初中数学函数知识点：初中数学所有函数的知识点总结 初中数学函数知识点
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课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数教学目标1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式教学重点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学难点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学方法讲练结合法教学过程（I）知识要点（见下表：）第三章——第29页第三章——第30页b24ac?b2注：二次函数y?ax?bx?c?a(x?（a?0） )??a(x?m)(x?n)2a4abb4ac?b2对称轴x??，顶点(?) 2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A（1，1），B（2，2），C（4，?2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）（3）抛物线对称轴是x?2，它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点（1，7）。 2，解：（1）设y?ax2?bx?c(a?0)，将A、B、C三点坐标分别代入，可得方程组为 ???a?b?c?1?a??1解得?b?4 ?y??x2?4x?2 ?4a?2b?c?2???16a?4b?c??2?c??2（2）设二次函数为y?a(x?1)2?5，将Q点坐标代入，即a(3?1)2?5?3，得a?2，故y?2(x?1)2?5?2x2?4x?3（3）∵抛物线对称轴为x?2；∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x??2对称；∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(?2∴可设函数解析式为：y?a(x?2?代入方程可得a?1∴所求二次函数为y?x2?4x?2， 2，0)、B(?2?22，0) 2)(x?2?2)?a(x?2)2?2a，将（1，7）?5)，例2：二次函数的图像过点（0，8），(?1，（4，0）（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间（2）当x取何值时，①y≥0，②y&0解：（1）依题意可设函数的解析式为：y?ax2?bx?c(a?0)将三点坐标分别代入，可得方程组为：???c??8?a??1?a?b?c??5解得?b??2 ???16a?4b?c?0?c??8?y?x2?2x?8?(x?1)2?9∴函数图像的顶点为（1，?9），对称轴为x?1又∵a?1?0， ∴函数有最小值，且ymin??9，无最大值1] 函数的增区间为[1，+∞），减区间为(??，第三章——第31页（2）由y?0可得x2?2x?8?0，解得x?4或x??2由y?0可得x2?2x?8?0，解得?2?x?4例3：求函数f(x)?x2?x?1，x?[?1，1]的最值及相应的x值 113?x?1?(x?)2?，知函数的图像开口向上，对称轴为x? 224111]上是增函数。 ∴依题设条件可得f(x)在[?1]上是减函数，在[22131]时，函数取得最小值，且ymin? ∴当x??[?1，24131又∵?1???1? 222解由y?x2∴依二次函数的对称性可知f(?1)?f(1)∴当x??1时函数取得最大值，且ymax?(?1)2?(?1)?1?3例4、已知函数f(x)?x2?2(a?1)x?24]，求实数a的取值 (1)若函数f(x)的递减区间是(??，4]上是减函数，求实数a的取值范围 (2)若函数f(x)在区间(??，分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系解：（1）f(x)的对称轴是x??可得函数图像开口向上 2(a?1)2?1?a，且二次项系数为1&01?a] ∴f(x)的单调减区间为(??，∴依题设条件可得1?a?4，解得a??34]上是减函数 (2)∵f(x)在区间(??，4]是递减区间(??，1?a]的子区间 ∴(??，∴1?a?4，解得a??3例5、函数f(x)?x2?bx?2，满足：f(3?x)?f(3?x)（1）求方程f(x)?0的两根x1，x2的和 （2）比较f(?1)、f(1)、f(4)的大小 解：由f(3?x)?f(3?x)知函数图像的对称轴为x?(3?x)?(3?x)2?3??b?3可得b??6 2?f(x)?x2?6x?2?(x?3)2?11而f(x)的图像与x轴交点(x1，0)、(x2，0)关于对称轴x?3对称?x1?x22?3，可得x1?x2?6第三章——第32页由二次项系数为1&0，可知抛物线开口向上 又?1?3?41?3?24?3?1∴依二次函数的对称性及单调性可f(4)?f(1)?f(?1) （III）课后作业练习六（Ⅳ）教学后记：第三章——第33页 延伸阅读：
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清风看号36
正比例函数的概念一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数,且k≠0）的函数,那么y就叫做x的正比例函数.正比例函数属于一次函数,但一次函数却不一定是正比例函数.正比例函数是一次函数的特殊形式,即一次函数 y=kx+b 中,若b＝0,即所谓“y轴上的截距”为零,则为正比例函数.正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限）,K越大,图像与y轴的距离越近.函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限）,k越小,图像与y轴的距离越近.自变量x的值增大时,y的值则逐渐减小．[编辑本段]正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时,图象位于第一、三象限,y随x的增大而增大（单调递增）；当k0),此时的y与x,同时扩大,同时缩小,比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?以上各种商都是一定的,那么被除数和除数． 所表示的两种相关联的量,成正比例关系． 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量,随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,它们就不能成正比例． 例如：一个人的年龄和它的体重,就不能成正比例关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系.[编辑本段]反比例函数的定义一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0.而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹.[编辑本段]反比例函数表达式y＝k／x 其中X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^-1y=k\x(k为常数(k≠0）,x不等于0）[编辑本段]反比例函数的自变量的取值范围① k ≠ 0; ②一般情况下 ,自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数 ; ③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .[编辑本段]反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）.[编辑本段]反比例函数性质1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内,y随x的增大而减小；当k0时,函数在x0上同为减函数；k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限.当 k>0,bx2.故选A.三、判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限由kb>0,知k、b同号.因为y随x的增大而减小,所以kY2当X0 且X≥(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.[编辑本段]二次函数与一元二次方程特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.1．二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 y=ax^2;y=ax^2+Ky=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (0,K)(h,0) (h,k) (-b/2a,4ac-b^2/4a) 对 称 轴 x=0 x=0x=h x=h x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h>0,k
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初中三角函数的知识点有哪些，怎么学习？
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　　我们接触初中三角函数之时，要了解它是高中三角函数的基础，是高中数学的重难点和必考点。三角函数是超越函数一类函数，属于初等函数。任意角的集合与一个比值的集合变量之间的映射就是三角函数的本质。通常用平面直角坐标系来定义三角函数，定义是整个实数域。初中三角函数包含六种基本函数：正切、余切、正弦、余弦、正割、余割。
　　高中三角函数，如一头拦路虎，让很多学生望而却步、畏惧不已。初中三角函数学得好坏，直接影响高中三角函数的学习，因为初中是高中的基础。那么，初中三角函数知识点有哪些？初中三角函数公式有哪些？如何记忆这些公式？初中三角函数怎么学才能为高中打好基础？不用担心，下面为您解答。
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方a2b2=c2。
　　2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
　3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
　5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
　6、正弦、余弦的增减性：
　　当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。
　　7、正切、余切的增减性：当0°&α&90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。
接下来你要熟悉初中三角函数公式。
　　三角函数恒等变形公式：
　　?初中三角函数两角和与差的三角函数：
　　cos(αβ)=cosα?cosβ-sinα?sinβ
　　cos(α-β)=cosα?cosβsinα?sinβ
　　sin(α±β)=sinα?cosβ±cosα?sinβ
　　tan(αβ)=(tanαtanβ)/(1-tanα?tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1tanα?tanβ)
　　?初中三角函数倍角公式：
　　sin(2α)=2sinα?cosα
　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
　　?初中三角函数三倍角公式：
　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)
　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα
　　?初中三角函数半角公式：
　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
　　cos^2(α/2)=(1cosα)/2
　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1cosα)
　　tan(α/2)=sinα/(1cosα)=(1-cosα)/sinα
　　?初中三角函数万能公式：
　　sinα=2tan(α/2)/[1tan^2(α/2)]
　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1tan^2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
　　?初中三角函数积化和差公式：
　　sinα?cosβ=(1/2)[sin(αβ)sin(α-β)]
　　cosα?sinβ=(1/2)[sin(αβ)-sin(α-β)]
　　cosα?cosβ=(1/2)[cos(αβ)cos(α-β)]
　　sinα?sinβ=-(1/2)[cos(αβ)-cos(α-β)]
　　?初中三角函数和差化积公式：
　　sinαsinβ=2sin[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]
　　sinα-sinβ=2cos[(αβ)/2]sin[(α-β)/2]
　　cosαcosβ=2cos[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[(αβ)/2]sin[(α-β)/2]
最后，初中三角函数怎么学才能掌握好，才能为高中三角函数打下扎实基础？
　　既然谈到初中三角函数实为高中三角函数的基础，我给大家举一个高中的例子：
　　我记得有一年，有个高一的学生找到我，说高一数学学得很一般，希望我能给他点拨点拨。他就拿着一套卷子来到我办公室，上面有一道题是：
　　y=sinx23sinxcosx4cosx2
　　求这个函数的最值。
　　我一看高一的学生，连这个题都不会做，可见他的水平太一般了。这个题我几句话就能给他讲明白，但我不能光给他讲这个题，而是考虑这个孩子的问题出在哪儿，否则同样的题他还是不会做。
　　我就问他：“降幂公式会吗？”
　　他说不知道。
　　我心想今天是碰着“高手”了，我继续问：“三角函数的倍角公式你会吗？”
　　他想了想：“没有印象了。”
　　我继续往回推：“两角和与差的三角函数你会吗？”
　　他想了想：“sin（αβ）好像等于sinαsinβcosαcosβ。”
　　我都想跳楼了，一个高一的学生，两角和与差的三角函数都记不住，还有什么可说的？但是我这个人也比较固执，我一般要帮的学生，他再怎么差，我也要把他帮到底。我想今天豁出去了，我非要把他不会的根源挖掘出来，继续往回退，问他：“任意角的三角函数定理，你知道吧？”
　　他说不知道。
　　再往回退，一直退到初二的内容上：“锐角三角函数的定理你知道吧？”
　　他说：“老师，你能不能说得具体一点儿？”
　　我说：“在一个直角三角形里，那个sinα等于什么？”
　　他眼睛一亮：“sinα等于对边比斜边。”
　　我说：“就是它。”又问：“cosα等于什么？”
　　“cosα等于邻边比斜边。”
　　“tanα呢？”
　　“等于对边比邻边。”
　　我总算松了一口气，说：“孩子你太厉害了，你竟然连这个东西都记着，就从它开始。”
　　我为了把这个学生的问题解决，一直给他退到初二的内容了，从初二开始讲起。
　　我说：“跟着我想，我们要把这个直角三角形平移到直角坐标系下边，你看那个斜边成了直角坐标系下的一个角的终边，那么你说，sinα等于什么？cosα等于什么？”
　　他一想，于是就出现了任意角的三角函数定义，然后用任意角的三角函数，我引导着他派生出同角三角函数间的基本关系、平方关系、商数关系、倒数关系，这些都是他自己推导的。我继续引导这个学生往前走，结果在我的引导下，用了两个小时的时间，这个学生竟然从锐角三角函数定义开始，把他高中学过的所有的三角函数的公式全部推导了一遍。我在旁边看着，他的鼻尖上都冒汗了，状态非常投入。
　　我说：“今天这个课就上到这儿吧，我看你这两个小时把三角函数的内容全给搞定了。”
　　他吃了一惊，问：“老师，多长时间了？真的过了两个小时了吗？”
　　我说：“你看看表，咱们从八点开始，你看现在都十点多了。”
　　他说：“老师，原来学习这么好玩！我学了这么多年数学，也没找着一次这样的感觉，这两个小时我怎么把三角函数全给搞定了？”
　　我笑着问：“现在三角函数的公式还需要记忆吗？”
　　他说：“不需要记忆，我现在绝对能记住。因为我都会推导它了，我还怕它吗？”
　　在理解的基础上，加以记忆，这是一个很好的办法。碰到记不住的公式，自己推导一下，就算考试时一时想不起来，现推都来得及。而且你推导过几次，那个公式就逐步成为你永恒的记忆。
　　由此可见，要在理解的基础上加以记忆。其实好多问题，你理解了，就记住了；你不理解它，硬性的记忆，可能用的时间很长，也记不住，就算记住也会忘得很快。
　　数学上的很多定理，你要把它记下来很难，但你要是把这个定理求证一遍，它就活灵活现地展现在你面前，这个定理你不用记就记住了。
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