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高一数学第三章数列同步辅导讲义
高一数学第三章 数列同步辅导讲义第9讲数列和等差数列一、本讲主要内容1． 数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。2． 等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。二、学习指导1． 要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射;从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋（或它的有限子集｛１，２，......，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。　　数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。是两个不同的数列。　　要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，......。而数集中的数是无序的，并且是互异的。　　数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的各项。　　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。　　并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０.１，０.０１，０.００１，......的不足近似值构成的数列就没有通项公式。　　一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，......的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成　　
(n=2k-1,k∈N+)　　an=　　
(n=2k,k∈N+)它们形式不同，但实质是一样的．　　与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。　　数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。２．要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。　　课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列｛an｝有an+1-an=d(n∈Ｎ＋)，这就是等差数列的递推公式．由an-an-1=d，an-1-an-2=d，......，a2-a1=d，将这 n-1个式子相加，得an-a1=(n-1)d，即 an=a1+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。　　等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。　　根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a，Ａ，b成等差数列，那么Ａ叫做a,b的等差中项，且Ａ＝，（Ａ也叫a,b的算术平均值）。容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即，（n,k∈Ｎ＋，且 n＞k）．　　等差数列有如下一些性质：（１） 设数列｛an｝是公差为d的等差数列，那么an=am+(n-m)d (m,n∈Ｎ＋)（２） 设数列｛an｝是等差数列，如果m,n,k,∈Ｎ＋，且 m+n=k+，那么 am+ an=ak+（３） 等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．（４） 设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，那么数列｛λan+μbn｝（λ，μ为常数），也是等差数列．　　以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试．三．典型例题分析例１． 分别写出下列数列的一个通项公式：（１）......（２）......（３）５,55,555,5555,......（４）......解题思路分析：（１） 数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分,再分别考察各部分，加上变换正负号的（－１）n得an=(-1)n[(2n-1)+]（２） 将这数列前４项改写成，可得通项公式an=(-1)n+1（３） 由于９，９９，９９９，９９９９，......的通项公式是10n-1所以将题中数列各项改写后，可得通项公式an=(10n-1)（４） 原数列可写成：...... 得通项公式为an=例２． 数列｛an｝中，a1=1, 对所有的n≥２都有...an=n2；（１） 求a3+a5；（２） 是这数列中的项吗？　　解题思路分析：　　据题设...an-1=(n-1)2,而　　∴
（n≥2）　　由此可以求得a3+a5=，令，可以判断是这数列中的第１６项．例３． 在－１与７之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列，求此数列．　　解题思路分析：　　设五个数组成等差数列｛an｝，则a１=-1,a5=7,利用通项公式求出公差，得数列为－１，１，３，５，７．　　也可以利用等差中项来解，第三项是第一和第五项的等差中项，第二，第四项分别是其相邻两项的等差中项，从而求得数列．例４． 已知an=an-1+(n≥2),a1=1（１） 写出数列的前五项；（２） 由（１）中的前５项推测数列的通项公式并进行证明．解题思路分析：前五项为．观察这五项的分子，分母，猜得，由此得，代入递推公式证明上述猜想正确．例５． 在等差数列｛an｝中（１） 已知a2=5,a6=17，求an．（２） 已知a6=5,a3+a8=5，求a5．（３） 已知a1+a2+a3+a4=26,a2a3=40，求a5．解题思路分析：a1+d=5（１） 利用等差数列通项公式有a1+5d=17解出a1,d后得通项公式 an=3n-1；（２） 利用等差数列性质，由a3+a8=a5+a6=5,得a5=0.（３） 设 a1=a-3d,a2=a-d,a3=a+d,a4=a+3d,（a-3d）＋（a-d）＋（a+d）＋（a+3d）＝26则得（a-d）（a+d）＝40解出a,b.得a5=14或-1.例６． 已知等差数列｛an｝满足a3×a7=－12,a4+a6=－4,求数列｛an｝的通项公式．　　解题思路分析：设公差为d ，首项为a1，可得方程组：　　a3×a7=(a1+2d)(a1+6d)=－12a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=－4解得a1,d后得通项公式an=2n－12或an=－2n+8例７． 为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{n}表示成图象，如图，根据图象回答下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{n}的通项公式和金属棒长度（单位：m）关于温度t（单位：℃）的函数关系式；（3）在30℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解题思路分析：本题是通过实验取得数据从而进行研究实际问题一个应用题。从图上不难看到第5次量得金属棒长度是2.005 m，这时温度为300℃。　　设n=dn+b，由待定系数法可得通项公式n=0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50。∴,代入通项公式得所求函数关系式为=0.0。　　设当t=30℃时,金属板在某个面上长度为'm,当t=500℃时金属板在该个面的长度为"m,则"-'=0.0094(m)。这就是至少要留出的空隙。巩固练习（一）选择题：　　1．如果无穷数列{an}的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为(
)　　（A）Z
（D）N+的有限子集{1,2,...,n}　　2．数列-1，6，-11，16，...的一个通项公式为
）　　（A）an= 5n-4
(B) an=-5n+4　　 (C) an= (-1)n×5n-4
(D) an=(-1)n(5n-4)　　3．已知数列{an}的首项a1=1, 且an=2an-1+1（n≥2）,则a5为
)　　（A）7
（D）31　　4．a,b,c都是实数，那么"2b=a+c"是"a,b,c成等差数列"的
）　　（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件　　（C）充要条件
（D）既非充分又非必要条件　　5．一个等差数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有
）　　（A）a1=-2,d=3
（B）a1= 2,d=-3　　（C）a1= -3,d=2
（D）a1=3, d=-2　　6．在等差数列{an}中，am=n,an=m(m,n∈N+),则am+n=
)　　（A）mn
（D）0　　7．已知等差数列{an}中，a1=-5,d=7,an≤695,则这个等差数列至多有
)　　（A）98项
（C）100项
（D）101项8．已知等差数列{bn}中，d=-3,b7=10,则b1是
）　　（A）-39
（D）32　　9．已知等差数列{cn}中，c10+c15=9,则c9+c16,cn的值是
）　　（A）不能确定
（D）　　10．在等差数列40，37，34，......中第一个负数项是
）　　（A）第13项
（B）第14项
（C）第15项
（D）第16项（二）填空题　　11．数列2，-4，6，-8，...的一个通项公式是_________。　　12．已知数列：...，则是这个数列的第________项。　　13．数列a1=-1,an=(n≥2)的前四项依次是________________________。　　14．等差数列{an}中，a15=33,a45=153,则217是这个数列的第__________项。　　15．若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为____________________。　　16．若{an}为等差数列，a2,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=____________。（三）解答题　　17．求下列各数列的一个通项公式：　　（1）......　　（2）......　　（3）......　　18．在矩形纸片内取n(n∈N+)个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为an　　（1）求a1,a2。（2）求数列{an}的递推公式；（４） 根据递推公式写出数列{an}的前6项。　　19．已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式。　　　　20．在等差数列{an}中，已知a4=70,a21=-100,　　（1）求首项a1与公差d，并写出通项公式；　　（2）{an}中有多少项属于区间[-18，18]？　　　　21．已知等差数列{an}，求证：　　（1）若u+v=p+q，则au+av=ap+aq；（2）若t=7n+2(n∈N+)，则当n依次取1，2，3，...时，所得at组成的数列也是等差数列。参考答案（一） 选择题：1．C．无穷数列从函数观点来看，定义域是N+。2．D．将n=1,2,3,4代入各通项公式，知D适合。3．D．逐项计算，a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.4．C．由2b=a+c得b-a=c-b，知a,b,c是等差数列；反之也真。a1+4d=105．A．由
解得a1=-2,d=3。3a1+3d=36．D．由am=n,an=m,得,am+n=am+nd=n-n=0.7．D．由-5+7（n-1）≤695得n≤101.8．B．b7=b1+(7-1)(-3)=10,∴b1=28.9．B．c9+c16=c10+c15=9..10．C．∵a1=40,d=-3,∴由an=40-3(n-1) ≤0解得n≥，∵n∈N∴n≥15.（二） 填空题11．an=(-1)n+1?2n
各项符号正负相间，满足(-1)n+1；各项是序号 n的2倍。12．7
将数列写成则2=是数列中第7项。13．-1，-1，-1，-1
逐项代入计算得到。14．61
由a1+14d=33及a1+44d=153得d=4，a1=-23，从-23+4(n-1)=217解得n=61.　　15．60°，92° 设三角形三个内角为x-d,x,x+d,则（x-d）+x+(x+d)=180°,∴x-d= 28°,∴d=32°,∴x+d=92°。16．3
∵a3+a10=3,∴a5+a8=a3+a10=3　　(三)解答题　　17．解（1）所给数列前5项分子组成奇数数列，其通项公式为2n-1，而前5项分母所组成数列的通项公式为2×2n,所以已知数列an的通项公式为,　　(2)从所给数列的前5项可知，每一项分子都是1，而分母所组成的数列为3 ，8，15，24，35，...可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7...，其通项公式为n(n+2)；各项符号是奇数项为 负，偶数项为正。因此所给数列的通项公式为an=(-1)n.　　(3)所给数列改写成：数列分子是1，0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，所以可表示为；分母通项为正整数n，所以数列的通项公式为。　　18．解（1）a1=4,a2=6　　(2)因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点Ai（如图，点Ai必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是an=an-1+2(n≥2) 。　　(3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6,　　
a3=a2+2=6+2=8　　
a4=a3+2=8+2=10　　
a5=a4+2=10+2=12　　
a6=a5+2=12+2=14　　19．解：∵a1+a7=2a4
∴a1+a4+a7=3a4=15　　
∴a4=5　　
∵a2a4a6=45, ∴a2a6=9　　设等差数列公差为d，则(a4-2d)(a4+2d)=9　　即(5-2d)(5+2d)=9
∴d=±2　　当d=2时an=a4+(n-4)d=5+(n-4)?2=2n-3　　当 d=-2 时，an=5+(-2)(n-4)=13-2n　　20．解(1)由题意，得解得a1=100,d=-10　　所以通项公式是an=100-10(n-1)　　即an=-10n+110　　(2)由题意，得-18≤-10n+110≤18　　解得
12.8≥n≥9.2,　　∵n∈N+
∴12≥n≥10.所以属于区间[-18,18]的共有3项,它们是a10,a11,a12　　21.解(1)设an=a1+(n-1)d,则　　
au=a1+(u-1)d
av=a1+(v-1)d, ②　　
ap=a1+(p-1)d
aq=a1+(q-1)d ④　　①+②，得 au+av=2a1+(u+v-2)d　　③+④，得ap+aq=2a1+(p+q-2)d　　∵u+v=p+q
∴au+av=ap+aq　　(2)设at所组成的数列为，（m∈N+）　　则b1=a9,b2=a16,b3=a23,...，　　 bm-1=a7(m-1)+2,bm=a7m+2,...，　　 ∴bm-bm-1=a7m+2-a7(m-1)+2　　
=a1+(7m+1)d-{a1+[7(m-1)+1]d}=7d　　所以是公差为 7d的等差数列。　　七．附录　　例1的解　　（1）数列的各项的绝对值均有三部分组成，整数部分，分数的分子和分母部分，整数部分是奇数数列，分子部分是正整数数列，而分母部分是比分子大1的平分数数列，所以所求的一个通项公式为　　　　(2) 这个数列的前四项可以改写成：这4项的分母都与序号相同，分子都恰好是分母加3；又因如奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为　　（3）这个数列的前4项可以写成：其中9,99,999,9999则可表示成 101-1，102-1，103-1，104-1，这里10的正整数次幂恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式是an=　　(4) 原数列可以写成：分子数列恰好为奇数数列，分母数列恰好为2n-1, 故所求的一个通项公式为　　评注：复杂的数列常常是由一些简单的基本数列构成的，求这些数列的通项公式可以转化成基本数列的求解，在分析较复杂数列的构造时，有时把所给的前几项作适当的变形，将有助于我们找到项与序号之间的对应关系。　　例2的解　　由已知a1?a2......an=n2,得a1a2...an-1=(n-1)2,　　∴　　∵a1=1不适合此等式，故　　(1)　　(2)设，则解方程可得n=16,∵16∈N+，∴是这个数列的第16项。　　评注：求出了数列的通项公式就可以求得数列的任何一项。本题在求通项公式时，应用了a1a2...an=n2 对一切n≥2都成立的条件，当 n-1项时理当也成立。要说明一个数是否是数列中的某一项，只要验证这个数是否满足通项公式。　　例3的解　　方法一，设这五个数组成的等差数列为，由已知a1=-1,a5=7,∴7=-1+（5n-1）d,解得d=2,所求数列为-1，1，3，5，7　　方法二，利用等差数列的性质求解。　　∵-1,a,b,c,7成等差数列，∴b 是-1,7的等差中项，a是-1，b 的等差中项，c是b，7的等差中项，即　　∴所求数列为-1,1,3,5,7,　　例4的解(1)a1=1,a2=1+,,　　(2)观察a1,a2,a3,a4,a5 的分子和分母，可以看到，分母就是序号，而分子是分母两倍减1，所以通项公式猜测为an=　　由此可知　　 ∴故猜想成立。　　∴数列的通项公式为　　评注：由数列的前几项写出数列的通项公式是由特殊到一般的过程，往往使用不完全归纳法，它的正确性是需要进行证明的。　　例5的解　　（1）∵a2=5,a6=17　　
∴an=a1+(n-1)d=3n-1
即 an=3n-1　　（2）∵a3+a8=a5+a6=5,a6=5,∴a5=0　　（3）a1,a2,a3,a4成等差数列，依次设为a-3d,a-d,a+d,a+3d，由题设得　　由①知a=,代入②得d=±∴a1,a2,a3,a4依次为2，5，8，11或11，8。5，2故a5=14或 a5=-1.　　评注：求等差数列中的某些项时，常常是根据题意列出方程或方程组求解；利用等差数列的性质，结合各元素之间的特殊联系，可以更简便地获得解答。　　例6的解　　解：设公差为d，首项为a1，由题意可知，　　a3?a7=(a1+2d)(a1+6d)=-12 ①　　a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4
②　　由①，②解得 d=±2，　　当d=2时，a1=-4d-2=-10;　　当d=-2时，a1=-4d-2=6　　∴的通项公式为an=-10+(n-1)×2=2n-12或an=6+(n-1)(-2)=-2n+8　　评注：通过列方程组求出等差数列公差d和首项a1是现在求解等差数列问题的基本方法。　　例7的解　　（1）由图知，L5=2.005(m)　　此时，金属棒的温度是t=100+(5-1)?50=300（℃）　　答：第5次量得金属棒的长度是2.005m，此时金属棒的温度是300℃　　（2）设Ln=dn+b,由L1=2.001,L2=2.002得解得　　∴通项公式为Ln=0.001n+2　　由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50　　∴，将它代入通项公式，得L=0.0　　由上式可知，L 也是t的一次函数，不过t不限于取正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数，求L关于t的函数关系式也可以直接设L=kt+b，用待令函数法直接求得。　　（3）设当t=30℃时金属板在某方向的长度为L1m ,当 t=500℃时，金属板在该方向的长度是L2 m，则有　　∴L2-L1=0.0094（m）　　当金属板温度从30℃上升到500℃时，每块金属板的单向伸长为，所以铺设时两块金属板之间至少留出0.0094m宽的空隙。第2讲 等差数列的前n项和和等比数列一、本讲主要内容　　
1、等差数列的前n项和的公式及应用　　　2、等比数列的概念和性质二、学习指导　　1、要掌握等差数列的前n项和的公式及其推导方法。　　课本首先通过1+2+3+...+100的高斯算法发现等差数列的前n项中，第k项与倒数第k项的和等于首未两项的和，从而可以用倒序相加方法得到前n项和的公式：
①　　将等差数列通项公式an=a1+(n－1)d代入①可得到公式的另一种形式：
②　　公式①是用首项a1,末项an与项数 n表示的，公式②是用首项a1,项数n与公差d表示的，在使用上各有其方便的地方。　　公式②还可以如下导出：　　Sn=a1+a2+a3+...+an　　
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n－1)d]　　
=na1+[1+2+...+(n－1)]d　　
=na1+　　注意公式中d前面是，不要误认为。　　如果a1,d是确定的常数，那么公式②可以写成：。设,b=a1－,则Sn=an2+bn。当a≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的不含常数项的二次式，反之，可以证明，当一个数列的前n项和是一个不含常数项的n的二次式时，这个数列一定是等差数列。　　2、要正确理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念，并能用公式解决一些简单问题。　　与得出等差数列概念类似，课本也是通过归纳三个数列的共同特点给出等比数列的定义及公比概念。由等差数列定义知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q≠0，由定义还可知，如果都是同一个常数q，那么数列就是等比数列。an+1=anq是等比数列的递推公式。　　与得出等差数列通项公式类似，等比数列的通项公式也是通过不完全归纳法得到的：an=a1qn－1。将它写成后可以知道，当q>0且q≠1时，y=qx是一个指数函数而是一个非零常数与一个指数常数的积。因此等比数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。　　与等差中项概念类似，如果在a和b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么 G叫做a,b的等比中项。如果a,b异号，那么a,b 不存在等比数中项；如果a,b同号，那么或，其中也叫a,b的几何平均值。　　在等比数列中，从第2项起，每一项都是它相邻两项的等比中项，也是与它等距的前后两项的等比中项。　　等比数列有如下一些性质：　　(1)设数列 是公比为q 的等比数列，则an=amqn－m(m,n∈N+)　　(2)设数列 是等比数列，如果m,n,k,∈N+，且m+n=k+,那么aman=ak+ .　　(3)等比数列中，序号成等差数列的项成等比数列。即当2k=m+n时，an?am=三、典型例题　　例1、在等差数列中，　　(1)已知a6+a9+a12+a15=34，求前20项之和；　　(2)已知Sp=Sq(p≠q)，求Sp+q　　解题思路分析　　(1)利用等差数列性质，a6+a15=a9+a12=a1+a20=17，求得S20=170　　(2)∵Sp=,Sq=, ∴Sp=Sq可以转化成a1+ap+q=0,从而得Sp+q=0　　例2、等差数列中，a1>0且前n项之和为Sn，若S7=S13，则n为何值时，Sn为最大？　　解题思路分析　　根据a1>0,S7=S13,可以确定公差d0,a11<0,则得S10最大；也可以利用 知点（n,Sn）在开口向下的抛物线上，得时，Sn最大。　　例3、设数列和都是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且，求的值。　　解题思路分析　　在等差数列中S2n+1=(2n+1)an,同理T2n+1=(2n+1)bn 由此可得 不难求得　　例4、设等差数列的前n项和为Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0;　　(1)求公差d的取值范围；　　(2)指出S1,S2, ...，S12中哪一个值最大，并说明理由。　　解题思路分析　　(1)利用等差数列的前n项和的公式，由S12>0,S13<0，得不等式组
解得　　(2)由d0,a7<0,故得S6最大。　　例5、已知在数列中，a1,a2,a3成等差数列，a2,a4,a5成等比数列，a3,a4,a5的倒数成等差数列。证明a1,a3,a5成等差数列。　　解题思路分析　　由已知得2a2=a1+a3,a32=a2?a4,, 要证明a1,a3 a5成等差数列，只需证明a32=a1a5≠0　　例6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。　　解题思路分析　　根据题设，这四个数可以设为a－d,a,a+d,,根据题设中的另外的条件列出关于a,d的方程组，解得或所求四数为0,4,8,16或15,9,3,1　　例7、已知0<r<q<p<100,且p－r=2(p－q).在一容器内装有百分比浓度为r%的溶液1千克，注入百分比浓度为p%的溶液千克，搅匀后再倒出混合液千克，第二次再注入百分比浓度为p%的溶液千克，搅匀后又倒出混合液千克......，如此反复进行下去。　　(1)写出第一次混合液的百分比浓度a1%；　　(2)设第n次混合后，百分比浓度为an%，试用an表示an+1;　　(3)写出an的通项公式；　　(4)为了使溶液的百分比浓度不低于q%，至少要混合多少次？（lg2≈0.3010）　　解题思路分析　　由p－r=2(p－q)得2q=p+r，即q是p,r的等差中项。　　(1)由题意，a1%=(p+4r)%　　(2)an+1%=(p+4an)%,即an+1= (p+4an)　　(3)由an+1=an+ p 得an+1－p= (an－p)
即是公差为 ，首项为(r－p)的等比数列， an=p－(p－r)?()n　　(4)由p－(p－r)()n≥q= 得n≥4,即至少要混合4次。　　　　巩固练习(一)选择题1、在等差数列中，a2+a5=19,S5=40,则a10为（
(D)302、在等差数列中，d=2,an=11,Sn=35,则a为（
(D)3或－13、在等差数列中，am=n,an=m,(m,n∈N+)，则am+n=(
(D)04、等差数列前2n+1项中，奇数项的和与偶数项的和之比是(
(D) ()25、等差数列的公差d<0，n≥2,前n项和Sn，则有（
）(A)Sn≥na1
(B)Sn≤nan(C)nan<Sn<na1
(D)na1<Sn<nan6、记等差数列的前n项和为Sn，若S2n－1=(2n－1)(2n+1),则Sn等于（
）　　(A)n(n+2)
(C)n(2n+3)
(D) (2n+1)　　7、如果一个等差数列中，S10=100，S100=10，则S110=（
）　　(A)90
(D)－110　　8、等差数列中，公差d=1,若a1+a2+a3+...+a99=99,则a3+a6+a9+...+a99等于（
）　　(A)99
(D)0　　9、b2=ac是a,b,c成等比数列的（
）　　(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件　　(C)充要条件
(D)既非充分也非必要条件　　10、在等比数列中，如果a6=6,a9=9,那么a3为（
）　　(A)4
(D)2　　11、公比q≠1的等比数列中，若am=p,则 am+n为（
）　　(A)p?qn+1
(B)p?qn－1
(D)p?qm+n－1　　12、等比数列中，已知a1?a9=256,a4+a6=40的公比q是（
）　　(A)±2
(C)±2或±
(D)2或　　(二)填空题　　13、在等差数列中，若a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15=
.　　14、在数列中，已知an=25－2n(n∈N+)那么使其前n 项的和Sn取得最大值的n值等于
。15、等差数列的公差d≠0，前n项和为Sn,且S10=4S5，则a1:d=。16、等差数列的前m项和是25，前2m项和是100，则前3m 项和是
。17、若两个等差数列，的前n项和分别为An,Bn,且，则=
。18、等比数列中，若a4=5,a8=6,则a2a10=
.19、如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为
。20、一个等比数列的前三项之和为21，第四项到第六项之和为168，则第七项到第九项之和为
。(三)解答题21、已知A、B两地相距1000米，A地存放电线杆40根，从B处起，沿AB方向每隔50米架设一根电线杆，一辆车一次能运4根，全部运完返回A处，这辆车所运行的全部路是多少千米？22、已知等差数列中，a1=12,d=－2(1)求Sn,并画出（1≤n≤13）的图象；(2)分别求 单调递增、单调递减的n的取值范围，并求 的最大值；(3)
有多少项大于零？23、已知等比数列 的a3=16，且a1?a2...?a10=265,求的通项公式与a6.24、有4个数a1,a2,a3,a4,前3个数成等差数列，后3个数成等比数列，且a1+a4,a2+a3是方程x2－21x+108=0的两根，a1+a4>a2+a3,求这4个数。25、已知数列的前n项和，试求数列的前30项的和。参考答案(一)选择题1、C
由题设得方程组解得a1=2,d=3,∴a10=a1+9d=292、D． 由题设得方程组分别以－1，3，5，7代入检验，知－1，3适合。3、D． 由题设得公差d=,am+n=am+nd=n+n?(－1)=04、C． an是等差数列前2n+1项的正中间的一项，S奇=(n+1)an,S偶=nan
∴S奇:S偶=(n+1):n=5、C．
∵d<0 ∴a1<an， 2a1<a1+an<2an, ∴na1<Sn<nan.6、A．S2n－1=,据已知，an=2n+1,a1=S1=3,∴Sn=n?7、D
S10=,a1+a10=20,即2a1+9d=20 ①由S100=10得2a1+99d= ②,由①，②得d=,S110=S100+a101+a102+...+a110=S100+S10+1000d=－1108、B．设S3=a3+a6+a9+...+a99，则a1+a4+a7+...+a97=S3－66, a2+a5+a8+...+a98=S3－33,由S3+（S3－66）（S3－33）=99得S3=66.9、B．a,b,c成等比数列，必有b2=ac；满足b2=ac的a=0,b=0,c=1并不成等比数列。10、A．等比数列中，a3,a6,a9成等比数列，a62=a3?a9
∴a3=4.11、C. am+n=a1qm+n－1=(a1qm－1)?qn=p?qn.12、C. 据题设得方程组 解这方程得q=±2或q±.(二)填空题13、－30
∵a1+a15=a4+a12, ∴a8=－2,从而S15=15a8=－30.14、12
a1=23, n==－(n－12)2+144.15、1:2
由10a1+ 解得a:d=1:216、225
Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列，即25，100－25，S3m－100成等差数列，得S3m=225.17、
等比数列中，a2a10=a4a8=30,a6是a4,a8的等比中项，∴a6= .19、
,由(50+x)2=(20+x)(100+x) 解得x=25, q=20、1344 设S=a1+a1q+a1q2=21，则q3S=168, ∴q=2.从而 q6S=1344.(三)解答题21、解：运输第一车运行（+50）×2=2300（米）=2.3（千米），每次运输路程为等差数列，公差d=0.4千米， 共需运10次，∴答：这辆车所运行的全部路为41千米。22、解（1）(1≤n≤13)的图象如图：n123456789101112Sn122230384042424038302212(2)由图象得，当1≤n≤6时, 单调递增,当n≥7时，单调递减，有最大项，最大项是S6,S7,且S6=S7=42.(3)由图象得，当Sn>0时，1≤n≤12，所以有12项大于零。23、解：设等比数列的首项大为a1,公比为q，由已知，得 解得： ∴an=4×2n－1=2n+1即通项公式为an=2n+1, a6=128.24、解：解方程x2－21x+108=0
得x1=9，x2=12∵a1+a4>a2+a3∴a1+a4=12,a2+a3=9,于是a4=12－a1,a3=9－a2
由题意,得消去a1,得4a22－39a2+81=0
解得a2=3或a2=当a2=3时,a3=9－a2=6,a1=3a2－9=0,a4=12－a1=12;当a2=时,a3=9－a2= ,a1=3a2－9=,a4=12－a1=答:所求4个数为0,3,6,12或,,25、解：∵
∴n=20或21时，Sn取最大值。又∵a1=s1=60>0, ∴n≤21时，an≥0，而且n≥22时，an<0.∴|a1|+|a2|+...+|a21|+|a22|+...+|a30|=(a1+a2+...+a21)－(a22+...+a30)=2(a1+a2+...+a21) －(a1+a2+...+a30)=2S21－S30=七、附录例1的解(1)解法一：由a6+a9+a12+a15=34 得:(a1+5d)+(a1+8d)+(a1+11d)+(a1+14d)=34
即4a1+38d=34∴S20=20a1+解法二
S20= 由等差数列性质知，a6+a15=a9+a12=a1+a20=17, ∴S20=170(2)∵ ,∴由Sp=Sq 得P(a1+ap)=q(a1+aq)即 p[2a1+(p－1)d]n=[2a1+(q－1)d]s∴2a1(p－q)+d(p2－p－q2+q)=0∵p≠q, ∴2a1+(p+q－1)d=0即a1+ap+q=0∴评注：根据问题的需要，恰当地运用条件，关键是要熟练地掌握各个公式和性质。例2的解方法一：设公差为d，若d≥0，则an=a1+(n－1)d>0 ，这时Sn关于n单调递增，与S7=S13矛盾，故d<0。又，∴点(n,Sn)位于开口向下的抛物线上，当n=时，Sn取最大值。方法二：由S7=S13知a8+a9+...+a12+a13=0 ∵a8+a12=2a10, a9+a13=2a11,∴a10+a11=0，设公差为d，若d≥0，由a1>0知a10>0.a11>0.与a10+a11=0矛盾，∴d0,a11<0,∴S10最大，即n=10时，Sn取最大值。例3的解方法一：∵，且
∴ 同理∴方法二：∵
∴不防设Sn=kn(2n+5),Tn=kn(n+4)(k≠0)∴a7=S7－S6=k[7(2×7+5)－6(2×6+5)]=31kb7=T7－T6=k[7(7+4)－6(6+4)]=17k∴评注:在等差数列中,S2n+1=(2n+1)an是联系项与前n项和的重要公式,了解法二利用了等差数列的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次式的性质,设Sn和Tn的表达式的。例4的解(1)由a3=12 得a1+2d=12 ,a1=12－2d 由S12>0 ,S13<0 得即∴
即解得：(2)由(1)知d<0，∴是递减数列，要确定的最大值，只需确定 中项的正、负分界。方法一：由S12>0得由S13<0 得∴a7－a7>0∴S6最大。方法二：由(1)题中 得a6=a1+5d>－>0 ,且a7=a1+6d0>a7
S6最大。方法三：由(1)题中a1=12－2d ，得an=a1+(n－1)d=12－2d+(n－1)d=12+(n－3)d.∵ ∴当n≤6时，an
当n≥7时，an<0，同样得S6最大。方法四：∵∵d<0 ∴ 最小时，Sn最大。∵
∴∴当n=6时，最小，即S6最大。评注：本题给出的多种解法值得仔细回味，有助于我们对知识的深刻理解和灵活运用。显然其中第(2)题的方法一是最常用的解法。例5的解：由题设得2a2=a1+a3
a32=a2a4 ②,
⑤将④，⑤代入②，得即 ，a3(a3+a5)=a5(a1+a3)化简，得a32=a1a5(a1a5≠0)∴a1,a3a5成等比数列。评注：要证三数a,b,c成等差数列，只需证明b2=ac(ac≠0)例6的解：设这四个数依次为a－d,a,a+d,,依题意，得由②得，得d=12－2a代入①，得(3a－12)+
整理得a2－13a+36=0 解得a=4或a=9代入②，得d=4或d=－6从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。评注：三个数成等比数列，则中间一项是这三个数积的几何平均值，如果积是一个定值就可以把中间一项求出来。三个数成等比数列时，可以设例7的解：∵p－r=2(p－q)
∴2q=p+r(1)由题意，a1%=(2)由题意，an+1%=即an+1=(p+4an)(3)由(2)知,an+1=an+p 即an+1－p=(an－p)∴是一个公比为，首项为(r－p)的等比数列。an－p=(r－p)()n－1=(r－p)?()n∴an=p－(p－r) ()n(4)由p－(p－r)()n≥q=
得(p－r)()n≤(p－r)，即()n≥2∴则满足条件的最小整数为4，即至少要混合4次。　　第3讲等比数列的前n项和和分期付款中的有关计算一、本讲主要内容1、等比数列前n项和的公式及其应用；　　　2、分期付款中的有关计算问题。二、学习指导1、要掌握等比数列的前n项和的公式及其推导方法。由等比数列定义知道，anq=an+1，即等比数列中每一项乘以公比q以后就是它后面相邻的一项，因此，当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+...+an 与qSn=a1q+a2q+...+anq中有n－1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。等比数列的前n项和的公式为：要全面理解这个公式，它是由公比q=1和q≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。如果是等差数列，是等比数列，那么数列的前n项和等于等差数列的前n项和加上或减去等比数列的前n项和；数列的前n 项和，可以用推导等比数列前n项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n项和。课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。第7题的结论：
(其中n∈N+,a,b是不等于零的常数，且a≠b)也称为裴蜀定理。2、分期付款中的有关计算这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的；(2)分期付款中规定每期所付的款额相同；(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值；(4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。三、典型例题例1 在等比数列中，a1+an=66,a2an－1=128，且前n项和Sn=126,求n及公比q。解题思路分析根据等比数列的性质，a2an－1=a1an，所以a1,an是方程x2－66x+128=0的两个根。解得a1=2,an=64或a1=64,an=2。从而可得n=6,公比q为2或。例2 在数列中，求数列的前n项和Sn.解题思路分析要分成偶数项和奇数项之和分别求解。显然求前偶数项和比较简单。当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,a5,...，a2k－1，...，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，...，a2k，...成等比数列，公比为q，首项为a2=9,.
将k=代入得当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.例3
某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？解题思路分析设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则a1=1000×（1+50%）－x=1000×－x；a2=(1000×－x)(1+50%)－x=1000×()2－(1+)x;依次类推得a5=1000×()5－[1++()2+()3+()4]x.由题意知：1000×()5－[1++()2+()3+()4]x=2000解得x≈424万元例4 求数列1，（1+b）a,(1+b+b2)a2,...，(1+b+b2+...+bn－1)an－1,...的前n项和Sn.解题思路分析首先要弄清这个数列的通项：当b≠1时，；当b=1时，an=nan－1.而= 括号中是两个指数函数的差，可见这个数列是由两个等比数列相应项的差组成的，可以先分别求和然后再求差。求和时区分a=1 与a≠1两种情形.例5
设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,......)。(1)求证：数列 是等比数列；(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,...)，求的通项公式。(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－...+b2n－1b2n－b2nb2n+1解题思路分析(1)求得a1=S1=1
S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t, 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t, 两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0,∴(2)由f(t)=
得bn=f由此可得(3)原式=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+...+b2n(b2n－1－b2n+1)=例6、从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首次付款2万元之后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和。问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付出款总额比一次付款多付多少元？解题思路分析由于首付2万元，其余20万元按年分期付款，本题可以看成是贷款20万元，按年分期偿还的问题。设每年付款x元，由题意，得x+1.03x+1.032x+...+1.×1.0315解得x≈16753元（可利用计算器计算）实际付款比一次性付款多付了51295元。巩固练习(一)选择题1、等比数列1,a,a2,...an各项的和为（
(D)2、若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（
(D)633、等比数列中，若S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值为（
(D)184、数列9，99，999，9999，...的前n项和等于（
(B)10n－1(C)
(D)5、数列1，（1+2），（1+2+22），...，（1+2+22+...+2n－1）,..., 的前n项的和为（
(D)2n+1－n－26、某工厂产值a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（
）(A)1.14a
(C)10(1.15－1)a
(D)11(1.15－1)a7、某工厂生产总值月平均为p，则年平均增长率是（
(C)(1+p)12
(D)(1+p)12－18、如果数列的前n项和(n∈N+)，那么这个数列（
）(A)是等差数列而不是等比数列(B)是等比数列而不是等差数列(C)既是等差数列又是等比数列(D)既不是等差数列又不是等比数列9、若数列前n项和Sn=1+ran(r≠0,r≠1，r为常数)，则数列的通项公式是（
(D)10、数列中，，若其前n项和Sn=5,则n为（
(D)62(二)填空题11、等比数列的前10项和为
。12、在等比数列中，若a5=－8,q=－,则an=____,Sn=____。13、在等比数列中，若b6－b5=567,b2－b1=7,则Sn=________。14、已知log2(Sn+1)=n+1,则数列中通项an=________.15、数列a1qn－1,a1qn－2,...，a1q,a1,(a1q≠0)的公比为
,前n项和Sn=
.16、若等比数列中，a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项为
。(三)解答题17、已知数列的前n项和为Sn=2n－1, 求的前n项和。18、利用等比数列前n项和的公式的推导方法，求的值。19、设是由正数组成的等比数列，它的前n项和为Sn，试比较logbSn+logbSn+2与 2logbSn+1的大小。20、某人想贷一笔款，年利率为5%，按复利计息，计划每年偿还1万元，经5年还清，问应贷给他多少元？21、设是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并对所有的自然数n,,求数列的通项公式。参考答案(一)选择题1、D．等比数列共有n+1项，首项为1，公比为a，或2、D． 等比数列中，S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，公比为,∴3、C．S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等比数列，公比 a17+a18+a19=S20－S16=S4q4=16.4、D．数列通项公式为an=10n－1. Sn=10+102+...+10n－n=.5、D． 数列通项为an=2n－1,∴Sn=2+22+...+2n－n=2(2n－1)－n=2n+1－n－2.6、D． 从今年起五年的产值组成一个等比数列，a1=(1+10%)a,q=1+10%=1.1, ∴7、D． 设上年12月生产总值是1，则今年年底生产总值为(1+p)12，增长率为。8、B
∵∴ ,检验n=1时也适合,∴ 数列是等比数列,首项为,公比为,它不能是等差数列.9、C． , ∴
n≥2时 ,∴ 于是，故选C。10、B．解得n=60(二)填空题11、
等比数列首项为，公比为－3，∴12、
直接用公式计算得，其中a1=－128,q=.13、
由得q4=81, ∴q=±3。 于是q=3时，，q=3时，。用公式计算得。14、
由题设得，a1=S1=3, n≥2时 an=Sn－Sn－1=2n+1－2n=2n15、, 注意数列中数的顺序，全面考虑等比数列的前n项和的公式。16、±16
∵a7=a4q3 ,∴q=2. 等比中项(三)解答题17、解：由Sn=2n－1知
a1=S1=1;n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－2=2n－2，这数列为：1，1，2，4，...，除第1项外，从第二项起是公比为2的等比数列。为1，1，从第二项起是公比为的等比数列。。18、解：令，则两式相减，得∴19、解：∵又q>0∴∴0<当0<b<1时， ，这时;当b>1时，
这时20、解：应贷给他x万元，由题意得答：应贷给他43295元。21、解：由已知得(an+2)2=8Sn,∴(an－1+2)2=8Sn－1两式相减，得8an=(an+2)2－(an－1+2)2即an2－an－12－4(an+an－1)=0, (an+an－1)(an－an－1－4)=0因是正数组成的数列，∴an－an－1=4.即是等差数列，公差为4，∵a1=S1, ∴(a1+2)2=8a1, a1=2∴数列的通项公式为an=2+4(n－1) 即an=4n－2附录例1的解在等比数列中，a1an=a2an－1=128, 又∵a1+an=66, ∴a1,an是方程x2－66x+128=0 的两个根。解方程得x1=2,x2=64.∴a1=2,an=64时，或a1=64,an=2.当a1=2,an=64时，显然q≠1，由，得2－64q=126－126q,∴q=2;
由an=a1qn－1 得2n－1=32, ∴n=6当a1=64,an=2时，同理可求得q=,n=6.综合所述，n的值为6，公比q的值为2或.评注：等比数列的通项公式an=a1qn－1及前n项的和公式中涉及等比数列的五个基本量：a1,q,n,an,Sn.已知其中三个可以求出另外两个，方法是解方程组。这是等比数列中的一类基本问题。例2的解由题知，当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,...a2k－1,...成等差数列，公差d=4,首项a1=1;而a2,a4,...，a2k,...成等比数列，公比q=9，首项为a2=9.因此，数列各项是：1，9，5，81，9，729，...，4k－3,9k,...。∵
∴当n=2k－1时，∵a2k=9k, ∴∵ ∴综上可得：评注：对于需对n分奇、偶数讨论的，可设n=2k和n=2k－1，在分别求出S2k和S2k－1表达式后，再以k=代入，得出Sn的表达式。在本题解法中求出S2k比较方便，然后利用S2k－1=S2k－a2k求解可以简化运算。例3的解设逐年扣除消费基金后余下的基金组成数列，则，由题意知，a5=2000，即∴（万元）答：每年约扣除消费基金424万元。评注：增长率问题就是复利问题。在逐项推导的过程中，要注意保持某种规律性，不要由于不恰当的具体计算去破坏这种规律性。例4的解由题设，当b≠1时，；当b=1时，。下面分两种情形讨论：(1)时，①a≠1,ab≠1时，;②a≠1,ab=1时，③a=1时，(2) b=1时，an=nan－1①a=1时，an=n,②a≠1时，Sn=1+2a+3a2+...+nan－1aSn=a+2a2+...+nan相减，得(1－a)Sn=1+a+a2+...+an－1－nan=∴评注：要完整理解等比数列前n项和的公式，当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，.本题含有两个字母a,b ,有三个公比，即a,b,ab.所以必须进行多层次的分类讨论，对不同情形得出相应的结果来。例5的解(1)由S1=a1=1,S2=a1+a2=1+a2,得3t(1+a2)－(2t+3)=3t解得
于是，又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t两式相减，得3tan－(2t+3)an－1=0于是因此，数列是一个首项为1，公比为的等比数列。(2)由f(t)=
= 得∴是等差数列，首项为1，公差为，于是有(3)∵ ∴和都是等差数列，首项分别为1和，公差都是。于是∴==评注：要掌握已知数列的前n项和Sn，求通项an的方法: a1=S1,n≥2时,an=Sn－Sn－1。例6的解设每年付款x元，由题意，得x+1.03x+1.032x+...+1.×1.0315∴用计算器算得x≈16753元。实际共付款100=271295（元）000=51295（元）答：每年应付款约为16753元，实际付款总额比一次性付款多付51295元。评注：解题的关键是掌握分期付款的下列等量关系；各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。