跪求几道数学问题详解
提问：级别：幼儿园来自：上海市闸北区
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跪求几道数学问题详解
2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题
1．（本题20分）求和：
2．（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 [0,1]
(1) 对于任意a&#6]，f(x)a只有一解；
(2) 对于任意a&#6]，g(x)a有无穷多个解．
3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数．
4．（本题15分）对于任意 均为非负实数，且 ，
试用数学归纳法证明： 成立．
5．（本题20分）求证： ．
6．（本题20分）a,b满足何条件，可使
7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．(1) x+1 (2) x2+x+1 (3) x3+x2+x+1 (4) x4+x3+x2+x+1
8．（本题20分）解三角方程： 为一实常数．
9．（本题20分）已知曲线 ，曲线C关于直线 对称的曲线为曲线 ，曲线 与曲线 关于直线 对称，求曲线 、 的方程．
10．（本题20分）已知抛物线 ，直线 都过点（1，2）且互相垂直，若抛物线与直线l1,l2中至少一条相交，求a的取值范围．
11．（本题15分）f(x)在[1,)上单调递增，且对任意x,y[1,)，都有f(xy)f(x)f(y)成立，证明：存在常数k，使f(x)kx在x[1,)上成立．
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kongdak2368
很多很多.例如：1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=?更一般地：当k为奇数时,求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=? 欧拉已经求出了：(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6并且给出了当k为偶数时的表达式.于是,于是他提出了上述问题. 2、e+π的超越性：背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例. 已经证明了e^π的超越性,却至今未有人证明e+π的超越性. 3、素数问题（又称黎曼猜想）. 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ,(s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点,除负整实数外,全都具有实部1/2. 背景：此为希尔伯特第8问题. 现已证明：ζ(s)函数中,前300万个零点确实符合猜想.引申的问题是：素数的表达公式?素数的本质是什么? 4、 存在奇完全数吗? 背景： 所谓完全数,就是等于其因子的和的数. 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数. 1973年得到的结论是如果n为奇完全数,则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外,再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗? 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）. 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂. 1976年,荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续.因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了. 但是,由于这个数太大,有500多位,已超出计算机的计算范围. 所以,这个猜想几乎是正确的,但是至今无人能够证实. 6、 任给一个正整数n,如果n为偶数,就将它变为n/2,如果除后变为奇数,则将它乘3加1（即3n+1）.不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1吗? 背景： 这角古猜想（1930）. 人们通过大量的验算,从来没有发现反例,但没有人能证明. 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题. 1、问题1连续统假设. 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数. 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统,即策莫罗-佛朗克尔公理系统里,不可证伪. 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统,不能证明此假设是对的. 所以,至今未有人知道,此假设到底是对还是错. 2、问题2 算术公理相容性. 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备,使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭. 3、 问题7 某些数的无理性和超越性. 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题. 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型. 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展. 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广. 背景：此问题只有些零散的结果,离彻底解决还十分遥远. 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性. 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形.如要求是解析函数则此问题尚未完全解决. 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础. 背景： 代数簌交点的个数问题.和代数几何学有关. 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑. 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目.和微分方程的极限环的最多个数和相对位置. 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间. 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题,现在仍未解决. 12、 问题 20 一般边值问题. 偏微分方程的边值问题,正在蓬勃发展. 13、 问题 23 变分法的进一步发展. 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出.为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题.每一道题的赏金均为百万美金. 1、 黎曼猜想. 见 二 的 3 透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜. 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题.透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响. 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由 数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物. 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题.他们从数学上所推导的结果 是,这个粒子具有电荷但没有质量.然而,困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定 该粒子有质量,规范对称性就会被破坏.一般物理学家是相信有质 量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题. 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」. P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母.已 知尺寸为n,如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」.而能用这个 算法解的问题就是P 问题.反之若有其他因素,例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写. 由定义来说,P 问题是NP 问题的一部份.但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这 就是相当著名的PNP 问题. 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了 新的结果.法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程. 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后,人们一直想知道 的是此解是否唯一?得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution),则解是唯一.所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time). 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit),由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵. 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚. 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之 后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题. 庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将 之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形,如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚. 经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之 后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真 正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜. = 一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了,这次是真的!」[14]. 数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞. 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关. 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限 呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷 多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他 们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之 上同调类的有理组合.」 最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可 能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾
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比如你做饭时间太长，画画画的太烂，投篮投的不准，相亲找不到对象，恋爱感觉吃亏，打牌老是输钱，出差错过航班……作为体育老师教出的数学渣，想听听数学大V们，是如何将数学应用与工作和生活中，或者如果用数学解决其他问题的。
196 个回答
其实能够划归为数学问题的都已经算是“简单”问题——我并不是说他们真的简单，而是最起码已经化成了人类可理解、可操作处理的问题。无法有效进行数学建模，或者模型太复杂现有数学工具无法处理的问题，才是真正复杂的问题。面对这种问题，人类并没有什么有效的处理方法。事实上数学可以算是人类发展至今解决问题最有效的语言和工具。如果一个问题复杂到没法用数学语言来描述、没法用数学工具来处理，你还能指望能有别的什么处理方法么？只能在黑暗中摸索着低效前进，采用的很多方法也是大量试验、经验总结、甚至是靠感觉靠瞎蒙等原始方法。
很小的时候（一岁左右）我妈看到我跑到洗手间取了一个脸盆，翻扣在地上踩着盆子够到了水龙头，而这一行为不可能是模仿大人得来的，那时我爸就觉得我应该可以学习数学了——因为我开始拥有创造性而不是机械模仿的能力。高中时候一好哥们儿跟我说起虎山公园里的摸乒乓球抽奖游戏，我俩琢磨了老一阵子，我算出来了各种中奖概率，欣喜的觉得有搞头，后来才知道世间竟有排列组合这种东西，而数学书里给出的公式远比我的方法具有普适性。见过斐波那契数列后，我曾想用一个公式来总结它每一项的规律，我假设它们递推公式里含有指数函数，结果搞出来一个我自己都不信的含无理数的表达式，后来我才知道有个东西叫数列。我非数学系的，但是这些事情让我渐渐明白一个道理：数学作为一个思想工具，是防止我们这些愚笨之人解决不那么复杂的问题时误入歧途的懒办法，与生俱来的创造性随着人类复杂社会秩序的约束变得越来越低，普通人连魔方这种简单组合问题都难以有直觉，而天才为我们找到了思想捷径，所以当一个人觉得数学没啥意义的时候，它可能已经使你避免了许多许多弯路。假如没有数学，摸乒乓球抽奖我要花三天想明白，下次摸彩票抽奖我又得想三天；推导斐波那契数列要用一上午，换个别的数列又得用好几天……思想劳动会重复到直到我意识到这些事物有着内在的联系为止，而那内在联系，就是数学规律。为什么数学讲究独立思考呢？我有这样的感悟：当你学习数学的时候，你学到什么不是最重要的，重要的是你在学习的过程中脑子里在想什么。呆板的教育下很容易扼杀人的创造性思维与现实建立映射的能力，而数学作为思辨的极致本身就充满了魅力：世界很大，但是再大的世界也是建立在简洁的规律之上的。当你感觉数学很枯燥的时候，惟一的原因是你没有自己动过脑子、走过弯路，你体会不到它带来的“高效”，只有被剧透的麻木，越是在数学路上“浪费”时间多的人，往往越有着创造力与难以为常人理解的特殊直觉。哥尼斯堡七桥问题本来看起来与数学毫无关系，但是欧拉提炼了这看似简单的问题的本质开创了两门数学领域；除了好玩之外似乎没什么意义的数论是现代密码学的基础……这些与现代生活有着很密切联系的东西确实与食色性也的东西没有直接的联系，但是如果你需要更有理性、更有规律的生活而不愿做被规划者的话，数学几乎是一条必走的路——不一定是数学课，而是无可替代的数学思想。既然说起来了，那我可以告诉大家几个本人从数学中得来的、绝对可谓影响一生的信条：1、脑洞大开是有意义的 生活中不知道有多少人语重心长的告诉你不要多想，但并不是任何事物都像生活一样经不起推敲。数学中最异想天开的想法得到的看似无实际用途的数学工具都在科技史上留下了浓墨重彩的一笔，而生活中将事物关系进行抽象化分析的过程让我对生活的本质有了更深的理解，没有比数学更能培养的深入思考的习惯的学科了，它是最纯粹的思辨。请大家想想，同样是思考，为何会有“思想深度”一词呢？制造印刷电路版、设计飞机气动翼型表面并没有用到勾股定理，但是任何与人类相似的有机文明必然在逻辑思维上经历这一步才能发现更深刻的规律，根据历史经验，哪怕人类演进重来一万次，几乎可以断定勾股定理比阿波罗登月要早。我从数学中明白了这样一句话：人类惧怕成功。深入的思考是那么那么的困难，你只要心存一点点疑虑、有着一点点胆怯，努力就彻底前功尽弃，而大胆地猜想与证明简直是反人类的习惯，要经过痛苦与孤独的试炼才可能养成。纵然我在数学方面是渣，但是我曾经体会过一道没人关心的题画了十七条辅助线用一周时间终于解答出来是那种极致的快感，那莫名的感动与孤独的体验每每回忆起来，就超越了我所有青春时代的悸动。2、脑洞大开要遵循严格的逻辑
为何说教育能改变中国民科满天飞的局面呢？不是因为学到的数学只是能证伪一些似是而非的东西，而是数学给了你一个严谨的习惯与良好的逻辑，让你知道哪里该存疑、怎样去证明或者否定。最细微的偏差会影响整个系统，而一点点理论上的漏洞会造成灾难性后果，这一点不仅仅是对数学而言成立，哪怕你办公司、卖军火、搞政治都需要那种慎之又慎的“公理”与“推导”思维，无中生有似的抓住突破的机遇3、简单事物背后有着深刻规律，而深刻的规律往往是简洁的 社会生活中的规则看似复杂，其实如同围棋一般规则极简而变幻极多，在混乱与无序之中总结规律的人绝地拥有着较高的数学归纳能力，当你从人性、从政治、从经济等多角度分析某社会现象时，其实你正在应用着最为高深的数学思想，只不过因着个人的水平，同样面对面对一图书馆的书（信息），有人总结出来的是《满分作文》，有些人总结出来的是《马克思主义政治经济学》。非洲农业为什么不发达……哎呀，扯远了不知道一个额外的收获算不算数学的作用。从小父亲给我灌输“世界是规律驱动的”这一概念，长大了看任何宗教典籍其思辨性除佛教外大多NAIVE，连我都自创了一个自洽的“科学”宗教，在这世界上你要么把一切因果都向上递归给一个视你为草芥的全能的神省去探究的麻烦，要么老老实实从最基本的规律一点点理解，除此之外想活个明白再无他法。因此我不信鬼不敬神，作为一个曾在原始森林里大半夜从古墓里掘出骷髅还面不改色的人，我认为就短暂的生命而言，没有畏惧的活着、只有未知去探索的感觉真好。相信世界可以被认识，这本身就是一种信仰，没有这一信仰先辈绝无走出愚昧、对抗世俗的引力的悲壮努力综上，数学是天才为我们留下的宝贵的思维捷径，连捷径都懒得走的人，要么绕一圈弯路发现死活绕不过去，要么这辈子思维水平也就那么地了。哪位觉得数学是简单问题复杂化的小清新给我用优雅的语言描述一下伯努利方程？谈情怀还是用美丽的心灵弹奏一首图样图森破吧。再痛恨数学，我还是坚持用数学去毒害我的下一代。当一个人真正为数学的美感所感动的时候，他真的会发现世间万物没有任何学科比数学更尊重求索者本人。负能量时间到：当然，对于纯数学这门学科而言，作为个体有理由痛恨它，毕竟只有、也只需要极少数天赋的人能推动这门学科的发展，向未知挑战的路上，其他人只是必要存在的炮灰（我也是安静的做一个炮灰并以此为荣，毕竟在挤满了天才与极度勤奋的天才的数学之路上，我等只有跟着提鞋的份儿，不过仅仅是试图理解他们就已经让我感到无比荣幸了。高中我阅读理解17分经常得2分，时常搞不明白为何要那么理解，没事儿跟老师抬杠，这就是数学的代价吧：你不会理解错数学家的意思，懂了就是懂了，没懂真的是不懂，对我而言他们才是跨越时空与后人无障碍交流的贤者而非神棍）私货：谨以此文献给泰安一中的卢老师与刘老师，一个教了我这个“癞蛤蟆垫桌子腿非学数学”的奇才（pa），一个没计较我三年没交过数学作业。附一段我对老卢的描写：……进入了数学竞赛班，第一次有了与偶像级数学老师卢**面对面的机会。那天选拔考试时的惊鸿一瞥，给了我一个印象：老卢是个数学鬼才。他穿着课本插图里孔乙己式的长衫，戴着老式的圆框大眼镜，那酒瓶底厚的镜片把他眼睛放大的活像只猫头鹰，脑袋看上去比别人要大一圈，发型为“聪明绝顶”式。他端着搪瓷杯，迈着机械舞步向我们走来，初秋的阳光似乎给他加了一圈“天才光环”。我跟**说，不知为何，我觉得他有六七十年代搞两弹一星的老科学前辈的气质，**说很有可能，看他那模样，可能是当年核爆成功的时候他光顾着高兴，结果跑的太慢落在了后面，没来得及跑进掩体。老卢的数学竞赛班。第一堂课，老卢用含混不清的莱芜话欢迎我们加入前程远大的竞赛班，他说：“银儿嗯（他特有的感叹词）。有些同学啊，他崇拜我。非得学数学，他该行吗？癞蛤蟆垫桌子腿，硬撑啊。”然后思维超越的讲起了课。他的语文一定是数学老师教的，特别喜欢滥用成语：“银嗯儿。这个题啊，当机立断，画示意图啊！选择题嘛，坑蒙拐骗，不择手段啊！”扶扶眼镜又看了看眼前写满黑板还没解完的题，自言自语起来：“嗯？又出问题了。唉。出问题了。是出问题了。快想想，出什么问题了？唉……哎！……哎？这不做完了嘛！”讲题的时候想起什么来讲什么：“我们这次先讲第二问啊，因为一问最难啊。当然啦，第三问更难啊。”我有时怀疑他的数学逻辑神经太过发达，连运动神经都搭上面，不只是思维太活跃神经元漏了电还是怎么回事儿，一讲起课来他就手舞足蹈，一边写着狂草板书一边迈开太空舞步，我们在台下都惊呆了。以前我们自视甚高，现在听他的课我们都觉着自己是智障儿童，他经常一副鄙夷的眼神看着台下张大了嘴不知所云的学生，说：“这题不是显然嘛！哎，你看看，又孤陋寡闻了。”…………
我记得以前有一个问题，大概是学了理工科后对你的世界观（生活）带来了多大影响，我当时自己想了想，发现了解计算机、了解一下电路的知识，让我对很多东西都有了不一样的认识，单单数学，学了和没学，我对其它事物的看法几乎没有直接改观然后我就反思了一下，应该是因为人的逻辑链走不了那么长，当你把一个问题真的划归到数学问题的时候，黄花菜都凉了。就像我还说化学可以某种程度上划归到物理呢，可是真这样做几乎是不现实的再后来我意识到，题主说的东西好像是一门课，叫数学模型……而我没学过那个，我学纯数学的……豁然开朗……
我觉得不是一切问题都是数学问题，而是人能准确、漂亮、利落解决的都是可以用数学描述的问题。不能用数学描述的问题，或者需要实际经验的考验磨砺，或者需要大量实验的重复尝试。
-数学是一种抽象工具，从现实中抽象出数学方法，并把现实中的问题套用到现有的数学模型中并解决之。维基百科相关词条：在特定领域不要求精确描述的情况下，这样的工具学科有很多，例如阴阳五行。但如果以此为标准，数学也并非在所有领域都能精确描述。江南皮革城卖了多少钱包算起来容易，可你把恋爱时候女人的情绪建个模我瞅瞅。PS1：数学确实是人类的伟大发明，它的描述精确程度，通用程度和解决生活中问题的效率是很高的。PS2：但我们更应该看到的是，在知乎由于绝大多数人接触到的是「用数学相对容易描述」的问题，所以难免给人一种「数学是万能的」的感觉。而本质上来说数学是一种科学方法，是人发现规律的方法，它不应该被过分迷信。-
一些基本的数学训练，除了大家所说的能够锻炼思维能力外，其实还包括一些基本常识和基本思想。基本常识就是一些数学上的基本事实，例如勾股定理之类。这些学生靠背诵也是可以的。如果连这些都不知道，生活上还是会闹一些笑话。如果能活学活用，生活生也能解决很多问题。基本思想，比如代数的思想。例如不是具体地去算3+4，而是去算(a+b)，脑筋能转得过来这么做当然属于抽象能力，这里强调思想，是指懂得这么做的好处。此外还有函数的思想、极限的思想等等。这些有时生活中也实际用到，但也会在你看待其他非数学的问题的时候发挥作用。它们是思考问题的工具，没学过，你就不懂用这些工具去思考和解决问题。然后才是思维能力，大家说的主要是抽象、演绎、归纳等。抽象能力主要在我们所说的“应用题”（主要属于计算题）中，简单的例子，不直接叫你计算3+3，而是问你3个梨和3个苹果一共有多少水果（这当然有语文能力在里面）。演绎、归纳能力，主要是证明题锻炼的。几何学能够锻炼空间想象能力。这些思维的能力全部都是能体现在生活中跟数学无关的各类事情上面的有了基本常识、基本思想（工具），你才锻炼如何利用这些东西解决实际问题。数学上的这一大套路，其实也就是一个人解决其他问题的能力。当然，不是说直接能解决其他问题，而是你的脑子已经为完成这一套东西发育好了。再叫你学另一个专业或进入另一个行当，你就依然有能力学习那个专业的基本常识，建立基本的思想，并且利用这些来解决那个专业的问题。例如，物理学也是这些能力的大量运用。物理学往往强调物理图象。实际上，所谓物理图象就是你的脑中能够凭空运行一个物理定律的世界。你知道了牛顿三定律等各种定律，那你在脑中就能据此推演一切起因后果，演出这样的电影。所谓“正确的物理图象”，就是这个推演正确。物理学得好，会把这种凭空推演的能力用在其他人事关系上，做事会有预见性（或者热衷于不断追求完善这种思维模式）。我想，哪怕是文科，每个专业都能向你介绍一番，需要具备哪些基本知识，建立哪些基本思想，实际解决什么问题。但是，每个人还小的时候，不能限定以后一定是学什么专业，但是脑部又必须从那个年龄开始练习发育，这时最好的学习内容就是数学。我觉得从内容上看，一直学习到高中数学和物理的内容都是挺必要的。但现在的教法是高考下的应试教育，这是另一个问题。但是大学甚至更加专业的数学和物理，是为了研究的目的。能接触到它们的人，本身就经过了基本的数学和物理知识、思想和思维能力的筛选，继续钻研能提高的能力就不一定是在生活上体现得了的了。那些是为了将来真正从事数学和物理研究作的职业训练。大家港，我回答成点？
这估计是最跑偏的答案了，不要拿砖砸我。这估计是最跑偏的答案了，不要拿砖砸我。
首先要声明的是，按学科划分，数学不属于自然科学，也不属于社会科学，而属于形式科学。所以，数学可以看作是人们探索、研究和解决问题的工具，它的研究对象可以是抽象的自然和社会现象，也可以是它自身。记得看过一个经典的说法，解释了工程师与数学家的关系：工程师用数学方法解决实际问题，如果没有合适的方法可用，那么，他们会请数学家创造一种新方法。回到题主的问题，我想，与其说“一切问题都是数学问题”，不如说“能用数学模型描述的问题，才有可能被科学解释或解决”。
所有问题本质上都是数学问题这是建立在绝对理性的条件上的做饭时间长。不同食材的处理可以交替进行，比如肉要腌一会，这时候把锅热上再去切个菜，单位时间效率高出两倍画画太烂。颜色，线条，整体比例，黑白明暗，都是有最佳比例的，黄金分割听过吧这么画画不出杰作，但也画不出败笔投篮投的不准。抛物线，根据自己力量调整姿势，都是能计算的相亲找不到对象。社会学就不是数学了吗，人群是可以计算的恋爱感觉吃亏。和上边是一个问题打牌老是输钱。更简单了，概率乘以收益得到期望值，和成本对比，绝对输不了的方法出差错过航班。现在地图上都有预计路程时间了，结合自己平时习惯早十五分钟出门还能晚吗理论上如果一个人的数据处理能力足够强，能够获得足够多的信息，对他来讲就不再有随机事件了如果你觉得有什么事数学理论上解决不了，要么你不够了解数学，要么你不够了解这件事但是以上只停留在理论里--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------数学提供的不是方法而是方式，从信息A到信息B的推导逻辑是固定的，没有丝毫的不确定性。它提供的不是对事情发展可能走向的经验建议，而是绝对正确的实施步骤。理论上如果能获得所有信息，就一定能计算出所有结果，世界上再没有神秘的事情，再没有不确定性，一切都有对应的理论可以解释，一切都是可计算的，一切都是可重复的，一切都是可生产的。
齐民友《绪言》（1）数学是文化的一部分，没有任何一门科学能像它那样泽被天下。（2）这里只就它对人类精神生活影响最突出之处提出一些看法。（3）首先，数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。例如说，欧几里得平面[注]上的三角形内角和为180°，这绝不是说“在某种条件下”，“绝大部分”三角形的内角和“在某种误差范围内”为180°，而是在命题的规定范围内，一切三角形的内角和不多不少为180°。产生这个特点的原因可以由对象和方法两个方面来说明。（4）希腊文化的背景形成了数学研究的对象并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，服从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思维竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要思维的人以极大的启发。也正因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也为人在认识字宙和人类自已时必须持有的客观态度制定了一个标准。（5）就数学本身而言，它的逻辑方法是最突出的。这个方法发展成为人们常说的公理方法，每个论点都必须有根据，都必须持之有理。除了逻辑的要求和实践的检验之外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令还是流行的风尚，统统是没有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜——宇宙和人类的真正面目是什么——是人类文化高度发展的标志。这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。（6）数学作为人类文化组成部分的另一个特点，是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙之根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简以求统一的过程。（7）从古希腊起，人们就有一个信念：冥冥之中，宇宙最深处有一个伟大的，统一的，而且简单的设计图，这是一个数学设计图。在一切比较深入的科学研究后面，必定有一种信念驱使我们。这个信念就是：世界是合理的，简单的，因而是可以理解的。在古代，这个信念有些神秘色彩。可是发展到现代，科学经过了多次伟大的综合：欧几里得的综合、牛顿的综合、麦克斯韦的综合、爱因斯坦的综合……哪一次不是或多或少遵循这个信念?这种深层次的研究是能破除迷信的，它鼓励人们按照最深刻的内在规律来考虑事物。我们为世界图景的精巧和合理而惊喜，这种感情正是人类文化精神的结晶。数学正是在这样的文化气氛中成长的，反过来又推动这种文化气氛的发展。（8）数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己，在发挥自己力量的同时，又研究自己的局限性。（9）大家都说，数学最需要严格性，数学家就要问：什么叫严格性?大家都说，数学在证明一串串的定理，数学家就要问：什么叫证明?数学越发展，取得的成就越大，数学家就越要问：自己的基础是不是巩固?越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来。孟子自嘲地说：“予岂好辩哉，予不得已也!”数学家只需要换一个字：“予岂好‘变’哉，予不得已也!”任何科学要发展都得变，但只是在与实际存在的事物、现象或实验的结果发生矛盾时才变。唯有数学，时常是在理性思维感到有了问题时就要变。而且，其他科学中“变”的倾向，时常是由数学中的“变”直接或间接引起的。而这种“变”的结果是——“从一无所有之中创造了新的宇宙”。（10）数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的领地。在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，越来越牢固地站立。从这个意义上讲，数学是人类理性发展的最高成就之一。（11）数学作为文化的一部分，表达了一种探索精神。人总有一个信念：宇宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数学表达的，人应该去探索这种深层的、内在的秩序，以此来满足自身的需要。因此，数学作为文化的一部分，其永恒的主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。（齐民友《绪言》，有删改）[注]欧几里得平面，指以欧几里得平行公理为前提的平面。欧几里得是古希腊数学家，他的《几何原本》一书，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。
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