求幂级数[∞∑n=1] (2n-1/2^n)*X^(2n-2)的收敛区间，还有当求出收敛半径的时候，如何_百度知道
求幂级数[∞∑n=1] (2n-1/2^n)*X^(2n-2)的收敛区间，还有当求出收敛半径的时候，如何
快速判断收敛半径的端点是否使得该幂级数收敛啊？？
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解：∵lim(n-&∞)│[(2n+1)x^(2n)/2^(n+1)]/[(2n-1)x^(2n-2)/2^n]│
=lim(n-&∞){[(2n+1)x²]/[2(2n-1)]}
=lim(n-&∞){[(2+1/n)x²]/[2(1-1/n)]}
=x²/2
令x²/2&1 ==&│x│&√2
∴原幂级数的收敛半径是R=√2
∵当x=±√2时，原幂级数变成∑(2n-1)/2。显然，此级数发散。
∴原幂级数的收敛区间是(-√2,√2)。
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出门在外也不愁求幂级数的和函数的方法
求幂级数的和函数的基本思路是:经过加、减、乘运算,或逐项求导运算或逐项求积分运算,将幂级数转化为我们已知其和的幂级数(例如等比级数1+x+x2+…+xn+…=11-x),从而求得原幂级数之和函数。下面通过举例说明求幂级数的和函数的最基本的方法。例1:求下列幂级数的和函数:∞-1代入∑xn,发散)n=0注意:逐项求导后收敛区间的端点的收敛性可能会起变化,需要对端点进行讨论。(2)幂级数的收敛域容易得出为(-1,1)。∞设S(x)=∑nxn-1,则逐项积分得n=1∞(1)∑∞(2)∑∞nxn-1;(3)∑(2n+1)n=11nn=1n=0∞(4)∑(3n-1)x2n-1n=1解:(1)先要求出和函数的定义域,即幂级数的收敛域。易得该幂级数的收敛域为[-1,1)。∞再设S(x)=∑xn则逐项求导得n=11n∞S′(x)=(∑∞xn)′=∑∞(xn)′=∑xn-1∫0xS(t)dt=∑n∞=1n∫0xtn-1dt=∑n∞=1...&
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在高等数学中,幂级数是一类重要的函数项级数,从某种意义上来说,它可以看作是多项式函数的延伸,幂级数在理论上和实际上都有着比较广泛的应用.求幂级数的和函数是幂级数这部分的一个重要内容.设幂级数∞n=0Σanxn的和函数为s(x),收敛半径为R,则下列命题成立:(1)幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内是连续的;(2)幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内有连续的导数,并且可以逐项求导,即对任意的x∈(-R,R),有s′(x)=(∞n=0Σanxn)′=∞n=0Σ(anxn)′=∞n=1Σnanxn-1,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径;(3)幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可积,并可以逐项积分,即对任意的x∈(-R,R),有x0乙s(x)dx=0x乙(∞n=0Σanxn)dx=∞n=0Σx0乙anxndx=∞n=0Σna+n1xn+1,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收...&
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对于比较简单的幂级数,如∞n=1∑xnn、∞n=0∑(n+1)xn等,可以通过先逐项求导或逐项积分把它转化为等比级数,再借助于等比级数的和的公式来求得其和函数.可是当级数比较复杂时,利用这种方法就很难直接求得幂级数的和函数了.这里介绍一种利用微分方程来求幂级数的和函数的方法,具体思路是先逐项求导,再通过观察构造出一个含有和函数的微分方程,解这个微分方程来求得幂级数的和函数.下面来看具体的问题.例1:求幂级数∞n=0∑(4n+1)x4nn!,x∈(-∞,+∞)的和函数.解:设s(x)=∞n=0∑(4n+1)x4nn!逐项求导得:s′(x)=∞n=1∑4(4n+1)(n-1)!x4n-1=4∞n=1∑[(4n-1)+1]+4(n-1)!x4(n-1)+3=4[x3∞n=0∑4n+1n!x4n+4x3∞n=0∑(x4)nn!]=4x3s(x)+16x3ex4整理得s′(x)-4x3s(x)=16x3ex4这是一个关于s(x)的一阶线性...&
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计算幂级数和函数,往往是在一些常用级数和函数已知结果的基础上,借助四则运算、变量代换、逐项求积或逐项求导等手段,将待求和函数的幂级数的一般项化为常用级数的一般项来实现的.而常用级数一般指∑∞n=0xn,∑∞n=0(-1)nxn,∑∞n=0(-1)nxn+1n+1,∑∞n=0α(α-1)…(α-n+1)n!xn,∑∞n=0xnn!,∑∞n=0(-1)nx2n+1(2n+1)!,∑∞n=0(-1)nx2n(2n)!.然而,在有些情况下,按照这种思路往往不能得到所求和函数.请看实例:∞例1求幂级数∑n=0x2n(2n)!的和函数.分析显然,采用常规的手段不能将该级数的一般项转化为常用级数的一般项.解易得收敛域(-∞,+∞).令∞s(x)=∑n=0x2n(2n)!=1+x22!+x44!+…+x2n(2n)!+…,则∞s′(x)=∑n=1x2n-1(2n-1)!=x+3x3!+5x5!+…+x2n-1(2n-1)!+…,从而∞s(′x)...&
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幂级数的和函数问题是分析学的问题之一.求幂级数的和函数,一般来说,没有规律可循,而且幂级数的和函数也不一定是初等函数.但对一些简单的情形,我们可以利用几个已知的初等函数的展开式经过某些简单运算来求得.几个已知的初等函数的展开式是指ex,sinx,11-x,11槡-x等的麦克劳林展开式.简单运算是指:变量代换———以-x代替x、以x2代替x等等;求导或积分;两个幂级数相加、相减合成一个幂级数;或相反,将一个幂级数分成两个幂级数相加、相减;以x的整数次幂乘幂级数等运算.1求幂级数的和函数的一般步骤(1)求出幂级数的收敛域,设其和函数为s(x);(2)对等式s(x)=∑∞n=0anxn进行运算.对s(x)的运算保留所有运算记号.对∑!n=0anxn的运算须具体算出,并使具体算出的结果中有上述的一些已知函数的展开式出现,从而使结果能用已知函数来表达;(3)再进行上述运算的逆运算,得到s(x).下面举例来说明这些步骤.例1求∑∞n=1n+...&
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在现行的大学微积分教材[1,2]中,关于幂级数的和函数有下述重要性质:∞(1)幂级数∑n=0anxn的和函数S(x)在其收敛域I上可积,并且有逐项积分公式x∫0S(x)dx=∫x0[∑∞n=0anxn]dx=∑∞n=0∫xanxndx=∑∞n=0ann+1xn+1,(x∈I)逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径.∞(2)幂级数∑n=0anxn的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内可导,并且有逐项求导公式∞S(′x)=[∑n=0anxn]′=∑∞n=1(anxn)′=∑∞n=1nanxn-1,x∈(-R,R)逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径.上述两性质在求幂级数的和函数时,有重要应用.∞本文指出,在上述性质(1)中,逐项积分后所得的幂级数∑n=0ann+1x∞n+1的收敛域有可能扩大,即有可能把收敛区间的端点包含进来.∞而在上述性质(2)中,逐项求导后所得的幂级数∑n=1nanxn-1的收敛域有可能较∑...&
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京公网安备75号求级数（∞∑n=1）(-1)^n*2^n*n!/n^n的和_百度知道
求级数（∞∑n=1）(-1)^n*2^n*n!/n^n的和
可能要借助麦克劳林展开式
好像是求敛散性的！！！！！！我错了
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求敛散性还行a(n+1) / an = (n+1)!2^(n+1)(n)^(n) / [n!2^n(n+1)^(n+1)] = 2n*n^n / (n+1)^(n+1) = 2 * n/(n+1) * (1+1/n)^n显然当n-&∞的时候极限是2/E所以a(n+1) & an有莱布尼茨判别法知道，这个级数收敛
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出门在外也不愁从求幂级数和函数的过程想到的--《数学学习与研究》2013年11期
从求幂级数和函数的过程想到的
【摘要】：幂级数和函数求解的方法,人们研究的相对较多,但对幂级数求解步骤以及求解中出现的问题考虑得较少,为此从幂级数和函数的求解过程去关注其他综合性问题是本文的主要内容.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O173【正文快照】：
幂级数及其幂级数的和函数是数学分析中比较重要的内容,尤其对初学者来说是一类难理解又不容易掌握的知识.笔者通过教学发现,学生在求幂级数的和函数时应从以下这些方面入手,将会得到比较大的收获.一、幂级数的和函数的基本概念我们把∑∞n=1un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)…称为
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京公网安备74号求级数sinn/n和cosn/n的敛散性，简要说下步骤。谢谢_百度知道
求级数sinn/n和cosn/n的敛散性，简要说下步骤。谢谢
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2(cos1+cos2+,n单调递减趋于0,因此,2(sin1+sin2+,Dirichlet判别法收敛。,2sin1&#47,sin1&#47,部分和有界,2-sin(2n+1)&#47,,+cosn),,,2sin1&#47,=1&#47,&lt,sin1&#47,=,2,=,sin1+,,,2-cos(2n+1)&#47,+sinn),cos1&#47,,2,2,1&#47,,。类似可得收敛。,用积化和差公式,+sinn,,
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