已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标；（3）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2...”习题详情
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已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标；（3）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2007-秀洲区一模
分析与解答
习题“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过...”的分析与解答如下所示：
（1）把（0，0）代入抛物线解析式，可以求得m的值，然后求得顶点坐标，判断是否在第四象限，即可判断m的值；（2）Rt△O EO′中，利用勾股定理，即可求得a的值，得到O′E的长，从而求得点O′的坐标；（3）①已知BC的长，即可求得OB的长，得到矩形的周长；②设点A（x，y），则OB=x，BE=32-x，则AB可以利用x表示出来，则矩形的周长可以表示成关于x的函数，根据函数的性质，即可求解．
解：（1）将（0，0）代入得m2-1=0，∴m=±1．当m=1时，y=x2+x=（x+12）2-14，∴顶点是（-12，-14），不合题意，舍去；当m=-1时，y=x2-3x=（x-32）2-94，∴顶点是（ 32，-94）在第四象限，∴所求函数关系式为y=x2-3x；（2）求得点Q（3，0），而顶点P（32，-94），由题意可知经过O、P、Q三点的圆的圆心O′在抛物线的对称轴上，连接O O′，则O O′=P O′，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，O O′=a，在Rt△O EO′中，OE=32，O′E=94-a，由勾股定理得（32）2+（94-a）2=a2，解得a=138，∴O′E=94-138=58，∴点O′（32，-58）；（3）①当BC=1时，则BE=12，∴OB=32-12=1，当x=1时，y=-2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周长=6；②设点A（x，y），则OB=x，BE=32-x，∴BC=2BE=3-2x，∵y=x2-3x，∴AB=3x-x2，∴矩形ABCD的周长=2（3x-x2+3-2x）=-2（x-12）2+612，∴当x=12时，矩形ABCD的周长有最大值为612，此时A（12，-54）．
本题是二次函数与矩形相结合的题目，主要考查了勾股定理，二次函数的最值，难度较大．
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已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P...
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经过分析，习题“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过...”相似的题目：
如图，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，-m-1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
已知：如图所示，在直角坐标系中，点P是抛物线y=2x2-4x的顶点，此抛物线的对称轴与x轴交于点Q．（1）用配方法求此抛物线顶点P的坐标；（2）求cos∠POQ的值．&&&&
如图，已知点A（0，1），C（4，3），E(154，238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．（1）求证：A、C、E三点共线；（2）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，试确定a、b的取值范围．&&&&
“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标；（3）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标；（3）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．”相似的习题。（2009o成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
（1）根据MC的函数式不难得出C点的坐标应该是（0，-3），即c=-3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．
（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论：
①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，然后确定出N点的坐标，如果PN与y轴的交点为N，那么直角三角形CND应该是个等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的长，也就得出了D的坐标，然后可确定出直线PN的解析式，然后联立抛物线和PN所在直线的解析式即可求出此时交点P的坐标．
②当PC是另外一条直角边时，连接AC可发现，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C点又正好在抛物线上，因此P与A重合，那么P点的坐标就是A点的坐标．
（3）①先求上移的单位，可先设出平移后的二次函数的解析式，然后联立抛物线和直线NQ即MC的解析式，然后可得出一个一元二次方程，要想使两函数有交点，那么△≥0，以此可求出平移单位的取值范围，也就可求出最大的平移值．
②要求向下平移的最大单位，可求出当Q，N正好在抛物线上时，b的取值，那么根据MC的直线解析式，可得出Q，N点的坐标，那么当Q，N正好在抛物线上时，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大单位．
解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx-3．
∴点C（0，-3）
∴cos∠BCO==
∴可设|OC|=3t（t＞0），|BC|=t
则由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴|OB|=1，
∴点B（1，0）
∵点B（1，0）C（0，-3）在抛物线上
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-4=x2+2x-3．
（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，
①若PN为另一条直角边
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x-3，
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0），
∵|OC|=|ON|，
∴∠CNO=45°，
∴在y轴上取点D（0，3），
连接ND交抛物线于点P，
∵|ON|=|OD|，
∴∠DNO=45°，
设直线ND的函数表达式为y=mx+n，
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3，
设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，
得-x+3=x2+2x-3，
即x2+3x-6=0
解得x1=，x2=
∴y1=，y2=
∴满足条件的点为P1（，），p2（，）．
②若PC是另外一条直角边，
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（-3，0），
连接AC，∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点p3（-3，0），
综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，
分别为：P1（，），p2（，），p3（-3，0）．
（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，
设向上平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x2+2x-3+b
由2+2x-3+b
得x2+x+b=0．
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，
必须△=1-4b≥0，即b≤，
∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b＞0）个单位
可设函数表达式为y=x2+2x-3-b，
∵当x=-3时，y=-b，当x=3时，y=12-b
易求得Q（-3，-6），又N（3，0）
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须
-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12，
∴若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度.
综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，
则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．已知抛物线y=1/2x^2-3/2x-1,设m,n是抛物线在x轴上方的两点,且到x轴距离均为1,_百度知道
已知抛物线y=1/2x^2-3/2x-1,设m,n是抛物线在x轴上方的两点,且到x轴距离均为1,
x轴下方是否存在抛物线上一点P,使角MPN=90度,若存在,求出点P的坐标
解：依题意，当y=1时，y=1/2x^2-3/2x-1=1，整理1/2x^2-3/2x-2=0，x²-3x-4=0，(x+1)(x-4)=0解得x1=-1,x2=4所以M,N坐标为（-1,0），（4,0），MN=5设MN交y轴于点B,抛物线交y轴于点P,当x=0时，y=1/2x^2-3/2x-1=-1，即P(0,-1)在直角三角形BMP中，MB=1,BP=2,在直角三角形BNP中，BN=4，所以BM/BP=BP/BN又∠MBP=∠NBP=90所以△MBP∽△PBN所以∠BMP=∠BPN,因为∠BMP+∠MPB=90，所以∠MPB+∠BPN=90即∠MPN=90此时P(0，-1),P点关于对称轴x=3/2的对称点（3，-1）也符合要求由上可知，符合条件的P点为（0,-1）和（3，-1）
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由(1/2)x^2-(3/2)x-1=1,得x^2-3x-4=0,解得x=-1或4，∴M(-1，1),N(4，1).设P(p,(1/2)p^2-3p/2-1),(1/2)p^2-3p/2-1&0,①由∠MPN=90°得PM^2+PN^2=MN^2,∴(p+1)^2+2[(1/2)p^2-3p/2-2]^2+(p-4)^2=25,∴(1/2)(p^2-3p-4)^2+2p^2-6p-8=0,∴(p^2-3p-4)(p^2-3p)=0,由①，p^2-3p&2,∴p^2-3p=0,解得p=0或3，∴P的坐标是(0,-1),或(3,-1).
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已知抛物线y=x2-3x+1经过点（m，0），求代数式m4-21m+10的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
抛物线y=x2-3x+1经过点（m，0），则m2-3m+1=0，因此m4-21m+10=（m4-3m3+m2）+（3m3-9m2+3m）+（8m2-24m+10）=m2（m2-3m+1）+3m（m2-3m+1）+8（m2-3m+1）+2=2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-3x+1经过点（m，0），求代数式m4-21m+10的值．-数学..”主要考查你对&&二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“已知抛物线y=x2-3x+1经过点（m，0），求代数式m4-21m+10的值．-数学..”考查相似的试题有：
916100147566900392129213196845190001（2013o恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；
（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；
（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．
解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
解得k=﹣1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．
直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，
∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，
∴N3（0，﹣3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．
（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= 12?&&（3+n）om﹣12?&& ×3×3﹣ 12?&&（m﹣3）on=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，
解得：m1=4，m2=﹣1，
∴n1=3，n2=8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE= 12?&&（3+m）o（﹣n）+12?&& ×3×3﹣ 12?&&（3﹣n）om=6，
化简得：m+n=﹣1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．