利用定积分的定义计算下列定积分∫（e^x）dx
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2015考研数学:利用变限积分求导计算定积分的技巧
　　在考研数学中，利用变限积分求导来计算定积分、函数极限和证明积分等式或不等式是常考的题型，事实上，变限积分是与微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)紧密联系在一起的，其重要性不言而喻。为了帮助广大考生更好地理解和掌握这类题的解题方法和技巧，文都考研数学辅导老师下面对利用变限积分求导来计算定积分这类题的解题方法和解题步骤进行了分析总结，供各位考生参考，希望对大家有所裨益。
　　变限积分求导的基本公式：
　　利用变限积分求导计算定积分的适用情形：
　　1)积分中的被积函数的一部分又是另一个函数的变限积分;
　　2)变限积分往往不易或不能直接计算出。
　　利用变限积分求导计算定积分的步骤：
　　1)首先利用分部积分法将积分分成两部分;
　　2)再利用变限积分求导法写出第二个积分式;
　　3)然后利用定积分的性质和其它计算方法算出最后结果。
　　说明：这类题除了采用上述方法计算之外，有时还可以采用重积分中交换积分次序的方法进行计算。
　　上面就是对考研数学中利用变限积分求导来计算定积分这种题型的基本解题方法和技巧，在以后的时间里，文都考研数学辅导老师还会向考生们介绍利用变限积分求导来计算函数极限和证明积分等式或不等式的解题技巧，以及考研数学中其它常考题型和相应的解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。
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专题：导数的概念及应用
分析：（1）先根据定积分的几何意义求出：∫0-416-x2dx=4π，再根据定积分的法则求出∫0-421-2xdx，问题得以解决，（2）先∫π20|（1-x）3|dx转化为∫10（1-x）3dx+∫π21（x-1）3dx，然后计算即可．
解：（1）∫0-416-x2dx，表示以原点为圆心，以4为半径的圆的面积的四分之一，故：∫0-416-x2dx=14π×42=4π，∫0-421-2xdx=-ln（1-2x）|&0-4=-（ln1-ln9）=ln9，∴∫0-4（16-x2+21-2x）dx=4π+ln9，（2）∫π20sin2xdx=-12cos2x|π20=-12（cosπ-cos0）=1，∫π20|（1-x）3|dx=∫10（1-x）3dx+∫π21（x-1）3dx=-14(1-x)4|10+14（x-1）4|&π21=14+14(π2-1)4，故∫π20（sin2x+|（1-x）3|）dx=54+14(π2-1)4，故答案为：（1）=4π+ln9，（2）54+14(π2-1)4，
点评：本题主要考查了定积分的计算，关键是转化的思想的利用，属于中档题．
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科目：高中数学
已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的0≤x1≤x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）是偶函数；则下列结论中正确的是（　　）
A、f（6.5）＜f（5）＜f（15.5）B、f（5）＜f（6.5）＜f（15.5）C、f（5）＜f（15.5）＜f（6.5）D、f（15.5）＜f（5）＜f（6.5）
科目：高中数学
如图，在平行四边形ABCD中，边AD所在直线方程为2x-y-2=0，顶点C（2，0）．（Ⅰ）求边BC所在直线的方程；（Ⅱ）求AD边上的高CE所在直线的方程．
科目：高中数学
函数y=cosx（sinx+3cosx）-32的图象（　　）
A、关于点（π3，0）对称B、关于直线x=π4对称C、关于点（π4，0）对称D、关于直线x=π3对称
科目：高中数学
某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=12x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N*）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）=f(x)-21x，1≤x＜7且x∈N*x2ex(13x2-10x+96)，7≤x≤12且x∈N*（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=10exx，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）
科目：高中数学
若?a∈（0，+∞），?θ∈R使asinθ≥a成立，则cos（θ-π6）的值为（　　）
A、32B、12C、±12D、±32
科目：高中数学
已知复数1+Z1-Z=i，则Z的虚部为．
科目：高中数学
在（1+2x）4的展开式中，x3项的系数为．
科目：高中数学
判断函数f（x）=x0-1的奇偶性：．
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数值积分方法
在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分和积分中值等数学定义和定理，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分，能够以简单的方法求解具体数值问题，但数值积分的难点在于计算时间有时会过长，有时会出现数值不稳定现象，需要较强的理论支撑。
黎曼积分（Riemann
integral）
在实数分析中，由黎曼创立的黎曼积分（Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。对于一在区间上之给定非负函数，我们想要确定所代表的曲线与坐标轴所夹图形的面积，作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分。黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。如函数取负值，则相应的面积值亦取负值。
积分中值定理（Mean value
theorem of integrals）
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，若函数 f(x)
闭区间 [a,
b]上连续,则在积分区间
[a, b]上至少存在一个点
ξ，使下式成立
Integral(f(x))&on [a, b]&=
其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，
数值积分的必要性
数值积分的必要性源自计算函数的的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至没有解析表达式（“积不出来”的函数）。例如常见的的原函数就无法用初等函数表示。
不仅如此，在很多实际应用中，可能只能知道积分函数在某些特定点的取值，或者积分函数可能是某个的解，这些都是无法用求原函数的方法计算函数的积分。另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，也不再适用，因此只能使用数值积分计算函数的近似值。
矩形法是一种计算近似值的方法，其思想是求若干个矩形的面积之和，这些矩形的高由函数值来决定。将[a, b] 划分为n个长度相等的子区间，每个子区间的长度为(a-b)/n
。这些左上角、右上角或顶边中点在被积上。这样，这些矩形的面积之和就约等于定积分的近似值。
由函数上的点为矩形的左上角、右上角或顶边中点来决定，又分别被称为下（左）矩形公式、上（右）矩形公式和中矩形公式。当
逐渐扩大时，此近似值更加准确。矩形法的计算本质上是与的定义相吻合的。上述的点无论取哪个值，最终和式的值都将趋近于定积分的值。
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为了计算出更加准确的定积分，采用梯形代替矩形计算近似值，其思想是求若干个梯形的面积之和，这些梯形的长短边高由函数值来决定。这些梯形左上角和右上角在被积上。这样，这些梯形的面积之和就约等于定积分的近似值。
辛普森法（Simpson's
矩形法和梯形法都是用直线线段拟合函数曲线的方法，另一种形式是采用曲线段拟合函数，实现近似逼近的数值积分方法。辛普森法（Simpson's rule）是以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。
一般插值方法
另一种数值积分的思路是用一个容易计算积分而又与原来的函数“相近”的函数来代替原来的函数。这里的“相近”是指两者在积分区间上定积分的值比较接近。最自然的想法是采用多项式函数。比如说，给定一个函数后，在积分区间中对原来的函数进行。得到拉格朗日插值多项式以后，计算这个多项式的积分。
拉格朗日插值(Lagrange
Interpolation)
拉格朗日插值是一种多项式插值方法，可以找到一个多项式，其恰好在积分区间中取的各个点取到给定函数的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。
数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。对于给定的n+1个点，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式有且只有一个。
牛顿-科茨公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes
牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes
formula）是以拉格朗日多项式插值的一般方法。梯形法则和辛普森法则便是牛顿-柯特斯公式的特例情况。
由于该拉格朗日多项式的系数都是常数，所以积函数的系数都是常数。这种方法缺点是对于次数较高的多项式而有很大误差（），不如法。
龙格现象(Runge
Phenomenon)
在领域中，
龙格现象是用高阶进行时所出现的问题。
在某些高阶多项式等距点xi
进行，那么插值结果就会出现震荡。可以证明，在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大。
解决龙格现象的办法是使用代替等距点可以减小震荡，在这种情况下，随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式可以避免这个问题。如果要减小插值误差，那么可以增加构成样条的多项式的数目，而不必是增加多项式的阶次。第一类切比雪夫多项式的根（即切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
代数精度评估
数值积分方法的代数精度用于衡量原函数和数值积分结果两者的逼近程度。若E(f)=0对f(x)=x^k(k=0,1，…，d)精确成立，而当f(x)=x^(d+1)时不再是精确等式，则说求积公式的代数精度是d。根据K.外尔斯特拉斯的多项式逼近定理，就一般的连续函数而言，d越大E(f)越小，因此可以用代数精度的高低说明数值积分公式的优劣。
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