利用数学归纳法 例题求证1+1/√2+1/√3+......+1/√n>√n

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-07-17 14:51 标签： 数学归纳法 例题
用数学归纳法证明 n属于正整数 n＞1 求证1/根号1*2+1/根号2*3+...+1/根号n*（n+1）＜根号n
天涯路人歌907
首先设g(n)=1/√(n*(n+1)),令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+.+g(n),需要证明: f(n)
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解,取n=1时,则有：根号下1*2
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MissYouMuchl26
证明：n=2时,1+1/根2-根2 = (根2+1-2)/根2 > 0,所以1+1/根2 > 根2,上式成立假设n=k时上式成立,即1+1/根号2+1/根号3+~+1/根号k > 根号k当n=k+1时,左 = 1+1/根号2+1/根号3+~+1/根号(k+1)> 根号k + 1/根号(k+1) （依据上面假设）= (根号(k(k+1))+1)/根号(k+1)= 根号（(k^2+k+1+2*根号(k(k+1)))/(k+1)） （就是把整个式子挪到根号里面）> 根号（(k^2+k+1+k)/(k+1)） （将2*根号(k(k+1))缩小为k）= 根号（k+1）所以上式仍成立由归纳法知,对任意n≥2,上式成立
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1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + … + 1/√n＝2/(2√1) + 2/(2√2) + 2/(2√3) + 2/(2√4) + … + 2/(2√n)≤2/(√0+√1) + 2/(√1+√2) + 2/(√2+√3) + 2/(√3+√4) + … + 2/[√(n-1)+√n]＝ 2 (√1-√0) + 2(√2-√1) + 2 (√3-√2) + 2 (√4-√3) + … + 2 [√n-√(n-1)]＝2√n
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①当n＝1时，1≤2√1，符合条件②假设当n＝k时成立，则1＋......＋1／√k≤2√k③当n＝k＋1时，1＋......＋1／√k＋1／√﹙k＋1﹚≤2√k＋1／√﹙k＋1﹚≤2√﹙k＋1﹚ 综上1+1/√2+1/√3......+1/√n＜2√n
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