10000(a ? 1) ? (a ? 1)] ? (a ? 1)(10000a ? a ) ? a (a ? 1) ? 10001 ? a (a ? 1) ? 10001 ? a (a ? 1) ? (10001 ? 10001) ?0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中 重复出现，又有2001 ? 2000 ? 1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 2. 已知： x 值。2? bx ? c （b、c 为整数）是 x 4 ? 6 x 2 ? 25 及 3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5 的公因式，求 b、c 的分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求 b、c，但比较麻烦。注意到 x2? bx ? c 是3( x 4 ? 6x 2 ? 25) 及 3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5 的因式。因而也是 ?(3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5) 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。 解：? x2? bx ? c 是 3( x 4 ? 6x 2 ? 25) 及 3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5 的公因式?也是多项式 3( x 4 ? 6x 2 ? 25) ? (3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5) 的二次因式而 3( x4? 6x 2 ? 25) ? (3x 4 ? 4 x 2 ? 28x ? 5) ? 14( x 2 ? 2 x ? 5)?b、c 为整数得： x2? bx ? c ? x 2 ? 2 x ? 5?b ? ?2，c ? 5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式 14 x2? 28x ? 70 ，从而简便求得 x 2 ? bx ? c 。例 3. 设 x 为整数，试判断 10 ? 5x 解： 10 ? 5x? x ( x ? 2) 是质数还是合数，请说明理由。? x ( x ? 2)? 5(2 ? x ) ? x ( x ? 2) ? ( x ? 2)(5 ? x )? x ? 2，5 ? x 都是大于 1 的自然数? ( x ? 2)(5 ? x ) 是合数说明：在大于 1 的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的 数叫质数。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） ?4m （2） a2 2n 3 ? 12m3 n 2 ? 2mnx n ?2 ? abx n ?1 ? acx n ? adx n?1 （n 为正整数）（3） a(a ? b) 2. 计算： ( ?2) A.113? 2a 2 (b ? a) 2 ? 2ab(b ? a) 2）? (?2)10 的结果是（B.2 100?2 10C.?2D.?13. 已知 x、y 都是正整数，且 x ( x ?y) ? y( y ? x) ? 12 ，求 x、y。4. 证明： 817? 27 9 ? 913 能被 45 整除。5. 化简： 1 ?x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) 2 ? ?x(1 ? x)1995 ，且当 x ? 0 时，求原式的值。试题答案 1. 分析与解答： （1） ?4m2n 3 ? 12m3 n 2 ? 2mn? ?2mn(2mn 2 ? 6m2 n ? 1)（2） a2x n ?2 ? abx n ?1 ? acx n ? adx n?1? ax n?1 (ax 3 ? bx 2 ? cx ? d )（3）原式 ?a(a ? b) 3 ? 2a 2 (a ? b) 2 ? 2ab(a ? b) 2? a (a ? b) 2 [(a ? b) ? 2a ? 2b] ? a (a ? b) 2 (3a ? 3b) ? 3a (a ? b) 2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B 3.? x( x ? y) ? y( y ? x) ? 12 ? ( x ? y )( x ? y ) ? 12? x、y 是正整数?12 分解成 1 ? 12，2 ? 6，3 ? 4又? x? y 与 x ? y 奇偶性相同，且 x ? y ? x ? y?x ? y ? 2 ?? ?x ? y ? 6 ?x ? 4 ?? ?y ? 2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。 4. 证明：? 817? 27 9 ? 913? 328 ? 327 ? 326 ? 326 (9 ? 3 ? 1) ? 326 ? 5 ? 324 ? 32 ? 5 ? 324 ? 45? 817 ? 27 9 ? 913 能被 45 整除5. 解：逐次分解：原式 ?(1 ? x)(1 ? x) ? x(1 ? x) 2 ? ?x(1 ? x)1995? (1 ? x ) 2 (1 ? x ) ? ?x (1 ? x ) 1995 ? (1 ? x ) 3 (1 ? x ) ? x (1 ? x ) 4 ? ?x (1 ? x ) 1995 ? ?? ? (1 ? x ) 1996?当 x ? 0 时，原式 ? 12、运用公式法进行因式分解【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式：a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 a 3 ? b 3 ? (a ? b) ? (a 2 ? ab ? b 2 )a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)?特别地： （1）当 a1 (a ? b ? c)[(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] 2? b ? c ? 0 时，有 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc（2）当 c ? 0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、 变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解， 熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把 a A.2? 2a ? b 2 ? 2b 分解因式的结果是（B.）(a ? b)(a ? 2)(b ? 2) (a ? b)(a ? b) ? 22(a ? b)(a ? b ? 2)C.D.(a 2 ? 2b)(b 2 ? 2a)分析： a? 2a ? b 2 ? 2b ? a 2 ? 2a ? 1 ? b 2 ? 2b ? 1 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 。再利用平方差公式进行分解，最后得到 (a ? b)(a ? b ? 2) ，故选择 B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻 底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式 2 x3? x 2 ? m 有一个因式是 2x ? 1，求 m 的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 m 的值。 解：根据已知条件，设 2 x 则 2x3 3? x 2 ? m ? (2 x ? 1)( x 2 ? ax ? b)? x 2 ? m ? 2 x 3 ? (2a ? 1) x 2 ? (a ? 2b) x ? b(1) ( 2) (3)?2a ? 1 ? ?1 ? ? 由此可得 ?a ? 2b ? 0 ? ? ?m ? b由（1）得 a 把a? ?11 2 1 1 把 b ? 代入（3） ，得 m ? 2 2，得 b ? ? ?1代入（2）3. 在几何题中的应用。 例：已知 a、b、c 是 ?ABC 的三条边，且满足 a 状。 分析：因为题中有 a22? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac ? 0 ，试判断 ?ABC 的形、b 2 、 ? ab ，考虑到要用完全平方公式，首先要把 ? ab 转成 ? 2 ab 。所以两边同乘以 2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0，从而得解。 解：? a2? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac ? 0? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 0? (a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (b 2 ? 2bc ? c 2 ) ? (c 2 ? 2ac ? a 2 ) ? 0 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ? (a ? b) 2 ? 0，(b ? c) 2 ? 0，(c ? a) 2 ? 0? a ? b ? 0，b ? c ? 0，c ? a ? 0?a ? b ? c ? ?ABC 为等边三角形。4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为 2n ? 1，2n ? 3 （ n 为整数） 则 (2n ? 3)2? (2n ? 1) 2? (2n ? 3 ? 2n ? 1)(2n ? 3 ? 2n ? 1) ? 2 ( 4n ? 4) ? 8(n ? 1)由此可见， (2n ? 3)2? (2n ? 1) 2 一定是 8 的倍数。5、中考点拨： 例 1：因式分解： x 解： x3 3? 4 xy 2 ? ________。? 4 xy 2 ? x( x 2 ? 4 y 2 ) ? x( x ? 2 y)( x ? 2 y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例 2：分解因式： 2 x 解： 2 x33y ? 8x 2 y 2 ? 8xy 3 ? _________。y ? 8x 2 y 2 ? 8xy 3 ? 2 xy( x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ) ? 2 xy( x ? 2 y) 2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示： 例 1. 已知： a 求a2?1 1 1 m ? 1，b ? m ? 2 ，c ? m ? 3 ， 2 2 2? 2ab ? b 2 ? 2ac ? c 2 ? 2bc 的值。2解： a? 2ab ? b 2 ? 2ac ? c 2 ? 2bc? (a ? b) 2 ? 2c(a ? b) ? c 2 ? (a ? b ? c) 2?a ? 1 1 1 m ? 1，b ? m ? 2 ，c ? m ? 3 2 2 2?原式 ? (a ? b ? c) 21 1 ? 1 ? ? ?( m ? 1) ? ( m ? 2) ? ( m ? 3) ? 2 2 ? 2 ? ? 1 2 m 42说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把 条件带入，从而简化计算过程。例 2. 已知 a ? b ? c 求证： a5? 0，a 3 ? b 3 ? c 3 ? 0 ，? b5 ? c5 ? 03证明：? a? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)?把 a ? b ? c ? 0，a 3 ? b 3 ? c 3 ? 0 代入上式，可得 abc 若a? 0 ，即 a ? 0 或 b ? 0 或 c ? 0? 0 ，则 b ? ? c ，? a 5 ? b5 ? c5 ? 0若b? 0 或 c ? 0 ，同理也有 a 5 ? b 5 ? c 5 ? 0说明：利用补充公式确定 a，b，c 的值，命题得证。例 3. 若 x3? y 3 ? 27，x 2 ? xy ? y 2 ? 9 ，求 x 2 ? y 2 的值。 ? y 3 ? ( x ? y)( x 2 ? xy ? y 2 ) ? 27解：? x 且x23? xy ? y 2 ? 9? x ? y ? 3，x 2 ? 2xy ? y 2 ? 9 (1)又x2? xy ? y 2 ? 9?0(2)两式相减得 xy 所以 x2? y2 ? 9说明：按常规需求出 x，y 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） (a ? 2)2? (3a ? 1) 2（2） x5( x ? 2 y ) ? x 2 (2 y ? x )（3） a2( x ? y) 2 ? 2a( x ? y) 3 ? ( x ? y) 42. 已知： x?1 1 ? ?3 ，求 x 4 ? 4 x x的值。3. 若 a，b，c 是三角形的三条边，求证： a2? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 04. 已知： ?2? ? ? 1 ? 0 ，求 ? 2001 的值。5. 已知 a，b，c 是不全相等的实数，且 abc （1） a? 0，a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ，试求1 1 1 1 1 1 ? b ? c 的值； （2） a ( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值。 b c c a a b【试题答案】 1. （1）解：原式 ? [(a? 2) ? (3a ? 1)][(a ? 2) ? (3a ? 1)]? (4a ? 1)( ?2a ? 3) ? ?(4a ? 1)(2a ? 3)说明：把 a ? 2，3a ? 1 看成整体，利用平方差公式分解。 （2）解：原式 ?x 5 ( x ? 2 y) ? x 2 ( x ? 2 y)? x 2 ( x ? 2 y)( x 3 ? 1) ? x 2 ( x ? 2 y)( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)（3）解：原式 ?( x ? y) 2 [a 2 ? 2a( x ? y) ? ( x ? y) 2 ]? ( x ? y ) 2 (a ? x ? y ) 22. 解：? ( x1 1 ? )2 ? x2 ? 2 ? 2 x x 1 1 ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 ? ( ?3) 2 ? 2 ? 7 x x 1 1 ? ( x 2 ? 2 ) 2 ? 49 ， ? x 4 ? 4 ? 2 ? 49 x x? x4 ?1 ? 47 x43. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小 于第三边求得证明。 证明：? a2? b 2 ? c 2 ? 2bc? a 2 ? (b 2 ? 2bc ? c 2 ) ? a 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)? a，b，c 是三角形三边?a ? b ? c ? 0 且a ? b ? c? (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 0即a2? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 024. 解? ??? ?1? 0? (? ? 1)(? 2 ? ? ? 1) ? 0 ，即 ? 3 ? 1 ? 0 ?? 3 ? 1 ?? 2001 ? (? 3 ) 667 ? 15. 分析与解答： （1）由因式分解可知a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c) ?(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)故需考虑 a2? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解： （1 ） ? a3? b 3 ? c 3 ? 3abc? a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? 0又? a3? b 3 ? c 3 ? 3abc? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) ? 0而a2? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ?1 [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] 2? a，b，c 不全相等? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? 0?a ? b ? c ? 0（2）? abc?0?原式 ?而a1 [a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a ) ? c 2 (a ? b)] abc? b ? c ? 0 ，即 a ? ?(b ? c)?原式 ?1 [(b ? c) 3 ? b 3 ? c 3 ] abc 1 ? [3bc(b ? c)] abc?1 ( ?3abc) abc? ?3说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而 在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” ，分析多项式的特点，恰当 的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程， 函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例 1. 把多项式 2a(a ? a ? 1) ? a ? a ? 1 分解因式，所得的结果为（2 4 2）A. (a 2 ? a ? 1) 2 C. (a 2 ? a ? 1) 2B. (a 2 ? a ? 1) 2 D. (a 2 ? a ? 1) 2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式 ? 2a((a ? a ? 1) ? a ? a ? 12 4 2? a 4 ? 2a 3 ? 3a 2 ? 2a ? 1 ? ( a 4 ? 2a 3 ? a 2 ) ? ( 2a 2 ? 2a ) ? 1 ? ( a 2 ? a ) 2 ? 2( a 2 ? a ) ? 1 ? (a 2 ? a ? 1) 2故选择 C 例 2. 分解因式 x ? x ? x ? x ? x ? 1 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x ? x ? x 和 ? x ? x ? 1 分别看成一组，此时六3 2 项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 x ? x ， x ? x 和x ? 1 分别看作一组，此时的六 5 4 3 2543254项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法 1：原式 ? ( x 5 ? x 4 ? x 3 ) ? ( x 2 ? x ? 1) ? ( x 3 ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)( x 2 ? x ? 1)解法 2：原式 ? ( x 5 ? x 4 ) ? ( x 3 ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? x 4 ( x ? 1) ? x 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? ( x ? 1)[( x 4 ? 2 x 2 ? 1) ? x 2 ] ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)( x 2 ? x ? 1)2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足 a ? b，a ? c ? b ? 2ac 证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明：? a ? c ? b ? 2ac2 2 22 2 2? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? 0 ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? b 2 ? 0，即 (a ? c) 2 ? b 2 ? 0 ? (a ? c ? b)(a ? c ? b) ? 0 又 ?a ? c ? b ? a ? c ? b ? a ? c ? b ? 0，a ? c ? b ? 0 ? a ? b ? c，a ? b ? c 即a ? b ? c ? a ? b ? 以a、b、c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用 例：求方程 x ? y ? xy 的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x 与 y，故可考虑借助因式分解 求解 解：?x ? y ? xy? xy ? x ? y ? 0 ? xy ? x ? y ? 1 ? ?1 即x( y ? 1) ? ( y ? 1) ? ?1 ? ( y ? 1)( x ? 1) ? ?1 ? x, y是整数 ?x ? 1 ? 1 ?x ? 1 ? ?1 ?? 或? ?y ? 1 ? ?1 ?y ? 1 ? 1?x ? 0 ?x ? ?2 ?? 或? ?y ? 0 ?y ? 24、中考点拨 例 1.分解因式： 1 ? m ? n ? 2 mn ? _____________。 解： 1 ? m ? n ? 2 mn2 222? 1 ? ( m 2 ? 2mn ? n 2 ) ? 1 ? ( m ? n) 2 ? (1 ? m ? n)(1 ? m ? n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应 把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2．分解因式： x ? y ? x ? y ? ____________ 解： x ? y ? x ? y ? ( x ? y ) ? ( x ? y)2 2 2 222? ( x ? y)( x ? y) ? ( x ? y) ? ( x ? y)( x ? y ? 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： x ? 3x ? 4 x ? 12 ? ____________ 解： x ? 3x ? 4 x ? 12 ? x ? 4 x ? 3x ? 123 2 3 232? x( x 2 ? 4) ? 3( x 2 ? 4) ? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示： 例 1. 分解因式： m ( n ? 1) ? 4mn ? n ? 1 解： m ( n ? 1) ? 4mn ? n ? 12 2 2 2 2 2? m 2 n 2 ? m 2 ? 4 mn ? n 2 ? 1 ? ( m 2 n 2 ? 2 mn ? 1) ? ( m 2 ? 2 mn ? n 2 ) ? ( mn ? 1) 2 ? ( m ? n) 2 ? ( mn ? m ? n ? 1)( mn ? m ? n ? 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平方和平方差 公式。例 2. 已知： a ? b ? 1，c ? d ? 1，且ac ? bd ? 0 ，求 ab+cd 的值。 解：ab+cd= ab ? 1 ? cd ? 12222? ab(c 2 ? d 2 ) ? cd (a 2 ? b 2 ) ? abc 2 ? abd 2 ? cda 2 ? cdb 2 ? (abc 2 ? cdb 2 ) ? (abd 2 ? cda 2 ) ? bc(ac ? bd ) ? ad ( bd ? ac) ? (ac ? bd )( bc ? ad )? ac ? bd ? 0 ? 原式 ? 0说明：首先要充分利用已知条件 a ? b ? 1，c ? d ? 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变） ，其次利用分解 因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。 例 3. 分解因式： x ? 2 x ? 3 分 析 ： 此 题 无 法 用 常 规 思 路 分 解 ， 需 拆 添 项 。 观 察 多 项 式 发 现 当 x=1 时 ， 它 的 值 为 0 ， 这 就 意 味 着32 2 2 2x ? 1是x 3 ? 2x ? 3 的一个因式，因此变形的目的是凑 x ? 1 这个因式。解一（拆项） ：x 3 ? 2 x ? 3 ? 3x 3 ? 3 ? 2 x 3 ? 2 x? 3( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? 2x( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 3)解二（添项） ：x 3 ? 2x ? 3 ? x 3 ? x 2 ? x 2 ? 2x ? 3 ? x 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】 1. 填空题：（1）分解因式：a 2 ? 3a ? b 2 ? 3b ? （ 2 ）分解因式：x 2 ? 2 x ? 4 xy ? 4 y 2 ? 4 y ? （ 3）分解因式：1 ? mn(1 ? mn) ? m 3 n 3 ?2. 已知： a ? b ? c ? 0，求a ? a c ? abc ? b c ? b 的值。3 2 2 33. 分解因式： a5? a ?14. 已知：x ? y ? z ? 0，A是一个关于x, y, z的一次多项式，且x ? y ? z ? ( x ? y)( x ? z)A ，试求 A 的表 达式。2223335. 证明： (a ? b ? 2ab)(a ? b ? 2) ? (1 ? ab) ? (a ? 1) ( b ? 1)222【试题答案】 1. （1）解： 原式 ? (a ? b ) ? 3(a ? b)2 2? (a ? b)(a ? b) ? 3(a ? b) ? (a ? b)(a ? b ? 3)（2）解： 原式 ? ( x ? 4xy ? 4y ) ? 2( x ? 2y)2 2? ( x ? 2 y ) 2 ? 2( x ? 2 y) ? ( x ? 2 y)( x ? 2 y ? 2)（3）解： 原式 ? 1 ? mn ? m n ? m n2 2 3 3? (1 ? mn) ? m2 n 2 (1 ? mn) ? (1 ? mn)(1 ? m2 n 2 )2. 解： 原式 ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ? c(a ? ab ? b )2 2 2 2? (a 2 ? ab ? b 2 )(a ? b ? c)?a ? b ? c ? 0 ? 原式 ? 0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。 3. 解： a ? a ? 15? a5 ? a2 ? a2 ? a ? 1 ? a 2 (a 3 ? 1) ? (a 2 ? a ? 1) ? a 2 (a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? (a 2 ? a ? 1) ? (a 2 ? a ? 1)(a 3 ? a 2 ? 1)4. 解：? x ? y ? z ? 02 2 2? y 2 ? x 2 ? z 2 ，z 2 ? x 2 ? y 2 ? x3 ? y3 ? z3 ? (x 3 ? y 3 ) ? z ? z 2 ? ( x ? y)( x 2 ? xy ? y 2 ) ? z( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y)[ x 2 ? xy ? y 2 ? z( x ? y)] ? ( x ? y)[ x( x ? z) ? y( x ? z) ? ( x 2 ? z 2 )] ? ( x ? y)( x ? z)( x ? y ? x ? z) ? ( x ? y)( x ? z)(2 x ? y ? z)? A ? 2x ? y ? z5. 证明： (a ? b ? 2ab)(a ? b ? 2) ? (1 ? ab)2? a 2 ? ab ? 2a ? ab ? b 2 ? 2 b ? 2a 2 b ? 2ab 2 ? 4ab ? 1 ? 2ab ? a 2 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 2 b ? 2a 2 b ? 2ab 2 ? 4ab ? 1 ? a 2 b 2 ? (a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 b 2 ? 2ab ? 1) ? (2a ? 2 b) ? (2a 2 b ? 2ab 2 )? (a ? b) 2 ? (ab ? 1) 2 ? 2(a ? b)(ab ? 1) ? [(a ? b) ? (ab ? 1)] 2 ? (a ? ab ? b ? 1) 2? (a ? 1) 2 (1 ? b 2 ) ? (a ? 1) 2 ( b ? 1) 25、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ? x ? a?? x ? b? 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项 ax 足2? bx ? c （a、b、c 都是整数，且 a ? 0 ）来说，如果存在四个整数 a1 ，c1 ，a2 ，c2 满， 并 且a1a2 ? a，c1c2 ? ca1c2 ? a2 c1 ? b， 那 么 二 次 三 项 式ax 2 ? bx ? c即a1a2 x 2 ? ?a1c2 ? a2 c1 ?x ? c1c2可 以 分 解 为?a1 x ? c1 ??a2 x ? c2 ?。 这 里 要 确 定 四 个 常 数a1 ，c1 ，a2 ，c2 ，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例 1. 已知： x2? 11x ? 24 ? 0 ，求 x 的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：? x2? 11x ? 24 ? 0? ? x ? 3?? x ? 8? ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?? 或? ?x ? 8 ? 0 ?x ? 8 ? 0 ?x ?8 或 x ? 3例 2. 如果 x 分解因式。4? x 3 ? mx 2 ? 2mx ? 2 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，并把这个多项式分析：应当把 x 分成 x 种情况进行讨论。42? x 2 ，而对于常数项-2，可能分解成 ??1? ? 2 ，或者分解成 ??2? ? 1 ，由此分为两解： （1）设原式分解为?x2? ax ? 1?? x 2 ? bx ? 2? ，其中 a、b 为整数，去括号，得：x 4 ? ?a ? b? x 3 ? x 2 ? ?2a ? b? x ? 2将它与原式的各项系数进行对比，得：a ? b ? ?1，m ? 1，2a ? b ? ?2m解得： a? ?1，b ? 0，m ? 1此时，原式 ??x2? 2?? x 2 ? x ? 1?（2）设原式分解为?x2? cx ? 2?? x 2 ? dx ? 1? ，其中 c、d 为整数，去括号，得：x 4 ? ?c ? d ? x 3 ? x 2 ? ?c ? 2d ? x ? 2将它与原式的各项系数进行对比，得：c ? d ? ?1，m ? ?1，c ? 2d ? ?2m解得： c? 0，d ? ?1，m ? ?1此时，原式 ??x2? 2?? x 2 ? x ? 1?2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足x ? y ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 ? 0 ，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：? x ?y ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 ? 0? ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? ? ? x ? y ? ? 2 ? 0 ? ( x ? y) 2 ? ? x ? y? ? 2 ? 0 ? ? x ? y ? 2?? x ? y ? 1? ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0或 x ? y ?1? 0 又? x ? y ? 8?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ?? 或? ?x ? y ? 8 ?x ? y ? 8解得： ?. ? x ? 5 ? x ? 35 或? ? y ? 3 ? y ? 4.52∴长方形的面积为 15cm 或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若 4 x63 2 cm 4? y 是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 8x 2 ? 10xy ? 3y 2 是 49 的倍数。分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。证明一： 8x2? 10xy ? 3y 2 ? ?2 x ? 3y??4 x ? y?2?2 x ? 3y? ? 4 x ? 6 y ? 4 x ? y ? 7 y∵ 4x ∴2? y 是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）?2 x ? 3y? 是 7 的倍数2而 2 与 7 互质，因此， 2 x ? 3 y 是 7 的倍数，所以 8x 证明二：∵ 4 x? 10xy ? 3y 2 是 49 的倍数。? y 是 7 的倍数，设 4 x ? y ? 7m （m 是整数） 则 y ? 4 x ? 7m又∵ 8x2? 10xy ? 3y 2 ? ?2 x ? 3y??4 x ? y?? ?2 x ? 12 x ? 21m??4 x ? 4 x ? 7m? ? 7m?14 x ? 21m? ? 49m?2 x ? 3m?∵x，m 是整数，∴ m 所以， 8x2?2 x ? 3m? 也是整数? 10xy ? 3y 2 是 49 的倍数。4、中考点拨 例 1.把 4 x 解： 4 x4y 2 ? 5x 2 y 2 ? 9 y 2 分解因式的结果是________________。4y 2 ? 5x 2 y 2 ? 9 y 2? y 2 ? 4 x 4 ? 5x 2 ? 9?? y 2 ?4 x 2 ? 9?? x 2 ? 1?? y 2 ? x 2 ? 1??2 x ? 3??2 x ? 3?说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例 2. 因式分解： 6 x 解： 6x22? 7 x ? 5 ? _______________? 7 x ? 5 ? ?2 x ? 1??3x ? 5?说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示 例 1. 若 x A. 1 解： x22? y 2 ? mx ? 5y ? 6 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（B. -1 C.）?1D. 2? y 2 ? mx ? 5y ? 6 ? ? x ? y?? x ? y? ? mx ? 5y ? 6-6 可分解成??2? ? 3 或 ??3? ? 2 ，因此，存在两种情况：（1）x+y x-y-2 3（2）x+y x-y-3 2由（1）可得： m ? 1，由（1）可得： m ? ?1 故选择 C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定 其系数，这是一种常用的方法。例 2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 求证： a 证明：??a ? c?2 ? 4?b ? a??c ? b? 。?b ? b?c?a ? c?2 ? 4?b ? a??c ? b?2? ?a ? c? ? 4?b ? a ??c ? b? ? 0 ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? 4bc ? 4ac ? 4ab ? 4b 2 ? 0 ? ?a ? c? ? 4b?a ? c? ? 4b 2 ? 02? ?a ? c ? 2b? ? 02? a ? c ? 2b ? 0 ?a ? b ? b ? c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 x3? 5x 2 ? 7 x ? a 有一因式 x ? 1。求 a，并将原式因式分解。3解：? x? 5x 2 ? 7 x ? a 有一因式 x ? 13∴当 x ? 1 ? 0 ，即 x ? ?1时， x? 5x 2 ? 7 x ? a ? 0?a ? 3x 3 ? 5x 2 ? 7 x ? 3 ? x 3 ? x 2 ? 4 x 2 ? 4 x ? 3x ? 3 ? x 2 ? x ? 1? ? 4 x? x ? 1? ? 3? x ? 1? ? ? x ? 1?? x 2 ? 4 x ? 3? ? ? x ? 1?? x ? 1?? x ? 3? ? ? x ? 1? ? x ? 3?2说明：由条件知， x? ?1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是 x ? 1，分解时尽量出现x ? 1，从而分解彻底。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） a2b 2 ? 16ab ? 39（2） 15x2n? 7 x n y n?1 ? 4 y 2n?2（3）?x2? 3x ? ? 22? x 2 ? 3x ? ? 7222. 在 多 项 式x ? 1，x ? 2，x ? 3，x 2 ? 2 x ? 3，x 2 ? 2 x ? 1，x 2 ? 2 x ? 32，哪些是多项式?x2? 2 x ? ? 10? x 2 ? 2 x ? ? 9 的因式？43. 已知多项式 2 x3? x 2 ? 13x ? k 有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 3x2? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 45. 已知： x ?y ? 05 . ，x ? 3y ? 12 . ，求 3x 2 ? 12 xy ? 9 y 2 的值。【试题答案】 1. （1）解：原式 ? （2）解：原式 ? （3）解：原式 ? 2. 解：??ab?2 ? 16ab ? 39 ? ?ab ? 3??ab ? 13??3x ?x4n? y n?1 ??5x n ? 4 y n?1 ?2? 3x ? 4?? x 2 ? 3x ? 18? ? ? x ? 4?? x ? 1?? x ? 6?? x ? 3?2?x2? 2 x ? ? 10? x 2 ? 2 x ? ? 92? ? x 2 ? 2 x? ? 9 ? x 2 ? 2 x? ? 12? ? x 2 ? 2 x ? 3?? x 2 ? 2 x ? 3?? x 2 ? 2 x ? 1?? x 2 ? 2 x ? 1? ? ? x 2 ? 2 x ? 3?? x ? 3?? x ? 1?? x ? 1? ? x 2 ? 2 x ? 1?2????∴其中 x ? 1，x ? 3，x2? 2 x ? 3，x 2 ? 2 x ? 1是多项式?x2? 2 x ? ? 10? x 2 ? 2 x ? ? 9 的因式。4 2说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设 2 x 则 2x33? x 2 ? 13x ? k ? ?2 x ? 1?? x 2 ? ax ? b?? x 2 ? 13x ? k ? 2 x 3 ? ?2a ? 1? x 2 ? ?a ? 2b? x ? b?2a ? 1 ? ?1 ? ? ?a ? 2b ? ?13 ?b ? k ? ?a ? ?1 ? 解得： ?b ? ?6 ?k ? ?6 ?? k ? ?6 且 2 x 3 ? x 2 ? 13x ? 6 ? ?2 x ? 1? x 2 ? x ? 6 ? ?2 x ? 1?? x ? 3?? x ? 2?说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个 因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 3x2??? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4? ?3x ? y ? m?? x ? 2 y ? n? ? 3x 2 ? 5xy ? 2 y 2 ? ?m ? 3n? x ? ?2m ? n? y ? mn?m ? 3n ? 1 ? 比较同类项系数，得： ?2m ? n ? 9 ?mn ? ?4 ?解得： ??m ? 4 ?n ? ?1? 3x 2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 ? ?3x ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?5. 解： 3x2? 12 xy ? 9 y 2? 3? x 2 ? 4 xy ? 3 y 2 ? ? 3? x ? y ?? x ? 3 y ?? x ? y ? 0.5，x ? 3y ? 12 . ? 原式 ? 3 ? 0.5 ? 12 . ? 18 .说明：用因式分解可简化计算。7、因式分解小结【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地 位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利 用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1. 分解因式 x ? x ? x ? x ? x ? 15 4 3 2分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x ? x ? x 和 ? x ? x ? 1 分别看成一组，此时六 项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 x ? x ， x ? x ， x ? 1 分别看成一组，此时的六项式 变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 ? ( x ? x ? x ) ? ( x ? x ? 1)5 4 3 254325432? x 3 ( x 2 ? x ? 1) ? ( x 2 ? x ? 1) ? ( x 3 ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)( x 2 ? x ? 1)解二：原式= ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ( x ? 1)5 4 3 2? x 4 ( x ? 1) ? x 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x 4 ? x ? ? 1) ? ( x ? 1)[( x 4 ? 2 x 2 ? 1) ? x 2 ] ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)( x 2 ? x ? 1)2. 通过变形达到分解的目的 例 1. 分解因式 x ? 3x ? 4 解一：将 3x 拆成 2 x ? x ，则有2 2 2 3 2原式 ? x 3 ? 2 x 2 ? ( x 2 ? 4) ? x 2 ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 2) ? ( x ? 2)( x 2 ? x ? 2) ? ( x ? 1)( x ? 2) 2解二：将常数 ?4 拆成 ?1 ? 3 ，则有原式 ? x 3 ? 1 ? (3x 2 ? 3) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)(3x ? 3) ? ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2) 23. 在证明题中的应用 例：求证：多项式 ( x ? 4)( x ? 10x ? 21) ? 100 的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变 形成完全平方数。 证明： ( x ? 4)( x ? 10x ? 21) ? 1002 2 2 2? ( x ? 2)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 7) ? 100 ? ( x ? 2)( x ? 7)( x ? 2)( x ? 3) ? 100 ? ( x 2 ? 5x ? 14)( x 2 ? 5x ? 6) ? 100设 y ? x ? 5x ，则2原式 ? ( y ? 14)( y ? 6) ? 100 ? y 2 ? 8y ? 16 ? ( y ? 4) 2 ? 无论y取何值都有 ( y ? 4) 2 ? 0 ? ( x 2 ? 4)( x 2 ? 10x ? 21) ? 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： (a ? 2b ? c) ? (a ? b) ? ( b ? c)3 3 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B? 原式 ? (A ? B) 3 ? A 3 ? B 3 ? A 3 ? 3A 2 B ? 3AB 2 ? B 3 ? A 3 ? B 3 ? 3A 2 B ? 3AB 2 ? 3AB(A ? B) ? 3(a ? b)( b ? c)(a ? 2 b ? c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨： 例 1.在 ?ABC 中，三边 a,b,c 满足 a ? 16b ? c ? 6ab ? 10bc ? 0 求证： a ? c ? 2b 证明：? a ? 16b ? c ? 6ab ? 10bc ? 02 2 2 2 2 2? a 2 ? 6ab ? 9 b 2 ? c 2 ? 10bc ? 25b 2 ? 0 即 (a ? 3b) 2 ? (c ? 5b) 2 ? 0 (a ? 8b ? c)(a ? 2 b ? c) ? 0 ?a ? b ? c ? a ? 8b ? c，即a ? 8b ? c ? 0 于是有a ? 2 b ? c ? 0 即a ? c ? 2 b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。 例 2. 已知： x ?1 1 ? 2，则x 3 ? 3 ? __________ x x 1 1 1 3 解： x ? ? ( x ? )( x 2 ? 1 ? ) 3 x x x 1 1 ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 2 ? 1] x x ? 2 ?1?2说明：利用 x ?21 ? ( x ? ) 2 ? 2 等式化繁为易。 x x21题型展示： 1. 若 x 为任意整数，求证： (7 ? x)(3 ? x)(4 ? x ) 的值不大于 100。 解：? (7 ? x)(3 ? x)(4 ? x22) ? 100? ?( x ? 7)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 2) ? 100 ? ?( x 2 ? 5x ? 14)( x 2 ? 5x ? 6) ? 100 ? ?[( x 2 ? 5x) ? 8( x 2 ? 5x) ? 16] ? ?( x 2 ? 5x ? 4) 2 ? 0 ? (7 ? x)(3 ? x)(4 ? x 2 ) ? 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它们的 差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2. 将 a ? (a ? 1) ? (a ? a) 分解因式，并用分解结果计算6 ? 7 ? 42 。 解： a ? (a ? 1) ? (a ? a)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2? a 2 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ( a 2 ? a ) 2 ? 2( a 2 ? a ) ? 1 ? ( a 2 ? a ) 2 ? ( a 2 ? a ? 1) 2? 6 2 ? 7 2 ? 42 2 ? (36 ? 6 ? 1) 2 ? 432 ? 1849说明：利用因式分解简化有理数的计算。【实战模拟】 1. 分解因式：（1）3x 5 ? 10x 4 ? 8x 3 ? 3x 2 ? 10x ? 8 （2）(a 2 ? 3a ? 3)(a 2 ? 3a ? 1) ? 5（3）x 2 ? 2xy ? 3y 2 ? 3x ? 5y ? 2 （4）x 3 ? 7x ? 62. 已知： x ? y ? 6，xy ? ?1，求：x ? y 的值。333. 矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使 x ? x y ? xy ? y ? 0 ，求矩形的面积。32234. 求证： n ? 5n 是 6 的倍数。 （其中 n 为整数）35. 已知：a、b、c 是非零实数，且 a2 ? b2 ? c2 ? 1，a(1 1 1 1 1 1 ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) ? ?3 ，求 a+b+c 的值。 b c c a a b6. 已知：a、b、c 为三角形的三边，比较 a ? b ? c 和4a b 的大小。22222【试题答案】 1. （1）解： 原式 ?x 3 (3x 2 ? 10x ? 8) ? (3x 2 ? 10x ? 8)? ( x 3 ? 1)(3x 2 ? 10x ? 8) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)( x ? 4)(3x ? 2)（2）解： 原式 ? [(a ? 3a) ? 3][(a ? 3a) ? 1] ? 52 2? (a 2 ? 3a) 2 ? 2(a 2 ? 3a) ? 8 ? (a 2 ? 3a ? 4)(a 2 ? 3a ? 2) ? (a ? 4)(a ? 1)(a ? 1)(a ? 2)（3）解： 原式 ? ( x ? 3y)( x ? y) ? 3x ? 5y ? 2? ( x ? 3y ? 1)( x ? y ? 2)x-3y x+y3 31 2（4）解： 原式 ? 7x ? 6x ? 7x ? 6? 7 x 3 ? 7 x ? 6x 3 ? 6 ? 7 x( x 2 ? 1) ? 6( x 3 ? 1) ? 7 x( x ? 1)( x ? 1) ? 6( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)(7 x 2 ? 7 x ? 6x 2 ? 6x ? 6) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 6) ? ( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2)2. 解：? x ? y ? ( x ? y) ? 2xy2 2 2? 36 ? 2 ? 38? x 3 ? y 3 ? ( x ? y)( x 2 ? xy ? y 2 ) ? 6 ? (38 ? 1) ? 2343. 解：? x ? x y ? xy ? y ? 03 2 2 3? ( x 3 ? y 3 ) ? xy( x ? y) ? 0 即 ( x ? y) 2 ( x ? y) ? 0 ?x ? y ? 0 又 ? x ? y ? 14 ?x ? y ? 7 ? 面积为 49cm 24. 证明： n ? 5n3? n 3 ? n ? 6n ? n( n ? 1)( n ? 1) ? 6n ? 当n为整数时，n( n ? 1)( n ? 1) 是6的倍数。 ? n 3 ? 5n是6的倍数5. 解：? abc ? 0， 用 abc 乘以第二个条件等式的两边，得：a 2 c ? a 2 b ? ab2 ? b 2 c ? bc2 ? ac2 ? ?3abc 即ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ac(a ? c) ? abc ? abc ? abc ? 0 ? (a ? b ? c)(ab ? bc ? ac) ? 0 则a ? b ? c ? 0或ab ? bc ? ac ? 0 若ab ? bc ? ac ? 0 则(a ? b ? c) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ac) ? 0 ? a2 ? b2 ? c2 ? 1 ? (a ? b ? c) 2 ? 1 ? a ? b ? c ? ?1说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。 6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。 解：? (a ? b ? c ) ? 4a b2 2 2 2 2 2? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab) ? [(a ? b) 2 ? c 2 ][(a ? b) 2 ? c 2 ] ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)? a , b, c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知 a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? 0 ? ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 4a 2 b 2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4a 2 b 2第三讲2因式分解 12例 1、请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式. （1）x －2=（x+1）（x－1）－1；（2）（x－3）（x+2）=x －x+6 （3）3m n－6mn=3mn（m－2）；（4）ma+mb+mc=m（a+b）+mc；（5）a －4ab+4b =（a－2b） 例 2、关于 x 的多项式 2x －11x＋m 分解因式后有一个因式是 x－3，试求 m 的值.2 2 2 2 2例 3、（1）计算：（－2）31999+21998（2）999 －999 能被 998 整除吗？能被 999 和 1000 整除吗？为什么？ （3）求代数式 ma+mb+mc 的值，其中 m=－25.6，a=53.2，b=66.4，c=－19.6.例 4、分解因式 （1）x（x-y）-y（y-x） （2）-12x +12x y-3xy3 2 2（3）（x+y） +mx+my2（4）a（x-a）（x+y） -b（x-a） （x+y）22例 5、已知（19x ? 31）（13x ? 17）?（13x ? 17）（11x ? 23）可因式分解成（ax ? b）（8x ? c），其中 a、 b、c 均为整数，则 a ? b ? c=？ A. ? 12 38 D. 72 B. ? 32 C.例 6、若 a=-5，a+b+c=5.2，求代数式 a （-b-c）-3.2a（c+b）的值.2训 练 题 一、认认真真选 1. 多项式 8x y A. x ym n 3 2 m n－1－12x y 的公因式是（ ）3m n）m n－1B. x y2 2C. 4x y3 2 2m nD. 4x ym n－12. 把多项式-4a +4a -16a 分解因式（A. -a（4a -4a+16） B. a（-4a +4a-16） C. -4（a -a +4a） D. -4a（a -a+4）3. 如果多项式abc+ab -a bc 的一个因式是-22ab，那么另一个因式是 （）A. c-b+5acB. c+b-5acC. c-b+acD. c+b-ac 4. 用提取公因式法分解因式正确的是（ A. 12abc-9a b =3abc（4-3ab） C. -a +ab-ac=-a（a-b+c）2 2 2 2） B. 3x y-3xy+6y=3y（x -x+2y） D. x y+5xy-y=y（x +5x） ） B.（x-y）（3m-2x+2y）2 2 2 25. 把多项式 3m（x-y）-2（y-x） 分解因式的结果是（ A.（x-y）（3m-2x-2y） C.（x-y）（3m+2x-2y） A. x －x=x（x－1） C.（a+3）（a－3）=a －9 7. 下列各题因式分解正确的是（ A. 3x －5xy+x=x（3x－5y）2 2 2D.（y-x）（2x-2y+3m） ）26. 下列从左到右的变形，是分解因式的为（B. a（a－b）=a －ab D. x －2x+1=x（x－2）+1 ） B. 4x y －6xy z=－2xy （2x －yz+3）3 2 3 2 2 2C. 3ab（a－b）－6a（a－b）=3（a－b）（ab－2a）D. －56x yz+14x y z－21xy z =－7xyz（8x －2xy+3yz） 8. 把（－2） A. 232 22 22+（－2）2000分解因式后是（ B. －2） C. －21999D. －1二、仔仔细细填 9. 单项式－12x y 与 8x y 的公因式是________. 10. 7ab +14a b －49a b =7ab （________）. 11. 若 4x －6x =2x （2x+k），则 k=________. 12. 2（a－b） －4（b－a） =2（a－b） （________）. 三、解答题3 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 2 12 3 10 613. 先化简，再求值.a（8－a）+b（a－8）－c（8－a），其中 a=1，b=，c=.14. 已知 2x-y=，xy=2，求 2x y -x y 的值.4 33415. 3 -4×320032002+10×32001能被 7 整除吗？为什么？16. 已知 4x +7x+2=4，求－12x －21x 的值.22*17. 求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方.预习 1. 把多项式 A. 2. 把 B. 分解因式，结果正确的是（ 分解因式，下列结果正确的是 （ C. ） ） D.A. 3. 把多项式 A. B.B.C. ） D.D.分解因式，结果正确的是（ C. ）4. 下列因式分解错误 的是（A.B.C.D.5. 分解因式：.【试题答案】 1. D【思路分析】当 多项式的各项中含有同一个字母时，把这个字母次数最低的作为公因式中的一个因式. 2. D【思路分析】如 果多项式的第一项前有“－”号，提取时，“－”要作为公因式的一部分. 3. A【思路分析】提 取公因式后，剩下的部分即为所求. 4. C 5. B【思路分析】（y－x） =（x－y） . 6. A【思路分析】B，C 选项属于整式乘法，D 选项变形后还是和的形式. 7. C 8. A 【思路分析】（－2） 二、 9. 4x y 【思路分 析】单项式的公因式取系数的最大公约数，字母相同的因式都要取且取最低次幂. 10. b +2a－7a2 2 3 2 2 10 3 +（－2）2000=（－2）1999×（1－2）= 21999.11. －3【思路分析】4x －6x =2x （2x－3）. 12. a－b－2【思路分析】（b－a） =（a－b） 三、解答题 13. 解：a（8－a）+b（a－8）－c（8－a）= a（8－a）－b（8－a）－c（8－a） =（8－a）（a－b－c）2 2当 a=1，b=，c=时，原式=（8－1）×（1－－）=0.【思路分析】先分解因式，然后将字母的值分别代入分解因式的结果. 14. 解：2x y －x y =4 3 3 4.当 2x－y=，xy=2 时，原式=.【思路分析】分解因式后，采取整体代入. 15. 解：32003－4×3 +10×3 =32 2200220012001（3 －4×3+10）=3222001×7.能被 7 整除.2【思路分析】将原式分解因式，所得结果里含有 7 的因式，说明能被 7 整除. 16. 解：∵4x +7x+2=4 ∴4x +7x=2 ∴－12x －21x=－3（4x +7x）=－3×2=－6. 【思路分析】先分解因式，后整体代入. 17. 证明：设 n 为整数，则 n，n+1 是两个连续整数，∴n?（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1） ，故原命 题成立. 【思路分析】两个连续整数可分别用 n，n+1 表示，列出代数式后进行分解因式即可.2第三讲 多项式的项数来选择分解的方法． 【例 1】将 x +8 分解因式正确的是（4因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据 ）A、 （x 16）4B、 （x +4） （x 4） C、 （x +4） （x+2） （x2）2 2222D、 （x +2） （x 2）222考点：因式分解-运用公式法。 分析：先提取公因式，然后套用公式 a b =（a+b） （ab） ，再进一步分解因式． 解答：解：x +8， =（x 16） ， =（x 4） （x +4） ， =（x2） （x+2） （x +4） ． 故选 C． 点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后 再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【例 2】 20、分解因式： （x3） （x1）+1． 考点：因式分解-运用公式法。 专题：常规题型。 分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解． 解答：解： （x3） （x1）+1 =x 4x+3+1 =x 4x+4 =（x2） ． 点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键． 【例 3】分解因式 x 2x +1. 解：x 2x +1=（x 1） =[（x1） （x+1）] =（x1） （x+1） . 【例 4】多项式 x yy z+z xx z+y x+z y2xyz 因式分解后的结果是（ A、 （yz） （x+y） （xz） C、 （y+z） （x 一 y） （x+z） 考点：因式分解-分组分解法。 分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式 （yz）x +（z +y 2yz）x+z yy z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式． 解答：解：x yy z+z xx z+y x+z y2xyz =（yz）x +（z +y 2yz）x+z yy z =（yz）x +（yz） xyz（yz） =（yz）[x +（yz）xyz] =（yz） （x+y） （xz） ． 故选 A． 点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于 x 的二次三项式，改变其结构，寻找 分解的突破口． 【例 5】分解因式： （x +3x） 2（x +3x）8= 考点：因式分解-十字相乘法等。 分析：将（x +3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步分解． 解答：解： （x +3x） 2（x +3x）8=[（x +3x）4][（x +3x）+2]=（x +3x4） （x +3x+2]=（x+1） （x+2） （x1） （x+4） 点评：同学们要明白对于十字相乘法中 x、a、b 对于代数式，仍然成立． 【例 6】分解因式：x（x2） （x+3） （x+1）+8= 考点：因式分解-十字相乘法等。 专题：因式分解。 分析：分别把（x2）和（x+3） 、x 和（x+1）相乘，然后变为（x +x6） （x +x） ，接着把 x +x 作为一个整体因式分 解，然后即可求解． 解答：解：x（x2） （x+3） （x+1）+8 =（x2） （x+3）x（x+1）+8 =（x +x6） （x +x）+82 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4）B、 （yz） （xy） （x+z） D、 （y 十 z） （x+y） （x 一 z）（x+1） （x+2） （x1） （x+4）．x+2） （x1） （x +x4）2．=（x +x） 6（x +x）+8 =（x +x2） （x +x4） =（x+2） （x1） （x +x4） ． 故答案为： （x+2） （x1） （x +x4） ． 点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题． 【例 7】分解因式： （x +x 4） （x +x +3）+10= 专题：换元法。 分析：首先利用换元，令 x +x =y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将 x +x =y，代入进行还原，得出结果． 解答：解：令 x +x =y， ∴原式=（y4） （y+3）+10 =y y2 =（y+1） （y2） 将 x +x =y 代入， 所以原式=（x +x +1） （x +x 2） =（x +x +1） （x +2） （x 1） =（x +x +1） （x +2） （x+1） （x1） ． 故答案为为（x +x +1） （x +2） （x+1） （x1） ． 点评：本题综合考查了十字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1） （y2） ． 【例 8】 （1）完成下列配方问题：x +2px+1=[x +2px+（ （2）分解因式：a b +4a+2b+3 的结果是 考点：配方法的应用。 专题：配方法。 分析： （1）由于二次项系数为 1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数 式相等； （2）题中有 4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可． 解答：解： （1）x +2px+1=[x +2px+（p ）]+（1p ）=（x+p） +（ 1p ） ； 故答案为 p ；1p ；p；1p ； （2）a b +4a+2b+3， =（a +4a+4）（b 2b+1） ， =（a+2） （b1） ， =（a+2+b1） （a+2b+1） ， =（a+b+1） （ab+3） ． 故答案为： （a+b+1） （ab+3） ． 点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点 为 a ±2ab+b =（a±b） ． 【例 9】a +4 分解因式的结果是（ A、 （a +2a2） （a 2a+2） C、 （a +2a+2） （a 2a2） 考点：因式分解-十字相乘法等。 分析：先将 a +4 变为 a +4+4a 4a ，再将 a +4+4a 看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a +2） 4a ，再利 用平方差公式分解． 解答：解：a +4=a +4+4a 4a =（a +2） 4a =（a 2a+2） （a +2a+2） 故选 D 点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决． 【例 10】如果 x x1 是 x +bx +1 的一个因式，则 b 的值为（ A、2 C、0 D、2 B、12 3 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2222（x +x +1） （x +2） （x+1） （x1）422．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。p ）]+（21p ）=（x+ ．2p） +（21p ）2（a+b+1） （ab+3）） B、 （a +2a2） （a 2a2） D、 （a +2a+2） （a 2a+2）2 2 2 2）考点：因式分解的意义。 专题：因式分解。 分析：由题意 x x1 是 ax +bx +1 的一个因式，可得 x +bx +1=（x x1） （x+c）将右边展开，然后根据系数相等， 求出 b 值． 解答：解：∵x x1 是 x +bx +1 的一个因式， ∴x +bx +1=（x x1） （x+c）=x +（c1）x （c+1）xc ∴c1=b，c+1=0，c=1， ∴b=2， 故选 A． 点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤： ：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式； ②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方 差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式 法； ③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2训练题 1.将多项式 x 2x 3 分解因式，结果正确的是（ A、 （x +3） （x 1） C、 （x +3） （x1） （x+1） 专题：常规题型。 分析：因为3×1=3，3+1=2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止． 解答：解：x 2x 3=（x +3） （x 1）=（x +3） （x1） （x+1） ． 故选 C． 点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式 乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底． 2.分解因式 xy 2xy+2y4= （y2） （xy+2） 考点：因式分解-分组分解法。 分析：此题需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y2） ，则问题得解． 解答：解：xy 2xy+2y4， =（xy 2xy）+（2y4） ， =xy（y2）+2（y2） ， =（y2） （xy+2） ． 故答案为： （y2） （xy+2） ． 点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意将此题一二项一组，三四项一组 分为两组，再提公因式分解即可． 3.分解因式：4（ab） +16（a+b） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 分析：先提公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将 ab 和 a+b 看作一个整体． 解答：解：4（ab） +16（a+b） ， =4[（ab） 4（a+b） ]， =4[（ab）2（a+b）][（ab）+2（a+b）]， =4（ab2a2b） （ab+2a+2b） ， =4（a+3b） （3a+b） ． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法 进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号的处理． 4.4x 4xy +4y3=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2）B、 （x +1） （x 3） D、 （x +1） （x3） （x+3）222考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。．（2x+y3） （2xy+1）．考点：因式分解-分组分解法。 专题：计算题。 分析：首先把3 变为 14，多项式变为（4x 4x+1）（y 4y+4） ，然后利用公式法分解因式，接着利用提取公 因式法分解因式即可求解． 解答：解：原式=（4x 4x+1）+（y 4y+4） =（2x1） （y2） =（2x1+y2） （2x1y+2） =（2x+y3） （2xy+1） ． 故答案为： （2x+y3） （2xy+1） ． 点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键 是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配． 5.分解因式：4x 9y +12y4= （2x3y+2） （2x+3y2） ． 考点：因式分解-分组分解法。 分析： 当被分解的式子是四项时， 应考虑运用分组分解法进行分解． 本题中有 y 的二次项， y 的一次项， 有常数项． 所 以要考虑9y +12y4 为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第一项利用平方差公式继续分解因式． 解答：解：4x 9y +12y4， =4x （9y 12y+4） ， =（2x） （3y2） ， =（2x3y+2） （2x+3y2） ． 点评：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有 y 的二次项，y 的一次 项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组． 6.分解因式： （x +x+1） （x +x+2）12= 考点：因式分解-十字相乘法等。 专题：计算题；整体思想。 分析：可以把 x +x 看成整体，相乘以后，再因式分解． 解答：解：原式=（x +x） +3（x +x）10=（x +x+5） （x +x2） ． 故答案为： （x +x+5） （x +x2） ． 点评：此题考查用十字相乘法进行因式分解，注意整体思想的应用． 7. 2（x+1） +3（x1）分解因式的结果为2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2（x +x+5） （x +x2）22．（x+1） （2x1）．考点：因式分解-提公因式法。 专题：计算题。 分析：此题可运用提取公因式法分解因式，首先把+3（x1）提取1 为：3（x+1） ，再提取（x+1）即可． 解答：解：原式=2（x+1） 3（x+1） =（x+1） （2x+23） =（x+1） （2x1） ． 故答案为： （x+1） （2x1） ． 点评：此题考查的是因式分解提取公因式法，关键是两次运用提取公因式进行因式分解． 8. 分解因式 x +ax+b，甲看错了 a 值，分解的结果是（x3） （x+2） ，乙看错了 b 值，分解的结果是（x2） （x3） ， 那么 x +ax+b 分解因式正确的结果应该是 考点：因式分解的意义。 专题：计算题；因式分解。 分析：根据已知分解因式 x +ax+b，甲看错了 a 值，分解的结果是（x3） （x+2） ，可得出 b 的值，再根据乙看错了 b 值，分解的结果是（x2） （x3） ，可求出 a 的值，进而因式分解即可． 解答：解：∵分解因式 x +ax+b，甲看错了 a 值，分解的结果是（x3） （x+2） ， ∴（x3） （x+2）=x x6， ∴b=6， ∵乙看错了 b 值，分解的结果是（x2） （x3） ， ∴（x2） （x3）=x 5x+6， ∴a=5， ∴x +ax+b=x 5x6=（x+1） （x6） ．2 2 2 2 2 2 2 2 2（x+1） （x6） ．故答案为： （x+1） （x6） ． 点评：此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出 a，b 的值是解决问题的关键． 9. 分解因式： （x 1） （x+3） （x+5）+12= 考点：因式分解-分组分解法。 专题：因式分解。 分析：首先把 x 1 利用平方差公式变为（x1） （x+1） ，然后分别把（x1）和（x+5） 、 （x+1）和（x+3）相乘，然 后变为（x +4x5） （x +4x+3） ，接着把 x +4x 作为一个整体因式分解，然后即可求解． 解答：解： ： （x 1） （x+3） （x+5）+12 =（x1） （x+1） （x+3） （x+5）+12 =（x +4x5） （x +4x+3）+12 =（x +4x） 2（x +4x）15+12 =（x +4x） 2（x +4x）3 =（x +4x3） （x +4x+1） ． 故答案为： （x +4x3） （x +4x+1） ． 点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候首先把 x 1 分解因式，然后重新分组做乘法，同时也 注意利用整体思想解决问题．2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2（x +4x3） （x +4x+1）22．10. 已知多项式 2x +3xy2y x+8y6 可以分解为（x+2y+m） （2xy+n）的形式，那么 n=3 ．22的值是m=2，考点：因式分解的意义。 专题：计算题；因式分解。 分析：由题意多项式 2x +3xy2y x+8y6 可以分解为（x+2y+m） （2xy+n）的形式，将整式（x+2y+m） （2xy+n） 相乘，然后根据系数相等求出 m 和 n，从而求解． 解答：解：∵多项式 2x +3xy2y x+8y6 可以分解为（x+2y+m） （2xy+n）的形式， ∴（x+2y+m） （2xy+n）=2x +3xy2y +（2m+n）x+（2nm）y=2x +3xy2y x+8y6=2x +3xy2y x+8y6， ∴2m+n=1，2nm=8，mn=6， 解得 m=2，n=3，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2∴==，故答案为：．点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题． 11. 已知 x +2x+5 是 x +ax +b 的一个因式，求 a+b 的值． 考点：因式分解的应用；因式分解的意义。 专题：待定系数法。 分析：假设 x +ax +b 分解后的因式为（x +2x+5） （x +mx+n） ，将该式展开与 x +ax +b 关于 x 的各次项系数对应相等， 列出等式组即可解得 m、n、a、b 的值，那么 a+b 最终得解． 解答：解：设 x +ax +b=（x +2x+5） （x +mx+n）=x +（2+m）x +（2m+n+5）x +（5m+2n）x+5n 比较对应项系数得4 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2解得 m=2、n=5、a=6、b=25 ∴a+b=31． 点评：本题考查因式分解的应用、因式分解的意义．解决本题的关键是采用待定系数法，假设分解后的因式，比较 x 的对应项系数，即可求解． 12. 把下列各式分解因式： （1）a +64b ； （2）x +x y +y ； （3）x +（1+x） +（x+x ） ； （4） （ca） 4（bc） （ab） ； （5）x 9x+8； （6）x +2x 5x6 考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等。 专题：计算题。 分析： （1）先对所给多项式进行变形，a +64b =a +64b +16a b 16a b ，前三项是完全平方式，然后先套用公式 a ± 2ab+b =（a±b） 进行变形，再套用公式 a b =（a+b） （ab） ，进一步分解因式． （2）先对所给多项式进行变形，x +x y +y =x +2x y +y x y ，然后先套用公式 a ±2ab+b =（a±b） 进行变形，再套 用公式 a b =（a+b） （a b ） ，进一步分解因式． （3）先对所给多项式进行变形，x +（1+x） +（x+x ） =1+2（x+x ）+（x+x ） ，将 x+x 看作一个整体，套用公式 a ±2ab+b =（a±b） 进行进一步因式分解即可． （4）设 bc=x，ab=y，则 ca=（x+y） ，则原式变为： （ca） 4（bc） （ab）=[（x+y）] 4xy，再 进一步变形分解因式即可． （5）应用拆项法，将原式变形为：x 9x+8=x x8x+8，然后分组分解． （6）先将原式变形，x +2x 5x6=x +x +x +x6x6，然后分组分解． 解答：解： （1）a +64b =a +64b +16a b 16a b2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4=（a +8b ） （4ab） （2）x +x y +y ； =x +2x y +y x y2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4=（a +8b 4ab） （a +8b +4ab） ；=（x +y ） （xy）2 2 2=（x +y xy） （x +y +xy） ； （3）x +（1+x） +（x+x ） =1+2（x+x ）+（x+x ） =（1+x+x ） ； （4）设 bc=x，ab=y，则 ca=（x+y） ， 则（ca） 4（bc） （ab） =[（x+y）] 4xy， =（xy） ， 所以（ca） 4（bc） （ab） =（bca+b）2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=（2bac） ； （5）x 9x+8； =x x8x+8 =（x x）（8x8） =x（x 1）8（x1） =x（x+1） （x1）8（x1）2 3 3=（x1） （x +x8） ； （6）x +2x 5x6 =x +x +x +x6x6， =（x +x ）+（x +x）（6x+6） =x （x+1）+x（x+1）6（x+1） =（x+1） （x x6） =（x+1） （x+3） （x2） ． 点评：本题综合考查了因式分解的方法，解题的关键是适当添项、拆项，然后运用公式进行进一步分解因式，注意 分解要彻底． 13. 已知乘法公式：a +b =（a+b） （a a b+a b ab +b ） ；a b =（ab） （a +a b+a b +ab +b ） ．利用或者不利用上 述公式，分解因式：x +x +x +x +1 考点：因式分解-运用公式法。 专题：规律型。8 6 4 2 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 22分析：根据乘法公式，可知 x 1=（x ） 1=（x ） 1=（x 1） （x +x +x +x +1） ，则有 x +x +x +x +1= 再根据平方差公式和题中给出的乘法公式分解因式即可． 解答：解：x 1=（x ） 1=（x ） 1=（x 1） （x +x +x +x +1） ，10 5 2 2 5 2 8 6 4 2105225286428642，则有 x +x +x +x +1=8642==（x +x +x +x+1） （x x +x x+1） ．432432点评：本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键． 初二数学培优训练-------因式分解 一、 填空题： （每小题 2 分，共 24 分） 1、 把下列各式的公因式写在横线上： ① 5x2? 25x 2 y =；② ? 4x2n? 6 x 4n =?2 ? 3x ?2n2、 填上适当的式子，使以下等式成立： （1） 2 xy （2） an 2? x 2 y ? xy ? xy ? () )? a n?2 ? a 2n ? a n ? (3、 在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立： （1） ( y ?x) 2 ?( x ? y) 2 ；（2） (1 ? x)(2 ? x)?( x ? 1)(x ? 2) 。4、 直接写出因式分解的结果： （1） x 5、 若2y2 ? y2 ?； （2） 3a2? 6a ? 3 ? ，b＝ 。。a ? 2 ? b 2 ? 2b ? 1 ? 0，则a ?26、 若 x? mx ? 16 ? ?x ? 4?2，那么 m=________。7、 如果 x ?y ? 0 , xy ? ?7 , 则x 2 y ? xy 2 ?2，x 2 ? y 2 ? 。。8、 简便计算： 7.29－2.712 ?9、 已知 a ?1 1 ? 3 ，则 a 2 ? 2 a a的值是 。。10、如果 2a+3b=1,那么 3-4a-6b= 11、若 x2? m x ? n 是一个完全平方式，则 m、n 的关系是2。12 、已知正方形的面积是 9 x 式? 6xy ? y 2。（ x&0 ， y&0 ） , 利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数二、 选择题： （每小题 2 分，共 20 分） 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ A、 x(a ? b) C、 x2）? ax ? bxB、 x2? 1 ? y 2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? y 2? x(a ? b) ? c）? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1)3D、 ax ? bx ? c2、一个多项式分解因式的结果是 (b A、 b6? 2)(2 ? b 3 ) ，那么这个多项式是（C、 b ）6?4B、 4 ? b6?4D、 ? b6?43、下列各式是完全平方式的是（ A、 x2?x?1 42B、 1 ?x2C、 x? xy ? 1）D、 x2? 2x ? 14、把多项式 m A(a ? 2) ? m(2 ? a) 分解因式等于（B(a ? 2)(m 2 ? m)2(a ? 2)(m 2 ? m)C、m(a-2)(m-1)D、m(a-2)(m+1) ）25、 9(a ? b) A、 (5a ? b)? 12(a 2 ? b 2 ) ? 4(a ? b) 2 因式分解的结果是（B、 (5a ? b)22C、 (3a ? 2b)(3a ? 2b) D、 (5a ? 2b) ）26、下列多项式中，含有因式 ( y ? 1) 的多项式是（ A、y 2 ? 2xy ? 3x 22B、 ( y ? 1) D、 ( y ? 1) ） B、 ( x ? 1)2 2? ( y ? 1) 2C、 ( y ? 1)? ( y 2 ? 1)4? 2( y ? 1) ? 17、分解因式 x A、 ( x2? 1 得（? 1)(x 2 ? 1)2( x ? 1) 2C、 ( x ? 1)(x ? 1)(x2? 1)D、 ( x ? 1)(x ? 1) ）38、已知多项式 2 x A、 b? bx ? c 分解因式为 2( x ? 3)(x ? 1) ，则 b, c 的值为（B、 b? 3, c ? ?1? ?6, c ? 22C、 b? ?6, c ? ?4D、 b? ?4, c ? ?6）9、 a、b、c 是△ABC 的三边，且 a A、直角三角形? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ，那么△ABC 的形状是（C、等腰直角三角形 D、等边三角形B、等腰三角形10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a&b） 。把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴 影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A、 a2? b 2 ? (a ? b)(a ? b)2B、 (a ? b) C、 (a ? b) D、 a2? a 2 ? 2ab ? b 2 ? a 2 ? 2ab ? b 22? ab ? a(a ? b)三、 将下列各式分解因式【 （1）―（4）每小题 4 分， （5）―（8）每小题 5 分，共 36 分】 （1） 3x ? 12x3（2） 2a( x2? 1) 2 ? 2ax2（3） 2 x2? 2x ?1 2（4） a2? b 2 ? 4a ? 4b（5） 20a2bx ? 45bxy2（6） x2? y 2 ? 1 ? 2xy（7）2m(a-b)-3n(b-a)（8） (a ? b)(3a ? b)2? (a ? 3b) 2 (b ? a)四、 解答题及证明题（每小题 7 分，共 14 分） 1、 已知 a ? b1 1 ? 2， ab ? 2 ，求 a 3 b ? a 2 b 2 ? ab 3 的值。 2 22、 利用分解因式证明： 257? 512能被 120 整除。五、 大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米，它们的面积相差 960 平方厘米。 求这两个正方形的边长。六．已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长，且满足 a 分）2（6 ? 2b 2 ? c 2 ? 2b(a ? c) ? 0 ，试判断此三角形的形状。四、附加题（10＇×2=20＇ ） 1. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1) =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x) (1+x) =(1+x)3 2 2(1)上述分解因式的方法是2，共应用了2004次. ， 则 需 应 用 上 述 方 法 次 ， 结 果(2) 若 分 解 1+x+x(x+1)+x(x+1) + ? + x(x+1) 是2.n(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) +?+ x(x+1) (n 为正整数).2. 若二次多项式 x2? 2kx ? 3k 2 能被 x-1 整除，试求 k 的值。因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学 问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式 法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应 用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a -b ---------a -b =(a+b)(a-b)； (2) (4)2 3 2 2 2 2(a±b) = a ±2ab+b ――― a ±2ab+b =(a±b) ；2 2 3 3222222(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -----2 2 3 3a +b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2 23322(a-b)(a +ab+b ) = a -b ------a -b =(a-b)(a +ab+b )．2 3 2 3 2 2下面再补充两个常用的公式： (5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ； (6)a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)；2 2，c 是 ?ABC 的三边，且 a 例.已知 a，b则 ?ABC 的形状是（ A.直角三角形 解： a22? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ，D 等腰直角三角形） C 等边三角形B 等腰三角形? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? 2a 2 ? 2b2 ? 2c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? 0 ? a ? b ? c三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am ? an ? bm ? bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式 前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间 的联系。 解：原式= (am ? an) ? (bm ? bn) = a(m ? n) ? b(m ? n) = (m ? n)(a ? b) 每组之间还有公因式！例 2、分解因式： 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解：原式= (2ax ? 10ay) ? (5by ? bx) = 2a( x ? 5 y) ? b( x ? 5 y) = ( x ? 5 y )(2a ? b) 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。 原式= (2ax ? bx) ? (?10ay ? 5by) = x(2a ? b) ? 5 y(2a ? b) = (2a ? b)(x ? 5 y )练习：分解因式 1、 a2? ab ? ac ? bc2、 xy ? x ?y ?1（二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x2? y 2 ? ax ? ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另 外分组。 解：原式= ( x2? y 2 ) ? (ax ? ay)y)(x ? y) ? a( x ? y)y)(x ? y ? a)= (x ? = (x ?例 4、分解因式： a2? 2ab ? b 2 ? c 2解：原式= (a2? 2ab ? b 2 ) ? c 22= (a ? b)? c2= (a ? b ? c)(a ? b ? c)练习：分解因式 3、 x2? x ? 9 y 2 ? 3y4、 x2? y 2 ? z 2 ? 2 yz综合练习： （1 ） x （3） x （5） a （7） x （9）23? x 2 y ? xy 2 ? y 3（2） ax （4） a2? bx2 ? bx ? ax ? a ? b ? 6ab ? 12b ? 9b 2 ? 4a? 6 xy ? 9 y 2 ? 16a 2 ? 8a ? 1? 2a 3 ? a 2 ? 924（6） 4a2x ? 4a 2 y ? b 2 x ? b 2 y? 2a ? b 2 ? 2b ? 2ab ? 12? 2 xy ? xz ? yz ? y 2（8） a2y( y ? 2) ? (m ? 1)(m ? 1)2（10） (a ? c)(a ? c) ? b(b ? 2a)（11） a(b ? c) ? b 2 (a ? c) ? c 2 (a ? b) ? 2abc （12） a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc四、十字相乘法. （一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式―― x2? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)(x ? q) 进行分解。特点： （1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知 0＜ a ≤5，且 a 为整数，若 2 x2? 3x ? a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .2解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax +bx+c，都要求 ? ? b2? 4ac&0 而且是一个完全平方数。于是 ?? 9 ? 8a 为完全平方数， a ? 12例 5、分解因式： x? 5x ? 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。 由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 从 中 可 以 发 现 只 有 2 × 3 的 分 解 适 合 ， 即 2+3=5 。 1 2 解： x2? 5x ? 6 = x 2 ? (2 ? 3) x ? 2 ? 3= ( x ? 2)(x ? 3)1 1×2+1×3=53用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x2? 7x ? 6解：原式= x2? [(?1) ? (?6)]x ? (?1)(?6)11-1 -6= ( x ? 1)(x ? 6)（-1）+（-6）= -7练习 5、分解因式(1) x2? 14x ? 24(2) a2? 15a ? 36(3) x2? 4x ? 5练习 6、分解因式(1) x2? x?2(2)y 2 ? 2 y ? 15(3) x2? 10x ? 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式―― ax 条件： （1 ） a （2） c （3） b2? bx ? c? a1a2 ? c1c2 ? a1c2 ? a2 c1a1c1 c2a2b ? a1c2 ? a2 c1分解结果： ax2? bx ? c = (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 )例 7、分解因式： 3x 分析：2? 11x ? 101 3 -2 -5（-6）+（-5）= -11 解： 3x2? 11x ? 10 = ( x ? 2)(3x ? 5)2练习 7、分解因式： （1 ） 5 x? 7x ? 6（2） 3x2? 7x ? 2（3） 10x2? 17x ? 3（4） ? 6 y2? 11y ? 10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： a2? 8ab ? 128b 21 1 8b -16b分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。8b+(-16b)= -8b 解： a2? 8ab ? 128b 2 = a 2 ? [8b ? (?16b)]a ? 8b ? (?16b)= (a ? 8b)(a ? 16b)练习 8、分解因式(1) x2? 3xy ? 2 y 2 (2) m 2 ? 6m n ? 8n 2 (3) a 2 ? ab ? 6b 2（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、 2 x 1 22? 7 xy ? 6 y 2-2y -3y例 10、 x 把 xy 看作一个整体 1 12y 2 ? 3xy ? 2-1 -2(-3y)+(-4y)= -7y 解：原式= ( x ? 2 y )(2 x ? 3 y ) 练习 9、分解因式： （1） 15x2(-1)+(-2)= -3 解：原式= ( xy ? 1)(xy ? 2) （2） a2? 7 xy ? 4 y 2x 2 ? 6ax ? 8综合练习 10、 （1） 8 x （3） ( x ? （5） x （7） x26? 7x3 ?1（2） 12x2? 11xy ? 15y 22y) 2 ? 3( x ? y) ? 10（4） (a ? b) （6） m2? 4a ? 4b ? 3y 2 ? 5x 2 y ? 6 x 2? 4mn ? 4n 2 ? 3m ? 6n ? 22? 4xy ? 4 y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 （8） 5(a ? b) 2 ? 23(a 2 ? b 2 ) ? 10(a ? b) 22（9） 4 x? 4xy ? 6x ? 3 y ? y 2 ? 10 （10） 12( x ? y) 2 ? 11( x 2 ? y 2 ) ? 2( x ? y) 2思考：分解因式： abcx2? (a 2b 2 ? c 2 ) x ? abc五、换元法。 例 13、分解因式（1） 2005 x2? (20052 ? 1) x ? 20052（2） ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 6) ? x 解： （1）设 2005= a ，则原式= ax2? (a 2 ? 1) x ? a= (ax ? 1)(x ? a) = (2005 x ? 1)(x ? 2005 ) （2）型如 abcd? e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。2原式= ( x 设x2? 7 x ? 6)(x 2 ? 5x ? 6) ? x 2? 5x ? 6 ? A ，则 x 2 ? 7 x ? 6 ? A ? 2 x∴原式= ( A ? 2 x) A ? = (A ?x 2 = A 2 ? 2 Ax ? x 2x) 2 = ( x 2 ? 6 x ? 6) 22练习 13、分解因式（1） ( x （2） ( x （3） (a? xy ? y 2 ) 2 ? 4xy( x 2 ? y 2 ) ? 3x ? 2)(4x 2 ? 8x ? 3) ? 90 ? 1) 2 ? (a 2 ? 5) 2 ? 4(a 2 ? 3) 222例 14、分解因式（1） 2 x4? x 3 ? 6x 2 ? x ? 2观察：此多项式的特点――是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于 “等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。 解：原式= x1 1 1 1 ? 2 ) = x 2 ?2( x 2 ? 2 ) ? ( x ? ) ? 6? x x x x 1 1 ? t ，则 x 2 ? 2 ? t 2 ? 2 设x? x x2(2 x 2 ? x ? 6 ?∴原式= x2?（ 2 t2?2) ? t ? 6? = x 2 2t 2 ? t ? 10??x ?=x22 1 ?? ? ?2t ? 5??t ? 2?= x 2 ? ? 2 x ? ? 5 ?? x ? ? 2 ? ? x ??2 1 ? ? ? 2 2 ? 5 ?? x? ? x ? ? 2 ? = 2 x ? 5x ? 2 x ? 2 x ? 1 x x ? ? ?= x? ? 2x ?? ?????= ( x ? 1) （2） x42(2x ? 1)(x ? 2)? 4x 3 ? x 2 ? 4x ? 12解：原式= x( x2 ? 4x ? 1 ??? 4 1 1 ? ? 1? ? ? 2 ) = x 2 ?? x 2 ? 2 ? ? 4? x ? ? ? 1? x x x? ? x ? ? ??设x?1 1 ? y ，则 x 2 ? 2 ? y 2 ? 2 x x2∴原式= x =x( y 2 ? 4 y ? 3) = x2 ( y ?1)( y ? 3)(x ? 1 1 ? 1)( x ? ? 3) = x 2 ? x ? 1 x 2 ? 3x ? 1 x x2????练习 14、 （1） 6 x （2） x44? 7 x 3 ? 36x 2 ? 7 x ? 6? 2x 3 ? x 2 ? 1 ? 2( x ? x 2 )六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） x 解法 1――拆项。 原式= x = =33? 3x 2 ? 4解法 2――添项。 原式= x3? 1 ? 3x 2 ? 3? 3x 2 ? 4 x ? 4 x ? 4= =( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)(x ? 1) ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1 ? 3x ? 3)2x