正方体表面积ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E为棱CC1的中点,(1)求证B1D1垂直AE,(2)求证AC平行B1DE

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-11 00:30 标签： 正方体表面积
正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求证：B1D1⊥AE；（2）求三棱锥A-BDE的体积．
（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．-----------（6分）（2）S△ABD=2A-BDE＝VE-ABD＝13×S△ABD×CE＝23．-----------（12分）
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（1）连接BD，则BD∥B1D1，可先证明CE⊥面ABCD，进而可知BD⊥面ACE．从而有B1D1⊥AE．（2）利用等体积转化，VA-BDE=VE-ABD，故可求．
本题考点：
直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评：
本题以正方体为载体，考查立体几何中的位置关系、体积．关键是掌握线面垂直的判定．
扫描下载二维码已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点． （1）求证：B1D1⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）（文）求三棱锥A-BDE的体积．（理）求三棱锥A-B1DE的体积．
（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CEB1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．（7分）∵E，F是CC1、BB1的中点，∴，又，∴．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E，∴平面ACF∥面B1DE．（9分）又AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE．（10分）（3）（文）△ABD=12ABoAD=2． （11分）A-BDE=VE-ABD=13S△ABDoCE=13S△ABDoCE=23．（14分）（理）∵AC∥面B1DE ∴A 到面B1DE 的距离=C到面B1DE 的距离（11分） ∴A-B1DE=VC-B1DE=VD-B1EC=13o(12o1o2)o2=23 （14分）
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（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B1D1⊥AE；（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而平面ACF∥面B1DE．证得AC∥平面B1DE；（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A-BDE的体积．
本题考点：
直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评：
本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线．
扫描下载二维码初中数学高中数学初中物理高中物理初中化学高中化学初中生物高中生物初中政治高中政治初中历史高中历史初中地理高中地理初中英语小学语文小学数学
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ID: 213615
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题型: 解答题
如图，正方体ABCD_A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点．
（1）求证：B1D1⊥AE．
（2）求证：平面ACF∥平面B1DE．
（1）先证BD⊥面ACE，，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（2）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．
（1）连接BD，则BD∥B1D1∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF?平面B1DE，B1E?平面B1DE∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．
（1）连接BD，则BD∥B1D1∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．
（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF?平面B1DE，B1E?平面B1DE∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．
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&已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2，（1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；（3）求：点D1时间:&&分类:&&&【来自ip:&10.186.188.121&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2，（1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；（3）求：点D1到平面EAB的距离．
&（此问题共114人浏览过）我要回答:
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&网友答案：
解：（1）证明：连接A1C1，∵AA1⊥平面A1C1，∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1∴B1D1⊥AE（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角在正方形ABCD中，BO=AO=AC=在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，∴∴OF==在Rt△BOF中，tan∠BFO==3（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，∵AB⊥平面BC1，G1G?平面BC1，∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE，∵D1C1∥AB，D1C1?平面ABE，∴D1C1∥平面ABE，∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离∵△C1GE∽△BCE，∴C1G：C1E=BC：BE，∴C1G==∴D1到面ABE的距离等于解析分析：（1）连接A1C1，根据正方体的结构特征得到A1C1是AE在平面A1C1上的射影，进而根据三垂线定理得到B1D1⊥AE．（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根据相似三角形性质求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，可证得D1C1∥平面ABE，即D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离，即C1G长，根据相似三角形的性质，可求出点D1到平面EAB的距离点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，线线垂直的判定，其中（1）的关键是用三垂线定理证明线线垂直，（2）的关键是确定∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，（3）的关键是证得D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离．
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