角谷猜想解析_百度文库
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角谷猜想解析|数​论​ ​ ​穿​梭​法​则​ ​ ​角​谷​猜​想​(X​+)​解​析​
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黎曼假设|黎​曼​假​设
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关于黎曼猜想的一个简单解答|用​新​的​视​角​来​看​老​问​题​,​往​往​有​意​外​收​获​。
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（重定向自）
，西元前三世纪的希腊数学家，现在被认为是几何之父，此画为的作品《》。
数学（Mathematics）是利用符号语言研究、、以及等概念的一门，从某种角度看属于的一种。数学透过和的使用，由、、和对物体及的观察而产生。们拓展这些概念，为了公式化新的以及从选定的及中建立起推导出的定理。
基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一环。对数学基本概念的完善，早在、及内的古代数学文本便可观见，而在古希腊那里有更为严谨的处理。从那时开始，数学的发展便持续不断地小幅进展，至的时期，因为新的和数学革新两者的交互，致使数学的加速发展，直至今日。数学并成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
今日，数学使用在不同的领域中，包括、、和等。数学对这些领域的应用通常被称为，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。数学家也研究，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。虽然许多研究以纯数学开始，但其过程中也发现许多应用之处。
中“数学”（：mathematics；：μαθηματικ?）一词源自于的μ?θημα（máthēma），其有学习、学问、，以及另外还有个较狭义且技术性的意思－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικ??（mathēmatikós），意思为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在中表面上的复数形式，及在中的表面复数形式les mathématiques，可溯至的中性复数mathematica，由译自希腊文复数τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希腊语被拿来指“”的概念。
“数学”一词的大约产生于时期。多指象数之学，但有时也含有今天上的数学意义，例如，的《》（《》记，即《数书九章》也被宋代周密所著的《癸辛杂识》记为《数学大略》）、《数学通轨》（明代著）、《数学钥》（清代著）、《数学拾遗》（清代撰）。直到1939年，经过中国数学名词审查委员会研究“算学”与“数学”两词的使用状况后，确认以“数学”表示今天意义上的数学含义。
，时所使用的计数工具。
数学有着久远的历史。它被认为起源于早期的生产活动；古代的之一就有“数”，数学一词在西方有语μαθηματικ??（mathematikós），意思是“学问的基础”，源于μ?θημα（máthema，“，知识，学问”）。
的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，比如有、和等。（）也自然而然地产生了。古代的石碑及泥版亦证实了当时已有的知识。
更进一步则需要或其他可记录数字的系统，如或于内用来储存数据的。历史上曾有过许多不同的。
在最初有历史记录的时候，数学内的主要原理是为了做和等相关计算，为了解数字间的关系，为了，以及为了预测而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、及方面的研究。
到了16世纪，、以及等已大体完备。17世纪概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和间的互相变换，的概念也在此时形成。随着数学转向形式化，为研究而产生的集合论和等也开始发展。数学的重心从求解实际问题转变到对一般形式上的思考。
从古至今，数学便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，两者的发展都受惠于彼此。在历史上有着许多数学发现，并且直至今日都不断地有新的发现。据Mikhail B. Sevryuk于2006年1月的期刊中所说，“存放于数据库中论文和书籍的数量自1940年（数学评论的创刊年份）现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份。此一学海的绝大部份为新的数学及其。”
（），的发明者之一。
每当有涉及数量、结构、空间及变化等方面的困难问题时，通常就需要用到数学工具去解决问题，而这往往也拓展了数学的研究范畴。一开始，数学的运用可见于、及之后的。今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦给出了许多的问题。和是的发明者，发明了，这是推理及物理洞察二者的产物，而今日的亦引申出新的数学。一些数学只和生成它的领域有关，且用来解答此领域的更多问题。但一般被一领域生成的数学在其他许多领域内也十分有用，且可以成为一般的数学概念。即使是“最纯的”数学通常亦有实际的用途，此一非比寻常的事实，被1963年诺贝尔物理奖得主称为“数学在自然科学中不可想像的有效性”。
如同大多数的研究领域，科学知识的爆发导致了数学的专业化。主要的分歧为和。在应用数学内，又被分成两大领域，并且变成了它们自身的学科——和。
许多数学家谈论数学的优美，其内在的及。“简单”和“一般化”即为美的一种。另外亦包括巧妙的证明，如对存在无限多的证明；又或者是加快计算的数值方法，如。在《》一书中表明他相信单单是美学上的意义，就已经足够作为纯数学研究的正当理由。
在现代的符号中，简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即产生自x=cos ( y arccos sin〡x〡 + x arcsin cos〡y〡)
我们现今所使用的大部分数学符号在后才被发明出来的。在此之前，数学以文字的形式书写出来，这种形式会限制了数学的发展。现今的符号使得数学对于专家而言更容易掌握，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含着大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法，并且有效地对讯息作编码，这是其他书写方式难以做到的。符号化和形式化使得数学迅速发展，并帮助各个科学领域建立基础支撑理论。
数学语言亦对初学者而言感到困难。如“或”和“只”这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼著初学者的，如“”和“”等字在数学里有着特别的意思。亦包括如“”及“”等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。但在现实应用中，舍弃一些严谨性往往会得到更好的结果。
是中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依著公理被推论下去。这是为了避免依著不可靠的直观而推出错误的“”，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许著仔细的论证，但在的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义，到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论的严谨度。当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是足够地严谨。
在传统的思想中是“不证自明的真理”，但这种想法是有问题的。在形式上，公理只是一串符号，其只对可以由导出的公式之内容有意义。即是想将所有的数学放在坚固的公理基础上，但依据，每一且能蕴涵的公理系统必含有一不可决定的公式；因而所有数学的最终是不可能的。尽管如此，数学常常被想像成只是某种公理化的，在此意义下，所有数学叙述或证明都可以写成集合论的公式。
称数学为“科学的皇后”。在拉丁原文Regina Scientiarum，以及其K?nigin der Wissenschaften中，对应于科学的单字的意思皆为知识（领域）。而实际上，science一词在英语内本来就是这个意思，且无疑问地数学在此意义下确实是一门“科学”。将科学限定在自然科学则是在此之后的事。若认为是只指物理的世界时，则数学，或至少是，不会是一门科学。曾如此描述：“数学定律越和现实有关，它们越不确定；若它们越是确定的话，它们和现实越不会有关。”
许多哲学家相信数学在经验上不具，且因此不是所定义的科学。但在1930年代时，在数理逻辑上的重大进展显示数学不能归并至逻辑内，且波普尔推断“大部份的数学定律，如物理及生物学一样，是假设演绎的：纯数学因此变得更接近其假设为猜测的自然科学，比它现在看起来更接近。”然而，其他的思想家，如较著名的，便提供了一个关于数学本身的可否证性版本。
另一观点则为某些科学领域（如）是其公理为尝试着符合现实的数学。而事实上，理论物理学家即认为科学是一种公众知识且因此亦包含着数学。在任何的情况下，数学和物理科学的许多领域都有着很多相同的地方，尤其是从假设所得的逻辑推论之探索。和在数学和科学的建构上皆扮演着重要的角色。在数学中的重要性正持续地在增加，且和模拟在科学及数学中所扮演的角色也越来越加重，减轻了数学不使用的缺点。在2002年的著作《》中他提出，计算数学应被视为其自身的一科学领域来探索。
数学家对此的态度并不一致。一些研究的数学家觉得他们是科学家，而那些研究纯数学的数学家则时常觉得他们是在一门较接近的领域内工作，且因此基本上是个。许多数学家认为称他们的工作是一种科学，是低估了其美学方面的重要性，以及其做为七大之一的历史；另外亦有人认为若忽略其与科学之间的关联，是假装没看到数学和其在科学与之间的交互促进了许多在数学上的发展此一事实。这两种观点之间的差异在哲学上产生了数学是被创造（如艺术）或是被发现（如科学）的争议。院系划分中常见“科学和数学”系，这指出了这两个领域被看作有紧密联系而非同一。实际上，数学家通常会在大体上与科学家合作，但在细节上却会分开。这亦是众多议题的其中一个。
早期的数学完全着重在演算实际运算的需要上，有如反映在中国上的一般。
如上所述，数学主要的学科最先产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化（即、、及）等数学上广泛的子领域相关连着。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至、至（）、至不同科学的经验上的数学（）、及较近代的至的严格研究。
为了阐明，和等领域被发展了出来。
数学逻辑专注于将数学置在一坚固的架构上，并研究此一架构的结果。就其本身而言，其为所属的领域，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明而又为真的定理。现代逻辑被分成、和，且和有着密切的关连性，中的就是理论计算机科学中的著名问题。
数量的研究起于，一开始为熟悉的及与被描述在内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质于中有详细的研究，此一理论包括了如等著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：及。
当数系更进一步发展时，整数被视为的，而有理数则包含于中，连续的量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成。数的进一步广义化可以持续至包含及。从自然数亦可以推广到，它形式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为大小，这个导致了和之后对无限的另外一种概念：，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。
许多如数及的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于、、等抽象系统中，该些物件事实上也就是这样的系统。此为的领域。在此有一个很重要的概念，即广义化至的，它于中被研究。矢量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。
创立于二十世纪三十年代的的认为：纯粹数学，是研究的理论。 结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。 认为，有三种基本的抽象结构：（，，……），（，……），（，，，……）。
空间的研究源自于－尤其是。则结合了空间及数，且包含有著名的。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、（其在中扮演着核心的角色）及。数和空间在、和中都有着很重要的角色。在微分几何中有着及上的微积分等概念。在代数几何中有着如方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着的研究，结合了结构与空间。被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在已久的，以及有争议的。庞加莱猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家证明，而四色定理已在1976年由和用电脑证明，而从来没有由人力来验证过。
了解及描述变化在里是一普遍的议题，而更为研究变化的有利工具。诞生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为，而则为复数的等价领域。－数学最基本的未决问题之一－便是以复分析来描述的。注重在函数的（一般为无限维）上。泛函分析的众多应用之一为。许多的问题很自然地会导出一个量与其变化率之间的关系，而这在中被研究。在自然界中的许多现象可以被所描述；则是对系统的既不可预测而又是决定的行为作明确的描述。
是指对最有用处的数学领域之总称，这包含有、及。可计算理论检验电脑的不同理论模型之极限，这包含现知最有力的模型－。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬件的快速进步。最后，信息论专注在可以储存在特定媒介内的数据总量，且因此有及等概念。
做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为－之一。一般相信此问题的解答是否定的。
应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答、及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为，它利用为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、调查及观察研究需要统计对其数据的分析。（许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。）研究有什么计算方法，可以有效地解决那些人力所限而算不出的数学问题；它亦包含了对计算中或其他来源的误差之研究。
菲尔兹奖牌正面
数学奖通常和其他科学的奖项分开。数学上最有名的奖为，创立于1936年，每四年颁奖一次。它通常被认为是数学的。另一个国际上主要的奖项为，创立于2003年。两者都颁奖于特定的工作主题，包括数学新领域的创新或已成熟领域中未解决问题的解答。著名的23个问题，称为，于1900年由德国数学家所提出。这一连串的问题在数学家之间有着极高的名望，且至少有九个问题已经被解答了出来。另一新的七个重要问题，称为，发表于2000年。对其每一个问题的解答都有着一百万美元的奖金，而当中只有一个问题（）和希尔伯特的问题重复。
，由的颁发的奖项。每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的年轻，每次最多四人得奖。得奖者须在该年元旦前未满四十岁，是年轻数学家可以获得的最大奖项。它是据数学家的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的。
，由颁发，该基金会于1976年在创立，1978年开始颁奖。创始人是、和。而是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学家的最高。
，由王室向杰出数学家颁发的一种奖项，每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001年挪威政府拨款2亿挪威作为启动资金。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究是设立阿贝尔奖的主要目的。
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(包含有更多的参考数据)
关于在正式的证明中出错的一些简单例子，参见。在中，亦有个曾被其他数学家所接受的错误证明。
Waltershausen
爱因斯坦，第28页。爱因斯坦这段话是在回答以下问题："how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?"他亦关心。
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香港科技大学：，一个以数学史为主的网站。
：本科与基础研究课程参考书目。
：主要发表高质量的带有普及性的文章;主要面向大学生，大学老师和研究生，以及中学老师和学生。
：互联网上数学学习资源和教学视频。
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