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裂项相消法中常见的拆项公式
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分数拆项与裂项23
分数的速算与巧算；1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，；裂项技巧及寻找通项进行解题的能力；2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量；3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化；与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．；4、通项归纳法；通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只；一、裂项综合；（一）、“裂差”型运算；(1)对于分
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即那么有1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a?b，a?b1111?(?) a?bb?aab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有： n?(n?1)?(n?2)n?(n?1)?(n?2)?(n?3)1111?[?] n?(n?1)?(n?2)2n?(n?1)(n?1)(n?2)1111?[?] n?(n?1)?(n?2)?(n?3)3n?(n?1)?(n?2)(n?1)?(n?2)?(n?3)裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：a2?b2a2b2aba?bab11（1）???? ???? （2）a?ba?ba?bbaa?ba?ba?bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项1(n?1)?n?(n?1) 31(2) 1?2?3?2?3?4?3?4?5?...?(n?2)?(n?1)?n?(n?2)(n?1)n(n?1) 4(1) 1?2?2?3?3?4?...?(n?1)?n?二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 0.a?；
0.abc?，?? ??02、单位分数的拆分：例：===== ?????102020分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：11(m?n)mn11=? ???NN(m?n)N(m?n)N(m?n)AB本题10的约数有:1,10,2,5.。例如：选1和2，有：11(1?2)1211????? )10(1?2)10(1?2)3015 ????????4351530本题具体的解有：例题精讲 模块一、分数裂项11111
????????1?2?3?42?3?4?53?4?5?66?7?8?97?8?9?101?111111?【解析】 原式??????????? 3?1?2?32?3?42?3?43?4?57?8?98?9?10?【例 1】1?11?119 ??????3?1?2?38?9?10?2160333【巩固】 ??......?1?2?3?42?3?4?517?18?19?201111111【解析】 原式?3?[?(????...??)] 31?2?32?3?42?3?43?4?517?18?113?19?20?11139 ????1?2?318?19?8405719【例 2】 计算：?????
． 1?2?32?3?48?9?10【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，??这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式?3?23?43?16 ????1?2?32?3?48?9?10??3????????????2??? 1?2?32?3?48?9?101?2?32?3?48?9?10????1???1?3???????????2????????2?1?22?32?33?48?99?10?9?10??2?33?4 ?3?11?11??1111????2????????? ??2?1?29?10?910??2334 ?3?11?23711?11? ?????2???? ??? ?2?290???，再将每一项的也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n?3，所以2n?323??n?n?1?n?2n?1?n?2n?n?1?2?n23与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相n?1?n?2n?n?1?n?2同．571719
?????）2?3?43?4?58?9?109?10?11571719【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：．这个?????2?3?43?4?58?9?109?10?11【巩固】 计算：1155?（算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知5?2?3，7?3?4，??即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以571719 ?????2?3?43?4?58?9?109?10?112?33?49?10 ?????2?3?43?4?59?10?11111111
??? 3?42?4?45?35?101?191111??111??1?????????????? 10?11??2?43?59?11??3?44?511?1???1111????????????????????????? ??3445?11?1??31 ??????????????????253355??????31所以原式?． 5534512【巩固】 计算：
?????1?2?4?52?3?5?63?4?6?710?11?13?14【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式? ?????1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?14现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：3?1?5?4，4?2?6?4，5?3?7?4?? 222【解析】 原式? ?????1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?141?5?42?6?43?7?410?14?4 ??????1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?141111??????????11?12?13??2?3?43?4?54?5?6 4444??????????10?11?12?13?14??1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?7 ?1?111111???????????2?2?33?43?44?511?1212?13?111111????????????10?11?12??14??1?2?3?42?3?4?52?3?4?53?4?5?6 1?11??11????????? 2?2?312?13??1?2?3?411?12?13?14?????????122?12??13??1175 ???830861612349【例 3】 ? ?????22?32?3?42?3?4?52?3?4??1012349【解析】 原式?? ?????22?32?3?42?3?4?52?3?4??102?13?14?110?1 ??????22?32?3?42?3?4??10?????????222?32?32?3?42?3?4??92?3?4??9?10??2?3?4??9?1111【例 4】 ?
?????11?21?2?31?2???100【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简?单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公112112，，??，
????1(1?1)?11?21?2(1?2)?22?322原式? ???????2?(1?)??11?22?33?0110123450【巩固】?????1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)(1?2?3???49)?(1?2?3???50)324550原式＝＋＋＋＋?＋ 1?33?66??1275＝（?）＋（?）＋（?）＋（）＝ ?2751275234100【巩固】?????1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)(1?2???99)?(1?2???100)式的代入有211311【解析】，，??， ????1?(1?2)11?2(1?2)?(1?2?3)1?21?2?310011，所以 ??(1?2???99)?(1?2???100)1?2???991?2???1001原式?1? 1?2???10015050502310【巩固】
1?????1?（1?2）(1?2)?(1?2?3)(1?2?3???9)?(1?2?3???10) 23410【解析】 原式?1?(?????) 1?33?66?1045?5511???????????? 1???1??1?? ?55?1 ?55111111【例 5】 2?2?2?2?2?2?
3?15?17?19?111?113?122【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：a?b?(a?b)?(a?b)， 111111原式?()?()?()?()?()?() 2?44?66?88?1?(???????????)? 2121421113?(?)?? 21421435715【巩固】 计算：2 ?????1?72?8222?82?72【解析】 原式?2?????22 1?7?8?2?2?2?2?2???2?2 2233478631 ?1?2?64832?152?172?952?1【巩固】 计算：2???????
． 3?152?172?952?12??2??2?22?????【解析】 原式??1?2?1????1?2???1?2?????1???? 223?15?17??1??????????22?2??997??????? ??2?44?611?1?997?7??????????997???997???6??【巩固】 计算：??????
． 1?33?55?799?101【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变，4?1，6?1，??，100?1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了． 1??原式???2?????? 4?2?142?162?11002?1??1?1111???1?2?1?2?1?2???1?? 4?2?14?16?11002?1??1?1111???50??????? 4?1?33?55?799?101??1?1?1111111????50???1?????????? 4?2???? 包含各类专业文献、文学作品欣赏、行业资料、应用写作文书、生活休闲娱乐、中学教育、各类资格考试、专业论文、高等教育、外语学习资料、分数拆项与裂项23等内容。　
　小学奥数类拆项教案小学奥数类拆项教案隐藏&& 小学奥数分数拆项综合详解 补充:整数裂项的构造: 1 2+2 3 3 4+4×5+……+n×(n+1)= 1×2×3+2×3×... 　抵消,达到简化计算的目的, 拆项法:把一个分数拆成几个分数的和或差后能互相抵消,达到简化计算的目的, 互相抵消 这种方法叫做分数的拆分法,又叫裂项法 或拆项... 　将算式中的项进行拆分, 使拆分后的项可前后抵消, 这种拆项计 算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将 数字分拆成两个或多个数字单位的... 　分数拆分(裂项法)_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。2008 年 10 月 4 日...拆分未必拆成两个分数之差,有的时候,需要拆成两个分数之和;可以利用公式: ... 　知识点: 一、 “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项 法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字... 　六年级分数巧算裂项拆分_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。思维决定高度,细节...分数拆项与裂项 18页 免费 分数裂项求和方法总结 4页 免费 六年级奥数-第一讲... 　知识点拨分数裂项一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消 使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法. .裂项分为分数裂项和整... 　分数裂项 (1)_数学_小学教育_教育专区。分数裂项计算分数裂项一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法。裂项... 　分数的拆分到裂项_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。二期课改新教材六年级提高班配套练习及讲义 有些许奥数内容 分数的拆分: 例 1 能否把 1 拆成两个单位...您当前所在位置：
三年级裂项与拆分奥数题及答案
【摘要】为了能帮助广大小学生朋友们提高数学成绩和数学思维能力，精品学习网小学频道特地为大家整理了裂项与拆分奥数题及答案，希望能够切实的帮到大家，同时祝大家学业进步!
有40枚棋子分别放入8个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子?
考点：整数的裂项与拆分.
分析：要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
解答：解：因为要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，而要使其中的一个盒子的球最多，则另外的7个盒子里面的球分别为1，
即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
答：其中的一个盒子里，最多能有33枚棋子.
点评：关键是理解题意得出7个盒子里面的球分别为1，求出最多的盒子里面球的个数.
只要大家脚踏实地的复习、一定能够提高数学应用能力!希望提供的裂项与拆分奥数题及答案，能帮助大家迅速提高数学成绩!奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式61-第2页
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奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式61-2
上面指出当x?n?t，y?；n?6,n；nt；?n，t是n的约数时，一定有；1n；1x；1y；，这里；?36，36共有1，2，3，4，6，9，12，1；当t?1时，x?7，y?42当t?2时，x?8，；故（）和&&所代表的两数和分别为49；【模拟试题】（答题时间：20分钟）；二.尝试体验：1.计算：；11?2；2?33?498?
上面指出当x?n?t，y?n?6,n2nt22?n，t是n的约数时，一定有1n?1x?1y，这里?36，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。当t?1时，x?7，y?42
当t?2时，x?8，y?24
当t?3时，x?9，y?18
当t?4时，x?10，y?15
当t?6时，x?12，y?10
当t?9时，x?15，y?10
当t?12时，x?18，y?9
当t?18时，x?24，y?8
当t?36时，x?42，y?7故（
&所代表的两数和分别为49，32，27，25。【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：
1. 计算：11?22?33?498????????????
2. 计算：??51201113. 已知x、y是互不相等的自然数，当??时，求x?y。18xy?1?1?…?1?1 【试题答案】1. 计算：11?22?33?498???????…????00?1?1?…?1?1 ?1??991100 10013?16?110?115?121?128?136?145?155?166?178?191?1105?11202. 计算：???26 ???2102401111112?(????????2?33?44?55?66?77?88?99?????)11?14?1515?16 112?(?)21611?878?212?220?2301?2421?256?272?2901?2?2?2?2?2?23. 已知x、y是互不相等的自然数，当118?1x?1y时，求x?y。x?y的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有118?1?218?(1?2)1?318?(1?3)?154172?127118?1?118?(1?1)?136?136 54?27?81118???124 72?24?9611?611???)1262121?126????)18020 20?180?200118?1?)?119?1342 19?342????)4530 30?45?75118?2?918?(2?9)?199?122 22?99?121还有别的解法。裂项法【典型例题】1?3?3?5?5?7???分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。11t下面我们用?，现在给n、t一些具体的值，看看有什么结果。 ?nn?tn(n?t)
当n?1,t?2时，有
当n?3,t?2时，有
当n?5,t?2时，有
……当n?1993,t?2时，有
当n?1995,t?2时，有????21?323?525?7???111315???131517 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如11?31?33?523???,????
因为，……，，1?321?33?523?993?1995112??95?19971111??…??
所以 1?33?95???(1????…????)?12?2,1?1?2，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。?1212?(1??11997) ?? 9981997111例2.1?2?32?3?498?99?100113?12???
因为 1?22?31?2?31?2?31111??(?)
所以1?2?321?22?31111??(?)
同样可得2?3?422?33?4??……? 3?4?5?2?(3?4?4?5)
一般地，因为11?n(n?1)(n?1)(n?2)?n?2?nn(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?2)1 ? n(n?1)(n?2)?12?[1n(n?1)?1(n?1)(n?2)] 这里n是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。111??…?1?2?32?3?498?99???[(?)?(?)?…?(?)]21?22?32?33?498? 1111111??(????…??)21?22?32?33?498???(?)21?299??????19800例3. 计算：12?12?3?12?3?4?12?3?4?5?…?12?3?4?…?200 分析与解：12?31?2(2?3)?2?2?22?5?23?6?112(n?2)(n?1)124?7?2(n?1)(n?2)2?3?4(2?4)?3?2 12?3?4?51(2?5)?4? 2?3?4?…?n2(n?1)(n?2)?2?(n?1)(n?2)而
即1n?1?11n?2??(n?2)?(n?1)(n?1)(n?2)13?(1n?1?1?3(n?1)(n?2)) (n?1)(n?2)n?2连续使用上面两个等式，便可求出结果来。111??…?22?32?3?4?…?200?12121212 ???12??121212???12?53???(??…?)32?53?11111??(????????1111??[(????…?)?(1111?[(????…?)?(?1111??(?????)??(??)4433????2?2?…?2 17???…?)] ?…???)]?1?…?1?1) 【模拟试题】（答题时间：15分钟）二. 尝试体验111111. 求和：? ???…?33?43?4?53?4?5?63?4?5?…?20
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关于数列裂项相消求和：高中常见的拆项公式有哪些？
1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
1/n-1/(n+1)分母通分。。。分母为n（n+1），分子为n+1-n=1，合起来 =1/n(n+1)。所以1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)订肌斥可俪玖筹雪船磨2)和上面的一样，1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]分母通分。。。分母为(2n-1)(2n+1)，分子2n+1-2n+1=2，合起来2/(2n-1)(2n+1)，再乘以一个1/2，得到1/(2n-1)(2n+1)第三个还是一样的就不写了第四个，关键在于(a-b)=(√a-√b）(√a+√b）[1/(a-b)](√a-√b)=(√a-√b）/[(√a-√b）(√a+√b）],消去(√a-√b）剩下1/(√a+√b)
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