设函数f(x)=e^（x-k/2）x^2-x 若当x≥0时f(x)≥1，求实数k的取值函数范围

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-27 02:14 标签： 取值函数
设函数f(x)=exx2-k(2x+lnx)(k为常数.e=2.71828-是自然对数的底数)．(Ⅰ)当k≤0时.求函数f(x)的单调区间,内存在两个极值点.求k的取值范围． 题目和参考答案——精英家教网——
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设函数f（x）=exx2-k（2x+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=(x-2)(ex-kx)x3（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴ex-kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=ex-kx，x∈[0，+∞）．∵g′（x）=ex-k=ex-elnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=ex-k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1-lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当g(0)＞0g(lnk)＜0g(2)＞00＜lnk＜2解得：e＜k＜e22综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，e22）
点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．
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A、1727B、59C、1027D、13
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数学 函数的单调性与导数的关系、函数的最值与导数的关系...
设函数f（x）=ex-1-x -ax2。（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围。
第-1小题正确答案及相关解析
解：（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f'（x）=ex-1当x∈（-∞，0）时，f'（x）0故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加；（2）f '（x）=ex-1-2ax由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立故f'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而当1-2a≥0，即时，f'（x）≥0（x≥0），而f（0）= 0，于是当x≥0时，f（x）≥0由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）从而当a>时，f'（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0综合得a的取值范围为。设函数f（x）=xx，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．
fanny0003A1
（1）∵f（x）=xx∴2ex+1xex＝x-1x2ex由f'（x）=0，得x=1，因为当x＜0时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]（2）由f'（x）+k（1-x）f（x）=2x2ex=2ex＞0，得：（x-1）（kx-1）＜0，故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；当k=1时，解集是：φ；当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．
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（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．（2）将f'（x）代入不等式即可求解．
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考点点评：
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