设三角形ABC的重心为G,点p是三角形ABC所在平面内一点,_百度知道
设三角形ABC的重心为G,点p是三角形ABC所在平面内一点,
求证:pG向量等于三分之一括号pa向量加pb向量加pc向量的和
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明，线段CM是边AB上的中线，使得GM=MN，AG+BG+CG=AG+GN+NA=0，由对角线互相平分的四边行是平行四边行：画个草图，交线段AB于M。连接线段CG，AGBN是平行四边形，延长CM到N;如果证得AG+BG+CG=0，如图;3,连接AN。向量PG=向量PA+向量AG=向量PB+向量BG=向量PC+向量CG，所以向量BG=向量NA,而向量CG=向量GN、BN；以下用大写字母AB表示向量AB。所以3PG=（PA+PB+PC）+（AG+BG+CG）,即PG=(PA+PB+PC)&#47,故在三角形AGN中
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多谢少侠 指点
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三角形ABC重心 G，三角形和三角形GBC在BC边上高之比为______________.
重心 G，三角形和三角形GBC在BC边上高之比为______________.详细的图形在附件里。
我知道它的比是3：1。可是它是怎么得出来的呢？谢谢啦。
<img onerror="imgDelByClass('comimg_box');" class="piczoom mpic" alt="如图：三角形AB
看看我的解释是否容易理解 :-)
/GD=AM/GM=3/1
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大家还关注如图，三角形ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，DN&#47;&#47;AB交CF于点N,M是BE的中点。_百度知道
如图，三角形ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，DN&#47;&#47;AB交CF于点N,M是BE的中点。
M是BE的中点：BC、BE;3，三角形ABC的三条中线AD;8、CF交于点G；(4)求MN；（3）用三角形ABC面积表示三角形DNC的面积，DN&#47;AB交CF于点N；（2）求证CDN的面积=三角形ABC面积的1&#47;&#47。（1）求证三角形GBC的面积=三角形ABC面积的1&#47如图
8 3，所以DG=1&#47； 谢谢采纳;3CF-1&#47：4附加;8三角形ABC的面积即：GC .三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分;4BCF=1&#47.因为CF是中线.用三角形ABC面积表示三角形DNC的面积;3BE-1&#47：S△CBF=1&#47：2/3AD所以三角形GBC的面积=三角形ABC面积的1&#47； 3：GC=1&#47：1：BC因为ND为三角形BCF的中位线所以CN=1/2CF=1/3;6CF。 2：GN=GB：连结三角形一个顶点和对边中点的线段，所以.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分;8=S△DNC 4求MN;2BE=1/3CF=1； 5，则，DN∥BF所以DN为三角形BFC的中位线，MN∥BC∴MN：BC=GN;4AB所以三角形DNC的面积=1/2S△ABC又因为CD=1&#47：CDN的面积=三角形ABC面积的1&#47.三角形的三条中线必交于一点;2CB，所以ND=1/6BE所以：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。请一定要记住理解三角形中位线的性质； 4;2FC;2BF=1&#47：S△ABC*1&#47：GM：GN=GC-CN=2&#47，该交点为三角形重心； 2;6CFGM=GB-MB=2&#47.重心定理：下面介绍三角形中线的有关知识.三角形中线定义1.由于G点是3条中线的交点
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∵G为△ABC三条中线的交点
∴G为△ABC的重心
∴DG=1/3AD
∴S△BGD=1/3S△ABD，S△CGD=1/3S△ADC [两组三角形均为等高，但不等底]
∴S△BGD+S△CGD=1/3S△ABD+1/3S△ADC =1/3(S△ABD+S△ADC )=1/3S△ABC=1/3S
而S△BGD+S△CGD=S△GBC
∴S△GBC=1/3S
(1)证明：∵CF是中线
∴S△CBF=1/2S△ABC=1/2S
又∵CD=1/2CB，DN∥BF
∴S△CDN=（1/2）05S△CBF=1/4S△CBF=1/8S
(2)解：∵AD是中线
∴S△ADC=1/2S
而同第一问可知，S△GAC=S△GBC=1/3S[开头我证过了]
∴S△DNG=S△ADC-S△GAC-S△CDN=1/2S-1/3S-1/8S=1/24S
（2）∵D是BC的中点，DN∥BF
∴N为CF的中点
∴CN=1/2CF
∴GN=GC-CN=2/3CF-1/2CF=1/6CF
同理可得GM=1/6BE
∴GM：GN=GB：GC
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出门在外也不愁如图,G是三角形ABC的重心,P,Q分别在AB,AC上,已知向量AP=3&#47;4向量AB,直线PQ过点G,设向量AQ=λ向量AC，求λ_百度知道
如图,G是三角形ABC的重心,P,Q分别在AB,AC上,已知向量AP=3&#47;4向量AB,直线PQ过点G,设向量AQ=λ向量AC，求λ
/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=2d5a770cd109b3deebeaec6cf98f40b7/3b87ec6b2cb617fbf2baad.baidu://d.com/zhidao/pic/item/3b87ec6b2cb617fbf2baad.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.hiphotos://d./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=f6a52eaa3c6b78a268fd31/3b87ec6b2cb617fbf2baad://d.jpg" esrc="http.hiphotos<a href="http
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所以GP=mGQ：AG={3&#47，与①式比较，GQ=AQ－AG=λAC－AG;(1－m)AC。①、Q三点一直线，λ=27&#47，则AG=(1/5;4)AB－AG=m(λAC－AG);(1－m)=1/3：3/4)AB－AG。，而GP=AP－AG=(3/[4(1－m)]}AB－(mλ)&#47。由于P。，有;3)AB＋(1/3)AC;3且－(mλ)/4;[4(1－m)]=1&#47：(3&#47、G。，解得m=－5&#47，代入，有，得G为三三角形的重心
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4;3，PQ过G点。也可以直接用下面这个问题的结论来做，向量AQ=n向量AC;n=3（这个问题可选用特殊情况下的结论来证明，m=3&#47，易知m＝n＝2&#47,求1&#47上面的结果应该是算错了;5;AB 时,则n=3&#47，则1/m+1&#47：当PQ&#47，向量AP=m向量AB，所以在这个题里;n=3）：三角形ABC的重心是G;/m+1/5才对，λ=3&#47
向量的相关知识
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出门在外也不愁三角形的“心”：若点G时三角形abc所在平面内的一点，满足向量GA... - 同桌100学习网
您好，欢迎您来到！[]或[]
在线解答时间：早上8:00-晚上22:30周六、日照常
三角形的“心”：若点G时三角形abc所在平面内的一点，满足向量GA...
详细请看图，谢谢解答
提问者：such
追问：谢谢，咋采纳不了类~~~~郁闷~~~
补充：重心，外心，垂心
上传:[注意：图片必须为JPG,GIF格式，大小不得超过100KB]
您好，欢迎来到同桌100！您想继续回答问题？您是新用户？
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心
PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心
PAoPB=PBoPC=PAoPC(内积）
3 若P是△ABC的内心
aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心
|PA|?=|PB|?=|PC|?
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)
则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
APoBC=入{(ABoBC /|AB|＾2*sin2B)+ACoBC /(|AC|＾2*sin2C)},
APoBC=入{|AB|o|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|o|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
APoBC=入{-|AB|o|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|o|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
APoBC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，
即APoBC=0，
P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，
∴点P过三角形重心。
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
APoBC=λ(ABoBC cosC/|AB|+ACoBC cosB/|AC|)
=λ([|AB|o|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|o|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
所以向量AP与向量BC垂直，
P点的轨迹过垂心。
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，
向量AB与AC的单位向量的和向量，
因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，
易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心
回答者：teacher038