5年级上册：数据大时，用枚举法求最大公因数、最小公倍数特别麻烦...
来源:新世纪小学数学教材编委会 时间： 16:37:09 阅读量：
&按照标准的要求，教材在编排求两个数的公因数与公倍数等内容时，没有把&用短除法分解质因数&的方法作为求最大公因数或最小公倍数的基本方法，而是用列举的方法，如下图。
首先需要明确的是，教材提供的列举法不仅在解决实际问题中用途广泛，而且在数学中也是重要的。并且简单明了，几乎所有的学生都能够理解。对于求最大公因数和最小公倍数的问题，使用这个方法是基于学生对最大公因数和最小公倍数的理解的自然方法，既有利于对概念本身的理解，又简单易学。而短除法是基于分解质因数，学生理解起来比较困难，如果要求每一个学生掌握，学生要花费大量精力，有的学生只好去机械记忆形式，结果反而不利于对最大公因数和最小公倍数等基本概念的理解。
另外，新世纪小学数学教材根据标准，对&倍数与因数&&分数加减法计算&等内容的要求进行了适当的限制。如，求最小公倍数，只要求在1～100的自然数中，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；再如异分母分数加减法，两个分数的分母一般不超过10等。也正因为数据比较小，利用列举的方法找出公因数或公倍数并不麻烦。
对于教材为什么没教短除法，一线老师也有很多体会，下面是从《新世纪小学数学》杂志中摘录的一段，供大家参考。
甲老师的观点：教材这样处理是有道理的。以前总是认为列举法是一种很笨的方法，从来不主张学生用，只教自己认为最简便最有效的方法，比方说找最大公因数就用短除法。可是这套教材却提倡方法多样化，而且很重视列举法，用了这本教材后才发现：列举法其实也是一种不错的方法，它用途广泛、直接、明了、易懂、不易遗忘，特别适合思维能力弱一点的学生，所以我们要消除对列举法的偏见。老师心目中最好的方法不一定适合每一个学生，说到底，择优要因人而异。乙老师的观点：教材这样的编排应该是有考虑的。如果是重要的、核心的、而且对学生的后续学习非常有用的数学知识，教材一定会呈现的；像短除法这一类知识，虽然也有用，但它不是核心的、特别重要的数学知识，以后也很少用到，所以教材将其删去了，目的是为了让学生节约更多的时间和精力，用来学习更有价值的知识。我们应该领会教材的编写意图，慢慢学会选择。有用的知识这么多，我们总不能通通都教给学生吧，所以选择就显得非常重要了。这是我教这套教材后的一点点体会。（《短除法&&教？还是不教？》易虹辉，《新世纪小学数学》，2006年第2期）
稿源：新世纪小学数学教材编委会
作者：新世纪小学数学教材编委会
编辑：桑者闲闲用分解质因数法与短除法求三个数的最小公倍数_图文_百度文库
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用分解质因数法与短除法求三个数的最小公倍数
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求最小公倍数
上传: 洪秋凤 &&&&更新时间： 9:10:54
课题名称&&&&&&&&& 求最小公倍数 学校&&&&&&&&&&&&& 上饶市十二小学 姓名&&&&&&&&&&&&& 洪秋凤 年级学科&&&&&&&&& 五年级数学 教学内容&&&&&&&&& 第十册数学p72&74最小公倍数 一、特色目标 1、在原有知识结构的基础上，通过自主建构，形成新的知识结构，掌握最小公倍数的意义及求法。 2、培养学生的迁移、判断、推理、分析能力。学会反思，学会合作。 3、培养学生的积极学习情感，学会欣赏他人。 二、教学分析与准备 教学分析；教材选择长方形纸片铺正方形的活动教学公倍数，是因为这一活动能吸引学生发现和提出问题，能引导学生思考。学生用同一张长方形纸片铺两个不同的正方形，面对出现的两种结果，会提出&为什么有时正好铺满、有时不能&，&什么时候正好铺满、什么时候不能&这些有研究价值的问题。他们沿着正方形的边铺长方形纸片，就会想到正好铺满与不能正好铺满的原因可能和边长有关，于是产生进一步研究正方形边长和长方形长、宽之间关系的愿望。 　　分析正方形的边长和长方形长、宽之间的关系，按学生的认知规律，设计成两个层次： 第一个层次联系铺的过程与结果，从两个正方形的边长除以长方形的长、宽没有余数和有余数的层面上，体会正好铺满与不能正好铺满的原因。第二个层次根据正好铺满边长6厘米的正方形、不能正好铺满边长8厘米的正方形的经验，联想还能正好铺满边长是几厘米的正方形。先找到这些正方形，把它们的边长从小到大排列，知道这样的正方形有无数多个。再用&既是2的倍数，又是3的倍数&概括地描述这些正方形边长的特征。显然，前一层次形象思维的成分较大，思考难度较小，对后一层次的抽象认识有重要的支持作用。 三、学情分析： 数学教学要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有利于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、分析、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣。所以，我在教学&求特殊情况下两个数的最小公倍数&这一课时，充分发挥了学生的主体作用，促使学生自主探索、合作交流，挖掘学生的思维潜能，培养学生的观察、分析、归纳、猜测、推理、交流能力，真正让学生学会思考，学会学习。 学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现最容易被理解，也最容易被掌握。因此，整堂课我始终以学生的活动为主，让学生自己去发现其中的规律和联系，我只是适当点拨、引导而已。显然，课堂气氛非常活跃，学生在快乐的气氛中轻松地学到了知识，发展了能力，同时也获得了成功的体验。 &&& 反思本课教学，最大的启示是：在数学课堂教学中，只要我们转变教学观念，以学生为主体，充分调动学生的学习积极性，使之主动参与到学习过程中，就能提高课堂教学效率，使人人有所得，个个有收获。 教学需改进之处&&&进一步处理好师生之间&教&与&学&的互动关系，充分发挥教师的&主导性&和学生的&主体性&作用，彻底改变习以为常的传统教学观念，为培养出数量多、素质高、能力强的跨世纪人才拼搏奋进！
四、教学步骤 （一）、再现原有知识结构 1、用短除法求30与45的最大公约数 独立完成，一人板演，集体订正。 师提问：怎样用短除法求两个数的最大公约数？ （评析：根据教材的内容与学生的实际需要设计课堂引入环节，实实在在，利于学生再现原有知识结构，为构建新的知识结构做好了知识准备与心理准备。） （二）、构建新的知识结构 1、揭示课题 今天我们来研究最小公倍数。（板书课题） 2、明确意义 师：你认为什么是最小公倍数？ 生1：两个数公有的最小的倍数。 师：说的很好，你很会扩写。（生笑） 生2：两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。 生3：公倍数可以是两个数公有的倍数，也可以是三个或四个数公有的倍数。我认为应改成几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。师：太好了，谁能再说一遍。 生说完师出示，齐读。 （评析：有了最大公约数的认知基础，学生很容易通过迁移实现对最小公倍数这一概念的自主建构。因此教师直接揭示课题，让学生根据自己的理解，互相补充完善最小公倍数的概念，取得了很好的效果。） 3、探讨求法 出示：求4与5的最小公倍数。 师：你认为可以怎样求两个数的最小公倍数？ 生1：用短除法。（师板书：短除法） 师：oh，你会吗？（生摇头。受求最大公约数的方法的影响，直觉让他有此想法。这种直觉思维值得呵护。）暂时不会不要紧，我们可以进一步探讨研究。还有其他方法吗？ 生2：用分解质因数的方法，但我暂时没想出来。（师板书：分解质因数） 生3：，他们俩的方法太麻烦，我觉得把两个数直接相乘就行了。（师板书：直接相乘） 其余学生露出惊奇与赞同的表情。 师：你们认为他的方法怎样？ 生4：很简单。 生5：用直接相乘的方法求4与5的最小公倍数是对的，但求其他两个数的最小公倍数就不一定对了。如10与20，10&20=200，但它们的最小公倍数是20。 师：看来你的方法不能完全成立。 生3：很多时候我的方法是对的。 师：所以老师建议你课后继续研究：什么时候？你的方法是正确的？ 师：还有其他见解吗？ 生6：我认为可以用短乘法。（学生都很好奇。） 师：短乘法！我们还真实第一次听说，你能给大家讲讲吗？ 该生主动走上讲台，边板书边讲：如10与20都2得20与40，再乘3得60与120，（板书如下） 2 & 10 20 3 & 20 40 60 120 生（很多）：永远求不出来。 生6茫然 师：你的方法很有创意，但是&& 生7：干脆先写出一个数的倍数，再写出另一个数的倍数。通过比较找出两个数的最小公倍数。 师：行吗？ 生：行！ 师：请你们用这种方法求出4与6的最小公倍数。 学生独立完成，一人板演。 4的倍数：4、8、12、16、20&& 6的倍数：6、12、18、24、30&& 4与6的最小公倍数是12 集体订正后，师问：用集合圈怎样表示？ 学生独立完成，一人板演。板书如下： 4的倍数 6的倍数 4 8 6 18 16 20 12 24 30 & 4与6的最小公倍数 师：对吗？ 生（齐答）：对！ 师皱眉：仔细看一看。 生：中间交叉的地方不能只填最小公倍数，它们公有的地方应填它们的公倍数。还要填24 36& 师：对！做任何事情都要力求准确！（板书：24 36&） 生：我发现4与6的公倍数就是最小公倍数的1倍、2倍、3倍、4倍&，有无数个。 师：你的发现很有价值。正是如此，我们有必要研究最小公倍数，公倍数的个数是无限的，没法研究最大 公倍数。 生6：这种方法太麻烦，我仍能用短乘法。（生6不服气的走上讲台，边板演边讲。） 2& 4 6 &只用6乘 3& 4 12 &只用4乘 12 12 师：恭喜你！你终于研究出来了。 生：他是已知4与6的最小公倍数是12，又瞎凑的。（其他同学异口同声。） 生：似乎有这种嫌疑。（生笑）但我们评价别人，要指出不足，更要学会发现有价值的东西。同学们想一想：为什么用4乘3，而用6乘2呢？ 小组讨论 生：我们小组把4与6分解质因数，4=2&2，6=2&3，比较4与6的质因数我们发现4比6少了一个质因数3，，因此用4去乘它缺少的3。6比4少了一个质因数2，而用6去乘它缺少的2。 师：你们小组善于利用学过的知识解决新问题。能讲得再慢一点吗？ 生：我能很形象的讲清楚。（主动走上讲台，边板书边讲。）4与6的最小公倍数肯定要4与6所有的质因数，4=2&2，6=2&3，所以4与6的最小公倍数应含有两个2，一个3，也就是2&2&3=12。因此要求4与6的最小公倍数只要用（2&2）&3或2&（2&3）。（学生露出会意的笑容，听课教师也情不自禁的鼓起掌来。） 师：这么难的知识被你讲得形象生动，真了不起！同学们刚才用的方法就是用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。先把这两个数分解质因数，找出它们公有的质因数，再找出它们独有的质因数，然后用它们公有的质因数去乘它们独有的质因数就求出了它们的最小公倍数。（板书如下） 4= 2 &2 6= 2 & 3 4与6的最小公倍数是2&2&3=12 独立完成练习十五第一题 提问：为什么用2&3&5&7？ 师：刚才有的同学提出用短除法求两个数的最小公倍数，下面就以小组为单位研究短除法。 出示例2：求18与30的最小公倍数 小组合作完成，一组板演并讲解：先用它们公有的质因数2去除，再用3去除，3与5互质。所以18与30的最小公倍数是2&3&3&5=90。（生讲解师板书） 公有的质因数& 2 18 30 公有的质因数& 3 9 15 3 5 &互质数 师提问：用什么数去除？除到什么时候为止？把哪些数相乘？为什么 做一做 用短除法求30与42的最小公倍数。 五、设计意图： 创新能力的培养，创新能力的形成，既需要灵感，更需要更多的主动思考的空间，在教学过程中，教师要给学生留出充裕的时间让学生自主探索、独立思考，给学生一个创新的支点，保护学生的探索精神。公倍数、最小公倍数的概念，我没有直接告诉学生，而是大胆放手，先让学生独立完成书上&填一填，想一想& 表格，填出4的倍数、6的倍数，再鼓励他们仔细观察&有什么发现？&，再在小组里交流。孩子们很快发现&4的倍数有的也是6的倍数，6的倍数有的也是4的倍数，12、24、36、48&&即是4的倍数也是6的倍数，其中12是最小的一个&，学生探索后，试着用自己的语言梳理概念，再让他们与书中对照，不但巧妙地揭示了公倍数、最小公倍数的概念，而且增强了学生的自信心。在此基础上再次引导学生发现&倍数的个数是无限的，公倍数的个数也是无限的，只有最小的公倍数，没有最大的。所有的公倍数都是最小公倍数的倍数&。 理解了公倍数、最小公倍数的含义，我再次尊重学生，相信学生，放手让学生尝试用短除法来求两个数的最小公倍数，由于有求最大公因数的基础，学生很快掌握了用短除法求最小公倍数的方法，我鼓励学生会做还会讲才是最棒的，于是有了学生的精彩讲解。&知其然，还要知其所以然&，学生掌握方法后，让他们质疑，于是有学生问&为什么求最小公倍数用公因数乘独有的因数？&一石激起千层浪，学生积极思考、合作交流，在多个学生回答不到位的基础上，教师适时引导点拨，重锤猛敲，点清算理。学生明白算理后迅速巩固练习：求6和8,16和20的最小公倍数，并比较&用短除法求最大公因数、最小公倍数的异同&，内化新知。 数学是思维的体操，只有自己去发现、探索、研究，理解才会更深刻，在掌握新知的基础上引导学生发现&互质关系、倍数关系求最小公倍数的方法&，教给他们学习方法，先观察，再灵活选择方法。从一般到特殊，再从特殊到一般，使所学知识系统化。 六、课后反思： 最小公倍数这部分内容是在学生掌握了倍数概念的基础上进行教学的，主要是为学习通分做准备。按照《标准》的要求，教材中只出现求两个数的最小公倍数。两个数的最小公倍数的求法解决了，三个数的也就不难依此类推了。教材通过例1引入公倍数和最小公倍数的概念。例题创设了一个用长方形墙砖铺墙面的问题情境。这样由实际生活抽象出概念，既有利于培养学生的数学抽象能力，也有利于揭示数学与现实世界的联系，帮助学生理解公倍数、最小公倍数概念的现实意义。 &&& 接着，教材通过例2教学求两个数的最小公倍数的方法。与前面教学求两个数的最大公因数相类似，这里不再像过去那样，先将两个数分别分解质因数，并使学生理解，两个数全部公有质因数与两个数各自特有质因数的积就是它们的最小公倍数。然后再将两个数分别分解质因数的短除法合起来，导出求两个数最小公倍数的短除法。而是根据《标准》的有关要求，采用&找&的方法&&列举法，找出两个整数的公倍数和最小公倍数。 这一改进，根据课程标准介绍：&不仅大大降低了学习的难度，因为不再需要讲解两个数的公有质因数、特有质因数与它们的最小公倍数的关系，而且也符合学生学习通分的实际需要。因为就是在过去，学生在通分时也基本上是用口算找出几个分母的最小公倍数，极少有学生用分解质因数或短除法求公分母。&在实际的教学中，我觉得这是错误估计学生的口算水平和理解能力，不是所有的学生都能做到做好。不借助分解质因数和短除法的方法来找最小公倍数，学生的困难比较大，而且正确率不高。虽然说，以往老教材有学生不喜欢用这两种方法来找最小公倍数，数字小的也能准确找到答案，但是对那些数字稍微大点或者烦点的题目，他们还是老老实实用短除法既快又对地解决问题。 七、教学点评：本节课虽是概念教学，但学生思维活跃，情绪高昂，学得生动有趣。 1.& 结合学生实际创设问题情景。&最小公倍数&这一课，与学生的生活实际看似无多大联系，在本堂课的教学中，教师通过对教材内容作适当补充调整，为学生提供了生动有趣的信息，从而构建了一种解决问题的数学课堂。先以故事的形式提出问题，为学生提供了一个&公倍数&的实物模型，让学生借助具体实例，初步感知公倍数、最小公倍数的特点，体会求最小公倍数的基本思路。在此基础上，引导学生走进数学，抽象出公倍数、最小公倍数等数学概念。这样的设计，不仅激发了学生学习的强烈兴趣，而且让学生感受到数学与生活是紧密联系的，体会到学习数学源于生活又高与生活的特点。 2. 让学生经历知识的形成过程。本节课，教师充分体现了这一新课程理念。如，在获取公倍数、最小公倍数的特征这个环节中，教师为学生创设了一定的情景，然后放手让学生合作解决，教师在为学生提供自主探索空间的同时，鼓励学生个性化的发展，体现了找法的多样性，并注意找法的优化，使学生在体验中不断优化方法，在此基础上抽象出公倍数、最小公倍数的概念。在初步获得所学知识后，教师又巧妙地引发学生更深层次地思考，使学生产生了深刻的体验，从中进一步感悟并理解公倍数和最小公倍数的概念。同时通过自主探究发现互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；倍数关系的两个数的最小公倍数是其中较大数。 &
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新人教版五年级数学下册第四单元《最小公倍数》具体内容和教学建议
　作者：佚名　&&日期：日　&&　
《最小公倍数》具体内容和教学建议
（1）例1以4和6为例，在求两个数公有的倍数和公有的最小倍数的过程中引入公倍数和最小公倍数的概念。
教材直接给出基本方法：先分别写出4和6各自的倍数，再从中找出公有的倍数和公有的最小倍数。同时呈现了集合圈，用相交的部分表示两个数公有的倍数，其中最小的就是两个数公有的最小倍数。在此基础上，引入公倍数和最小公倍数的概念。让学生借助集合圈更好的理解公倍数和最小公倍数的概念。
接着，通过想一想&两个数有没有最大公倍数？&旨在与公约数进行比较和区分，使学生进一步加深对公倍数概念的理解。教学时，可将此问题与&两个数为什么有最大公因数？&对比起来进行理解。
（2）&做一做&进一步巩固概念的理解。同时，这里3和6成倍数关系，通过观察发现6的倍数都是3的倍数，也就是6的倍数都是3和6的公倍数，它们的最小公倍数就是6。初步了解求两个数的最小公倍数的特殊情况。
（l）发挥直观形象对概念理解的支撑。
前面学生认识公因数时，已经借助集合圈，直观感知和理解了公因数和最大公因数的概念。同样，这里的教学，也要充分发挥集合圈的直观作用，让学生看到4的倍数和6的倍数相交的部分就是4和6公共的倍数，由此引出公倍数和最小公倍数的概念。学生只有较好地理解了概念，才能更好地掌握求公倍数和最小公倍数的方法。
（2）通过对比，加强概念的理解。
认识公倍数和最小公倍数后，学生容易将它们和公因数、最大公因数弄混，这就需要引导学生对比它们的联系和区别。比如，两个数的公因数的个数是有限的，最小的公因数都是1。而两个数的公倍数的个数是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。
同时，学习找最小公倍数的方法后，还可以总结出：成倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数就是较大的数；只有公因数1的两数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
这样，从概念、方法与应用等方面，作出比较，促使学生分清有关知识的异同。
（1）例2以6和8为例，教学求两个数的公倍数及最小公倍数的方法。与求最大公因数编排类似，教材同样呈现了学生常用的两种基本方法：一种是先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数；另一种是先写出8的倍数，再从小到大圈出6的倍数，也就是两数的公倍数，其中第一个圈出的就是它们的最小公倍数。接着，提出问题：&你还有其他方法吗？&通过相互交流、启发，开拓思路，体会方法多样化，允许学生用自己的方法来解决。
最后，引导学生观察两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系，并举例说明、拓展验证，加深对概念的理解。
（2）&做一做&巩固求找最小公倍数的方法。同时，和找最大公约数一样，通过练习，发现求两个数的最小公倍数的两种特殊情况。
（3）&你知道吗？&介绍利用分解质因数的方法，求两个数的最小公倍数，进一步了解用&短除法&求两个数的最小公倍数。
（1）鼓励学生不断总结经验，改进方法。
教学例2时，可以直接出示例题，让学生独立思考，独立解题，找出6和8的最小公倍数。然后互相交流，互相启发，看看还有没有其他方法。
（2）注重回顾学习过程中的思考和评价。
在回顾6和8的最小公倍数求解过程和结果以后，让学生观察、思考两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系，开展同桌讨论，互相启发，举例验证。
（3）提倡&做中看&，积累经验。
&做一做&可以让学生独立完成，观察每组数的特点，交流总结求两数最小公倍数的两种特殊情况：①当两数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数；②当两数只有公因数1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。积累经验：对于可以直接看出最小公倍数的，不再从头去找公倍数。
（4）学生自学与老师指导相结合。
&你知道吗？&可以让学生自学，教师给予适当指点，两个数公有质因数与各自特有质因数的积是这两个数的最小公倍数。
例3是公倍数、最小公倍数在生活中的实际应用。和前面公因数的实际应用编排一致，教材延续前面的素材，创设了周长方形墙砖铺正方形的实际问题情境，用公倍数、最小公倍数的知识求正方形的边长及其最小值。
教材同样呈现解决问题的全过程。首先通过画图初步理解题意，感受铺出正方形的不确定性。接下来，找出解决问题的方法。也就是将实际问题转化为数学问题，即&正方形的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数&。这样就可以利用公倍数和最小公倍数来解决了。
最后，利用画图验证的策略来检验。并结合前面学习的经验，总结出解决这类问题的关键就是将实际问题转化为数学问题。
（1）沟通新旧知识之间的联系。
教学例3前，先复习倍数、公倍数和最小公倍数的概念，并让学生分别写出20以内3与2的所有倍数，找出它们的公倍数和最小公倍数。
（2）经历解决问题的全过程，提高问题解决的能力。
教学中，应引导学生经历应用知识解决问题的过程，培养学生问题解决的能力。首先，阅读与理解题意，收集有关的信息，使学生理解题意：做什么，条件是什么，有哪些要求。其次，让学生综合信息，理清思路，抓住问题解决的关键。设想铺的正方形可能有很多，而满足要求的正方形受墙砖规格的限制，可以应用公倍数和最小公倍数的知识解决问题。第三，针对墙砖3和2的规格，分别找出3和2的公倍数和最小公倍数，就能知道所铺的正方形边长。最后，可以让学生在纸上画一画，互相验证交流，使学生明确：要使用长方形墙砖铺墙，正方形的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数，总结出解决此类问题的方法和策略。
有了前面利用公因数解决问题的经验，这里可以放手让学生自主探索再交流。同样，教师也可以选择学生感兴趣并且符合实际的其他素材进行教学。
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