将半径为R的圆的半径增加△R,则圆的面积的变化率△S/△R为多少?
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圆的面积为S=∏*R^2 半径增加△R后,假设圆的面积变为S1,则S1=∏*(R+△R)^2 △S=S1-S=∏*(R+△R)^2 - ∏*R^2 △S/△R={∏*(R+△R)^2 - ∏*R^2}/△R =2∏*R+∏*△R当△R趋近于零时,面积变化率为2∏*R
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圆的面积为S=πR^2 半径增加△R后假设圆的面积变为S1则S1=π(R+△R)^2=πR^2+2πR*△R+△R^2△S=S1-S=2πR*△R+△R^2故△S/△R=2πR+△R△R足够小时，△S/△R=2πR这其实是大学微积分里的微分问题，你是参加数学竞赛吧？
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“变化率问题”的教学设计
导读：“变化率问题”的教学设计浙江省衢州高级中学舒燕芳一.内容和内容解析内容：平均变化，内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与，本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤，平均变化率是个核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，教学重点：函数平均变化率的概念，二.目标和目
“变化率问题”的教学设计浙江省衢州高级中学 舒燕芳一.内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。五.教学过程设计1.章引言师生共同学习本章的章引言。设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。2.形成概念问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价
甲、乙两人的经营成果?设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多少?设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度
(单位:m)与起跳后的时间
(单位:s) 存在函数关系，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在这段时间里, 运动员的平均速度为多少？设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率――运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）。思考：当运动员起跳后的时间从增加到时,运动员的平均速度是多少?设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。定义：一般地,函数 中，式子称为函数从到的
平均变化率。其中令，，则。设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？设计意图：加深对概念内涵的理解。师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。思考：观察函数的图象平均变化率表示什么?（图略）设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。3.应用举例课堂练习一：求下列函数的平均变化率：（1）
（2）设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。师生活动：教师适当点拨，学生口答。例：求函数的平均变化率。解：课堂练习二：设圆的面积为，半径为，求面积关于半径的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差
（2）作商最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。4.总结提高（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？（3）这节课主要用了哪些数学思想？师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。六.目标检测设计（1）课本第10页习题1.1A组:1（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》（3）备选作业：已知函数，求的值：设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。
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16-大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x) ? cos x( x ? sinx ),则在x ? 0处有(（A） f ?(0) ? 2 （B） f ?(0) ? 1 （C） f ?(0) ? 0 1? x 设? ( x ) ? ，? ( x ) ? 3 ? 33 x，则当x ? 1时（ ） 1? x 2. . （A
） ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小； （C） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小； （D） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的 无穷小. ). （D） f ( x ) 不可导.3. 若F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt0x， 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且f ?( x ) ? 0 ，则（）. （A）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值； （B）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值； （C）函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点； （D） 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值， 点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。4.设f ( x )是连续函数，且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (01)x2 （A） 2x2 ?2 （ B） 2 （C） x ? 12 sin x（D） x ? 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. 6. 7.lim (1 ? 3 x )x ?0?.已知cos x 是 f ( x ) 的一个原函数, x .则? f ( x ) ?cos x dx ? xn ??1 2lim?n(cos 2?n? cos 22? ? n? cos 2n ?1 ?) ? n.8. . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） x? y 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e ? sin( xy ) ? 1确定，求 y?( x ) 以及 y ?(0) .1 ? x7 求? dx . 7 x ( 1 ? x ) 10. ?x ? 1 ? xe ， x ? 0 设f ( x ) ? ? 求 ? f ( x )dx ． ?3 2 ? 2 x ? x ， 0 ? x ? 1 ? 11.1 － 2?x 2 arcsinx ? 1 1 ? x2dx ? 0 12. 设函数 f ( x ) 连续， ， 且 x ?0 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.g( x ) ? ? f ( xt )dt1limf ( x) ?A x ，A 为常数. 求13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足y (1) ? ?1 9 的解.四、 解答题（本大题 10 分） 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x ) ( x ? 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 y ? l n x 的切线，该切线与曲线 y ? l n x 及 x 轴围(1) 成平面图形 D. 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设 函 数 f ( x ) 在 ?0,1? 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q ?[0, 1] ，?0qf ( x ) d x ? q ? f ( x )dx01.17.设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续， 且x?0?f ( x) d x ? 0，0??f ( x ) cos x dx ? 0.证明： 在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ，使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0.（提F ( x) ?示：设? f ( x )dx0）一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） ? ? 1 cos x 2 ( ) ?c 6 e 2 . 8. 3 5. . 6. 2 x .7. 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导 ?? e x ? y ( 1? y? ? ) c oxy s ( xy) (y ? ) 0.e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 ， y?(0) ? ?1 y?( x ) ? ? 7 7 x 6dx ? du 10. 解： u ? x 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2 ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 711. 解： ??301f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ??31 00102 x ? x 2 dx? ? xd (?e ? x ) ? ??301 ? ( x ? 1)2 dx0 ? 2?x ?x 2 ?? (令x ? 1 ? sin ? ) ? ? xe ? e ? ? ?3 ? ? ? cos ? d? ? 2e 3 ? 1 4 12. 解：由 f (0) ? 0 ，知 g(0) ? 0 。??g( x ) ? ? f ( xt )dt ?0x1xt ? u? f (u)du0xx( x ? 0)(x ? 0 )g ?( x ) ?xf ( x ) ? ? f ( u)du0x2g?(0) ? limx ?0? f (u)du0xx2? limx ?0 xf ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 ， g?( x ) 在 x ? 0 处连续。lim g?( x ) ? limx ?0 x ?0xf ( x ) ? ? f ( u)du x0 2dy 2 ? y ? ln x 13. 解： dx xdx dx y ? e ? x ( ? e ? x ln xdx ? C ) ? 2 21 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ?? C , ? 0 y ? x ln x ? x 3 9 9 ， 四、 解答题（本大题 10 分） ?14. 解：由已知且 ， ? ? 将此方程关于 x 求导得 y ? 2 y ? y ?02 特征方程： r ? r ? 2 ? 0y? ? 2? y d x ? yx解出特征根： r1 ? ?1, r2 ? 2. 其通解为y ? C1 e ? x ? C 2 e 2 xC1 ? 2 1 , C2 ? 3 3代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1，得 2 1 y ? e ?x ? e 2x 3 3 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题 10 分）1 y ? ln x 0 ? ( x ? x0 ) x0 15. 解： （1） 根据题意， 先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) ， 切线方程： 1 y? x x ? e e 由于切线过原点，解出 0 ，从而切线方程为：则平面图形面积A ? ? (e y ? ey)dy ?011 e ?1 2V1 ? 1 ? e2 3（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V2V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy016 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）V ? V1 ? V2 ?q?(5e 2 ? 12e ? 3)16. 证明： 0q?qf ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)00 0 q 11q1? (1 ? q) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0 q?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]?q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )1f (?1 ) ? f (?2 )?0故有：? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0 0q证毕。x17.F ( x ) ? ? f (t )dt , 0 ? x ? ? 0 证： 构造辅助函数： 。 其满足在 [0, ? ] 上连续， 在 (0, ? ) 上可导。 F ?( x ) ? f ( x ) ，且 F (0) ? F (? ) ? 0由题设，有0 ? ? f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sinx ? F ( x )dx0 0 0 0????， F ( x ) sinxdx ? 0 ? 有 ，由积分中值定理，存在 ? ? (0, ? ) ，使 F (? ) sin? ? 0 即0?F (? ) ? 0 综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) . 在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗尔定理，知存在 ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) ，使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 ，即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中） (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1. 当 x ? x0 时， ? ? x ? , ? ? x ? 都是无穷小，则当 x ? x0 时（D）不一定是无穷小. (A) (C)? ?x ? ? ? ?x ?(B) (D)? 2 ?x ? ? ? 2 ?x ?? 2 ( x) ? ( x)ln?1 ? ? ( x) ? ? ( x)?1 x?a? sin x ? lim? ? x ? a sin a ? ? 2. 极限（A） 1的值是（ C （B） e）. （C） ecot a（D） etan a? sin x ? e 2 ax ? 1 x?0 ? f ( x) ? ? x ? a x ? 0 在 x ? 0 处连续，则 a ? 3.=（D）.（C） e （D） ?1 f ( a ? h) ? f ( a ? 2h) lim ? h ? 0 f ( x ) h 4. 设 在点 x ? a 处可导，那么 （ （A） 3 f ?(a) （B） 2 f ?(a) 1 f ?(a) f ?(a) (C) （D） 3 （A） 1 （B） 0 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） ln( x ? a ) ? ln a 1 lim (a ? 0) x a. 5. 极限 x ?0 的值是A）. e x y ? y ln x ? cos2x 确 定 函 数 y(x) ， 则 导 函 数 y ? ? y 2 sin2 x ? ? ye xy x . ? xy xe ? ln x 7. 直线 l 过点 M (1,2,3) 且与两平面 x ? 2 y ? z ? 0,2 x ? 3 y ? 5z ? 6 都平行，则直 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 1 ?1 ?1 线 l 的方程为 .6. 由 8. 求函数 y ? 2x ? ln(4x) 的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） 三、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）2.(1 ? x) x ? e lim x 9. 计算极限 x ?0 .limx ?01解：(1 ? x) ? e e ? e lim x ? 0 x1 x1 ln(1? x ) ?1 x?1x? e limx ?0ln(1 ? x) ? x e ?? 2 x 210. 已知： | a |? 3 ， | b |? 26 ， a ? b ? 30 ，求 | a ? b | 。解：? ? a ?b 5 12 cos? ? ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 13 a b 13x，? ? a ? b ? 7211. 设 f ( x) 在[a，b]上连续，且x xF ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dt x ? [a, b]a，试求出 F ??( x) 。解：F ( x) ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dta ax xF ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dtF ??( x) ? f ( x) cos x x 3 dx. ? sin x 12. 求a a?x 解： sincos x 1 dx ? ? ? xd sin ?2 x 3 x 2 1 1 1 1 ? ? x sin ?2 x ? ? sin ?2 xdx ? ? x sin ?2 x ? cot x ? C 2 2 2 2四、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）?22dx x x2 ?113.求 3 1 令 ? t x. 原式 ? ? 2323 211 tdt 1? ty?1 1 (? 2 )dt t 1 ?1 2 t2??1 2? arcsin t3 2 1 2??614. 求函数 解：函数的定义域（－?，+?）2x 1 ? x 2 的极值与拐点.? 4 x(3 ? x 2 ) 2(1 ? x)(1 ? x) ? ? y ? (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 3 令 y ? ? 0 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y ??(1) ? 0 x = 1 是极大值点， y ??(?1) ? 0 x = -1 是极小值点 1 2 y ( 1 ) ? 1 y ( ? 1 ) ? ? 1 极大值 ，极小值y? ?令 y ?? ? 0 得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,- 3 ) －3, x 5= - 3(0, －(- 3 ,0) +3)( 3 ,+?) +y ??3 3 故拐点（- 3 ，- 2 ） ， （0，0） （ 3， 2 ）15.求由曲线y?x3 2 4 与 y ? 3x ? x 所围成的平面图形的面积.解:x3 ? 3x ? x 2 , x 3 ? 12 x ? 4 x 2 ? 0, 4 x( x ? 6)( x ? 2) ? 0, x1 ? ?6, x2 ? 0, x3 ? 2.02 x3 x3 ? 3x ? x 2 )dx ? ? (3x ? x 2 ? )dx ?6 4 0 4 4 3 3 x 3 x 3 x x4 2 0 ? ( ? x 2 ? ) ?6 ? ( x 2 ? ? ) 0 16 2 3 2 3 16 1 1 ? 45 ? 2 ? 47 3 3 2 16. 设抛物线 y ? 4 ? x 上有两点 A(?1,3) ， B(3, ?5) ，在弧 A B 上，求一点 P ( x, y ) 使 ?ABP 的面积最大.S?? (解：AB连线方程：y ? 2 x ? 1 ? 0 AB ? 4 5 点P到AB的距离 ?ABP的面积 2x ? y ? 1 5 ? ?x 2 ? 2x ? 3 ( ?1 ? x ? 3) 5 1 ?x 2 ? 2x ? 3 ?4 5? ? 2( ? x 2 ? 2 x ? 3) 2 5 S ?( x) ? ?4 x ? 4 当x ? 1 S ?( x) ? 0 S ??( x) ? ?4 ? 0 S ( x) ?当x ? 1时S ( x) 取得极大值也是最大值 此时y ? 3 所求点为(1，3)另解：由于?ABC的底AB一定, 故只要高最大而过C点的抛物线2 的切线与AB平行时, 高可达到最大值, 问题转为求C( x0 ，4 ? x0 ) , 使f ?( x0 ) ? ?2 x0 ? ?5 ? 3 3 ? 1 ? ?2, 解得x0 ? 1, 所求C点为(1,3)六、证明题（本大题 4 分）17.2x 设 x ? 0 ，试证 e (1 ? x) ? 1 ? x .证明：设 f ( x) ? e (1 ? x) ? (1 ? x), x ? 02xf ?( x) ? e 2 x (1 ? 2x) ? 1 ， f ??( x) ? ?4 xe2 x ， x ? 0, f ??( x) ? 0 ，因此 f ?( x) 在（0，+?）内递减。在（0，+?）内， f ?( x) ? f ?(0) ? 0, f ( x) 在（0，+?）内递减， 在（0，+?）内， f ( x) ? f (0), 即 e (1 ? x) ? (1 ? x) ? 02x亦即当 x&0 时， e (1 ? x) ? 1 ? x2x。高等数学 I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 18. 函数? ln(x ? 1) ? x ?1 , x ? 1 ? ? ? f ( x) ? ?tan x, 0 ? x ? 1 2 ? ? x ? sin x, x ? 0 ? ? 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (- ? ,+ ? ) (B) (- ? ,1) ? (1,+ ? )(C) (- ? ,0) ? (0, +?) (D) (- ? ,0) ? (0,1) ? (1,+ ? )19.设 x??lim(x2 ?1 ? ax ? b) ? 0 x ?1 ，则常数 a,b 的值所组成的数组（a,b）为（）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20. 设在[0，1]上 f ( x) 二阶可导且 f ??( x) ? 0 ，则（ ） （A） f ?(0) ? f ?(1) ? f (1) ? f (0) (B) f ?(0) ? f (1) ? f (0) ? f ?(1) (C) f ?(1) ? f ?(0) ? f (1) ? f (0)?（D） f (1) ? f (0) ? f ?(1) ? f ?(0)??3 4 ? (sin x ? cos x)dx P ? ? 2M ?2 2 21. 则（ ） （A） M & N & P （B） P & N & M （C） P & M & N （D） N & M & P 二 填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）???2sin x cos4 x dx, N ? 1? x2???? ( x222sin 3 x ? cos4 x)dx1. 设 x ? 1 d ( x arctan x ? 1) ? （2） （ ）2. 设? f ( x)dx ? sin x ? c, 则 ? f(n)( x) dx ?x?4 y z ?5 ? ? 3. 直线方程 2 ? m n 6 ? p ，与 xoy 平面，yoz 平面都平行，那么 m, n , p 的值各为（n ?i?2）i ? ? lim ? 2 e ? n ? ? x ? ?? i ?1 n 4. （ ） 三 解答题（本大题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1 ? ? 1 lim ? 2 ? 2? x ?0 s i n x x ? ? 1. 计算1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ? x x ? 0 试讨论 f ( x) 的可导性，并在可导处求出 f ?( x) ? 2. 设 3. 设函数 y ? f ( x)在(??,??) 连续，在 x?0 时二阶可导，且其导函数 f ?( x) 的图形如图所示，给出f ( x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f ( x) 的拐点。yxa O 四bcd解答题（本大题有 4 小题，每小题 9 分，共 36 分） x ? 2 2 dx ( ) ? x ?1 x 1. 求不定积分? ln x dx1e2. 计算定积分 e 3. 已知直线 l2 的平面方程。l1 :x y z ?1 ? ? 1 2 3l2 :x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 2 5 4 , 求过直线 l1 且平行于直线4.81 ? 过原点的抛物线 y ? ax 及 y=0,x=1 所围成的平面图形绕 x 轴一周的体积为 5 ， 确定2抛物线方程中的 a，并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积。五、综合题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）2 1. 设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ，其中 f ( x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 ，试证明存在 ? （ 1 ? ? ? 2 ）使得 F ??(? ) ? 0 。2.f ( x) ? ? (t ? t 2 ) sin 2n tdt ( x ? 0)0x（1） 求 f ( x) 的最大值点；f ( x) ?（2） 证明：1 (2n ? 2)(2n ? 3)一、单项选择题BDBC.二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） x 1 ( ? 4 arctan x ? 1)dx x ?1 5. dy ? 2 .6. 7.n? n? cos( x ? )dx ? sin( x ? )?c ( x ) dx ? ? ? 2 2 . m ? 2, p ? ?6, n ? 0 .f(n)1 (e ? 1) 2 8. . 三、解答题（本大题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1 1 lim( 2 ? 2 ) x ?0 sin x x . 9. (8 分)计算极限1 1 x 2 ? sin 2 x ? ) ? lim 2 2 x ?0 x 2 sin 2 x 解： x?0 sin x x x ? sin x x ? sin x ? lim x ?0 x3 x 1 ? cos x 1 ? 2 lim ? x ?0 3x 2 3 1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ? x ? 0 ，试讨论 f ( x) 的可导性，并在可导处求出 ?x 10. (8 分)设 lim(f ?( x) . 解： 当x ? 0 , f ?( x) ? 2 x cos1 1 ? sin x x ；当 x ? 0 , f ?( x) ? 11 ?0 ?x ? 0 ? x x?0 f ? '(0) ? lim ? 0 f ? '(0) ? lim ?1 ?x ?0? ? x ? 0 ? ?x ?x 1 1 ? x?0 ?2 x cos ? sin f ??x ? ? ? x x ? x?0 ?1 故 f (x)在 x=0 处不可导。 ?x 2 cos11. (8 分 ) 设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 连续，在 x ? 0 时二阶可导，且其导函数f ?( x ) 的图形如图 . 给出 f ( x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f ( x) 的拐点.yxa Obc d 极小值点： x ? b解：极大值点： x ? a x ? d 拐点 (0, f (0)),(c, f (c)) 四解答题（本大题有 4 小题，每小题 9 分，共 36 分）( x ? 2)2 ? x( x ? 1)2 dx . 12. (9 分)求不定积分 4 1 ?3 ( ? ? )dx 2 ? x ( x ? 1) x ? 1 解：原式==4 ln x ?1 ? 3 ln x ? 1 ? c x ?113. (9 分)计算定积分1?e1 eln x dx.e 1解：原式=? ? ? ln x ? dx ? ?1 e1 eln xdxe?? ? ? ? x ln x ? x ? ? ? 1 ? ? x ln x ? x ?1? 2? 2 ex y z ?1 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? l2 : ? ? 1 2 3 ， 2 5 4 ,求过直线 l1 且平行于 14. (9 分)已知直线 直线 l2 的平面方程. 解： n ? s1 ? s2 ? (1, 2,3) ? (2,5, 4) ? (?7, 2,1) l1 : 取直线 l1 上一点 M1(0,0,1) 于是所求平面方程为?7 x ? 2 y ? ( z ? 1 ) ? 015.(a ? 0 ) 及 y=0, x=1 所围成的平面图形绕 x (9 分)过原点的抛物线 y ? ax 81 ? 轴一周的体积为 5 . 求 a，并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积.2x5 V ? ? ? (a x ) dx ? ? a 5 0 解：2 2 211?0? a25? a2由已知得5?81? 2 5 故 a = 9 抛物线为： y ? 9x11x4 V ? ? 2? x ? 9 x dx ? 18? 4 0 绕 y 轴一周所成的旋转体体积： 五 综合题（每小题 4 分，共 8 分）2209 ? ? 216. (4 分)设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ， 其中 f ( x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 .证明：存在 ? （ 1 ? ? ? 2 ）使得 F ??(? ) ? 0 。 证明：由 f ( x) 在[1，2]上二阶可导，故 F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故 F (1)=F(2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点 x0 , (1 ? x0 ? 2) 使 F ?( x0 ) ? 0F ?( x) ? 2( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1) 2 f ?( x)17. (4 分).得 F ?(1) ? 0在[1，x0]上对 F ?( x) 用罗尔定理，至少有点 ? (1 ? ? ? x0 ? 2) F ??(? ) ? 0解： （1） x ? 1 为 f ( x) 的最大值点。 f ?( x) ? ( x ? x2 )sin 2n x ， 当 0 ? x ? 1 ， f ?( x) ? ( x ? x2 )sin 2n x ? 0 ； 当 x ? 1 ， f ?( x) ? ( x ? x2 )sin 2n x ? 0 。 f (1) 为极大值，也为最大值。 （2）f ( x) ? ? (t ? t 2 )sin 2n tdt ? f (1)01 1 0 0xf (1) ? ? (t ? t 2 )sin 2 n tdt ? ? (t ? t 2 )t 2 n dt ?1 (2n ? 2)(2n ? 3)高等数学上 B（07）解答 一、填空题： （共 24 分，每小题 4 分） dy ? 2 2 2 y ? sin[sin( x )] 1． ，则 dx 2 x cos[sin( x )]cos x 。 ?? a dx ? ? 2 ? 2． 已知 ?? 1 ? x ， a =__1______。 e ?1e ln x dx ? 2 ? 2 e。 3．x 4． y ? e 过原点的切线方程为 y ? ex 。 x ? 5．已知 f ( x) ? e ，则 3 9 ? 6． a ? 2 ， b ? 2f '(ln x) dx x = x?c。3 2 时，点 (1, 3) 是曲线 y ? ax ? bx 的拐点。 二、计算下列各题： （共 36 分，每小题 6 分）1．求 y ? (sin x) 的导数。 cos x lnsin x )? ? ecos x lnsin x (? sin x lnsin x ? cot x cos x) 解： y? ? (ecos x2．求 ? 解： ?sin ln xdx。sin ln xdx ? x sin ln x ? ? cos ln xdx? x sin ln x ? x cos ln x ? ? sin ln xdx1 ( x sin ln x ? x cos ln x) ? C 2 x?5 ? x2 ? 1 dx 3．求 。 ?解：?x?5 x2 ? 1dx ?1 d ( x 2 ? 1) 5 dx ? ? dx ? 2 2 x ?1 x2 ?1? x2 ?1 ? 5ln | x ? x2 ?1 | ?C x ? x?0 ?e , f ( x) ? ? k x ? 0 在点 x ? 0 处可导，则 k 为何值？ ? ? x ? 1, 4．设解：f ??(0) ? lim xk ? lim x k ?1 x ?0 ? x x ?0 ? 11 n 2 ? 22 1f ??( 0 ) ?k ?1ex ?1 lim ? x ?0 ? xlim( 1 n2 ? 12 ?5．求极限 解：n ????) n2 ? n2 。lim(n ??1 n2 ? 12n k ?1n? 11 n 2 ? 22??1 n2 ? n2)? lim ?n ??? lim ?n ?? k ?1n ? k2 1 1 k2 n 1? 2 n2 ??11 1 ? x20dx=? ln( x ? 1 ? x 2 ) |1 2) 0 ? ln(1 ?? x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? z ? 0 ? ? 6．求过点 (2, 2, 0) 且与两直线 ? x ? y ? z ? 1 ? 0 和 ? x ? y ? z ? 0 平行的平面 方程。 解 ： 两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为 s1 ? (1, 2, ?1) ? (1, ?1,1) ? (1, ?2, ?3), s2 ? (2, ?1,1) ? (1, ?1,1) ? (0, ?1, ?1) ， 平面的法向量n ? (1, ?2, ?3) ? (0, ?1, ?1) ? (?1,1, ?1) 。平面方程为 x ? y ? z ? 0 。 三、解答下列各题： （共 28 分，每小题 7 分） ? x ? R cos t d2y ? 2 1．设 ? y ? R sin t ，求 dx 。 dy ? ? cot t 解： dxd2y 1 1 ? (? cot t )? ?? t 2 dx ? R sin t R sin 3 t0 2．求 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值。 解： F ?( x) ? x( x ?1) ? 0, x ? 0, x ? 11 1 F (0) ? 0, F (1) ? ? t (t ? 1) dt ? ? , 0 6 ?1 2 5 2 F (?1) ? ? t (t ? 1) dt ? ? , F (2) ? ? t (t ? 1) dt ? 0 0 6 3 2 5 ? 最大值为 3 ，最小值为 6 。F ( x) ? ? t (t ? 1)dtx2 2 3．设 y ? y ( x) 由方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 确定，求 y '(0) 。 2 2 解：方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 两边同时对 x 求导 2 x ? 2 y? (1 ? y 2 ) ? 2 xyy? ? 2 ?0 x ? 2y 1 x ? 0, y ? 2 代入上式 将 5 y ' ( 0? ) 8 2 2 4．求由 y ? x 与 y ? x 围成的图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。解：V ? ? ? ( y ? y 4 )dy013 ? 10 四、证明题：(共 12 分，每小题 6 分) ? 1．证明过双曲线 xy ? 1 任何一点之切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。 证明：双曲线 xy ? 1 上任何一点 ( x, y ) 的切线方程为Y?y?? 1 ( X ? x) x21 (0, y ? ), (2 x, 0) x切线与 x 轴、 y 轴的交点为1 s? x ( y? ) ? 2 x 故切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 2．设函数 f ( x) 与 g ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，证明：至少存在一点 ? 使得f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx?ab?证明：令F ( x) ? ? g ( x)dx ? f ( x)dxx abbxF (a) ? F (b) ? 0 ，由 Rolle 定理，存在一点 ? ? [a, b] ，使 F ?(? ) ? 0 ，即f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx?a?高等数学上解答（07）一、单项选择题（每小题 4 分，共 16 分） ?|sin x| (?? ? x ? ??) 是 A 1． f ( x) ? x cos xe 。 （A）奇函数； （B）周期函数； （C）有界函数； （D）单调函数 2 2．当 x ? 0 时， f ( x) ? (1 ? cos x) ln(1 ? 2x ) 与 B 是同阶无穷小量。 3 4 5 2 （A） x ； （B） x ； （C） x ； （D） x?x ? 2 y ? z ? 0 ? 3．直线 ? x ? y ? 2 z ? 0 与平面 x ? y ? z ? 1 的位置关系是 C 。 （A）直线在平面内； （B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂 直。4．设有三非零向量 a, b, c 。若 a ? b ? 0, a ? c ? 0 ，则 b ? c ? A 。 （A）0； （B）-1； （C）1； （D）3二、 填空题（每小题 4 分，共 16 分）1．曲线 y ? ln x 上一点 P 的切线经过原点 (0, 0) ，点 P 的坐标为 (e,1) 。 tan x ? x 1 lim 2 x ? x ?0 x (e ? 1) 3。 2．y 2 3．方程 e ? 6 xy ? x ? 1 ? 0 确定隐函数 y ? y ( x) ，则 y?(0) ? 0 。 2 4．曲线 y ? x 、 x ? 1 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为? 5。 三、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1．已知 解：f ( x) ? lim (t ???t ? sin 2 x t ) t ，求 f ?( x ) 。f ( x) ? lim (t ???22 t ? sin 2 x t ) ? e? sin x tf ?( x) ? ?e?sin x sin 2x? [ln(ln x) ? ln x ]dx 。 2．求不定积分解:1? [ln(ln x) ? ln x ]dx ? ? ln(ln x)dx ? ? ln x dx? x ln(ln x) ? ?111 1 dx ? ? dx ln x ln x ? x ln(ln x) ? C 1 sin x x2 ( ? 1 ? x 2 )dx 4 ? ?1 1? x 3．计算定积分 。? 解：1 1 sin x sin x x2 ( ? 1 ? x 2 )dx ? ? ( x 2 1 ? x 2 )dx ? ? x 2 dx 4 ?1 ?1 ?1 1? x 1 ? x4 1? ? ( x 2 1 ? x 2 )dx ? 0?1x ? sin t1? 2 ? 2 sin 2 t cos 2 tdt0???8dx ? 4．求不定积分 1 ? cos x 。dx ? ? dx ? ? dx ? 1 ? cos x 1 ? cos x 解： 1 ? cos x1 x d cos x sec 2 dx ? ? ? 2 2 1 ? cos x x ? tan ? ln |1 ? cos x | ?C 2 5．已知 f ?(ln x) ? x ，且 f (1) ? e ? 1 ，求 f ( x) 。 ?t 解：令 ln x ? t ， f ?(t ) ? e f ( x) ? e x ? C f (1) ? e ? 1 ， f ( x) ? ex ? 11 ? sin x1 ? sin x1sin x四、 （8 分） 设 f ( x) 对任意 x 有 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ， 且解：由 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ， f (1) ? 2 f (0) f ( x) ? f (1) f ?(1) ? lim x ?1 x ?1 x ?t ?1 f (t ? 1) ? f (1) ? lim t ?0 tf ?0 ) (??1 )( 。 2。 求 f ?1 ? limt ?02 f (t ) ? 2 f (0) t ? 2 f ?(0) ? ?12 2 五、 （8 分）证明：当 x ? 1 时， ( x ?1)ln x ? ( x ?1) 。证明：只需证明 ( x ? 1) ln x ? x ? 1 。 令 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 11 ?0 x ， f ( x) 在 [1, ??) 单调递增。 f (1) ? 0 ，当 x ? 1 时， f ( x) ? 0 。即 ( x2 ?1)ln x ? ( x ?1)2 。 f ?( x) ? ln x ?六、 （8 分）已知F ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ??(t )dt0x2 ， f ??( x) 连续，且当 x ? 0 时， F ?( x) 与 x为等价无穷小量。求 f ??(0) 。 F ?( x) lim 2 ? 1 解： x ?0 xF ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f ??(t )dt ? x 2 ? f ??(t )dt ? ? t 2 f ??(t )dt0 0 0xxxF ?( x) ? 2 x ? f ??(t )dt ? x f ??( x) ? x f ??( x) ? 2 x ? f ??(t )dt2 2 0 0xxlim2 x ? f ??(t )dt F ?( x) 0 ? lim ? 2 f ??(0) x ?0 x ?0 x2 x2 1 f ??(0) ? 2x七、 （8 分）2 设有曲线 y ? 4 x (0 ? x ? 1) 和直线 y ? c (0 ? c ? 4) 。 记它们与 y 轴所围 图形的面积为 A1 ，它们与直线 x ? 1 所围图形的面积为 A2 。问 c 为何值时，可使 A ? A1 ? A2 最小？并求出 A 的最小值。 解：A ? A1 ? A2 ? ?c 0 4 y y dy ? ? (1 ? )dy c 2 2A?(c) ? c ?1 令 A?(c) ? c ?1 ? 0 ，得 c ? 1 。A??(1) ? 1 ?0 2 ， c ? 1 为最小值点。4 y y dy ? ? (1 ? )dy ? 1 0 2 1 2 八、设 f ( x) 在 ( a, b) 内的点 x0 处取得最大值，且 | f ??( x) |? K (a ? x ? b) 。 证明： | f ?(a) | ? | f ?(b) |? K (b ? a)min A ? ?1证明： f ?( x0 ) ? 0 在 [a, x0 ] 对 f ?( x ) 应用拉格朗日定理 f ?( x0 ) ? f ?(a) ? f ??(?1 )( x0 ? a) (a ? ?1 ? x0 ) f ?(a) ? f ??(?1 )(a ? x0 ), |f ?(a) |? K ( x0 ? a) 在 [ x0 , b] 对 f ?( x ) 应用拉格朗日定理 f ?(b) ? f ?( x0 ) ? f ??(?2 )(b ? x0 ) ( x0 ? ?2 ? b) f ?(b) ? f ??(?2 )(b ? x0 ), |f ?(b) |? K (b ? x0 )一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、设I ? ?ex ?1 d x , 则I ? ex ?1 ( A) ln(e x ? 1) ? c ( B) ln(e x ? 1) ? (C ) 2 ln(e x ? 1) ? x ? ( D ) x ? 2 ln(e x ? 1) ? c.答( )2、1 n?? 2lim e n ? e n ?en ?1 n?e ?( A)1 ( B) e (C)e ( D)e 2 答（ ）3、1 的n阶麦克劳林展开式的拉 格朗日型余项 Rn ( x) ? ( )(式中0 ? ? ? 1) 1? x (?1) n 1 n ?1 ( A) x ( B ) x n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 1)(1 ? ?x) (n ? 1)(1 ? ?x) f ( x) ? (?1) n 1 n ?1 (C ) x ( D ) x n ?1 n?2 n?2 (1 ? ?x) (1 ? ?x) 答 ( )4、设f ( x)在x ? 0的某邻域内连续 , 且f (0) ? 0, limf ( x) ? 2 , 则点x ? 0 x ?0 1 ? cos x ( A) 是f ( x)的极大值点 ( B) 是f ( x)的极小值点 (C ) 不是f ( x)的驻点 ( D) 是f ( x)的驻点但不是极值点 答 ( )5、曲线y ? x 2 ? 2 x ? 4上点M 0 (0,4)处的切线M 0T与曲线y 2 ? 2( x ? 1)所围成的平面 图形的面积A ? 21 4 9 13 ( A) ( B) (C ) ( D) 4 9 4 12答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)1 设 y ? ln 1 ? tan( x ? ) ，则y ? ? ＿＿＿＿ x 1、23 2、用切线法求方程 x ? 2x ? 5x ? 1 ? 0在(?1 ， 0)内的近似根时 , 选x0并相应求得下 一个近似值 x1 ? 则x0，x1分别为__________ ________? x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 2 ? 与 x ? 1 ? y ? 1 ? z 相交于一点， 3、 设空间两直线 1 则 ? ? ????? 。 ? sin x ? e 2 ax ? 1 ，当x ? 0 ? f ( x) ? ? , 在x ? 0处连续，则a ? __________ _ . x ? x?0 ?a ，当 4、5、 0 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )?bx dx ? __________ _______ ，其中b是实数．? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 3 i ? j b ? i ? j ? 4 k c ? 2 i ? 6 j ?k 与 ? 设平面 与两个向量 和 平行， 证明： 向量 平面 ? 垂直。四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )讨论积分 ?10dx 的敛散性． xp五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )导出计算积分 In ? ?六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )dx xn x2 ?1的递推公式 , 其中n为自然数。?x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 l1 : ? ? z ? 10 ? 0 求过 P0 (4,2,?3) 与平面 ?: x ? y ? z ? 10 ? 0 平行且与直线 垂直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )计算极限limx ?01 ? x sin x ? cos 2 x x tan xe八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )3 试求I n ? ? (ln x) n dx 的递推公式 (n为自然数)，并计算积分 ? (ln x) dx． 1 1 e九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )设f ( x) 在(a, b) 内可微, 但无界，试证明f ?( x) 在(a, b) 内无界。十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 设 lim ?( x) ? u 0， lim f (u ) ? f (u 0 ) , 证明： lim f ??( x)? ? f (u 0 )x ? x0 u ?u0 x ? x0。十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )在半径为R的球内 , 求体积最大的内接圆柱 体的高十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为 p 的重物用绳索挂在 A, B 两个钉子上， 如图。 设 所受的拉力 f 1 , f 2 。cos ? ?12 4 ,cos ? ? 13 5， 求 A, BA OBp十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 一质点 , 沿抛物线y ? x (10 ? x ) 运动 , 其横坐标随着 时间t的变化规律为x ? t t (t的单位是秒 , x的单位是米 ), 求该质点的纵坐标在点M (8， 6) 处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )设曲线 x ?y , x ? 2 ? y 2 及y ? 0,围成一平面图形 .(1)求这个平面图形的面积 ;(2)求此平面图形绕 x轴旋转而成的立体的体 积.、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、C 2、答：B 3、 C 10 分 4、 （Ｂ） 5、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)1 1 ) sec 2 ( x ? ) 2 x x 1 2(1 ? tan( x ? )) x 1、 (1 ?2、 x 0 ? 010 分 5分 10 分x1 ? ?1 5 5 3、 44、-1? b2 ? ? 2 ，b ? 0 ? ? ?0 ，b ? 0 ?b 2 ? ，b ? 0 ?2 5、 ?三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )10 分? ? ? n ? a ?b ? 3 1平面法向量? i? j? k 0 ? {?4,12,2}4分 8分 10 分1 1 ?4? 从而平面与 c 垂直。四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )? ? n ? ?? ?2c n 与 c 平行 当p ? 1时， 1 dx 1 dx 1 1 ? lim( ? p ?1 ) 1 ? p ?0 x p ? ?lim ? ??0 ? x ? ??0 1 ? p x 1 1 ? lim (1 ? p ?1 ) ? ??0 1 ? p ? ? 1 ，p ? 1 ? ? ?1 ? p ???，p ? 1 ?当p ? 1时， 1 dx 1 dx ln x 1 ? ? ?? ?0 x p ? ?0 x ? ?lim ??0 1 dx ?0 x p 当p ? 1时收敛，当 p ? 1时发散 .五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )5分7分 10 分解 : 法一 In ? ? 1 xn ?1d x2 ?1?x2 ? 1 x2 ? 1 ? ( n ? 1 ) ? x n?2 dx x n ?13分 ? ? ?x2 ? 1 1? x2 ? (n ? 1) ? dx x n ?1 x n?2 x 2 ? 1 x2 ? 1 1 dx ? (n ? 1) ? dx ? (n ? 1) ? n ?1 n ? 2 2 n x x x ?1 x x2 ? 1 x2 ? 1 ? (n ? 1) I n ? 2 ? (n ? 1) I n x n ?1故I n?2 ? ?x2 ? 1 n ? In n ?1 n ?1 (n ? 1) x7分1? x2 1 I 1 ? ln ? ?c x x ? In ? ? x2 ? 1 2 ? n ? I n ? 2 (n ? 2) I 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c n ?1 n ?1 (n ? 1) x10 分 3分2法二 令x ? tan t dx ? sec 2 tdt? In ? ? sec tdt sec t ?? dt n tan t sec t tan n t d sec t ?? tann ?1 t sec t sec 3 t ? ? ( n ? 1 ) dt tann ?1 t ? tann ? 2 t sec t sec 3 t sec t ? ? ( n ? 1 ) dt ? (n ? 1) ? dt n ?1 n?2 ? tan t tan t tann t5分 ? ? I n?2x ?1 ? (n ? 1)( I n ? 2 ? I n ) x n ?12n x2 ? 1 ?? In ? n ?1 (n ? 1) x n ?1 x2 ? 1 2?n ? I n ? 2 ( n ? 2) n ?1 n ?1 (n ? 1) x1? x2 1 ? ?c x x10 分? In ? ?7分I 1 ? lnI 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c.六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ),,} ? 的法向量为 n ? {111 il1 的方向向量为所求直线方向向量为jk 1S1 ? 1 2 ?1 ? {2,?1,0} 0 03分 7分S ? n ? S1 ? {1,2,?3}从而所求直线方程为x?4 y?2 z?3 ? ? 1 2 ?310 分 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )原式 ? lim?1 ? x sin x ? cos2 2 x x ?0 x tan x ( 1 ? x sin x ? cos 2 x )23分 7分 10 分1 x sin x sin 2 x lim( ? ) x ? 0 2 x tan x x tan x 1 5 ? (1 ? 4) ? 2 2八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )I n ? ? (ln x) n dx1 e ? x ln n x 1 ? n ? (ln x) n ?1dx ee? e ? nI n ?114分e 1于是 I n ? e ? ne ? n(n ? 1)e???( ?1) n n! ? dx? e ? ne ? n(n ? 1)e ? ? ? (?1) n?1 n(n ? 1)?2e ? (?1) n n!(e ? 1)7分所以 ? (ln x) 3 dx ? e ? 3e ? 6e ? 6(e ? 1)1e ? 6 ? 2e九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )10 分证明: 反证设f ?( x) 在(a , b) 内有界, 即?M ? 0则?x ? (a , b) 有 f ?( x ) ? M取x 0 ? (a, b)则对?x ? (a, b), x ? x0 在以x0与x为端点的区间上 f ( x) 满足拉格朗日中值定理 的条件, 则至少存在?介于x0与x之间, 使 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(?)( x ? x0 )即 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?(? ) (b ? a ) ? f ( x 0 ) ? M (b ? a ) 记为K8分 5分 2分 即f ( x) 在(a, b) 内有界与题意矛盾, 故假设不正确, 即f ?( x) 在(a, b) 内无界.10 分 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )由 lim f (u ) ? f (u 0 )u ?u 0任给? ? 0，存在? ? 0使当u ? u0 ? ?时，恒有 f (u) ? f (u0 ) ? ?又 lim ?( x) ? u 0，取?1 ? ?，存在? ? 0x ? x04分使当0 ? x ? x0 ? ?时， ?( x) ? u 0 ? ?故当 0 ? x ? x 0 ? ?时，就有因此 lim f ?? ( x )? ? f (u0 )x ? x08分f ?? ( x )? ? f (u0 ) ? ?成立10 分十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )设内接圆柱体的高为 h, 则圆柱体的底面半径 r ? R2 ? ( 其体积为 V ? ?h( R 2 ? h2 ) 0 ? h ? 2R 4h 2 ) 24分 V ? ? ? ( R 2 ? 唯一驻点 h ?3 2 h ) 42 3 R 38分 10 分3 V ?? ? ? ?h ? 0 2故h ?2 3 R时, 圆柱体体积最大 3十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 按点 O 受力平衡，应有4 ?12 ? 13 f 1 ? 5 f 2 ? p ? 5 ? f 1 cos? ? f 2 cos ? ? p 3 ? ? f1 ? f 2 ? 0 5 ? f 1 sin ? ? f 2 sin ? ? 0 ，即 ? 13 39 25 f1 ? p, f2 ? p 56 56 解得十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )(4 分 ) (8分)(10 分)当 x ? 8时，t ? 42分 3 dx ? t 2 ? 3(米／秒) 2 dt t?4 t?4dy dx ? (10 ? 2 x) ? x?8 dt dt ? ?18(米／秒) x(t ) ? 314分答：质点的纵坐标在M (8，16) 处的变化率为 ? 18( 米／秒)十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )10 分解:(1) x ? S ?y x ? 2 ? y 2 交点 (11 , ).2 1?10x 2 dx ? ?2 ? x 2 dx21 x x ? ? ( 2 ? x 2 ? arcsin ) 3 2 2 11 1 ? ? ? ? ? 3 2 2 4 ? 1 ? ? , 4 6 ?3分5分2 1(2) Vx ? ? ? x 4 dx ? ? ? (2 ? x 2 )dx018分??5 4 2 22 ?( ? )? . 3 15? 2( 2 ? 1)? ??3(2 2 ? 1)10 分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、lim(1 ? cos x ) 2 sec x ? ( )x ??1 4 答（ ） A．e ?2 B．e 2 C． 4 D．2、 设f ( x), g ( x)在x0的某去心邻域内可导 , g ?( x) ? 0且 lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0,x ? x0 x ? x0则( I ) limx ? x0f ( x) f ?( x) ? A与(Ⅱ) lim ? A关系是 : x ? x0 g ?( x ) g ( x)( A) ( Ⅰ )是(Ⅱ)的充分但非必要条件 ( B) ( Ⅰ )是(Ⅱ)的必要但非充分条件 (C ) ( Ⅰ )是(Ⅱ)的充要条件 ( D) ( Ⅰ )不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必 要条件 答 （ ）3、设f ( x)在?a，b?连续，F ( x) ? ? f ( x)dt (a ? x ? b)，则F ( x)是f ( x)的x a ( A)．原函数一般表示式 ( B)．一个原函数 (C )．在?a，b?上的积分与一个常数之 差4、 ( D)．在?a，b?上的定积分 答（ ）若已知x ? 0时，F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f ??(t ) d t的导数与x 2 是等价无穷小，则 f ??(0) ?0 x( A)1 (C ) ? 1 1 ( B) 2 ( D) ?1 2 答（ ）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分)11、 y ? xe 2、 3x2的铅直渐近线是__________ _________________. 、? tan2xd x ?设f ( x)为以T为周期的连续周期函数 ，则f ( x)在?a，a ? T ?(a ? 0)上的定积分与 f ( x)在?0，T ?上的定积分的大小关系 是 __________ ____ x y?2 z?7 ? ? 3 5 4 、 直 线 1 与 平 面 3x ? y ? 9 z ? 17 ? 0 的 交 点 为??????????????????? 。 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 2、(本小题 6 分)写出f ( x) ? ln(1 ? x)? x ? 1?带拉格朗日型余项的 n阶麦克劳林展开式 .x2 y2 ? ? z2 16 指出锥面 4 被平行于 zox 平面的平面所截得的曲线的名称。四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 24 分) 1、(本小题 1 分) 求 ? x d x.2、(本小题 2 分)计算? ( x ? x )dx ．043、(本小题 5 分)求?ln x d x. x 1 ? ln x44、(本小题 5 分)求?1． x(1 ? x )tan x 2dx5、(本小题 11 分)?设 y( x) ? (2 ? x)1 ，( ? x ? 1) 求dy． 2五、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 14 分) 1、(本小题 7 分)试证：F (t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx为偶函数．0?2、(本小题 7 分) 试证： 对角线向量是 A ? ?3,?4,?1?, B ? ?2,3,?6? 的平行四边形是菱形， 并计算其边长。 六、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 20 分) 1、(本小题 6 分)在抛物线y ? x 2 找出到直线3xk ? 4 y ? 2的距离为最短的点2、(本小题 6 分)设曲线的方程为y ? f ( x ). 已知在曲线的任意点 ( x , y ) 处满足y ?? ? 6 x , 且在曲线上的 (0,?2) 点处的曲线的切线的方程为 2 x ? 3 y ? 6, 求此曲 线的方程.3、(本小题 8 分)经济学上, 均衡价格p0 定义为供给曲线与需求 曲线相交时的价格 ,消 费者剩余定义为需求曲 线与直线p ? p0间的面积(右图区域?),生产 者剩余定义为供曲线与 直线p ? p0间的面积(右图区域? ). 已知需 求曲线方程p( x) ?
x 2 , 供给曲线方程为 p( x) ? 42x.求均衡 点及消费者剩余和生产 者剩余. 七、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 6 分) 1、(本小题 1 分)设f ( x)在x ? x0处连续，g ( x)在x0处不连续， 试判定F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在x0处的连续性．2、(本小题 5 分)若 lim f ( x) ? ?， lim g ( x) ? A，试判定 lim f ( x) ? g ( x)是否为无穷大？x ? x0 x ? x0 x ? x0一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、D 10 分 2、 答 ( B) 3、B 4、B 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、 x ? 0 2、 ? tan x ? x ? c. 3、= 4、 ( 2,4,3) 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 10 分 10 分 10 分10 分x2 x3 xn ? ??? ? Rn ( x ) 2 3 n 1 1 Rn ( x) ? ? ? x n?1 , ?介于0与x之间 n ?1 n ? 1 (1 ? ? ) f ( x) ? ? x ?2、(本小题 6 分)7分 10 分? x2 y2 ? ? z2 ? ? 0 ?4 16 ? y ? y y ? y 0 ? 0 所截得的曲线为 用 故 y 0 ? 0 时为一对相交直线y0 ? 0 时为双曲线四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 24 分) 1、(本小题 1 分)4分 10 分?x dx ?2 3 x 2 ? c. 3310 分2、(本小题 2 分)x2 2 2 4 原式 ? ( ? x ) 0 2 3 40 ? 37分 10 分 3、(本小题 5 分)ln x dx x 1 ? ln x ln x ?? d(ln x) 1 ? ln x?3分? ? 1 ? ln x d(1 ? ln x) ? ?d(1 ? ln x) 1 ? ln x7分 10 分?2 (1 ? ln x) 33 2? 2 1 ? ln x ? c.4、(本小题 5 分)令 x ? t原式 ? ?2 12t dt t (1 ? t )24分 6分22 1 1 ? 2? ( ? )dt 1 t t ?1? 2?ln t ? ln( t ? 1) ?18分 10 分 2分? 2 ln4 35、(本小题 11 分)dy ? y ?( x)dx ? (2 ? x )tan x 2??x 1 ?x ? ?? sec 2 ln(2 ? x) ? tan ?dx ? 2 2? x 2? ?210 分五、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 14 分) 1、(本小题 7 分)F ( ?t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx0?2分令 x ? ? ? uF (?t ) ? ? ? ln(t 2 ? 2t cos u ? 1)du?06分 8分 10 分? ? l nt (2 ? 2t c o s x ? 1)dx0?? F (t )2、(本小题 7 分) 因为 A ? B ? 3 ? 2 ? (?4) ? 3 ? (?1) ? (?6) ? 0 ，故 A? B 因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6 分） 边长=?0.5?| A| ? 0.5?| B|? ?2?2?1 ? ? 32 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ?2??1/ 2? ?1 2 2 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ( ?6) ? ?22??1/ 2? ? ?2 ?5 3 2（10 分）六、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 20 分) 1、(本小题 6 分)设抛物线上任点( x, x 2 ), 到直线的距离为d? 3x ? 4 x 2 ? 2 9 ? 16 1 ? ( 4 x 2 ? 3x ? 2) 54分1 d ? ? (8 x ? 3) 5 唯一驻点 x ? d ?? ? 3 88 ?0 5 3 故当x ? 时, d最小 8 9? ?3 即点? ， ? 到直线3x ? 4 y ? 2 ? 0的距离最短 ? 8 64 ?(注如用切线平行于已知直线解也可以) 2、(本小题 6 分)8分 10 分? y ? ? ? y ?? d x ? 3 x 2 ? c (1)3分又由2 x ? 3 y ? 6得y ? ? y ? ( 0, ?2 ) ?y ? ? 3x 2 ? 2 32 x?2 32 代入(1) 得 35分? y ? ? (3x 2 ?2 2 ) d x ? x3 ? x ? c 3 3 2 x ? 2. 310 分再将(0,?2)代入得c ? ?2,? y ? x 3 ?3、(本小题 8 分)? p ? 1000 ? 0.4 x 2 ? ? p ? 42 x, 解出x ? 20. 均衡点p ? 840.消费者剩余? ( x 2 ) ? 840dx0 20??3分 ? 2133 .33 生产者剩余? ?840 ? 42x?dx20 0? 84006分 10 分 七、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 6 分) 1、(本小题 1 分)F ( x) ? f ( x) ? g( x) 在x0 处必不连续4分若F ( x) 在x0 处连续，则 g ( x) ? F ( x) ? f ( x) 在x0 处也连续，矛盾！2、(本小题 5 分) 10 分答：不一定． 1 1 ? ?0 f ( x) g( x) ? lim f ( x ) ? g ( x ) ? ? 若A ? 0， limx ? x0x ? x04分 6分但若A ? 0则等式可能不成立 1 例如 lim ? ?， lim ( x ? 1) 2 ? 0 x ?1 x ? 1 x ? x１ 1 但 lim ? ( x ? 1) 2 ? 0 ? ? x ?1 x ? 1极限 lim(1 ?x ?010 分1、x x ) (a ? 0，b ? 0)的值为 abb( A)1． ( B) ln2、b be (C )e a ． ( D) a a 答（ ）3 cos xlim(1 ? cos x )x ?0?A．e 3 B．8 C．1 D．? 答（ ）3、 设f ( x ) 在[a , b]上连续 , 在 (a , b) 内可导记 ( Ⅰ ) f (a ) ? f (b) ( Ⅱ ) 在 (a , b) 内f ?( x ) ? 0则： ( A)( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充分但非必要条件 ( B )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的必要 , 但非充分条件 (C )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充要条件 ( D)( Ⅰ ) 与 ( Ⅱ ) 既非充分也非必要条件 答 ( )4、 若?x0，f ( x0 ) ?为连续曲线 , y ? f ( x)上的凹弧与凸弧分界点 , 则( ) ( A) ( x0，f ( x0 ))必为曲线的拐点 ( B) ( x0，f ( x0 ))必定为曲线的驻点 (C ) x0为f ( x)的极值点 ( D) x0 必定不是f ( x)的极值点 答( )5、一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动. 杆的线密度? ? r为杆上一点到O点的距离 , 角速度为? , 则总动能? ?1 , r1 1 1 1 ( A) ? 2 L2 ( B ) ? 2 L2 (C ) ? 2 L2 ( D) ? 2 L2 2 3 4 5二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分) 1、 2、答()? (3 ? x2 3) dx ?x 0_______________.设f ( x) ? ? t (t ? 1)dt，则f ( x)的单调减少的区间是 __________3、对于 ? 的值，讨论级数 n ?1 （1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 13 分) 1、(本小题 4 分) 2、(本小题 4 分) 级数? (n?n?? 1)验证f ( x) ? x 2在[2,4]上拉格朗日中值定理的 正确性? ?? 1?n ?1?n ?n ?1? 2n10 10n是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题 5 分)? ? 3? ? x ?? ? , ? ? 2 2 ? 时， f ? x? ? x 。 设 f ? x ? 是以 2? 为周期的函数， 当 又设 S ? x ? 是 f ? x ? 的 以 2 ? 为周期的 Fourier 级数之和函数。试写出 S ? x ? 在 ? ??, ?? 内的表达式。四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 23 分) 1、(本小题 2 分)求极限 lim2、(本小题 2 分)x 3 ? 12 x ? 16 x ?2 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4求 ? (e x ? 1) 3 e x dx.3、(本小题 4 分) 求?2 1x2 ?1 dx． x4、(本小题 7 分)求 ? x d x.5、(本小题 8 分) 试将函数 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )?y?1 x 2 在点 x0 ? 0 处展开成泰勒级数。如果幂级数 n ?0 在 x ? ?2 处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 7 分)?anxn如图要围成三间长都为y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为 a, 问x, y各等于多少时 , 所围成的总面积最大 ?(墙的厚度不计 )2、(本小题 9 分)求由曲线 y ? e 2 x , x轴及该曲线过原点的切 线所围成的平面图形的 面积.七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )?chx，x ? 0， 设 f ( x) ? ? , 试讨论f ( x)的可导性并在可导处求 出f ?( x) ln( 1 ? x ) ， x ? 0 ?八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )? (a ? b )dt ， 计算 lim (a ? 0，b. ? 0)． ln( 1 ? t ) dt ?t t x ?0 0 2x 0x九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )设函数f ( x)在?a，b?上有连续导数 (a ? 0)，又设x ? r cos?，f ( x) ? r sin ?． 试证明： 2? f ( x)dx ? ? r 2 (?)d? ? bf (b) ? af (a) ,a ? b ?其中? ? arctanf (a) f (b) ，? ? arctan ． a b一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分)C 1、 答： 2、B3、 答 ( B) 4、 ( A ) 5、10 分 10 分 10 分C 1 (dm)v 2 2 1 1 ? ? dr ? (?r ) 2 2 r 1 ? ? 2 rdr 2 L 1 E ? ? ? 2 rdr 0 2 1 ? ? 2 L2 4 因dE ?二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分)9 5 x7 ? 27 x ? 9 x ? x ? ? c. 5 7 1、32、 (0，1) (答 0，1 不扣分) 3、 ? ? ?1 时收敛??10 分 10 分? ? ?1 时发散三、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 13 分) 1、(本小题 4 分)证明: f ( x) ? x 2在[2 , 3]上连续, 在(2 , 3)可导 即f ( x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定 理的条件又f ' ( x) ? 2 x f (4) ? f (2) ?6 4?2 得到(2 , 3)内有解? ? 3 令f ' (?) ? 2? ?即存在 ? ? 3 , 使f ' (?) ? f ( 4 ) ? f ( 2) 4?2 这就验证了拉格朗日中 值定理对函数 f ( x) ? x 2在[2 , 3]上的正确性4分8分10 分 2、(本小题 4 分)un ? ?? 1?记n ?n ?1? 2n10 n10 ? 10n 10n 由于 故原级数绝对收敛，从而收敛 3、(本小题 5 分) 对 的表达式为un?1 1 ? un 10?n ? ??……6 分 ……10 分f ? x? ? x , ??2?x?3? 2 作周期为 2? 的延拓， f ? x ? 在 ???, ?? 内? ? ? x ? 2? , ?? ? x ? ? 2 , ? ? ? f ? x ? ? ? ? x , ? ? x ? 0, 2 ? x , 0 ? x ? ?, ? ? ?f ? x ? 满足 Fourier 级数收敛的充分条件。故(3 分) (5 分)? ? x ? 2? , ? ? ?, S ? x? ? ? ? ? ?x , ? x, ?分)?? ? x ? ? x?? ??2,?2,? x ? 0, 2 0 ? x ? ?,?(10注：只要写出 S ? x ? 的表达式即可得 10 分。 四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 23 分) 1、(本小题 2 分)3x 2 ? 12 x ?2 6 x 2 ? 18 x ? 12 6x ? lim x ? 2 12 x ? 18 解: 原式 ? lim5分 8分 10 分 ? 22、(本小题 2 分)? (e ? 1) e ? ? (e ? 1)x 3xxdxd( e x ? 1)5分 10 分3?1 x (e ? 1) 4 ? c. 43、(本小题 4 分)令 x ? sec t原式 ? ? 3 tan 2 tdt0?4分 ? ? 3 ( s e 2ct ? 1) dt0?6分 8分 10 分? ( t a tn? t )? 3?4、(本小题 7 分)? 3 0?3?? x2 ? 2 ? c1 x ? 0, ? x dx ?? 2 ? ? x ? c 2 x ? 0. ? ? 25分由原函数的连续性 , 得 x2 x2 ? c1 ) ? lim? ( ? ? c2 ) x?o x?o 2 2 ? c1 ? c2 令c1 ? c2 ? c lim ( ?? x2 ? c, x ? 0, ? x ?x ? 2 ?? x d x ? ? ? ? c. 2 2 ? ? x ? c , x ? 0 ? ? 25、(本小题 8 分) 因为10 分? 1 ?1? ? ?? ? x2 ?x? 1 1 1 ? ? x ? x0 x x0 1? x0……3 分? 1 ? ? ?? 1? x n 1 ? x n ?0 n而x ? ?? 1,1?……5 分所以1 1 ? x x0? ?? 1?n ?0?n? x ? x0 ?x0nnx ? ?0,2 x0 ?? 1 ? ? ?? 1? x 2 n ?0n ?1n ? x ? x0 ? n ?1 x0n ?1x ? ?0,2 x0 ?……10分 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 由题意,知:x ? 2 时, 级数绝对收敛； x ? 2 时, 级数不可能收敛. 当当 故收敛半径是 2. 六、解答下列各题……4 分 ……8 分 ……10 分 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 7 分)a 3 ? x 4 2 a 3 总面积为A ? 3xy ? 3x ( ? x ) 4 2 如图 4 y ? 6 x ? a y ?3分2dA 3a a dA d A ? ? 9 x 当x ? 时, ? 0 2 ? ?9 ? 0 dx 4 12 dx dx a 故当x ? 时 , A取得唯一极大值也是最大值 126分 8分a 3 a a ? ? ? 4 2 12 8 a a 故当x ? ，y ? 时, 所求总面积最大 12 8 此时 y ?2、(本小题 9 分)10 分解: y ? ? 2e 2 x . 设切点 (t 0 , e 2 t0 ), ? 切线y ? 2e 2 t0 x , ? y ? e 2 t0 , 1 ? ? t 0 ? 2 t0 2 ? ? y ? 2e t 01 切线y ? 2ex , 切点 ( , e) 2 1 1 1 2 ? s ? ? e 2 x dx ? ? ? e ?? 2 2 1 1 1 1 ? e 2 x 2 ? e ? e. ?? 2 4 4七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )3分 6分 8分 10 分f (0) ? 1，f (0 ? 0) ? lim ln(1 ? x) ? 0x ?0 ? 0f (0 ? 0) ? lim cosh x ? 1x ?0 ? 03分 5分f ( x) 在x ? 0处不连续, 故不可导?sinh x，x ? 0， ? f ?( x ) ? ? ?1 ，x ? 0， ? ?1 ? x八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )10 分原式 ? lima x ? bx x ?0 2 ln(1 ? 2 x )5分 a x ln a ? b x ln b x?0 4 1 ? 2x 1 a ? ln 4 b ? lim九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )10 分因为r 2 ? x 2 ? f 2 ( x) ，? ? arctan?bf ( x) xf ?( x) ? f ( x) ，d? ? 2 dx x x ? f 2 ( x)4分 6分于是 ? r 2 (? )d? ? ? ? xf ?( x) ? f ( x)?dx?a? ? xf ?( x)dx ? ? f ( x)dxa abb? xf ( x) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxb a a abb8分? bf (b) ? af (a ) ? 2? f ( x)dxab所以 2? f ( x)dx ? ? r (? )d? ? bf (b) ? af (a)2 ab??10 分一、一、填空1.1. x=0 是 f(x)的连续点。 解：? cos x , x?0 ? ? x ? 2 f ( x) ? ? ( a ? 0) a ? a ? x ? ,x ? 0 ? x ? 设 当 a=时，a ? a? x 1 ? x ?0? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点， a ? 1时x ? 0是间断点。 dy 设方程 x ? y ? arctany ? 0 确定了 y ? y( x ), 求 dx ＝ 2． f ( 0) ? 1 2 cos x 1 ? x ?0? x ? 2 2 lim lim。1 ? y? ?解：limy? ?0 1 ? y2y? ?1 ? y2 y21 ? a cos 2 x ? b cos 4 x x4 3． x?0 ＝A，则 a= ， b= ， A= 。 解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小， 于是有 1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限 A＝8/34．函数 y ? x2 的极小值点为x。解： y? ? 2 ?1 ? x ln2? 驻点 驻点为极小值点。xx??1 x 2 l n 2 , y?? ? 2 (2 ln2 ? x(ln2) ) 在驻点处 y’’&0,故 5．设 f (x) = x lnx 在 x0 处可导，且 f’(x0)=2,则 f (x0)= 解： f ?( x) ? ln x ? 1,由f ?( x0 ) ? 2知x0 ? e, 于是有f ( x0 ) ? e.。6.设 limx ?0f ? x ? ? f ?0? ? ?1, x2 则 f(x)在 x=0 取得（填极大值或极小值） 。解：? limf ? x ? ? f ?0? f ? x ? ? f ?0? ＝－1,由极限的保号性有 ? 0, 有 f ? x ? ? f ?0? ? 0 2 x ?0 x x2 即在 x ? 0的某邻域内有 f ? x ? ? f ?0?,由极值定义知 x ? 0是极大值点。 二、? 1? x ?1 ? x?0 函数f ( x ) ? ? x ? 0, x?0 ?是否连续？是否可导？并求 f(x)的导函数。 解：当 x&0 及 x&0 时， ，f(x)为初等函数，连续。x ?0?x ?0??0 x ?0? x 1? x ?1 lim f ( x ) ? 0 ? lim f ( x ) ? f (0) ? f ( x )在?? ? , ? ?连续。x ?0? x ? 0?lim f ( x ) ? lim1? x ?1? limx当x ? 0时，f ?( x ) ?1? x ?1 2x3/ 2 1 ? x x x, 当x ? 0时，f ?( x ) ? 0 ?0 ? limx ?0?1? x ?1 f ( x ) ? f ( 0) lim ? lim x ?0? x ?0? x1 x ( 1 ? x ? 1)??? 1? x ?1 ? x ? 0, ? f ( x )在x ? 0不可导， f ?( x ) ? ? 2 x 3 / 2 1 ? x ? 0 x?0 ?三、 1． x ?0 三、 解下列各题2xlim?1 ? 2 x ?x2?14x ? ? 1 ? 2x ??1 ? 2 x ?2 x ? ? 2 ln?1 ? 2 x ? ?解：原式＝ x ? 01 xlim?1 x?2x? 2? 2 ? 4.2． x?? 解：原式＝1 x ?limx 2 (3 ? 31 x? 2)；1 x ? 1 x 1 1? 3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 ln 3 2 lim ? lim ? ? limln 3( 3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ?? x ? ? x ? ? 1 1 2 2 2 x x ? x ? t ? 2 ? sint 设曲线方程为? ? y ? t ? cos t 3． , 求此曲线在 x=2 的点处的切线方程 , 及 d2y dx 2x?2。x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ?? ?解：y? ?sint ? cos t ? 1?1 ? cos t ?31 ? sint 1 1 y ? t ?0 ? 切线方程：y ? 1 ? ? x ? 2? 1 ? cos t 2 2 sin0 ? cos 0 ? 1 1 y ?? x ? 2 ? ?? 3 4 ?1 ? cos0?四、 四、 试确定 a,b,c 的值，使 y=x3+ax2+bx+c 在点(1,-1)处有拐点，且在 x=0 处有极大值为 1，并求此函数的极小值。 解：y ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b, y ??0? ? 0 ? b ? 0, y(0) ? 1, c ? 1. y ?? ? 6 x ? 2a , y ??(1) ? 6 ? 2a ? 0, a ? ?3. y ? x 3 ? 3 x 2 ? 1, y ? ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2) y ? ? 0时，驻点： x1 ? 0, x 2 ? 2, y ???0? ? 6 ? 0. ? 极小值y( 2) ? ?3。五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角 形。 解：设所给直角边为 x,斜边与其之和为 L，则1 x 2 x ?L ? x ? ? x 2 ? L2 ? 2 Lx 2 2 ? L L ? 3x 1? x s ? ? ? L2 ? 2 Lx ? ?? 2? L2 ? 2 Lx ? 2 L2 ? 2 Lx L 令s ? ? 0 ? x ? 这是唯一驻点，且最大值存在，故 3 2 L ? ? L? s? ? ? 为最大面积，此时 x边与斜边夹角为 3 ?3? 6 3 s?六、 六、 证明不等式： ? ? ? , ?e ? ? ? ??.? ?ln x 1 ? ln x 则 f ?( x ) ? ? 0 ( x ? e) x x2 ln(? ) ln( ?) ? f ( x )在(a ,? ?)上单减，f (? ) ? f (? ), 即 ? ? ? 证：令f ( x ) ? ? ln(? ) ? ? ln( ? ) ? ln? ? ? ln? ? ? ? ? ? ? ? .? 2? lim n f ? ? . n? ? ? n? 七、 七、 y=f(x)与 y=sin(x)在原点相切，求极限 ? 解：f (0) ? sin( 0) ? 0. f ?(0) ? ?sin x ? x ? 0 ? cos0 ? 1,? 当x ? 0时f ( x )与x是等价无穷小， 2 f ?2 / n? ? 2? lim n f ? ? ? lim ? 2 n? ? n ? ? 2/ n ? n?八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且 f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ ∈(1/2,1)，使得 f(ξ )= ξ ; (2)???R ，存在 ??(0,?)，使得 f’(?)-?[f(?)-?]=1 证： （1）令 F(x)=f(x)-x,则 f 在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2&0 F(1)=f(1)-1=0-1&0,∴在(1/2,1)内至少有一点 ?，使 F（? ）=0,即 f (?)=?.。 (2) 证：? ?e ? ?? F ( ?) ? e ? ?? F ???? ? 0 得出F ????＝?F ( ?) 即f ?( ?) ? 1 ? ? ? f ??? ? ?? 于是f ???? ? ? ? f ??? ? ?? ? 1lim(1 ? x)x ?0 ? 1 x令G ( x ) ? e ? ?x F ( x ), G (? ) ? 0, G (0) ? 0 ?? ? ?0, ? ?使得G ???? ? 0.一、 一、 选择题（每题 4 分，共 16 分）1．? lim x sinx ??1 ? x （D） 。 ） 。?1 A、 e ； B、 e ； C、 e ? 1 ； D、 e ? 1 2．设 f ( x) ? x ln x 在 x0 处可导，且 f ?( x0 ) ? 2 ，则 f ( x0 ) ? （ B ?1A、 0 ；B、 e ；C、 1 ；D、 e 。2xf ( x) dx ? 3．若 sin 2 x 是 f ( x) 的一个原函数，则 ? （ D ） 。 A、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ； B、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ； 1 1 x sin 2 x ? cos 2 x ? C x sin 2 x ? cos 2 x ? C 2 2 C、 ； D、 。3 2 4．已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在 x ? 1 处取得极值 ?2 ，则（ A、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点； B、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点；B） 。C、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点； D、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点。二、填空题（每题 5 分，共 20 分）1． 2． ?limx ?01 x ? ?x 2。 e ?exx23 2 3 2 1 ? x dx ? 9 (1 ? x ) ? C 。3? cos3 x)dx ? 4 3。 2 4．设 ? , ? , ? , ? 为向量， k 为实数。若 || ? ||? 1,|| ? ||? 1 ， ? ? ? ， 1 ? ? ? 2? ? ? , ? ? k? ? ? ， ? ? ? ，则 k ? 2 。? ? (1 ? x 3．2 ??sin x2三、计算下列各题（每题 9 分，共 45 分）1．求极限 x ? 0 ?lim x x。 解： x ?0?lim x x ? lim e x ln x ? e x?0?x ?0 ?x ylim x ln x?eln x lim x?0? 1 x1 lim x x?0? 1?ex2?1d2y | 2 x ?0 2．函数 y ? y ( x) 由方程 e ? e ? xy ? 0 确定，求 dx 。 x y x y e ? e ? xy ? 0 ? e ? e y? ? y ? xy? ? 0x y y 2 解： ? e ? e y?? ? e y? ? y? ? y? ? xy?? ? 0 d2y | ? ?2 2 x ?0 又 x ? 0, y ? 0 ， y ? ? 1 ，得 dx 。3．求定积分 解1?1 2 21 ? x2 dx x2 。：? ? x ?s t 1 ? x2 ? 2 2 2 2 dx ? cot tdt ? 1? ? (csc t ? 1) dt ? ? 22 x 2 ?? ? 4 4 4 4．求过点 (3,1, 2) 且与平面 x ? 2 z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。ijks ? 1 0 2 ? (?2,3,1) x ? 3 y ? 1 ? ? z?2 0 1 ?3 3 解： ， ?2 。?1 ? sin x, f ( x) ? ? 2 ? ?0, 5．设x0? x ?? 其它0，求?( x) ? ? f (t )dt0x。解： x ? 0 ，?( x) ? ? f (t )dt ? 0? ( x) ? ? f (t )dt ?0 x0? x ?? ，1 x 1 sin tdt ? (1 ? cos x) ? 0 2 2x ?? ，? ( x) ? ? f (t )dt ?0xx 1 ? sin tdt ? ? 0dt ? 1 ? ? 2 0四、 （7 分）长为 l 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？ 解：设正方形的边长为 x ，则正方形的面积与圆的面积之和为(l ? 4 x 2) 4? 。 l ? 4x 4l 4l l S ?( x) ? 2 x ? 2 ?0 x? ,l ? ? 4 ? ? 时，正方 4 ? ? 。所以两段铁丝分别为 4 ? ? ， 形的面积与圆的面积之和最小。 S ( x) ? x 2 ?五、解答下列各题（每小题 4 分，共 12 分）2 2 1．设曲线 y ? 1 ? x (0 ? x ? 1) ， x 轴以及 y 轴所围区域被曲线 y ? ax (a ? 0) 分成 面积相等的两部分，求 a 。 解：由?1 a ?10(1 ? x2 ? ax2 )dx ? ?1 a ?10ax 2dx ? ?1 1 a ?1(1 ? x 2 )dx，a ? 3x2 x ? ? f (t ) dt ? 1 0 2．设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 0 ? f ( x) ? 1 。判断方程 在 (0,1) 内有几个实根？并证明你的结论。解 ：F(F(? x)02 ?x ?0 1xf( ? t) ，d( x)t 1 F 在[0,1]上连续，d 1 ? x ( ) 0 ， 所 以 F ( x) 在 (0,1) 内 有 一 个 零 点 。 又 F ?( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ，F ( x) 在 [0,1] 上是单调递增的， 所以 F ( x) 在 (0,1)内有唯一零点，即0 ? )? F 1 ,? ?( ? f1 )x2 x ? ? f (t )dt ? 10x在 (0,1) 内有唯一实根。1 03、设函数 f ( x) 在 [0,1] 上可导，且 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 在一点 ? ，使得f (1) ? 2 ? 2 xf ( x)dx ? 0，求证在 (0,1) 内至少存解：F ( x) ? xf ( x) ，F ( x) 在 [0,1] 上可导。由f (1) ? 2cf (c)f (1) ? 2 ? 2 xf ( x)dx ? 0011 c ? [0, ] 2 ， ，存在1 ?0 2 使得 ，即 f (1) ? cf (c) 。由 Roll 定理，存在 ? ? (c,1) ? (0,1) ，使 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 得 F ?(? ) ? 0 ，即高等数学第一学期半期试题解答（05）一． （共 20 分）试解下列各题： 1．设y ? y? 1 2x ?1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1, ( x ? 1) 求 dy。解： 2．?x ?1 ? x ?1?2dy ??? 1 1 ? x ?1 ? x ?1 ? ? ? ? ?dx ? 2 x ?1 2 x ?1 ?dy dx 。?设方程 x ? y ? arctany ? 0 确定了y ? y( x), 求1 ? y? ? y? ?0 1? y2 y? ? 1? y2 y2,解： 3．设 limx 3 ? ax2 ? x ? 4 ? A. 。则 a= 4 x ?1 x ?1 1 4．函数 y ? x2 x 的极小值点 ? 。 ln 2A=-6 ? cos x , x ? 0 5. 设f ( x) ? ? x?2 (a ? 0) a ? a? x ? x , x?0 1 cos x 1 a ? a?x 1 解：f (0) ? lim ? lim ? 2 x?0? x ? 2 2 x?0? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点， a ? 1时x ? 0是间断点。f ( x) F ( x) ? y ? f ( x ) x 在 x=0 是什么类型 二． （10 分）若 是奇函数且 x=0 在可导, 的间断点？说明理由。 解：由f ( x)是奇函数，且在 x ? 0可导，知f ( x)在x ? 0点连续，f (0) ? ? f (0)故f (0) ? 0f ( x) ? f ?0? ?可去?。 ? f ??0?存在, 故为第一类间断点 x ?0 x ?0 x?0 三． （共 20 分）求下列极限 lim F ( x) ? lim1lim1 x．1 ? xx ??lim x 2 (3 x ? 31 x1?1 x? 2)1 ? x；解1 1：原式＝3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 ? lim ? x ?? x ?? 2 1 1 2 x x?? ln 3 2 lim ln 3(3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ? ? 22. x ? 0lim(1 ? 2 x ) x22x?1；解：原式＝?1 ? 2 x ?2 x ? ? 2 ln?1 ? 2 x ? ?limx ?0?4x ? ? 1 ? 2x ?2x? 2?2 ? 4? x ? t ? 2 ? sin t d2y 设曲线方程为 ? ? y ? t ? cost ,求此曲线在 x=2 的点处的切线方程,及 dx2 。 3． 1 ? sin t 1 1 解：x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ? ? y ? t ?0 ? 切线方程：y ? 1 ? ?x ? 2? 1 ? cos t 2 2 sin t ? cos t ? 1 y ?? ? ?1 ? cost ?32 2 四． （10 分）证明：当 x ? 0 时， ( x ? 1) ln x ? ?x ? 1? 。证明：当x ? 1时，令f ( x) ? ln x在[1, x]上用拉氏中值定理有ln x ? 其中 1 ? ? ? x即 ln x ?1??x ? 1? ?1 ?x ? 1? x ?11 ?x ? 1?同乘以 x 2 ? 1 有 x 2 ? 1 ln x ? ?x ? 1?2 x ?1 1 1 ?1 ? x ? 当0 ? x ? 1时，令f ( x) ? ln x在[ x,1]上用拉氏中值定理有? ln x ? ?1 ? x ? ? ? x ?1 1 ?x ? 1?同乘以 x 2 ? 1 有 x 2 ? 1 ln x ? ?x ? 1?2 其中x ? ? ? 1即 ln x ? x ?1 当x ? 1时等式成立。?? ???? ??x2五． （10 分）求内接于椭圆 a 的最大值。2?y2 b2?1，且底边与 x 轴平行的等腰三角形之面积 解： 设底边方程为： y?t? b ? t ? 0， t2 2a ? 2 b b2三角形面积A ? ?b ? t ? ? 2a 1 ? 设z ? ?b ? t ? b 2 ? t 22 2?b ? t ?2 ?b 2 ? t 2 ?2? z ? ? ?2?b ? t ??b?t2? z的最大值点也是A的最大值点。 ? ? 2t ?b ? t ? ? ?2?b ? t ? ?b ? 2t ?b 2 b ? b? z ??? ? ? ? ?b 2 ? 0即t ? ? 为唯一极大值点， 2 ? 2? 3 3 ab 4令z ? ? 0 得t ? b（舍去）t ? ?亦即为所求面积之最大 值点。最大值为 A?n n ?1 ? ?x 2 ? x ? 1 在（0，1）上必有唯一的实根 六． （10 分）证明：方程 x ? x lim xn xn (n&2)，并求 n ? ? 。 证：设f ( x) ? x n ? x n ?1 ? ? ? x 2 ? x ? 1 其在[0,1]上连续。 f (0) ? ?1, f (1) ? n ? 1由n ? 2知函数在端点异号。 由闭区间上连续函数零 点定理知至少有一点 ? ? (0,1)使f (? ) ? 0. 又f ? ? nxn ?1 ? ? ? 2 x ? 1 ? 0知函数f ( x)单调增加，故在 (0,1)上有唯一实根。 由 xn ? xn x n ?1n ?1 n n ?1? ? ? xn ? xn ? 1n 22? x n ?1 ? ? ? x n ?1 ? x n ?1 ? 15 ?1 5 ?1 因此0 ? x n ? ? 1故由极限存在准则知其 有极限，设极限 2 2 n x 1 ? xn x 1 由方程有 n ? 1两边n ? ?取极限 0 ? 1解出x0 ? 1 ? xn 1 ? x0 2 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x 七． （10 分）确定常数 a、b,使极限 lim 存在，并求出其值。 x ?0 x4 解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于 是有 1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为 8/3 知?x n ?是单调下降数列，而 x2 ???八． （10 分）设 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对 ?? ? R, ?c ? ?a, b?，使得f ??c? ? ?f ?c? 。 证明： 构造函数 F(x)= e-?x f (x) 则 F(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内可微 F (a) = F (b) =0 由罗尔定理 ?? ? R, ?c ? ?a, b?，使得F ??c? ? 0, 而F ??x? ? e ??x f ??x? ? ?e ??x f ?x? 即有 ?? ? R, ?c ? ?a, b?，使得f ??c? ? ?f ?c? 证毕。
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