在△ABC中,D是BC边上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求,∠DAC的度数
设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x所以∠2+∠3+∠BAC=180由∠BAC=63°,可列方程：x+2x+63=180,解得x=39,所以,∠DAC=63-39=24
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，∠BAC=63°
因为，∠1=∠2所以∠B=63∠C=180-63-63=54，∠DAC=180-54-54=72
三角形外角定理：角4等于角1加角2。内角和定理：角DAC等于180减去四倍角1角。BAC等于五倍角1
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八年级(上)期中考试考前压轴题训练
八年级（上）期中考试考前压轴题训练1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE；
（2）试证明：EM-PM=AM.E2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下十个结论：① AD=BE；
② PQ∥AE；
③ AP=BQ；B④ DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°
⑦△CPQ为等边三角形．O D⑧共有2对全等三角形
⑨CO平分∠AOE
⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．E C A如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（
）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使EDE?DB，连接AE，CD．求证：△AGE≌△DAC；B F，4已知Rt△ABC中，AC?BC，∠C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90°?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图1），易证S△DEF?S△CEF?AGC1S△ABC． 2当?EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AECBE C图2FBE图3DDCFF 图15.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．6.在等边?ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为?ABC外一点，且?MDN?60?，?BDC?120?，BD?CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．?如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数Q量关系式__________；此时=__________ L?如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM?DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；?如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)7、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(!)求证：BF=AC；(2)求证：CE=1BF； 2(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。(不做)9.问题背景，如下命题：① 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM② 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NMEAMBADAMDMBN图3CKB图1任务要求：? 请你证明以上三个命题； ? 请你继续完成下面的探索：① 如图4,在正n（n≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）.② 如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由. FE AD AB图5 图4图210,如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。MDDP图①NA图②C图③11如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE?CD；②AM?AN；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图② 图①5、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。BBAC图① A图②?12°0，8、在△ABC中，AB?BC?2，?ABC将△ABC绕点B顺时针旋转角?(0°???90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交AC、BC于D、F两点．如图，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；1 11
A19、 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．E10、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.? 如图14D1，当点E在AB边的中点位置时：① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是
；② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是
；③ 请证明你的上述两猜想.? 如图14D2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明11、已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.B12、已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。1. （ 2014?广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（
）2. （ 2014?广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（
）4. （2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（
）（第1题图）二.填空题1. （ 2014?广东，第16题4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 1 ．考点： 旋转的性质．分析： 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．， 解答： 解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，1）2=∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′S△DEC′=×1×1×（故答案为：1．1．点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．2. （ 2014?珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为 8 ．3. （ 2014?广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．4．(2014年天津市，第17 题3分)如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．考点： 等腰三角形的性质．分析： 设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°∠ACE=90°xy，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．解答： 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°∠ACE=90°xy． ∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°xy+x=90°y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为45．点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．5．（2014?新疆，第12题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是
．6．（2014年云南省，第13题3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= 18° ．考点： 等腰三角形的性质．分析： 根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数． 解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°72°=18°．故答案为：18°．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．7. （2014?益阳，第13题，4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 60° ．（第1题图）10.（2014?呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° ．7．（2014?温州，第20题10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．11.（2014?菏泽，第16题6分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．等腰三角形1. （2014?湖北宜昌,第10题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（
）345 60 90 A． 0 B． C． D．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC∠CBD计算即可得解．解答：解：∵ AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°∠A）=（180°30°）=75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD，∴∠CBD=180°2∠ACB=180°2×75°=30°，∴∠ABD=∠ABC∠CBD=75°30°=45°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．（2014?湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（
）（2014?无锡，第10题3分）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多(2014年广西钦州，第16题3分)如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为 m+n ．（2014?四川绵阳,第15题4分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= 20° ．（2014?江西，第11题3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为______。【答案】
12。（2014年山东泰安，第16题3分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（
）A．10°分析： B． 20° C． 7.5° D． 15° 根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C∠CD1E1计算即可得解．解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C∠CD1E1=45°30°=15°．故选D．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．（2014?台湾，第29题分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．．（2014年山东泰安，第27题）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF，在△DFC和△AFM中，∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．1．（2014?福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF?BC..若AB=10，则EF的长是，∴△DFC≌△AFM（AAS）， 125. （2014?浙江杭州，第18题，8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB的度数为
；（2）线段AD、BE之间的数量关系是解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=1200，（2014?江苏苏州,第23题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．14．（2014?四川内江，第18题，9分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．18．（2014?广东梅州,第21题8分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
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官方公共微信如图,点D是△ABC的BC边上的一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数
小豪°2210
∵∠1=∠2∴∠1=(1/2)(∠1+∠2)=(1/2)∠3又∵∠3=∠4∴∠3＝(180-∠DAC)/2∠DAC=63-∠1=63-(1/2)∠3=63-(1/2)(180-∠DAC)/24∠DAC=4×63-(180-∠DAC)4∠DAC=4×63-180+∠DAC3∠DAC=72∠DAC=24
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