正三棱柱的性质ABC-A1B1C1，点D是BC的中点，BC=根号2BB1，设B1D交BC1=F，求证A1C平行平面AB1D

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-27 01:54 标签： 正三棱柱的性质
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正三棱柱abc a1b1c1中若ab根号2bb1则ab1与c1b所成的角为多少
正三棱柱abc a1b1c1中若ab根号2bb1则ab1与c1b所成的角为多少
09-11-27 &匿名提问 发布
把abb1a1平面延伸,从b作bd‖ab1,交a1b延长线于d,连结c1d,bc1,设ab=1,bb1=√2/2,a1d‖ab,三角形bb1d≌bab1,根据勾股定理,bd=√6/2,bc1=√6/2,在△b1dc1中,&c1b1d=120°,根据余弦定理,c1d=√3,bd^2+bd1^2=3,c1d^2=3,根据勾股定理逆定理,&c1bd=90度,bd‖ab1,&dbc1是ab1与bc1的成角,二者相垂直,为90度.
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＞＞＞如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证..
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求二面角B-AB1-D的正切值．
题型：解答题难度：中档来源：肇庆二模
（1）证明：因为B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AD⊥B1B（1分）因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD（2分）又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1（3分）又AD?平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（4分）（2）连接A1B，交AB1于E，连DE（5分）因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（6分）又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE∥A1C（7分）又DE?平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D（8分）（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．又AB1?平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．（9分）又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B-AB1-D的平面角．（10分）因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，DF=34在△ABC中，FG=34BE=328（11分）所以在Rt△DFG中，tan∠DFG=DFFG=63（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定与性质，用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．异面直线所成角：&
， （其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。 用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．
发现相似题
与“如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证..”考查相似的试题有：
482417280742626572340829398055623115直辖市安徽福建甘肃广东广西贵州海南河北黑龙江河南湖北湖南江苏江西吉林辽宁内蒙宁夏青海山东山西陕西四川新疆西藏云南浙江
当前位置： &
正三棱柱A1B1C1-ABC中，
城市：杭州
正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC=根号2的BB1,设B1D交BC1于F.求证：A1C平行于平面AB1D
BC1垂直于平面AB1D
城市：杭州
连接A1B,交AB1于点E，由中位线性质可知DE平行于A1C，又DE属于平面AB1D，A1C不属于平面AB1D，所以A1C平行于平面AB1D.第二问，可通过分别证明BC1垂直于B1D(通过三角形相似易证），BC1垂直于AD（通过AD垂直于平面BB1C1C可得）来证.
请输入计算结果：
匿名回答：
有问题？让千万网友来帮您回答！如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1=根号3BB1 求证：AB1垂直BC1 答_百度知道
设底面边长为1，延伸平面ABB1A1，作BD‖AB1，与A1B1延长线交于D，连结C1D，BC1，四边形ABDC1是平行四边形，AC1=BD，sin&C1AB=√3/3，cos&C1AB=√6/3,tan&C1AB=√2/2，AB/AC1=√6/3,AC1=√6/2,BC1=AB1=√6/2,在三角形C1B1D中，C1B1=1，B1D=1，《C1B1D=120度，根据余弦定理求得C1D=√3，在三角形BDC1中，根据勾股逆定理，BD^2+BC1^2=3,C1D^2=3,三角形C1DB是直角三角形，∴BD⊥BC1，而BD‖AB1（平行四边形对边平行），∴AB1⊥BC1。
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