如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．
（1）连接DC，由于△ABC是等腰直角三角形，点D是中点，所以AD是∠ACB的角平分线，根据“角角边”容易判定△CED≌△BFD，进而证得DE=DF．
（2）先证△ADP∽△BDQ，进而证得DQ：DP=AD：DB=m，再证△DQF∽△PDE，进而证得DE：DF=DQ：DP=AD：DB=m．
（3）①根据已知条件，易证△DGE∽△FHD，根据相似三角形的性质，列出比例式，整理得到函数关系式．
②先假设相切，列出等式，看解的情况，若有解，则存在，若无解，则不存在．
（1）证明：如图2，连接DC．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，
∴∠ACD=∠B=45°．
∵ED⊥DF，CD⊥AB，
∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△BFD（ASA），
（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．
∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△BDQ，
∴DP：DQ=AD：DB=m．
∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠QDF=∠PDE，
∵∠DQE=∠DPF=90°，
∴△DQF∽△DPE，
∴DE：DF=DP：DQ，
∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；
（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∵AD：DB=1：2，
∴AD=，DB=．
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，
可得AG=EG=，BH=FH=，
GD=，HD=，
易证△DGE∽△FHD，
∴y=8-2x，
定义域是0＜x≤4．
②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．
可得CE=6-x，AO=，OM=．
若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，
∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，当四边形QPBP′为菱形时t的值为．
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如图，连接PP′交BQ于D，∵四边形QPBP′为菱形，∴PP′⊥BQ，BD=DQ，∵点Q的速度是每秒1cm，∴BD=BQ=（10-t）cm，过点P作PO⊥AC于O，则四边形CDPO是矩形，∴CD=PO，∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴PO=AP，∵点P的运动速度是每秒cm，∴PO=×（10-t）=（10-t）cm，∴10-t=10-（10-t），解得t=．故答案为：．
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连接PP′交CQ于D，根据菱形的对角线互相垂直平分可得PP′⊥BQ，BD=DQ，用t表示出BD，过点P作PO⊥AC于O，可得四边形CDPO是矩形，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠A=45°，从而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根据矩形的对边相等列出方程求解即可．
本题考点：
菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
考点点评：
本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出矩形和等腰直角三角形是解题的关键．
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1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。
【】“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是&x&进行加减．【对称】
【比例的性质】①&基本性质&如果&a:b=c:d&或&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}&，那么&ad=bc．②&合比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}，那么&{\frac{a±b}{b}}={\frac{c±d}{d}}．③&等比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}=…={\frac{m}{n}}\left({b+d+…+n≠0}\right)，那么&{\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}}={\frac{a}{b}}．【黄金分割】点&C&把&AB&分成两条线段&AC&和&BC，如果较长的线段是全线段和较短线段的比例中项，即&{\frac{AB}{AC}}={\frac{AC}{BC}}，这样的线段分割叫做黄金分割，其中点&C&叫做线段&AB&的黄金分割点．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90&，AC=12，B...”，相似的试题还有：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t(秒)．(1)设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；(2)t为何值时，四边形PQBA是梯形？(3)是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90&，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t(秒)．(1)设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；(2)t为何值时，四边形PQBA是梯形？(3)是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90&，AC=12，BC=16，动点P从A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从C点出发，沿着CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t(秒)．(1)设四边形PCQD面积为y，求y与t的函数关系式；(2)t为何值时，△PCQ与△ABC相似；(3)如图2，以C点为原点，边CB、CA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，当PD∥AB时，求点D的坐标．试题分析：
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站长：朱建新如图15,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点._百度文库
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如图15,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.
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&&题​目​：​例0​(​第6​题​)​如​图5​,​在​R​t​△​A​B​C​中​,​∠​C​=0​°​,​A​B​=0​,​A​C​=0​,​D​,​E​,​F​分​别​是​A​C​,​A​B​,​B​C​的​中​点​.​点​P​从​点​D​出​发​沿​折​线​D​E​-​E​F​-​F​C​-​C​D​以​每​秒个​单​位​长​的​速​度​匀​速​运​动​;​点​Q​从​点​B​出​发​沿​B​A​方​向​以​每​秒个​单​位​长​的​速​度​匀​速​运​动​,​过​点​Q​作​射​线​Q​K​⊥​A​B​,​交​折​线​B​C​-​C​A​于​点​G​.​点​P​,​Q​同​时​出​发​,​当​点​P​绕​行​一​周​回​到​点​D​时​停​止​运​动​,​点​Q​也​随​之​停​止​.​设​点​P​,​Q​运​动​的​时​间​是​t​秒​(​t​＞)​.​()​D​,​F​两​点​间​的​距​离​是​ ​ ​ ​ ​;​()​射​线​Q​K​能​否​把​四​边​形​C​D​E​F​分
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