高考数学大题解题方法
高考数学大题解题方法
学习啦【读书技巧】 编辑：虹静
　　数学考不好是因为解题思路不清晰，学好数学的关键就是解题的思路，解题思路清晰了，一切都将迎刃而解。今天小编就为大家整理了数学的解题思路，供大家学习。
　　高考数学大题解题方法
　　1熟悉基本的解题步骤和解题方法
　　解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到**题的答案。
　　2审题要认真仔细
　　对于一道具体的**题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
　　有些学生没有养成读题、思考的**惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。
　　3认真做好归纳总结
　　在解过一定数量的**题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的**题一目了然，可以节约大量的解题时间。
　　4熟悉**题中所涉及的内容
　　解题、做练**只是学**过程中的一个环节，而不是学**的全部，你不能为解题而解题。解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。
　　因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练**，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练**，一刻也**留。
　　5学会画图
　　画图是一个翻译的过程，把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
　　因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
　　6先易后难，逐步增加**题的难度
　　人们认识事物的过程都是从简单到复杂。简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会**提高。
　　我们在学**时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的**题，以不断提高解题速度和解题能力。随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。
　　7限时答题，先提速后纠正错误
　　很多同学做题慢的一个重要原因就是平时做作业**惯了拖延时间，导致形成了一个不太好的解题**惯。所以，提高解题速度就要先解决&拖延症&。比较有效的方式是限时答题，例如在做数学作业时，给自己限时，先不管正确率，首先保证在规定时间内完成数学作业，然后再去纠正错误。
　　这个过程对提高书写速度和思考效率都有较好的作用。当你**惯了一个较快的思考和书写后，解题速度自然就会提高，及改正了拖延的毛病，也提高了成绩。
　　高考复习中数学思想方法教学的原则
　　1、把知识的复习与思想方法的培养同时纳入教学目的原则。
　　各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精心设计思想方法的教学过程。
　　2、寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中的原则。
　　知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想的指导下，运用知识、方法&加工&的对象。皮之不存，毛将焉附?离开具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。
　　3、适当章节的强化训练与贯通复课全程的反复运用相结合的原则。
　　数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯通复课全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出&柳暗花明又一村&般的数形和谐完美结合的境地。
　　在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。
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例谈数学思想方法在高中数学解题中的应用
& 榆林市第一中学 &
数学同其他学科一样，在其发展的过程中，形成了一系列适合于自身特点的思想方法即数学思想方法.那何谓数学思想方法呢？数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识.而所谓数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系的过程，经过推导、运算和分析，以形成解释，判断和预言的方法.数学思想比数学方法具有更高的抽象性和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻.数学思想是数学方法的灵魂，是其相应的方法的精神实质和理论基础，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段.而数学思想与数学方法又是密不可分的，其同一性表现在“数学思想与数学方法同属于方法论的范畴”，有时，人们将数学思想与数学方法统称为数学思想方法.
数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴涵于具体的内容与方法之中，又经过提炼与概括，成为理性认识，它直接支配数学教学的实践活动，数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现与应用.数学思想方法是数学学科的精髓，是一种数学意识，它属于思维范畴，只能领会、运用，用于对数学问题的认识、处理和解决，用于指导人们解题，是求解数学问题的重要的思想方法，现在越来越多的被人们所应用.下面通过实例谈谈高中阶段常用的重要的四种数学思想方法即函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想在高中数学解题中的应用.
.&函数与方程思想
函数是高中数学中最重要的概念之一，是高中数学的一个具有统帅性作用的内容，贯穿于整个高中数学的始终，方程是初中数学的一项主体内容，并在高中数学中延续，可以说，函数与方程是中学数学中最重要的组成部分.
函数的思想是从变量的角度处理问题的一种策略思想，它运用运动与变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去转化和处理问题，从而使问题获得解决.
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化和解决问题.
总之，函数与方程思想是中学数学的基本思想，二者是密切相关的，都是将数学知识转化为能力的桥梁，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用.下面举例说明之.
例&&设数列前项和与的关系是,其中是与无关的常数，且,的极限存在，求
分析&&本题可利用递推关系式求出数列的通项公式，再代入所给关系式求出，然后求出极限，运算较繁，但若在解题时注意挖掘问题中所隐含的条件，就会使问题变的较为简单，充分利用方程思想，结合递推关系式：,可得：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑴&&&&&&&&&&&&&&&&&
就可使问题得以解决.
解&&由于的极限存在，故可设,考虑到，又当时，,因此对⑴式两边取极限，可得方程&&&
评注&&这道题挖掘出了问题本身所隐含的方程思想方法，使问题化繁为简，从而得以解决.
例&&对满足不等式的一切实数，求使不等式都成立的的取值范围.
讲解&&由有得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑴
问题转化为在条件⑴中，求二次函数为正值时自变量的取值，这样处理起来比较麻烦，然而若变换一个角度以为变量，设&&&
问题转化为的一次函数为正数时系数的讨论，显然
因而，是的单调函数，使&&&&&成立的充要条件是：
&&&&&即&&&&即&&&
解之得或&&&&或&&&&或
&故使原不等式成立的的取值范围为：&&或&
评注&&本题的关键是变换角度，以参数作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在开区间上的值域问题.
2.&数形结合思想
&&&&&数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数学内容的“数”与“形”，决定了几何与代数的联系，希尔伯特曾说“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式”.因此，华罗庚前辈曾精辟的指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”&数形结合就是把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，即数式与图形、数量关系与空间形式的结合，根据具体数学问题，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题互相转化，从而使问题得以解决.
具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单的代数问题用几何方法，或几何问题用代数方法来解决，这两方面只有双向的信息沟通才是完整的数形结合.
例&&已知均大于,且,求证：
分析&&这是一道不等式的证明问题，用常规不等式的证明方法尝试后发现很难证明，这时我们要注意观察式子的特点，可以想象到长方体的面、体对角线公式与结论的相像，于是可以构造长方体来解决.
证明&&构造长方体,使其长、宽、高分别，对角线长为，在中，有即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
同理：在与中有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
又∵&&&&&&&&&&&&&&
三式相加得&&&&&&
例4&&求的值.
&&&&解&&原式
&&&&&&&&&&&&
为了出现,与角，我们作一个直径为的圆及圆内接，其中使
由正弦定理得：&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
在中，又由余弦定理得：&&
&&&&&&&&&&&&&
这道题没有直接求解三角函数的值，二是通过构造圆及圆内接三角形，进一步利用正弦定理与余弦定理来求得原三角函数的值，上述两例正是“以形助数、数形结合”的真实展现，下面看一个“以数助形”的例子.
例&&在的外接圆内任取一点，连，求证：
⑴&&&&&&&&&&&&&⑵
⑶&&&&&&&&&&&&&⑷
讲解&&一看题目就能想到用纯几何的方法来证明这几个结论，但这里用代数的方法来统一完成，且较为简洁.首先由⑴、⑵&知、应是二次方程
的两个根，因而有：
这启示我们用余弦定理：
如下图所示：在中，由余弦定理得
同理，在中，由余弦定理得
这表明、是二次方程
的两个实数根，由韦达定理有：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑴
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑵
又由于方程有实数根，故二次方程的
判别式非负，即&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&即&
现给⑴平方有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑶
把⑵代入⑶有
3.&分类讨论思想
分类又称为逻辑划分，分类讨论既是一种思维方法，也是一种重要的解题策略.在解题中，由于情况的变化使结论出现很多可能性时，常常需要按照某一确定的标准在比较的基础上将数学对象划分为若干部分，诸如带有字母参数的方程、不等式、函数定义域、值域、极值的求解问题，以及方程所表示的曲线的形状的判定问题等，在分类时要在确定了分类对象的基础上再进行合理的分类.分类的原则：⑴进行分类的集合必须是确定的；⑵每一次分类的标准必须统一；⑶分类必须是完整的，不出现遗漏；⑷各子集必须是互斥的，不出现重复；⑸如需多次分类，必须逐级进行，不得越级.通过分类可使问题化整为零，进一步明确化.
⑴若对一切,&&恒成立，求取值范围；
⑵若对一切，恒成立，求取值范围.
解&&⑴依题意知，&&&&&&恒成立
&&&&&&则必有&&&&&即&
⑵的对称轴方程为要使得在上恒成立，这时就要考虑对称轴与区间的位置关系
①当时，须使才能保证在恒成立
同理：②当时，&
③时，&
联合①、②、③得
评注&&本题⑵中的区间一定但对称轴未定，因而分类讨论时就要考虑对称轴与区间的位置关系，借助函数的单调性来处理显得自然合理.这道题可以推广到一般情形：当时，不等式在区间上恒成立的充要条件是：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&其中
此外，对于底数含有参数的指（对）数不等式及含有绝对值的不等式的恒成立问题一般都要进行分类讨论.
例&&在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把正方形分成面积相等的部分，试证这条曲线段的长度不小于1.[1979年全国高中数学联赛题]
证明&&设是正方形周界上的两点，则这两点的位置关系有多种可能，一般归为以下三种情况：&
⑴位于正方形的一组对边上（如图①），由于两点间的线段最短，而垂线长不大于斜线长，故有，这一情况非常简单，甚至还没有用到“平方面积”的条件.
⑵位于正方形的一组邻边上（如图②），连对角线，由于曲线把正方形的面积二等分，所以与必有公共点，特别地，对来说还可以与重合，这时命题显然成立，现设与不重合，在上取离最近的那个公共点，作曲线关于的对称曲线，则在上，对曲线已是第⑴种情况了有&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&①&&&&&&&&&&&&&②&&&&&&&&&&&&③
⑶位于正方形的同一条边上（如图③），连、的中点和，由于曲线把正方形的面积二等分，所以与必有公共点，在上取离最近的哪个公共点，作曲线关于的对称曲线，则在上，对曲线已是第⑴种情况了有
评注&&一道看似复杂的问题经过分类变得比较容易解决，在分类时做到了不重复、不遗漏.这里不仅有分类的思想，也引入了化归思想.
4.&转化与化归思想
由于数学结论呈现的公理化结构，使得数学上任何一个正确的结论都可以按照需要与可能而成为推断其他结论的依据，于是任何一个待解决的问题都可以通过某种转化过程，归结到一类已经解决或是比较容易解决的问题上，即可获得原问题的解决，我们称为化归.这是一种极具数学特征的思想方法，一旦学生能够熟练掌握这种思想方法，则可对问题进行巧妙的转化，一般表现为由未知向已知转化、由复杂向简单转化、由困难向容易转化、由陌生向熟悉转化、由不规范向规范转化，这不仅有利于问题的解决，往往给学生“柳暗花明又一村”的感觉，从而激发了学生的求知欲、探索欲，有利于思维能力的培养.
例&&在正方形内部给出个点，现在用来表示该正方形的四个顶点和上述个点构成的点集，并按照以下规则把正方形纸片剪成若干个三角形，使得每个三角形三个顶点都是中的元素，除了顶点之外，每个三角形不再含中的元素，试问：⑴共可剪出多少个三角形？
⑵如果三角形每边剪一刀，共要剪几刀？
分析与思考&&⑴如果逐点或逐个三角形来考虑，那就太烦琐了，由于三角形三内角和为定值，而正方形每个顶点不管怎样总可以提供，内部的每个点可以提供，因此可以从三角形内角和总数方面做整体性考虑.
解：如右图，中有两类点，第一类为四边形的顶点，即、
、、等，第二类是四边形内部的个点，如、等，研究以第一类
点为顶点的所有三角形的相关角，如以为公共顶点的、、，其和为.以第二类点中每个点为顶点的三角形的相关角，如以为顶点的相关角、、，其和为，以为顶点的三角形有三个，故符合条件的所有三角形的内角和为，故共可剪出个三角形.
⑵每个三角形共有三条边，故每个三角形共要剪三刀，个三角形共边，但原来四边形的四边不必剪，并且注意到其余每边都是两个三角形的公共边，故共要剪的刀数是刀，故共要剪刀.
例&&设都是正数，求证：
分析&&这是一个多元不等式，从整体上考虑一时难以入手，先考虑局部:,同理：，，再考虑整体，不难得出结论.
证明&&由于都是正数
故&&&&&&&&同理：&
将以上各式相加得：
评注&&本题是从特殊到一般转化的典型题目，学会了这种思维方法，可以把整体上难以处理的问题转化为局部易于解决的问题.
例10&&已知：且，求.
分析&&设,则条件等式转化为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑴
虽然仍求不出，但却能给我们以解题启示：条件的特点明显了，与中的与互为相反数，若将用来代替，仍出现与
&&&得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑵
令&&&&&&则⑴、⑵可简化为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑶
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑷
若求,只需解由⑶和⑷组成的方程组
&&&解之得：&&&&&&&&&&
从这道题可以看出，如果问题在原解题环境下不便于直接求解时，可以将其化归为新解题环境下的新问题，而新问题在新的解题环境下比较容易的得以解答，然后还原为原解题环境下原问题的解答.类似的，形如,&，都是常数求的这类题也可以用上述方法求解.
以上举例说明了数学思想方法在高中数学解题中的应用，当然数学思想方法有很多种，这里只举了其中的四种.在解题过程中，应该努力挖掘问题本身所隐含的数学思想方法，针对不同的问题使用不同的思想方法，使问题得以简解或妙解，值得指出的是：有时将上述思想方法结合起来，多管齐下，奏效更快.若在教学中注意归纳，提炼出若干常用的数学思想方法让学生去体会、掌握，就会得到事半功倍的效果.
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