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圆的面积公式推导
我们知道，圆的面积等于半径的平方乘以圆周率。那这个公式是如何推导出来的呢？&由于圆的周边为弧线，不是直线，就无法用长方形的面积方法求解。但这也给了我们思考的空间。于是，我们在硬纸板上画一个圆，把圆分成若干等分，剪开后用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼，就可以拼成一个近似的平行四边形。如果分的分数越多，每一份会越细。拼成的图形就会越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半，即c/2 , 宽等于圆的半径 r ，因为长方形的面积 = 长×宽，所以圆的面积&s=c&× r÷2&又因为c=2πr 所以s=πr² 。&以上方法有误差，可采取高中时学习的微积分来处理。即可更好的精确。&圆周率在圆的面积精确上起到了关键作用。圆周率是一个无限不循环小数，小学阶段常用3.14来代替它，很多小朋友都可以背出很多位，记得有一位小朋友都背了1000多位，实在厉害啊。&请按照提示求解，如有问题，请留言说明。本博客声明：任何人转载本博客文章（本博客文章纯属雪帆奥数王老师原创），都要注明作者和出处，并且不得修改原文，否则将追究其法律责任。尊重别人才能获得别人的尊重！家长可免费使用！转载地址请注明：
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aoshu&&&附圆面积公式推导课件下载教学目标1．使学生理解圆面积公式的推导过程，掌握求圆面积的方法并能正确计算；2．培养学生动手操作的能力，启发思维，开阔思路；3．渗透初步的辩证唯物主义思想。教学重点和难点圆面积公式的推导方法。教学过程设计(一)复习准备我们已经学习了圆的认识和圆的周长，谁能说说圆周长、直径和半径三者之间的关系？已知半径，圆周长的一半怎么求？ (出示一个整圆)哪部分是圆的面积？(指名用手指一指。)这节课我们一起来学习圆的面积怎么计算。(板书课题：圆的面积)(二)学习新课1．我们以前学过的三角形、平行四边形和梯形的面积公式，都是转化成已知学过的图形推导出来的，怎样计算圆的面积呢？我们也要把圆转化成已学过的图形，然后推导出圆面积的计算公式。决定圆的大小的是什么？(半径)所以，分割圆时要保留这个数据，沿半径把圆分成若干等份。展示“曲”变“直”的变化图。2．动手操作学具，推导圆面积公式。 为了研究方便，我们把圆等分成16份。圆周部分近似看作线段，其 用自己的学具(等分成16份的圆)拼摆成一个你熟悉的、学过的平面图形。思考：(1)你摆的是什么图形？(2)所摆的图形面积与圆面积有什么关系？(3)图形的各部分相当于圆的什么？(4)你如何推导出圆的面积？(学生开始动手摆，小组讨论。)指名发言。(在幻灯前边说边摆。)①拼出长方形，学生叙述，老师板书：
②还能不能拼出其它图形？学生可以拼出： 等等……刚才，我们用不同思路都能推导出圆面积的公式是： 。这几种思路的共同特点都是将圆转化成已学过的图形，并根据转化后的图形与圆面积的关系推导出面积公式。例1 一个圆的半径是4厘米，它的面积是多少平方厘米？ =3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)答：它的面积是50.24平方厘米。想一想；求圆面积S应知道什么？如果给d和C，又怎样求圆面积？(三)巩固反馈1．求下面各圆的面积。r=2(单位：分米)　　　　　　 d=6(单位：分米) 2．选择题。用2米长的绳子把小羊拴在草地上的木框上，羊吃到地上的草的最大面积是多少？(1)3.14×22＝12.56(米)(2)3.14×22=12.56(平方米)(3)3.14×32=28.26(平方米)3．思考题：已知正方形的面积是18平方米，求圆的面积。(如图) 课堂教学设计说明1．使学生运用迁移的方法，把新知识转化为旧知识，把圆转化成已经学过的图形。2．在面积公式推导过程中，老师介绍分割圆的方法，展示由“曲”变“直”的过程，然后引导学生动手操作，小组讨论，从各个角度推导出圆面积公式。培养学生动手操作，口头表达和逻辑思维的能力，渗透了极限和转化思想。3．安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学生由浅入深地掌握了知识，形成了技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。板书设计 [ ] 挖掘图形活化认知在图形的教学中，我们要根据需要对教材中的图形进行挖掘，最大限度地发挥该图形的功能，做到一图多用，实现教学的优化组合，从而发展学生的思维能力。下面谈谈我对“圆的面积公式推导”中图形的挖掘与思考。一、观察图形，引发思考和大部分教师一样，在教学例题的时候，我让学生自己把圆平均分成若干份，自己拼一拼、想一想，并结合书上的问题：拼成的近似长方形与原来的圆有什么关系，让学生互相说一说。学生经过动手操作，很快就能结合图说出长方形的面积等于圆的面积，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径。(如下图。) 师：根据长方形面积的计算方法，怎样求圆的面积?学生：因为长方形的面积等于圆的面积，长方形的面积等于长乘宽，也就是圆周长的一半乘以半径，所以圆的面积是S＝πr×r＝πr2。一般来说，圆面积公式的教学至此可以告一段落了，这样的教学已完成了教学任务，学生对圆的面积的推导过程也有了了解，学生学得愉快，教师教得轻松，然而反过来看，学生除了了解公式的由来并能计算圆的面积外，似乎再没有学到什么了。我在这部分教学内容完成以后，没有急于完成书上的配套练习，而是继续让学生观察图形，引发思考。师：除了我们刚才讲的长方形和圆的联系，长方形的周长与圆的周长比较有什么不同呢?生1：长方形的周长要比圆的周长长一些。生2：长方形的周长比圆的周长多两个半径，也就是一个直径。师：你能用手比画一下，多在哪儿吗?(让学生都伸出手指进行比画。)教师顺势出题：如果告诉你拼成的长方形的周长比圆的周长多l0厘米，你能很快计算出圆的面积吗?如果不进行这个环节教学，而直接出示这道题，能独立完成的学生会比较少，所以在教学的时候，我不仅让学生找到图形的联系，也注重让学生去寻找不同之处，引导学生仔细观察，培养学生的求异思维；让每一个学生比画，从而化抽象为具体，学生能切实地感受到两个图形不同在哪里，这样也有利于培养学生的空间观念；练习的设计除了让学生思考图形的差异，也融入了圆的面积计算，有了前面的教学铺垫，学生做起来自然就水到渠成了。二、巧妙移动，甄别异同学生学得扎实吗，真得理解圆面积的推导过程吗?对于圆和特定的长方形面积相等，学生能发现长方形就是圆平均分以后拼起来的图形吗?于是我又出示：如图已知圆的面积和长方形的面积相等，长方形的长是18.84厘米，圆的面积是多少平方厘米?让学生自己完成。正如所料，绝大部分学生都做不出来，于是我询问了原因，有的学生说不知道半径不好求圆的面积，有的学生说，这个长方形和圆之间的关系没有找到。教师引导：我们现在知道什么。生：圆和长方形的面积相等。师：刚才例题中的长方形和圆的面积也相等吧，我们把例题中的长方形移动一下，大家看看会得到什么。(投影出示移动的过程，如下图。)
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求圆的面积的策略 是把圆形转化成我们学过的长方形来求的！
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(&甘肃平凉华亭小学数学三班 )
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圆 的 面 积
&【教学内容】
北师大版小学数学第十一册第一单元16页—18页 “圆的面积”
【教学目标】
1、了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。
2、能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。
3、 在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。
【教学重点】
圆面积概念的建立，公式的推导及应用。
【教学难点】
理解把圆转化为平行四边形、长方形推倒出圆的面积的计算公式的过程。
【教具准备】
投影仪，多媒体课件，等分好的圆形纸片。
【学具准备】
等分好的圆形纸片。
【教学设计】
一、 创设情境。
（出示P16中草坪喷水插图）：
师：同学们，这是现代化农田里的一个自动喷水头，喷射的距离为5米，你们谁知道喷水头喷射一周，我们得到了一个什么样的图形？
[学生回答：圆形]
[课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积]
你们想知道这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少吗？这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积）
二、 探究思考。解决问题
1、估计圆面积大小
（出示P16中插图）
用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,(如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3 个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。
由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。
三、 探索规律
1、 由旧知引入新知
我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗？今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢?
【这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。】
&2、 探索圆面积公式
&（1） 学生操作
师：请大家拿出准备好的16等分的圆，和小组同学一起剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视）
&（2）指名汇报
初步汇报：你们把圆转换成了什么图形？（在学生说的同时教师课件演示）
&&（3）操作反思
小组内拿出32等分的圆形，剪一剪，拼成一个平行四边形，和用16等分的圆拼成的平行四边形比较你发现了什么？ [32等份后拼成的图形更接近于平行四边形] (课件演示)
如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的平行四边形会怎样呢? (圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。)
（4）转化思考：近似平行四边形的底相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?
&（5）观察汇报：&&&
你能否由平行四边形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半，平行四边形的高就是圆形的半径。而平行四边形面积=底×高，那么，圆形面积=圆周长的1/2×半径即可。]
（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？（课件演示）
【指导学生自己动手,并通过课件演示,把一个圆剪拼成近似的平行四边形,从平行四边形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。】
你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？（课件演示） 并说出你的理由。
&（6）练习：教材18页第一题。（学生练习，教师巡视指导）（集体交流）
四、拓展练习：&
北京天坛公园的回音壁是世界闻名的声学奇迹，它是一道圆形围墙。圆的直径约为65.2米，周长和面积分别是多少？（结果保留一位小数）
五 课下实践练习:
师：经过一节课的学习，你们能计算出喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田了吗？ (学生独立解答，指名回答)
&圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，怎样才能计算广场的面积呢？你有哪些方案？
【让学生讨论，并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。】
　　课堂设计应用的策略：
&&& “圆的面积”一课是学生在已经学习了长方形、正方形、三角形等平面几何图形的基础上进行新知学习的。本课的学习重点是通过渗透转化思想，使学生能利用旧知、自主推导出圆的面积公式。在学习中，我设计了这样的环节，组织学生进行小组合作学习。首先由学生回忆、思考，三角形、梯形的面积公式是如何推导的，类推出圆的面积公式是否也可以将圆转化成已经学过的图形来推导出呢？通过设疑，学生的学习动机得到激发。在明确学习任务后，各小组经过初步考虑，对问题进行逐个分解，首先提出了三个需解决的子问题。面临的第一个难题是如何转化？解决化曲为直的问题。第二个难题是转化成哪个平面图形？第三个需解决的问题是圆和转化成的平面图形有什么关系？明确了解决问题的先后次序，各小组就着手展开了第二次讨论。课堂气氛相当活跃，学生动手动脑，参与面广。通过剪剪拼拼，有的拼出了近似于长方形的图形，有的拼出了近似于三角形的图形……有的发现平均分的份数越多，就越接近于长方形或三角形。思维体现出了有序性、互补性。在解决问题的过程中，有的同学表现了协调的专长，有的表现出了决策的才能，有的表现出较好的钻研精神，小组合作使学生在思维的比较中取得了对问题的完满解决，萌发出创新意识和创新精神。随后，各小组进行交流反馈。在交流过程中，学生的思维得到进一步的深化，不仅认真聆听同学的发言，还不断的提出疑问或补充，更为重要的，通过反馈，学生意识到集体的智慧远远超过了个人的聪明，合作使问题得到了最优化解决，最后，当同学们运用自己学到的知识解决生活中的实际问题时，兴趣盎然。　　
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圆的面积公式怎么推导出来的?要图
把圆分成一个个小扇形,再把这些小扇形拼成一个长方形,就可以得到S=r*C/2
可以想象把一个圆展开 他就成里一个底=圆周长 高=半径 的"三角形" (扇形本身就象个三角形嘛 想象一下) 因为 三角形面积=底*高/2 所以圆面积= 圆周长 * 半径 /2 = 2лr * r /2 = л×r×r OK? 其实涉及到微积分问题 不过可以姑且这样想象下这个我认为比较容易理解吧..=...
推导圆面积计算公式的三种教法 教学圆面积公式的推导，我曾听过三种不同的教法，现分别简介过程及稍作评点。
〔第一种教法〕
（1）复习长方形面积计算公式。
（2）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。
（3）教师边用教具演示，边要求学生回答：
①拼成的图形近似于什么图形？想一想，如果等分的份数越多，...圆的面积和周长面积的公式是怎么来的?_百度作业帮
圆的面积和周长面积的公式是怎么来的?
面积是根据极限:将圆划为无数个扇形(三角形),周长是圆周率一定,半径和周长之间关系一定