扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
数学“三角函数”——精题分解
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口热门搜索：
&&&&&&&&&&&&
高考数学三角函数
高考能力要求
　　1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．
　　2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．
　　3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．
　　4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用&五点法&画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义．
　　5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．
　　6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．　　高考热点分析
　　三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：
　　1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．
　　2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．
　　3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．　　高考复习建议
　　本章内容由于公式多，习题变换灵活且思想方法丰富，建议复习本章时应注意以下几点：
　　1．首先对现有的公式自己推导一遍，弄清公式间的相互联系和推导体系．
　　2．对公式要抓住其特点进行记忆．应用时，既要考虑公式成立的条件，也要考虑符号的取舍，还要熟练掌握公式的正用、逆用、变形用或在特定条件下用．
　　3．三角函数是中学阶段研究的一类初等函数，故对三角函数的性质研究应结合一般函数的研究方法进行对比学习．如定义域、值域、奇偶性、单调性、图象变换等．通过对比，加深对函数性质的理解．
　　4．&变&为主线，抓好训练：角的变换，三角函数名称的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律．
　　5．由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系．如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等．
任意角的三角函数
　　一、角的概念的推广
　　1．与角终边相同的角的集合为
　　2．与角终边互为反向延长线的角的集合为
　　3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
　　终边在x轴上的角的集合为
，终边在y轴上的角的集合为
，终边在坐标轴上的角的集合为
　　4．象限角是指：
　　5．区间角是指：
　　6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．
　　7．弧度与角度互化：180o＝
弧度，1o＝
弧度，1弧度＝
　　8．弧长公式：l ＝
　　　　扇形面积公式：S＝
二、任意角的三角函数
9．定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| ＝r，则sin＝
10．三角函数的符号与角所在象限的关系：
12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值
　　12．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．　　例题讲练
（1）下列各对角中，终边相同的是（
）A．和B．和C．和D．和
（2）如果角2α的终边在x轴的上方，那么角α的范围是（
　　A．第一象限角的集合
　　B．第一或第二象限角的集合
　　C．第一或第三象限角的集合
　　D．第一或第四象限角的集合
　　【例2】
已知角的终边与角－690°的终边关于y轴对称，求．
　　【例3】
（I）已知角的终边上一点为P（4t, －3t）(t &0)，求2sin＋cos的值；
　　（II）已知角的终边在直线上，用三角函数的定义求sin和cot的值．　　【例4】
已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R．
(1) 若α，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
(2) 若扇形周长为一定值C(C&0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．　　小结归纳
　　1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
　　2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?　　基础训练题
一、选择题
1． 已知A＝{第一象限的角}，B＝{锐角}，C＝{小于 的角}则下列关系正确的是
　　A．A＝B＝C
2． 角的终边上有一点P（a, a）(a≠0)，则cos＝（
3． 若角、的终边在同一条直线上，则
　　A．＋＝2k(kZ)
　　B．＋＝2k＋(kZ)
　　C．－＝2k＋(kZ)
　　D．－＝k(kZ)
4． 点P从（1，0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为 （
　　A．(－，)
B．(－，－)
　　C．(－，－) D．(－，)
5． sin1，cos1，tan1的大小关系是
　　　　A．tan1&sin1&cos1
B．tan1&cos1&sin1
　　　　C．cos1&sin1&tan1
D．sin1&cos1&tan
6． 函数f (x)＝
若f (1)＋f (a)＝2，则a的所有可能值为
　　二、填空题
7． 终边落在直线上的角的集合是
8．函数的定义域为
9． 已知锐角终边上一点A的坐标为（2sin3, －2cos3）,则角的弧度数为
10．已知是第二象的角且sin＝，则2是第
象限的角，是第
象限的角．
　　三、解答题
11．如果tan(cosθ) tan(sinθ)＞0，试指出所在象限，并用图形表示出取值的范围．
12．已知点P(cos－sin,tan)在第一象限，在[0, 2]内，求的取值范围．
13．扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．
提高训练题
14．已知f (x)＝2sin2 x＋sin 2x，x∈[0，2π]，求使f (x)为正值的x的集合．
15．若角α的终边上一点，且，求tan2，cos2的值．
同角三角函数的基本关系及诱导公式
　　1．同角公式：
　　(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝
，1＋cot2α＝
　　(2) 商数关系：tanα＝
　　(3) 倒数关系：tanα
＝1，sinα
＝1，cotα
　　2．诱导公式：－απ－απ＋α2π－α2kπ＋αsincossincos　　规律：奇变偶不变，符号看象限
　　3．同角三角函数的关系式的基本用途：
　　根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
　　4．诱导公式的作用：
　　诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90o角的三角函数值．　　例题讲练
　　【例1】化简：　　　　
　　【例2】
　　(1) 已知，
　　　　求的值．
　　(2) 已知，求下列各式的值．
　　　　①；②　　　　　　　　　　　　
　　【例3】
已知tan是方程x2＋2x secα＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
已知－，sin x＋cos x＝．
　　（I）求sin x－cos x的值．
　　（II）求的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　1．同角三角函数的基本关系式反映了同角的不同函数间的必然联系，诱导公式揭示了不同象限的三角函数间的内在规律．它们对三角函数式的求值、化简、证明等方面具有重要的作用，需要熟练掌握，灵活运用．
　　2．已知一个角的三角函数值求其它三角函数值时，要注意题设中的角的范围．
　　3．利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简时，要看&是否同角&，注意准确选用公式，尽量减少开方运算，慎重确定符号．
　　4．在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，确定角的象限及函数式的符号是关键．
　　5．解题过程中通常还要使用弦切互化，公式变形用，三角代换、消元等三角变换的重要方法，如：将
&1& 用&sin2α＋cos2α&代换等．　　基础训练题
　　一、选择题
1． 已知则tanx等于
2． 化简的结果是
　　A．cos100°o
B．cos80°o
　　C．sin80°o
D．cos10°o
3． tan 600°的值是
4． 若△ABC的内角A满足，则sinA＋cosA＝(
B．－错误！链接无效。
D．－　　5． 已知A＝则A构成的集合是
　　A．{－1, 1, －2, 2} B．{1, －1}
　　C．{2, －2}
D．{－2, －1, 01, 2}
6． 函数的最小值等于
　　A．－3
　　C．－1
D．　　　　二、填空题
7． sin230°＋tan29°?tan31°＋sin258°的值为
8． 化简＝
9． 若，则＝
10．若sin2x＋sin x＝1则cos2 x + cos4 x＝
　　三、解答题
11．化简：①②12．已知f (x)＝a＋b cos()，其中α、β、a、b均为非零实数．若f(2006)＝－1，求f(2007)．
13．已知＝，
（1）化简．
（2）若α是第三象限角，cos(α－)＝，求的值．
（3）求f(－)．
提高训练题
1＋cosα－sinβ＋sinαsinβ＝0， 1－cosα－cosβ＋sinαcosβ＝0，求sinα的值．
15．是否存在角α、β，其中，，使得等式，同时成立，若存在求出α、β的值；叵不存在说是理由．　　　　　　　　　4．3
两角和与差的三角函数
　　1．两角和的余弦公式的推导方法：
　　2．基本公式
　　sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ
　　cos(α±β)＝
　　tan(α±β)＝
3．公式的变式
tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)
1－tanα tanβ＝
　　4．常见的角的变换：
　　2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋
　　α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
　　＝(α－)－(－β)；　　＝例题讲练
化简：① tan20o＋tan40o＋20otan40o
　　　　　　　　　② sin163o sin 223o＋sin253o sin 313o
已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
求证：已知＝2sin x cos x＋cos 2x
（1）求的值．
（2）设(0，π)，＝，求sinα的值．
　　【例4】
(a∈R，a为常数)
　　(1) 求函数f(x)的最小正周期；
　　(2) 当时，f(x)的是大值为1，求a的值．　　　　
　　1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
　　2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．　　基础训练题
一、选择题
1． 已知sin(α－30°)＝,且30°&α&90°,则sinα＝
2． 已知tan (α－β)＝,tan(β－)＝,则tan(α－)的值是
3．已知，，则等于（
4． 若，且β是第三象限角，则为
5． 化简sinθ＋sin(θ＋)＋cos(θ＋)＝ （
　　C．cosθ
6． 已知sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β 为
D．非以上选项
二、填空题
　　是奇函数，则＝
8． 已知sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β）＝
9． 在△ABC中，若BA＝C，则△ABC的形状一定是
10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝
三、解答题
11．求值 sin50o(1＋tan10o)
12．已知&β&α&，(α－β)＝
　　sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．
13．已知函数
　　(1) 若，求函数f(x)的值；
　　(2) 求函数f(x)的值域．
提高训练题
14．求值： sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
15．设α、β均为锐角，且＝cos(α＋β)，求tanβ的最大值．
二倍角的正弦、余弦、正切
1．基本公式：
2．公式的变用：
1＋cos2α＝
1－cos2α＝
　　【例1】
求值：　　　　
　　【例2】
已知α为锐角，且，求的值.
　　【例3】
　　(1) 求的值；
　　(2) 设，求sinα的值．　　　　　　　　【例4】
已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．　　小结归纳
　　1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
　　2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．
　　3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：
　　① 降次（常用降次公式）
　　② 消元（化同名或同角的三角函数）
　　③ 消去常数&1&或用&1&替换
　　④ 角的范围的确定
基础训练题
一、选择题
1． 求tan＝3，则cosα＝
2． (cos＋sin)＝
3． 已知α(π，2π)，则等于 （
　　A．sin
　　C．－sin
　　A．tanα
5． 若锐角三角形的内角A、B满足tanA－＝tanB，则有
　　A．sin2A－cosB＝0 B．sin2A＋cosB＝0
　　C．sin2A－sinB＝0 D．sin2A＋sinB＝0
6．若△ABC的内角A满足，则sinA＋cosA＝（
二、填空题
7． 设α为第四象限角，若，则tan2α＝
8． 求值：tan15°＋cot15°＝
9．若函数，则＝
10．已知，则＝
三、解答题
11．求值：
12．化简：
13．求 2160o－170o－160o170o的值．
提高训练题
14．已知sin()＝，求cos()的值．
15．已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．　　4．5
三角函数的化简和求值
　　1．三角函数式的化简的一般要求：
　　① 函数名称尽可能少；
　　② 项数尽可能少；
　　③ 尽可能不含根式；
　　④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
　　2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．
　　3．求值问题的基本类型及方法
　　① &给角求值&一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
　　② &给值求值&即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
　　③ &给值求角&关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[]、[0，π]、（）的角为．
（1）化简：
（2）化简：
　　【例2】
已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．
　　【例3】
已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【例4】
　　（1）求tanα的值；
　　（2）求的值．
　　1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
　　2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：
　　① 变换角度
　　② 变换函数名
　　③ 变换解析式结构
　　3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、&1&的代换法等．
基础训练题
一、选择题
1． 在△ABC中，若BC＝2，那么△ABC的形状一定是
　　A．等腰三角形
B．直角三角形
　　C．等边三角形
D．等腰直角三角形
2．设 ，则
　　A．c&a&b
　　C．a&b&c
3． 已知sin(－x)＝则sin2x的值为
4．的值等于
　　A．sin2
　　C．cos2
5． 在△ABC中3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1则C的大小是
6． 在△ABC中，已知 tan＝sinC，给出四个论断：
① tanAcotB＝1 ② 0&sinA＋sinB≤ ③ sin2A＋cos2B＝1 ④ cos2A＋cos2B＝1，其中正确的是（
　　A．①③
　　C．①④
D．②③　　　　二、填空题
7． ①已知sinx＝－0.3322，且，则x＝
②已知，且，则x＝
（用反三角函数表示）．
8． 已知，若，则 可化简为
9． cos2α＋6 sin2－8 sin4＝
10．一个等腰三角形的一个底角的正弦值为，则这个三角形的顶角的正切值是
．　　　　三、解答题
11．已知（&α&），试用k表示sin－cos的值．
12．在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面积．
13．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
提高训练题
14．已知α、β均为锐角，且32α＋22β＝1， 32α－22β＝0，求证α＋2β＝．
15．求：cot 10°－4cos10°的值
三角函数的恒等变形
　　一、三角恒等式的证明
　　1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
　　2．证三角恒等式的基本思路是&消去差异，促成同一&，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．
　　3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．
　　二、三角条件等式的证明
　　1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．
　　2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：
　　⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．
　　⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
　　⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
　　⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．
求证：＝　　　　
　　【例2】
　　【例3】
如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．
　　（1）证明：sinα＋cos2β=0；
　　（2）若，求β的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
在△ABC中，若sinA?cos2＋sinC?cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．　　小结归纳
　　1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的&异&化为&同&．
　　2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式．
　　3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．　　基础训练题
1． 求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α
3． 已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．
4． 已知且sinβ?cosα＝cos(α＋β)．
　　（1）求证：；
（2）用tanβ表示tanα．
5． 已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ?cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β．
6． 求证： sin2αsin2β ＋ cos2α?cos2β － cos2α?cos2β＝.
7． 若b sin(x＋θ)＝c sin(y－θ)，b cosx＝c cosy，证明：2tanθ＝tan y－tan x．
8． △ABC中，三边a、b、c成等比数列．
　求证：cos(A－C)＋cosB＋cos2B为定值．　　　　
提高训练题
9．已知sinβ＝msin(2α＋β)其中m≠0，2α＋β≠kπ，，求证：．
10．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．
⑴ 求证：tanA＝2tanB．
⑵ 设AB＝3，求AB边上的高．
三角函数的图象
　　1．用&五点法&作正弦、余弦函数的图象．
　　&五点法&作图实质上是选取函数的一个
，将其四等分，分别找到图象的
点及&平衡点&．由这五个点大致确定函数的位置与形状．
　　2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象　　
　　注：⑴ 正弦函数的对称中心为
，对称轴为
　　⑵ 余弦函数的对称中心为
，对称轴为
　　⑶ 正切函数的对称中心为
　　3．&五点法&作y＝Asin(ωx＋)(ω&0)的图象．
　　令x'＝ωx＋转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．
　　４．函数y＝Asin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系．
　　振幅变换：y＝Asinx(A&0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都
(0&A&1)到原来的
倍（横坐标不变）而得到的．
　　周期变换：y＝sinωx(ω&0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标
(0&ω&1)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω&0)的周期为
　　相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向
个单位而得到的．
　　由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：　　　　　　　　　　或　　　　说明：前一种方法第一步相位变换是向左(&0)或向右(&0)平移
个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(&0)或向右(&0)平移
个单位．　　例题讲练
　　【例1】
已知函数y＝Asin(ωx＋)(A&0，ω&0)
　　⑴ 若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图．
　　⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和．　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
已知函数－，　　(1) 求该函数的对称轴和对称中心；
　　(2) 该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)经过怎样的变换得到？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】 已知函数 ，且f(x)的最大值是2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．
　　（1）求；
　　（2）计算f(1)＋f(2)＋...＋f(2008)　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【例4】
设关于x的方程cos2x＋sin2x＝k＋1在[0，]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小结归纳
　　1．图象变换的两种途径
　　⑴ 先相位变换后周期变换　　　　y＝sinx
y＝sin(x＋)　　　　　　　　　　　　　　　y＝sin(ωx＋)　　　　
　　⑵ 先周期变换后相位变换　　　　y＝sinx
y＝sinωx　　　　
　　　　　　　　　　　　　y＝sinω (x＋)　　　　2．给出图象求解析式y＝Asin(ωx＋)＋B的难点在于ω、的确定，本质为待定系数法，基本方法是：
　　⑴ &五点法&运用&五点&中的一点确定．
　　⑵ 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．
基础训练题
　　一、选择题
1． 函数y＝1＋cosx的图象
　　A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
　　C．关于原点对称
D．关于直线对称
2． y＝Asin(ωx＋)(ω&0，||&，x∈R)的部分图象如图．则函数表达式为
A．y＝－4sin(x＋)
　　B．y＝4sin(x－)
　　C．y＝－4sin(x－)
　　D．y＝4sin(x＋)
3． 设f (x)＝sin3x＋|sin 3x|，则f (x)为
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
4． 要得到y＝cosx的图象，只需将y＝sin(2x＋)的图象上所有的点的
A．横坐标缩短到原来的倍，再向左平行移动
B．横坐标缩短到原来的倍，再向右平行移动
C．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动
D．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动
5． 将函数y＝sinx按向量＝(－，3)平移后的函数解析式为
A．y＝sin(x－)＋3
B．y＝sin(x－)－3
C．y＝sin(x＋)＋3
D．y＝sin(x＋)－3
6． 若函数f (x)＝sinωx＋acosωx(ω&0)的图象关于点M(，0)对称， 且在x＝处函数有最小值， 则a＋ω的一个可能取值为
二、填空题
7． 已知y＝Asin(ωx＋)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A&0，ω&0，0&&，则函数解析式为
8． 方程sinx＝lgx解的个数为
9． 把函数图象向左平移m(m&0)个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是
10．函数f(x)的图象与直线x＝a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sin nx在上的面积为，则
　　（i）y＝sin3x在上的面积为
（ii）y＝sin(3x－π)＋1在上的面积为
三、解答题
11．已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋)，
⑴ 如图是I＝Asin(ωt＋)(ω≠0，||&)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋)的解析式．
⑵ 如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
12．已知函数 的最小正周期为π且图象关于对称；
　　(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在上中有一个交点，求实数a的范围．
13．已知函数f (x)＝a＋b cosx＋c sinx的图象过A(0, 1)及B(，1)两点，当x∈[0，]时恒有| f (x)|≤2，求实数a的范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　提高训练题
14．已知一条正弦函数y＝Asin(ωx＋)(A&0，ω&0)的图象如图所示．
⑴ 求此函数的解析式f1 (x)．
⑵ 求与f1 (x)的图象关于 x＝8 对称的函数的解析式f2 (x)．
⑶ 作出函数y＝f1 (x)＋f2 (x)的图象的简图．
15．已知函数f (x)＝sin(ωx＋)(ω&0，0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和ω的值．
三角函数的性质
1．三角函数的性质函
数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值
域奇偶性有界性周期性单调性
最大(小)值
　　2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．
⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝
⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝
　　⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝
　　注：该结论可以推广到其它任一函数．　　例题讲练
化简f (x)＝cos()＋cos()＋2sin(＋2x)(x∈R，k∈Z)．并求f (x)的值域和最小正周期．
　　【例2】
已知函数f (x)＝
　　⑴ 求f (x)的定义域．
　　⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
　　⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．
　　⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．　　　　　　　　　　　　【例3】
设函数，，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)＝f(1)；
　　（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；
　　（2）求函数f(x)的单调递增区间．
　　【例4】
已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定＝b sin(ax＋)的单调区间．　　小结归纳
1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的x≠nπ＋(n∈Z)．
　　2．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．
　　3．求周期一般先将函数式化为y＝Af(ωx＋)(f为三角函数)，再用周期公式求解．
　　4．函数y＝Asin(ωx＋)(A&0，ω&0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx＋)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求．若ω&0，可用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－)再仿照以上方法解之．
基础训练题
一、选择题
1． 同时具有性质&① 最小正周期是π，② 图象关于直线x＝对称，③ 在[－，]上是增函数&的一个函数是
A．y＝sin (＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(2x－)
D．y＝cos(2x－)
2． 使函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值是 （
3． 设函数f (x)＝2sin(x＋)，若对任意x∈R都有f (x1) ≤f (x)≤f (x2)成立．则｜x1－x2｜的最小值为 （
4． 函数f(x)＝2sinωx(ω&0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为
5． f (x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是
6． 已知函数（a、b为常数，a≠0，x∈R）D在处取得最小值，则函数是
　　A．偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
　　B．偶函数且它的图象关于点对称
　　C．奇函数且它的图象关于点对称
　　D．奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
　　二、填空题
7． y＝|sinx|cosx－1的最小正周期与最大值的和为
8． 函数f (x)＝()| cosx | 在[－π，π]上的单调递减区间 为
9． 将sin2，cos1，tan2，cot3按从小到大的顺序排列为
10．对于函数f(x)＝cosx＋sinx，给出下列四个命题
　　①存在，使；
　　②存在，使f(x＋2)＝f(x＋32)恒成立；
　　③存在，使函数的图象关于y轴对称；
　　④函数f(x)的图象关于点对称．
　　其中正确命题的序号是
　　三、解答题
11．设f (x)＝sin(2x＋)(－π&&0)，x＝是对称轴．⑴ 求；⑵ 求y＝f (x)的增区间．
(3) （理）证明直线5x－2y＋c＝0与y＝f (x)的图象不相切．
（文）画出y＝f (x)在区间[0，π]上的图象．
12．已知函数f (x)＝(sinx－cosx)
　　⑴ 求它的定义域和值域；
　　⑵ 求它的单调区间；
　　⑶ 判断它的奇偶性；
⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
13．已知函数　　；　　（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
提高训练题
14．某港口水的深度y（米）是时间t(0≤t&24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t（时）036912y（米）t（时）y（米）
　　经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象．
　　（1）试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底中需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
15．就三函数f (x)＝sinx?cosx＋(sinx＋cosx)?(sinx－cosx)(x∈R)的性质，除定义域外，请你写出四条，并有简明的推导过程．
三角函数的最值
　　一、最值的意义
　　设f (x0)是函数在x0点的函数值，若不等式f (x0)≥f (x)(或f (x0)≤f (x))对于定义域内的任意x都成立，则f (x0)叫做函数f (x)的最大值(或最小值)．
　　二、三角函数最值的常见类型及处理方法
　　1．y＝asinx＋b，利用有界性｜sinx｜≤1
　　2．y＝asinx＋bcosx＋c，可化为y＝sin (x＋)＋c，利用有界性．
　　3．y＝asin2x＋bsinx＋c，利用配方法．
　　4．y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c，利用换元，设t＝sinx±cosx转化为二次函数的最值来求．
　　5．y＝atanx＋bcotx，换元，转化为代数最值问题，用判别式或均值定理求最值．
　　6．y＝，用有界性、分析法、不等式法、数形结合等法求．　　例题讲练
　　【例1】
求下列函数的最值．
　　⑴ y＝；
　　⑵ y＝2 cos(＋x)＋2cosx；
　　⑶ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值与最小值，又若呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【例3】
已知sinx＋siny＝，求siny－cos2x的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　小结归纳
　　1．求三角函数最值的方法有：① 配方法；②化为一个角的三角函数；③ 数形结合；④ 换元法；⑤ 基本不等式法．
　　2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．
　　3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．
　　4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用．　　基础训练题
　　一、选择题
1． 已知y＝－2sin2x?tanx，则
　　A．函数最小值为－2，最大值为0
　　B．函数的最小值为－4
　　C．函数无最小值，最大值为0
　　D．函数最小值为－4，最大值为4
2． 函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质 （
　　A．图象关于点(，0)对称，最大值为
　　B．图象关于点(，0)对称，最大值为1
　　C．图象关于点x＝对称，最大值为
　　D．图象关于点x＝对称，最大值为1
3． 已知角x满足｜sinx＋cosx｜&1，则函数y＝sinx?cosx＋有
B．最大值为－2
C．最小值为2
4． 已知函数，则f(x)的值域是
　　A．[－1,1]
5． 已知k&－4，则y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值为（
D．－2k＋1
6． 当时，函数的最小值是
二、填空题
7． 当，的最小值为
8． 函数f (x)＝的最大值为
，最小值为
9． 为了使函数在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最大值是
10．已知sinα＋sinβ＝，则y＝cosα＋cosβ的最大值是
三、解答题
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，求y＝的取值范围．
12．设函数（其中ω&0，a∈R），且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
　　（1）求ω的值；
（2）如果在区间的最小值为，求a的值．
13．在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上．
⑴ 设AB＝a，∠ABC＝θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q；
⑵ 当θ变化时，求的最小值．
提高训练题
14．求函数的最大值和最小值．
15．设二次函数f (x)＝x2＋bx＋c (b、c∈R)，已知不论α、β为何值，恒有f (sinα)≥0和f (2＋cosβ)≤0．
⑴ 求证：b＋c＝－1
⑵ 求证：c≥3
⑶ 若函数f (sinα)的最大值为8，求b、c的值．
单 元 测 试
一、选择题
1． 已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 （
2． 若，则2x与3sinx的大小关系是
D．与x的取值有关
3． 已知α、β均为锐角，若P：sinα&sin(α＋β)，q：α＋β&，则P是q的
　　A．充分而不必要条件
　　B．必要不充分条件
　　C．充要条件
　　D．既不充分也不必要条件
4． 函数y＝sinx?｜cotx｜(0&x&π)的大致图象是 （
5． 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
A．3－cos2x
B．3－sin2x
C．3＋cos2x
D．3＋sin2x
6． 设a&0，对于函数，下列结论正确的是
　　A．有最大值而无最小值
　　B．有最小值而无最大值
　　C．有最大值且有最小值
　　D．既无最大值又无最小值
7． 函数f(x)＝
A．在[0，]、上递增，在、上递减
B．、上递增，在、上递减
C．在、上递增，在、 上递减
D．在、上递增，在、上递减
8． y＝sin(x－)?cos(x－)，正确的是
A．T＝2π，对称中心为(，0)
B．T＝π，对称中心为(，0)
C．T＝2π，对称中心为(，0)
D．T＝π，对称中心为(，0)
9． 把曲线y cosx＋2y－1＝0先沿x轴向右平移，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （
A．(1－y)sinx＋2y－3＝0
B．(y－1)sinx＋2y－3＝0
C．(y＋1)sinx＋2y＋1＝0
D．－(y＋1)sinx＋2y＋1＝0
10．已知，函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若| x1－x2|的最小值为π，则
　　A．ω＝2，θ＝
　　B．ω＝，θ＝
　　C．ω＝，θ＝
　　D．ω＝2，θ＝
二、填空题
11．f (x)＝A sin(ωx＋)(A&0, ω&0)的部分如图，则f (1) ＋f (2)＋...＋f (11)＝
12．已sin(－x)＝，则sin2x的值为
13．的图象与直线y＝k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是
14．已知＝1，则(1＋sinθ)(2＋cosθ)＝
15．平移f (x)＝sin(ωx＋)(ω&0，－&&)，给出下列4个论断：
⑴ 图象关于x＝对称
⑵图象关于点(，0)对称
⑶ 周期是π
⑷ 在[－，0]上是增函数
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
三、解答题
16．已知，（1）求的值；（2）求的值．
17．设函数，其中＝(sinx,－cosx)，＝(sinx,－3cosx)，＝(－cosx,sinx)，x∈R；
　　(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2) 将函数y＝f(x)的图象按向量平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求||最小的．
18．在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．
19．设f (x)＝cos2x＋2sinxcosx的最大值为M，最小正周期为T．
⑴ 求M、T．
⑵ 若有10个互不相等的函数xi满足f (xi)＝M，且0&xi&10π，求x1＋x2＋...＋x10的值．
20．已知f (x)＝2sin(x＋)cos(x＋)＋2cos2(x＋)－。
⑴ 化简f (x)的解析式。
⑵ 若0≤θ≤π，求θ使函数f (x)为偶函数。
⑶ 在⑵成立的条件下，求满足f (x)＝1，x∈[－π，π]的x的集合。
21．已知，函数＝2cos2x＋2sinx cosx＋1.
(1) 若x∈[0，π]时，＝a有两异根，求两根之和；
(2) 函数y＝，x∈[，]的图象与直线y＝4围成图形的面积是多少？
高考数学三角函数解答题选编 1.（2006安徽卷）已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 2.（2006北京卷）已...高考数学三角函数试题汇编 函数的图象为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）...专题四 高考数学三角函数复习训练 高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形...08高考数学三角函数复习测试 广州市第87中学 赖青松 1．（北师大版第59页A组第2题）正弦定理与余弦...高考数学三角函数 考试要求：1、理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。2、...高考数学三角函数测试 一．重点掌握： （1）熟练掌握函数y=Asin（ωx+）（A>0，ω>0）的图象及其性质...高考数学三角函数专项训练（03） 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．已知，则的值是 （ ） A...高考数学三角函数高考数学三角函数复习测试题 选择题 1.对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 ( ) （A）sin(α+β...专题一 三角函数与平面向量 一、考纲要求 知识要求：三角函数 （1） 能灵活运用三角函数的有关公式...
& 2007 - 2012 Dangzhi. All Rights Reserved. 京ICP备号