设已知抛物线y2 2px^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线叫抛物线于A,B两点，点C在抛物线的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-27 14:32 标签： 已知抛物线y2 2px
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()题库系统分析，
试题“设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若...”，相似的试题还有：
抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线焦点的距离为_____．
设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA与抛物线的交点B满足，则点B到该抛物线的准线的距离为()
设F为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，若∠OFA=120&，且，则抛物线的焦点到准线的距离等于()．> 【答案带解析】设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1...
设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0）两点，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点，若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：kMA=a、kMF=b、kMB=c，（如图）（1）若y1y2=-4，求抛物线的方程；（2）当b=2时，求证：a+c为定值．
（1设）直线方程为y=k（x-）或x=（斜率k不存在）在与抛物线方程联立，求出y1y2，再根据y1y2=-4，就可求出p值，进而求出抛物线方程．
（2）当b=2时，分别用含A，B，M三点坐标式子表示：kMA，kMF，kMB，再利用它们的关系求a+c，看是否为常数．
（1）设过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）的直线方程为y=k（x-）或x=（斜率k不存在），则
考点分析：
考点1：抛物线的标准方程
考点2：直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：解答题
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满分5 学习网 . All Rights Reserved.设抛物线y2＝2px(p＞ 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛
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设抛物线y2＝2px(p＞ 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛
思路解析：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明OA与OC的斜率相等，证明AO+OC=AC，证明OC与BF的交点A在抛物线上，证明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用参数方程法，采用平面几何方法进行推理.证法一：如图所示，因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为（-，y2）.故直线CO的斜率为k===,即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.证法二：设A(x1,y1)，B(x2,y2).因为BC∥x轴，所以C（-，y2）.因为A、B在抛物线上，所以y12=2px1,y22=2px2.又因为直线AB过焦点F，所以kAF=kBF，即=.所以.所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2).因为y1≠y2，所以y1y2=-p2.因为kOC=====kOA,所以直线AC经过原点O.证法三：因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为（,0），所以设直线AB的方程为x=ky+.由消去x得y2-2pky-p2=0.所以yA·yB=-p2.因为A（,yA）,C(-,yB),即C(-,-)，所以直线AC的方程为=.化简得y=x.显然，原点O适合此方程，所以原点O在直线AC上.证法四：设B（a，b），则C(-,b)，F(,0),所以直线BF的方程为y(a-)=b(x-)，直线OC的方程为y=-x.所以消y得-x(a-)=b(x-).所以所以A′(，-).因为B在抛物线y2=2px上，所以b2=2ap.所以A′(，-).所以(-)2==2p·.所以A′在抛物线y2=2px上.所以A′与A重合，即直线AC经过原点O.证法五：如下图所示，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC.连结AC，与EF相交于点N，则，.根据抛物线的性质,得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.所以|EN|===|NF|,即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.证法六：如下图所示，设准线交x轴于点E，过A点作AM⊥x轴于M.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则C（-,y2）,所以=.由证法二知y1=，又，所以=.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.故A、O、C三点共线，即直线AC过原点O.
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