求函数定义域的方法域

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-07-25 06:32 标签： 求函数定义域的方法
六种方法破解求函数值域问题
六种方法破解求函数值域问题
函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多，下面结合实例进行例析。
一、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。
& 例1. 求函数的值域。
&&& 解：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。
二、换元法
&&& 换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。
& 例2. 若，求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，于是，故的值域是。
三、分离常数法
&&& 求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。
& 例3. 求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，故函数的值域为。
四、判别式法
&&& 把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。
& 例4. 求函数的值域。
&&& 解：原式变形为。
&&& ①当时，方程无解；
②当时，因为，所以，解得。
综合①②得，函数的值域为。
五、函数的单调性法
&&& 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。
& 例5. 求函数的值域。
&&& 解：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
&&& 故，所以函数的值域为。
六、利用有界性
&&& 利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。
& 例6. 求函数的值域。
&&& 解：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2），（1）求g..
已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2），（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值。
题型：解答题难度：中档来源：0117
解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2，因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，解之得0≤x≤1，于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}。（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4， ∵x∈[0，1]， ∴2x∈[1，2]， ∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值-4； 当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值-3。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2），（1）求g..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的定义域、值域，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数的定义域、值域函数解析式的求解及其常用方法
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数,(1))求a,b值 (2)证明函数f(x)在R上是减函数 (3)若对于任意t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数,(1))求a,b值 (2)证明函数f(x)在R上是减函数 (3)若对于任意t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
⑴∵f(x)是奇函数∴f(0)＝0,得b＝1且f(－1)＝－f(1),即(1－2^(－1))/(a＋2^(－1))＝－[(1－2)/(a＋2)]解得a＝1⑵由⑴知：f(x)＝(1－2^x)/(1＋2^x)＝[－(2^x＋1)＋2]/(1＋2^x)＝－1＋[2/(1＋2^x)]任取x1,x2∈R,且x1＜x2则f(x1)－f(x2)＝[2/(1＋2^x1)]－[2/(1＋2^x2)]＝[2(2^x2－2^x1)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]∵x1＜x2∴2^x1＜2^x2,则2^x2－2^x1＞0且(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0∴f(x1)－f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)∴函数f(x)在R上是减函数⑶f(t^2－2t)＋f(2t^2－k)＜0即f(t^2－2t)＜－f(2t^2－k)＝f(k－2t^2) 【奇函数】即t^2－2t＞k－2t^2对任意t∈R恒成立 【减函数】即k＜3t^2－2t对任意t∈R恒成立只需k＜[3t^2－2t]min即可∵3t^2－2t＝3(t^2－2/3t)＝3(t－1/3)^2－1/3当t＝1/3时,有最小值－1/3∴k＜－1/3∴k的取值范围为(－∞,－1/3).
求出来a=1&b=1&怎么求的话，就根据奇函数的性质，f(x)=-f(-x)。你把式子列出来就知道了，这里不好表示。因为f(x)=1-2^x/1+2^x&设X1＞X2&然后用f(X1)-f(x2)&然后你通分解得这个式子小于零，就说明在R上为减函数因为是为减函数，...如何求函数定义域_百度文库
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