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设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=log2(1-2x)，试求函数f（x）的反函数f-1（x），并证明f-1（x）∈M；（3）若f（X）=axx+b∈M（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：徐汇区一模
（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，所以f（x）=-x+1∈M（2分）因为g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等x，所以g（x）?M（2）因为f（x）=log2（1-2x），所以x∈（-∞，0），f（x）∈（-∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f-1（x）=log2（1-2x），（x＜0）…（6分）又因为f-1（f-1（x））=log2（1-2f-1(x)）=log2（1-（1-2x））=x…（9分）所以f-1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=axx+b∈M，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴aoaxx+baxx+b+b=x即解得：（a+b）x2-（a2-b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得axx-a＜1即(a-1)x+ax-a＜0…（13分）若a=1则1x-1＜0，所以x∈（-∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则x-a1-ax-a＞0且a＜a1-a，所以x∈（-∞，a）∪（a1-a，+∞）…（16分）若a＞1，则x-a1-ax-a＜0且a＞a1-a，所以x∈（a1-a，a）…（18分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，反函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性反函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|定义：
设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。 反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。 求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
发现相似题
与“设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都..”考查相似的试题有：
342141454348858838282757567751624545已知定义域为（-1，1）的奇函数y=f（x）在（-1，1）上又是减函数，且满足f（2x-1）+f（）＜0，则x的取值范围为．&推荐试卷&
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函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f(x)=x13+2x-1，则函数的解析式f（x）=______．（结果用分段函数表示）
题型：填空题难度：中档来源：黄浦区一模
设x＞0，则-x＜0，又当x＜0时，f(x)=x13+2x-1，∴f(-x)=(-x)13+2-x-1=-x13+2-x&-1①又函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（-x）=-f（x）&&&& ②由①②知x＞0时有f(x)=x13-2x+1则函数的解析式f（x）=x13-2-x+1&&&(x＞0)0&&&&&&&&&&&&&&&&&&(x=0)x13+2x-1&&&&&(x＜0)故应填x13-2-x+1&&&(x＞0)0&&&&&&&&&&&&&&&&&&(x=0)x13+2x-1&&&&&(x＜0)
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据魔方格专家权威分析，试题“函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f(x)=x13+2x-1，则函数..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f(x)=x13+2x-1，则函数..”考查相似的试题有：
249256449659523211272442501245445685已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1),求f(1-3x)的定义域? 请问定义域指的是括号里的式子还是X？
已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1),求f(1-3x)的定义域? 请问定义域指的是括号里的式子还是X？ 15
函数f(2x-1)的定义域为[0，1)，即0<=x<1
那么-1<=2x-1<1
即函数f(x)定义域是[-1,1)
所以有:-1<=1-3x<1
解得:0<x<=2/3
即f(1-3x）的定义域是(0,2/3] 。请问-1<=2x-1<1
这是如何算得的 为何 -1<=1-3x<1
0&=x&1& 所以0&=2x&2，所以-1&=2x-1&1已知f(x)的定义域求f(1-3x)的定义域一般是把1-3x当成一个整体，你可以设t=1-3x，那f(1-3x)=f(t)f(x)与f(t)具有相同的形式和定义域，因为-1&=x&1，所以-1&=t&1，就是-1&=1-3x&1
怎样为相同形式？具有相同的形式就具有相同的吗
就是映射（或者函数）相同，都是f,只是自不同，一个是x，一个是t，不影响整个函数的。之所以设为t是为了不与x混淆，把f下面的式子当成一个整体。
指括号里的式子
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理工学科领域专家设函数f（x）定义域为D＝{x|1／x^2大于等于9／16}，且当x＞0时，f（x）单调递增，对于任意x，y属于D，f（x_百度知道
设函数f（x）定义域为D＝{x|1／x^2大于等于9／16}，且当x＞0时，f（x）单调递增，对于任意x，y属于D，f（x
求1，f（x）的定义域。2，f（x）是偶函数。3，解不等式f（1／2x）－f（x－1）小于等于0急求答案！
上面问题没显示完对于任意x，y属于D，f（xy）＝f（x）＋f（y）均成立
提问者采纳
1.D＝{x|1／x^2≥9／16}，1／x^2≥9／16，0&x^2≤9／16，D＝{x|-4/3≤X≤4/3，且x≠0}.2. f（xy）＝f（x）＋f（y）令x=y=1得：f（1）＝f（1）＋f（1），f（1）=0.令x=-1,y=-1得：f（1）＝f（-1）＋f（-1）所以f（-1）=0，令y=-1,x不变得：f（-x）＝f（x）＋f（-1）因为f（-1）=0，所以f（-x）＝f（x），所以f（x）是偶函数。3. f（1／2x）－f（x－1）≤0f（1／2x）≤f（x－1）因为f（x）是偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|),所以上式可化为：f（|1／2x|）≤f（|x－1|）因为当x＞0时，f（x）单调递增，所以|1／2x|≤|x－1|平方得：1/4x^2≤(x-1)^2,解得x≥2或x≤2/3.……①因为定义域是D＝{x|-4/3≤X≤4/3，且x≠0}，所以-4/3≤1/2X≤4/3，且1/2x≠0，-4/3≤X-1≤4/3，且x-1≠0,解得-1/3≤X≤7/3，且x≠0,1.……②①②取交集得2≤X≤7/3或-1/3≤X≤2/3且x≠0.
提问者评价
= =只能按答题先后给最佳了啊，剩下的对不住了~
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(1)D＝{x|1／x^2大于等于9／16}=&
x∈[-4/3,0)∪(0,4/3](2)f（xy）＝f（x）＋f（y）=&
f(x^2)=2f(x)
f(x^2)=2f(-x)=&
f(x)=f(-x)(3)f（1／2x）－f（x－1）&=0=&
f(|1/2x|)&=f(|x-1|)=&
1/2|x|&=|x-1|=&
x∈[-∞,(1-sqrt(3))/2]∪[(1+sqrt(3))/2,+∞]再结合到定义域：1/2x ,(x-1） ∈Dx∈[(1+sqrt(3))/2,7/3]
1：1／x^2大于等于9／16。所以有-4/3&=x&=4/32:f（xy）＝f（x）＋f（y）,令y=x则，f（x^2）＝f（x）＋f（x）=2f(x)所以，f(x)=(1/2)f（x^2)f（x）=f(-x)证得结论3，（1）当x&0,f（1／2x）－f（x－1）&=0那么f（1／2x）&=f（x－1）,当x＞0时，f（x）单调递增。所以，1／2x&=x－1。则，2x^2-2x-1&=0(这里有根号，很难打，自己算下)
#1#且-4/3&=1／2x&=4/3，-4/3&=x-1&=4/3x&=3/8或x&=-3/8(舍去)
#2#，-1/3&=x&=7/3
#3#最好吧#1、2、3#综合下就OK 了(2)当x&=0f（x）是偶函数,所有x&0时。y递减那么f（1／2x）&=f（x－1）则，1／2x&=x－1。方法同上---------------------------------------纯手工打，望采纳，谢谢
x∈[-4/3,(1-sqrt(3))/2]
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