数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章_中华文本库
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F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),
试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)
10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式
F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t&0)
则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:
xFx?x,y,z?+yFy?x,y,z?+ZFx?x,y,z?=KF(x,y,z).
并证明:Z=xy2
x?y22?xy为二次齐次函数.
11..设f(x,y,z)具有性质ftx,tky,tmZ=tf(x,y,z)(t&0)
f(x,y,z)=xf?1,n??n?yZ,mk?xx??; ?
xfx?x,y,z?+kyfy?x,y,z?+mzfz?x,y,z?=nf(x,y,z).
12.设由行列式表示的函数
D(t)=a21?t?
?????????????????????
其中aij?t?(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明
dD?t?=?dtk?1n
?????????????????????a?k1?t?
?????????????????????
(1) grad(u+c)=grad u(c为常数);
(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);
(3) grsdu v=u grad v+
(4) grad f(u)=f?(u)grad u.
14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若f?i?x,y??0(i=1,2)则f(x,y)≡常数.
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实变函数与泛函分析 实变函数与泛函分析基础第三版答案
第七章习题解答1、设(X,d)为一度量空间，令U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??}
S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??}，问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)。解答：在一般度量空间中不成立U(x0,?)?S(x0,?)，例如：取R1的度量子空间X?[0,1]?[2,3]，则X中的开球U(1,1)?{x?X;d(1,x)?1}的的闭包是[0,1]，而S(1,1)?{x?X;d(1,x)?1}?[0,1]?{2}2、设C[定义d(f,g)?a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数全体，??r?0?1|f(r)(t)?g(r)(t)|max，证明：2r1?|f(r)(t)?g(r)(t)|a?t?bC?[a,b]按d(f,g)构成度量空间。1|f(r)(t)?g(r)(t)|?0??r,?t?[a,b]有证明：（1）显然d(f,g)?0且d(f,g)?0??r,rmax21?|f(r)(t)?g(r)(t)|a?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|?0，特别当r?0,?t?[a,b]时有|f(t)?g(t)|?0??t?[a,b]有
f(t)?g(t)。（2）由函数f(t)?t?在[0,??)上单调增加，从而对?f,g,h?C[a,b]有 1?t?d(f,g)??r?0?1|f(r)(t)?g(r)(t)|max2r1?|f(r)(t)?g(r)(t)|a?t?b1|f(r)(t)?h(r)(t)?h(r)(t)?g(r)(t)|=?rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)?h(r)(t)?g(r)(t)|r?021|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02?1|f(r)(t)?h(r)(t)|=?rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02? 1|h(r)(t)?g(r)(t)|??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02??1|f(r)(t)?h(r)(t)|1|h(r)(t)?g(r)(t)|??rmax??rmax(r)(r)a?t?b1?|f(t)?h(t)|r?02a?t?b1?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02?d(f,h)?d(h,g)?即三角不等式成立d(f,g)?d(f,h)?d(h,g)。3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集O1,O2,?On,?包含B，而且?On?1?n?B。1证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：On?{x|d(x,B)?n?1,2,……) ，On为开集，从n而只要证B??On；n?1?可实上，由于任意正整数n，有B?On，故：B??On。n?1?另一方面，对任意的x0??On，有0?d(x0,B)?n?1?1 ，(n?1,2……) n?n?1令 n??有d(x0,B)?0。所以x0?B（因B为闭集）。这就是说， ?On?B综上所证有：B??On。 n?1?4、设d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离，证明d(x,y)?d(x,y)也是X上的距离。 1?d(x,y)d(x,y)，因此显然有d(x,y)且d(x,y)?01?d(x,y)证明：首先由d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离且d(x,y)?的充要条件是d(x,y)?0，而d(x,y)?0的充要条件是x?y，因此d(x,y)?0的充要条件是x?y。其次由函数f(t)?t在[0,??)上单调增加有 1?td(x,y)?d(x,y)d(x,z)?d(y,z)?1?d(x,y)1?d(x,z)?d(y,z)d(x,z)d(y,z)
?? 1?d(x,z)?d(y,z)1?d(x,z)?d(y,z)d(x,z)d(y,z)
???d(x,z)?d(y,z)1?d(x,z)1?d(y,z)即三角不等式成立。所以d(x,y)也是X上的距离。5、证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn的各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数。 ?1|f(r)(t)?g(r)(t)|证明：由题2距离的定义：d(f,g)??rmax则有： a?t?b1?|f(r)(t)?g(r)(t)|2r?0?|fn(r)(t)?f()r()|t1ax若{fn}上述距离收敛于f，则d(fn,f)??r))ra?t?b1?|fn(r()t?f(()|tr?02??0(n?)?。所以对任何非负整|fn(r)(t)?f(r)(t)|?2rd(fn,f)?0(n??)。由此对任何非负实数r有 数r有：max(r)(r)a?t?b1?|f(t)?f(t)|nmax|fn(r)(t)?f(r)(t)|?0(n??)。 a?t?b从而对任何非负整数r，fn的各阶导数fn反之：若对每个r，fn的各阶导数fna?t?b(r)在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数f(r)(r)。 (r)在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数f，则对每个r?0,1,2,?有max|fn(r)(t)?f(r)(t)|?0(n??)，则???0,?Nr,?n?Nr有：max|fn(r)(t)?f(r)(t)|?? a?t?b|fn(r)(t)?f(r)(t)|??从而对任意的非负实数r有：max。又由于 a?t?b1?|f(r)(t)?f(t)|1??n?|fn(r)(t)?f(r)(t)|11???，于是???0,?R有： 从而；d(fn,f)??rmax?ra?t?b1?|f(r)(t)?f(r)(t)|22r?0r?0n??2R?1?1r??。从而取N?max(N0,N1,?NR),n?N时|fn(r)(t)?f(r)(t)|1d(fn,f)??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?f(r)(t)|r?02n??|fn(r)(t)?f(r)(t)||fn(r)(t)?f(r)(t)|11??rmax??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?f(r)(t)|a?t?b1?|f(r)(t)?f(r)(t)|2r?0r?R?12nnR ?11?1R?1???2(1?)???2????3?. ??rr1+?r?02r?R?121+?2R?于是???0,?N,?n?N有d(fn,f)??。从而点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]。7、设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F)?0，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。?1d(x,F)为半径作点x的邻域x?E,y?F2U(x,?x)，令O??U(x,?x)，则O是开集且E?O。同理可作开集G，使得证明：记r?d(E,F)?infd(x,y)?0。?x?E，以?x?x?FF?G??U(y,?y)(?y?y?F1d(y,E))。 2余证O?G??，如若不然即O?G??，则存在P?O?G，由O及G的作法可知，必有x?E,y?F，使得P?U(x,?x),P?U(y,?y)，即d(x,P)??x?11d(x,F)，d(y,P)??y?d(y,E)。从而有221d(x,y)?d(x,P)?d(y,P)?[d(x,F)?d(y,E)]2另一方面d(x,F)?d(x,y)，d(y,E)?d(x,y)，从而有1d(x,y)?[d(x,F)?d(y,E)]?d(x,y)，2由于d(x,y)?d(E,F)?r?infd(x,y)?0，故得矛盾。因此O?G??。x?E,y?F9、设X是可分距离空间，F为X的一个开覆盖，即F是一族开集，使得对每个x?X，有F中的开集O，使x?O，证明必可从F中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明：因X是可分距离空间，所以在X中存在可数稠密子集B?{x1,x2,?xn?}。因F是X的一个开覆盖。因此?x?X，存在F中的开集O，使得x?O且x是O的内点。存在r?0，使rrrx?U(x,r)?O，因B在X中稠密，从而可在U(x,)上取出B中的点xk，再取有理数r?，使得?r??442（此处的有理数r?与x,xk均有关系）于是x?U(xk,r?)?U(x,r)?O，由x?X的任意性从而满足该条件的开集O的全体覆盖X。又由于U(xk,r?)的xk和r?均为可数故这种开集O的全体至多可数。10、设X是距离空间，A为X中的子集，令f(x)?infd(x,y),x?X，证明f(x)是X上的连续函数。x?A证明：x,x0?X，则由d(x,y)?d(x,x0)?d(x0,y)可得infd(x,y)?d(x,x0)?infd(x0,y)?f(x)?d(x,x0)?f(x0)y?Ay?A?f(x)?f(x0)?d(x,x0)同理可得：f(x0)?f(x)?d(x,x0)?|f(x)?f(x0)|?d(x,x0)。因此当x?x0即d(x,x0)?0时有f(x)?infd(x,y),x?X在x0处连续，由x0在X上的任意性得 |f(x)?f()|。所以00x?x?Af(x)?infd(x,y)在X上连续。x?A14、Cauahy点列是有界点列。 证明：设{xn}d(xn,xm)??是度量空间中的(X,d)中的Cauahy点列，则???0,?N,?n,m?N有。特别取n.m?N??1，?N则对任意的n,m?N有d(xn,xm)?1，则 supd(xn,xm)?1，即点列{xn,n?N?1}的直径?({xn,n?N?1})?1?1}，从而点列{xn,n?N是(X,d)有界集。其次对于{xn,1?n?N?1}，取M?maxd{xi(xj,?}i,j1?N,?，则?({xn,1?n?N?1})?M即{xn,1?n?N?1}是(X,d)中的有界集。又集{xn}?{xn,1?n?N?1}?{xn,n?N?1}，所以{xn}有界。{xn}是(X,||?设(X,||?则???0,?N,?n,m?N时有||xn?xm||??，||)是赋范空间，||)中的Cauahy点列点列，今取??1，则?N，使得||xn?xN?1||?1。??n?N,||xn||?||xN?1||?1，取M?{||x1||,||x2||,?||xN||,||xN?1||?1}，则?n，有||xn||?M。所以点列{xn}有界。?d(Anx,Anx?)18、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记an?sup，若?an??，则映射A有?d(x,x)x?x?n?1唯一不动点。证明：因?an?1?n??，由级数收敛之必要条件有liman?0，于是对于0???1，?N，n?N时有|an|??。n??d(Anx,Anx?)???d(Anx,Anx?)??d(x,x?)。从而从N?1后，映射A是X到X的压缩映射。于是n?N时，d(x,x?)又由于X是完备的，所以映射A有唯一不动点。第八章习题解答1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间. 解 设C0是满足?xn?1?n收敛的数列?x1,x2,?,xn,??全体组成的空间.若x??x1,x2,?,xn,??,x?supxn.n定义A:C0?C0如下:对?x?C0,1?1?Ax??x1,x2,?,xn,??, n?2?则对?x?C0,Ax?supn11xn?supxn?supxn?1?x.由有界线性算子的定义知,A是有界算子,且nnnnA?sup?Ax??x?1,A?sup?Ax??x0?1,其中x0??1,0,0,??,所以A?1. x?C0x1x?C0x?1??1111??1???1???1,1,?,1,0,0,???C0,则Axn????设xn.令x?1,,?,,?1,,?,,0,0,?,Ax?1,,?,,???,??n?????????2n2n2n???????n个?则x?C0,故AC0不是闭集.证毕.2.求C??1,1?上线性泛函f?x??解 由 ?0?1x?t?dt??x?t?dt的范数. 00111?11f?x??得f?2.设 ?x?t?dt??x?t?dt??x?t?dt??x?t?dt??x?t?dt?maxx?t???10?10?1??x?101dt?2x ??1??1,t?,1?,???n???1??xn?t???1,t???1,??, n?????11???nt,t???,?.?nn??则xn?t??C??1,1?,且xn?maxxn?t??1,n?1,2,?, ??x?11?1?0?1?11f?xn???xn?t?dt??xn?t?dt?2?1????1??nt?dt??n??nt?dt?2?1?????2?, ?100n?n??n?n?2n2n011因而,f?f?xn??2?1?1?. limf?limf?xn??lim?2???2.故f?2. n??n??n?nn???3. 设无穷阵aij,i,j?1,2,?,满足supi???aj?1?ij??,作l?到l?中算子如下:若x???1,?2,??,y???1,?2,??,Tx?y,则?i??aij?j,i?1,2,?.证明:T?sup?aij.j?1ij?1??证 设M?supi?aj?1?ij,则若x???1,?2,??,y???1,?2,???Tx,??Tx?y?supi?T?sup?aij?j?sup?sup?jiii?jj?1因此T?M.对???0,?i0???,使得supi?a?ij??Msup?j?Mx,jj?1???aj?1?i0j?M??.设x??x1,x2,??,其中xj?signai0j,j?1,2,?,则x?l?,且x?1.若y?Tx???1,?2,??,则?i0?????aj?1?i0jxj??ai0j?M??,因此?i?M??.由于?是任意的,故j?1?iT?M.因而?M?sup?aij.ij?14. 设sup??n???,在l中定义线性算子pn?1y?Tx,?i??i?i,i?1,2,?,其中x???1,?2,?,?n,??,y???1,?2,?,?n,??.证明:T是有界线性算子,并且T?sup??n?.n?1证 设sup??n??M,由于Tx?sup??n?n??Msup?n?Mx?T?M.又对???0,??n0,使得n?1n?1n?1?n?M??. 设x???1,?2,?,?n,??,其中i?n0,则?i?0,而?n0?sign?n0.则Tx??n0?M??.由?的任意性,得T?M,所以?M.证毕.5. 设X是n维向量空间,在X中取一组基?e1,e2,?,en?,t??是n?n矩阵,.作X到X中的算子如下:当???2?x??x?e?时,y?Tx??y?e?,其中y???t??x?,??1,2,?,n.若规定向量的范数为x???x??.证明??1??1??1???1?上述算子的范数满足2?2???max??t????T????t???. ????1????1??1?n12nn12nnnn12证 若x?x?e?,则 ???1n???t??x???1??112nn22nn2???n??n????t??x??????t?????x???1???1??1???1??????1n2?n?n2?????t???x, ????1???1??所以T???2?t?????.???1??1?nn对任意的?,Te????2?2?2??,于是,所以, .因此teTe?tT?tmaxt????????????????????T.????1???1????1????1?nn12n12n12证毕.6. 设T赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子,若T的零空间是闭集,T是否一定有界?解答 令X?Y?P ?0,1?,其中P ?0,1?是?0,1?上多项式函数全体,它是C?0,1?的一个子空间.T是P ?0,1?到P ?0,1?的微分算子.若Tf?0,则f是常值函数,而常值函数全体是一个闭子集.而由第一节例9可知,T是非有界的.7.作l?p?1?p?????中算子如下:当?pqx??x1,x2,???lp时,Tx??y1,y2,??,其中11?q?yn??tnmxm,n?1,2,?,???tnm???,??1.证明:T是有界算子.pqm?1n??1m?1?证 若x??x1,x2,???l,则p???????tnmxm?n?1m?1???????????tnm??n?1?m?1?qpqp?????????????tnmxm????n?1?m?1?????1pq1pp1p?????????????tnm?n?1??m?1????q????1q?xm????m?1?p????1p?????p??????,1p???????????x??????tnm???n?1?m?1???????????pqpq1px,?????所以,T为有界算子,且T?????tnm??n?1?m?1?nq???.证毕. ??????n1p8. ?按范数x?max?j,x???1,?2,?,?n?成赋范空间,问?的共轭空间是什么?j解 记?按范数x?max?j组成的赋范线性空间为X,?按范数x?jnn??i?1ni组成的赋范线性空间为Y.下面证明X??Y.定义X?到Y的映射T,对?f?X?,Tf?f?e1?,?,f?en?,其中????ei??0,?,0,1,0,?,0?,i?1,2,?,n,??????i?1个?对?x???e,f?x????iii?1i?1nnif(ei)??f?ei?max?i?Tf?x,于是f?.i?1in反之,对?y???1,?2,?,?n??Y,定义f?X?:对?x?上的映射.(也就是说,T是满射)若y??0,?,0?,则?x???e,f?x?????iii?1i?1nnii,则Tf?y.因此T是从X?到Y??e,f?x????iii?1i?1nnni?0?0,故f?0?Tf?f?0;若y???1,?2,?,?n???0,?,0?,令x?n??sign??e,则iii?1x?1.因此f?f?x??下,X??Y.?i?1i?T,从而f?f.于是T是X?到Y的同构映射,在同构的意义9. 设C0表示极限为0的实数列全体,按通常的加法和数乘以及x?sup?i,x?C0,ix???1,?2,?,?n,??构成Banach空间,证明:?C0???l1.??证 令en??0,0,?,0,1,0,??,则en?C0,n?1,2,?.对?f??C0??,定义???????n?1个??Tf??f?e1?,f?e2?,?,f?en?,??.1则有Tf?l,且Tf?f.事实上:记?n?f?en?,?n?sing?n,xn???ei?1nii,则xn?C且xn?1,n?1,2,?.n?n?nf?xn??f???iei????i?i??i,i?1?i?1?i?1由于f?xn??fxn?f,因此?i?f,令n??,?i?f,因而Tf?l1,且?f.i?1i?1n?另一方面,对?y???1,?2,?,?n,??,定义C0上线性泛函f:若x???1,?2,?,?n,???C0,则f?x??此???ii?1?i,因Tf??f?e1?,f?e2?,?,f?en?,?????1,?2,?,?n,???y,又因为f?x?????ii?1?i?sup?ii?i?1?i?xy,因此f??C0??,且f?y?Tf,所以f?Tf.由以上证明可知,T是?C0??到l上的同构映射,而在同构的意义下, ?C0??=l.证毕.11第九章习题解答1. 设?xn?是内积空间X中的点列,若xn?x?n???,且对?y?X,有xn,y?x,y?n???,证明:xn?x?n???.证xn?x?x?xn,x?xn?x?xn,x?x,xn?xn?x?x,x?x,x?x?0?n???,所以,xn?x?n???.???2. 设X1,X2,?,Xn,?是一列内积空间,令X???xn?xn?Xn,?xnn?1??222222?????,当?xn?,?yn??X时,规定????xn????yn????xn??yn?,其中?,???,xn?,?yn???xn,yn,n?1?证明:X是内积空间,又当Xn?n?1,2,??都是Hilbert空间时,证明X也是Hilbert空间.
证 1若xn?,?xn??0? ?x,xnn?1?n?0??n???,xn,xn?0?xn?0?n?1,2,????xn??0.2 ?xn????yn?,?zn???xn??yn,zn????xn,zn??yn,zn??n?1n?1?????xn,zn???yn,zn??n?1n?1??? xn?,?zn?.??yn?,?zn?,3 xn?,?yn???xn,yn??yn,xn??yn,xn?n?1n?1n?1???yn?,?xn?所以,X是内积空间.又由第7章第22题知,X是完备的,因此X是Hilbert空间.3. 设X是n维线性空间,?e1,e2,?,en?是X的一组基,证明x,y成为X上内积的充要条件是存在n?n正定方阵A?a??,使得??x?e?,?y?e?????1?1nn?a??x??. ???,?1n证 [必要性] 若x,y是X上内积.设a???e?,e?nnn??,??1,2,?,n?.对?x??x?e?,??1n0?x,x?x?e?,?x?e?????1?1?a???x??, ???,?1且当x?0时,a??x?????,?1n?x,x?0,因此A??a???是正定方阵.[充分性] 若a??是正定方阵,则对?x?内积.??x?e?,y??y?e?,令????1?1nnx,y?a??x??.下面证明???,?1nx,y是X中1x,x?20 a??x??,因?a???是正定方阵,可得???,?1nx,x?0且当x,x?0时,x?0.x??y,z?na????x???y??????a??x?????a??y???????????,?1,?1,?1nnnx,z??y,z,3 x,y?a??x?????,?1????y????,?122n?a???y????,?12n?y,x.因此x,y是X上内积.证毕.4. 设X是实内积空间,若x?y解 当X是实内积空间且x?y?x?y,则x?y.当X是复内积空间时,这个结论是否仍然成立? ?x?y时,由2222x?y,x?y?x?y所以x,y?0,即x?y.?x?y22?2x,y,在复内积空间上此结论不成立.例如,x?0,y?ix,x?1,x?y但x,y?x,ix??i?0.2?x?ix,x?ix?x?y22?ix,x?ix,x?x?y,225. 证明:内积空间X中两个向量x,y垂直的充要条件是:对一切数?,成立x??y?x.
证 [必要性] 若x?y,则对任意复数?,有x??y因此,x??y?x.2?x,x?x,y??y,x??2y,y?x?22y2?x,2[充分性] 若对一切数?,有x??y?x.不妨设y?0,令???222212y2x,y,则由2x??y得?x?y?x,y??y,x?x,14y4x,y2y?212y2x,y2?12y2x,y2?0,即4x,y2?x,y2,所以x,y?0?x?y.证毕.?6. 设X是Hilbert空间,M?X,且M??,证明M???是X中包含M的最小闭子空间.?证 设X中包含M的最小闭子空间为Y,若y?Y,则存在?xn??spanM,使limxn?y.设x?M,则n??y,x?limxn,x?0,所以y??M??,即Y??M??.又Y是X中的闭子空间,且M?Y,则Y??M?,从而??n???M????Y???Y,故Y??M??.???7. 设?en?是L?a,b?中的规范正交系,说明两元函数列en?x?em?y??n,m?1,2,3,??是L2?a,b???a,b?中的2??规范正交系.若?en?完全,则两元函数列en?x?em?y??n,m?1,2,3,??也是完全的.证 (因为较繁,略)8. 设e1,e2,?,en为内积空间X中的规范正交系.证明:X到span?e1,e2,?,en?的投影算子P为Px??x,eiei,x?X.i?1n证 记span?e1,e2,?,en??Y,则Y是X的闭子空间.X?Y?Y?.对?x?X,x?x1?x2,其中x1?Y,x2?Y.因?为?ei?i?1是Y的完全规范正交系,因此x1?nn?i?1nx1,e1ei,又x,ei?x1,ei?x2,ei?x1,ein?i?1,2,?,n?,因此x1??x,e1ei.由投影算子的定义Px?x1??x,eiei.证毕.i?1i?19. 设X为可分Hilbert空间,证明X中任何规范正交系至多为可数集.证 如果X有一个规范正交系e????是不可数集,则对任意的????,有e??e?????2?e?2?e??2?2.因为X可分,则存在X的可数稠密子集?xn?n?1.因为?不可数,则?N???及?,????,????,使xN?e??盾.xN?e???,并有e??e??xN?e??xN?e???.这与e??e???矛22**10. 设X是内积空间,X是它的共轭空间,fz表示X上线性泛函fz?x??x,z,若X到X的映射F:z?fz是一一到上的映射,则X是Hilbert空间.证 设?zn?n?1是X中的Cauchy列.由??fzn?fzm??x?*?x,zn?zm?xzn?zm可得fznn???n?1是X中的****Cauchy列.因为X是完备的,因此有x?X,使fzn?x?n???.设x*?fz,其中z?X.设supzn?M???,则zn?z2?zn?z,zn?z?fzn?fz???zn?z??zn?zfzn?fz??M?z所以X是完备的内积空间,即X是Hilbert空间.?fzn?fz?0?n???. 11. 设X和Y是Hilbert空间,A是X到Y中的有界线性算子,N 域,证明 N?A?和R ?A?分别表示算子A的零空间和值??A??R ?A*??, N?A*??R ?A?, R ?A?的闭包?N ?A*?, R ?A*?的闭包= N ?A?.??证 (1)设x?N??A?,则Ax?0.如果y?Y,A*y?R ?A*?,则有x,A*y?Ax,y?0,所以x?R ?A*?,即?*N ?A??R ?A?,如果x?R N?A*?,则对?y?Y,Ax,y?x,A*y?0,由y的任意性可得Ax?0,即x?N ?A?,也就是说???A??R ?A*?,故等号成立.(2) 由(1)可得,N ?A??R
(3) 首先,由R R?A?*?.用A代替A,可得N*?A??R ??A??*???**?R ?A?.??A??R ?A?的闭包,可知R ?A?的闭包??R ?A??,从而?A?的闭包?( R ?A?的闭包?)??(R ?A??A??)??N ?A*?(由(2)的结论可知最后的等号成立);又设y?(R )?(?N?A?*?),y?y1?y2,其中y1?R?A?的闭包,y2?R ?A?的闭包?.对?x?X,A*y2,x?y2,Ax?0,所以A*y2?0,即y2?N ?A*?,这样 0?y,y2?y1,y2?y2,y2?y2,y2,即y2?0,于是y?y1?R?A?的闭包,故R ?A?的闭包?N ?A*?**?. .证毕.(4)将(3)中的结论用A代替A,由可得R?A?的闭包= N ?A??2?12. 设T是Hilbert空间X中的有界线性算子,T?1.证明xTx?x?xTx?x. 证 若Tx?x,则x与2??*??,x?x,T*x?xT*x?x.因此x,T*x?xT*x.由第1节的引理1,T*xx,T*x?x,x可得x线性相关.设T*x??x,由T?x??x??1,即T*x?x.因而x?x?*x?T??x?*x*x???T?xx?xT. x.证毕?,即等式成立*(该定理证明了满足条件T?1的线性有界算子T的不动点集与T的不动点集相等)13. 设H是Hilbert空间,M是H的闭子空间,x0?H,证明:minx?x0x?M?max???x0,yy?M?,y?1.?证 设x0?x1?x2,其中x1?M,x2?M,因为x1?M,所以?minx?x0x?M?x1?x0?x2,又对?x?M,??x?x02?x?x1?x22?x?x12?x22?x22?minx?x0x?M?x2,因而 ??minx?x0x?M?x2.又对?y?M,y?1,x0,y?x1,y?x2,y?x2,y?x2???y?x2,所以max?x0,yy?M?,y?1?x2.?若x2?0,则max?x0,yy?M?,y?1?0?x2.若x2?0,则令y??x2,y?1, x2x0,y?x1,maxx2x2?x2,x2x2?x2?max?x0,yy?M?,y?1?x2,因而??x0,yy?M?,y?1?x2.?故min?x?x x?M?max??x0,yy?M?,y?1.证毕.?13题的几何意义如图14. 设H是复Hilbert空间,M为H的闭子空间,则M为H上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M是一维子空间.证 [必要性] 若M是非零连续线性泛函f的零空间,则?y?X,y?0,对??x?M,使f?x??x,y?0,因此M??y?,即M??span?y?是一维子空间.[充分性] 若M是由非零元y生成的一维子空间.令f?x??x,y,则f?x??0?x?y,即x?M???????M,所以M是非零连续线性泛函f的零空间.证毕.15. 设T为Hilbert空间X上的正常算子,T?A?iB为T的笛卡儿分解,证明: (1) ?A?B222;
(2) T?T2.T?T*T?T***,B?证 (1) 由A?及TT?TT得 22iA2?B2(2) 22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT*****44?A2?B2?TT*?T.2??T2?T2?TT**2?T4?T2?T2.证毕.16. 证明:A是实内积空间X上自伴算子时,A?0的充要条件为对所有x?X,成立Ax,x?0.证 [必要性] A?0时, 对所有x?X,当然成立Ax,x?0; [充分性] 若对?x?X,Ax,x?0.则对?x,y?X,Ax,y?1?A?x?y?,x?y?A?x?y?,x?y????0, 4由y的任意性,知Ax?0.又由x的任意性,得A?0.证毕.
17. 设U是Hilbert空间L?0,2??中如下定义的算子:2?Uf??t??eitf?t?,证明U是酉算子.证 对?f,g?L?0,2??,有2f?L2?0,2??,2?0,g??2?0eitf?t?gtdt??f?t?e?itgtdt.因此,若定义V:?Vg??t??e?itg?t?,则,g?f,Vg,即V?U*.而?U*U?f?t??eite?itf?t??f?t?,因此U*U?I,同理可得UU*?I,即U是酉算子.证毕.18. 设?是平面上有界L可测集,L???表示?上关于平面L测度平方可积函数全体,对每个f?L???,定义22?Tf??z??zf?z?,z??,证明T是正常算子.证 设g?L???,定义L???上算子S:?Sg??z???z?,z??,对?f,g?L???,222Tf,g??zf?z??z?dz??f?z?zgzdz?f,Sg?T*?S.于是,对?f?L2???,??T*Tf?z???z??zf?z???z??TT*f?z?,由f的任意性得,TT*?T*T,即T是正常算子.证毕.2第十章习题解答1. 设X赋范线性空间,x1,x2,?,xk是X中k个线性无关向量,?1,?2,?,?k是一组数,证明:在X上存在满足下列条件:(1)f?xi???i,i?1,2,?,k;(2)f?M的线性连续泛函f的充要条件为:对任何数t1,t2,?,tk,?t?ii?1ki?M?txi?1kii.证 [必要性] 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则?t?ii?1ki?k?f?tx??iii?1kiikf??txi?1kii?M?txi?1kii.[充分性] 若对任意数t1,t2,?,tk,有k?t?i?1?M?txi?1ii,则令?k?kX0?span?x1,x2,?,xk?,对任意的,?tixi?X0,定义X0上的线性泛函f0:f0??tixi???ti?i.因?i=1?i=1i?1?k?f0??tixi???i=1?fX0?t?ii=1ki?M?txi=1kii,故f0是有界线性泛函.由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使?f0,且满足X(1)f?xi??f0?xi???i,i?1,2,?,k;(2)f?f0X0?M.证毕.2. 设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,x0?X,又d?x0,Z??0.证明存在f?X?满足条件:10当x?Z时,f?x??0; 2f?x0??d?x0,Z?;3 f?1.证 令M??x0?x???,x?Z??.在?x???d?x,ZM上定义泛函f0:f0??x00?,则(1)当x?Z时,f0?x??f0?0?x0?x??0?d?x0,Z??0; (2)f?x0??f?1?x0?0??1?d?x0,Z??d?x0,Z?; (3)对任意的?x0?x?M,则f0??x0?x???d?x0,Z???x0?故f1?x??x0?x,M?1;又对?x?Z,f0?x0??f0?x0?x??f0x0?x,由x的任意性,可得f0?x0??f0d?x0,Z?,而f?x0??d?x0,Z?,所以f0由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使fM?1.综上讨论知f0?f0且fXM?1.,故结论成立.M?f0M3. 证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.证 设?xn?n?1是X中的一列线性无关向量.记Mn?span?x1,x2,?,xn?,n?1,2,?.因?xn?n?1是线性无关的,故??xn?1?Mn,由上述习题2知,?fn?X?,使fn?1,fn?xn??d?xn,Mn?1?,fn在Mn?1上为零,n?1,2,?.只需证明?fn?n?1是X?中的线性无关的向量.事实上:若?Ki,i?1,2,?,n,使得??Kfi?1nii?,n,所以K1f1?x1??0,又?0,则有?Kifi?x1??0,因为fi?x1??0,i?2,3,i?1nf1?x1??0?K1?0.类似可证Kifi?xi??0?Ki?0,i?2,3,?,n.这样我们证明了X?中有无限多个线性无关的向量?fn?n?1,因此X?是无限维的.4. 证明Banach空间X自反的充要条件是X?自反.证 若X是Banach空间,则存在一个从X到X??的自然的等距同构映射JX:X?X??,若JX?X??X??,则称?X是自反的,其中JX是这样定义的,若f?X?,J?x??f??f?x?.为方便起见,记X到X??的自然的等距同构映射为J0,X?到X???的自然的等距同构映射为J1.我们要证明J0?X??X???J1?X???X???.若J0?X??X??.对任意F?X???,定义f?X?:若x?X,f?x??FJ0?x?.对?x?X,???J?f???J?x???J?x??f??f?x??F?J?x??,因J?X??X??,因此J?f??F,这就证明了J?X???X???.1 11反之,若J1?X???X???,而J0?X??X??.则存在F?X???,使F在J0?X?上恒为零,而F?1.但J1?X???X???,必有f?X?,使J1?f??F.对?x?X,f?x??J0?x??f???J1?f???J0?x???F?J0?x???0,所以,f?0,此与J1f?F?1矛盾.因此必有J0?X??X??.证毕.5. 设?1,?2,?,?n,?是一列数,证明存在?a,b?上有界变差函数g?t?,使?tndg?t???n,abn?0,1,2,?成立的充要条件是对一切多项式p?t???citi成立i?0n?c?ii?0ni?Mmaxp?t?,a?t?b其中M为常数.证 [充分性] 在C?a,b?的线性子空间P?pp是?a,b?上定义的多项式上定义线性泛函???ni?nf:f??cit???ci?i.由条件?i?0?i?0?c?ii?0ni?Mmaxp?t?可知f在P上是有界的.因为P在C?a,b?上稠密,所以,可a?t?b将f连续地延拓到C?a,b?(不妨仍记为f),这样f是C?a,b?上的连续线性泛函,且ft[必要性] 若存在有界变差函数g?t?,使b????,n?1,2,?.nn?batndg?t???n,n?0,1,2,?.定义C?a,b?上的有界线性泛函nf:f?x???x?t?dg?t?,则对每一多项式p?t???citi,有ai?0?c?ii?0ni?f?p??p?f?fmaxp?t?,a?t?b令M?f,则得到结论.证毕.
6. 设T为lp?p?1?中单向移位算子,即若x???1,?2,?,?n,???lp,则Tx?y??0,?1,?2,?,?n,??,求T.X解 若x???1,?2,?,?n,???l,f???1,?2,?,?n,???l,则pqTX?f??x??f?Tx???2?1??3?2????n?1?n??,所以TX?f????2,?3,?,?n,??.7. 举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉.2解 设X为l的线性子空间,x?X?除有限多个?i外其余?i皆为零.x???1,?2,?,?n,??.若??x???1,?2,?,?n,0,?,0,???X,定义X到X的线性映射Tm: Tmx??0,?,0,m?m,0,??,m?1,2,?,则Tm?m,m?1,2,?,supTm???,m对任一x???1,?2,?,?n,0,???X,当m?n时,有Tmx?0,因此supTmx?max?1x,?,Tnx????,m以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉. 8. 证明:在完备度量空间X中成立闭球套定理,即若Si?xd?x,xi???i,i?1,2,?,且S1?S2???Sn??,?i?0?i???,则存在唯一的x??Si;反之,若在度i?1???量空间X中成立闭球套定理,则X是完备度量空间.证 设X是完备度量空间,?Si?为一列闭球套.因为?i?0?i???,所以,对???0,?N???,当n,m?N时,有d?xn,xm???,因而?xi?是Cauchy列.设limxn?x0?X.n??因为S1?S2???Sn??,所以,当n?k时,xn?Sk,又Sk为闭集,所以limxn?x0?Sk.n??因此x0??Si?1?i.??下面证明?S??x?.若y??Si i?1i?1i,则0?d?x0,y??d?x0,xk??d?xk,y??2?k?0?k???,所以x0?y.反之,若X满足闭球套定理,?xi?是Cauchy列,则存在N1???,当m,m??N1时,d?xm,xm???1,记S1?xdx,xN1?12????.存在N2?N1,当m,m??N2时,d?xm,xm???1,记22,记?1?S2??xdx,xN2??,??2????.存在Nk?Nk?1,当m,m??Nk时,d?xm,xm???12k?1??Sk??xdx,xNk?k?1?,??.这样得到一列闭球?Sk?k?1,对任意的k和x?Sk,有2????dx,xNk?1?dx,xNk?dxNk,xNk?1?所以x?Sk?1?Sk?1?Sk,k?1,2,?.于是,由假设存在x???????111, ??2k?12k?12k?2k???Sk?1?k,且limxNk?x.因为?xn?是Cauchy列,limxNk?x?limxn?x.因此X为完备度量空间.证毕.k??n??9. 设y???1,?2,?,?n,??是一复数列,若对任何x???1,?2,?,?n,???C0,级数其中C0的定义见第八章题9.证 对每一个n,定义fn??C0??:x???1,?2,?,?n,???C0,fn?x???ii.因为i?1nnn?i?1?ii都收敛,证明:y?l,1nfn?x??n?i?1ii?sup?ii????ii?1i?1i?x,所以fn??C0??,且fn???i.设?i满足??ii?i,xn???1,?2,?,?n,??,则i?1fn?xn???i??i?xn?fn??i.i?1i?1i?1nnn由题设条件,对任意x?C0,fn?x?收敛,从而fn?x?有界,由一致有界性定理,?????fn有界,设fn?M,即??i?1ni?M,令n??,得?i?M???,也就是说y?l1.证毕.i?1p?10. 设f?t?是?a,b?上的L可测函数,p?1,若对一切g?L?a,b?,函数f?t?g?t?在?a,b?上的L可积,则f?Lq?a,b?,其中11??1. pq??f?t?,若f?t??n,证 令fn?t???n?1,2,?.则显然fn为?a,b?上的有界可测函数,若g?Lp?a,b?,定义若f?t??n.??n,Lp?a,b?上的泛函Fn:Fn?g???g?t?fn?t?dt,则Fn是Lp?a,b?上的有界线性泛函,且Fn?ab??bafn?t?dtq?1q.又因为fn?t?g?t??f?t?g?t??L?a,b?,由勒贝格控制收敛定理知,1n??limFn?g???f?t?g?t?dt.ab由一致有界性定理,存在M?0,使得suFpn?M???,即n??bafn?t?dtq?1q?M.因为fn??t??n1f??,t?n?ft???f?t?,由?nLevi定理,得ba??所以,f?L?a,b?.证毕.qfn?t?dtq?1q?limn????bafn?t?dtq?1q?M,11. 证明盖尔范德(ГелЬфанд)引理:设X是Banach空间,p?x?是X上泛函,满足条件:1p?x??0;2??0时,p??x???p?x?;3p?x1?x2??p?x1??p?x2?;4当x?X,xn?x?n??? 00时,limp?xn??p?x?.证明:必有M?0,使对一切x?X,成立p?x??Mx.n??证 先证对任意的M?0,xp?x??M是X中的闭集.事实上,若?xn??xp?x??M,n??????limxn?x,则p?x??p?xn?,所以x?xp?x??M,即xp?x??M是闭集.n??????记Xk?xp?x??k,k?1,2,?,则X????Xk?1?k,由Baire纲定理,存在某Xk,使Xk在某一小球O?xd?x,x0?????中稠密.因为Xk是闭集,故O?Xk.对X中的任意x?0,x0???x和x0?x在O中,所以2x2x??p?x0??2x????x??k,p?x0???2x???x??k,因此 ?????p?x??x???????p?x0?x???2x??????p?x0?x??2k, ?2x???这样p?x??2k?x,取M?2k?,则p?x??Mx.证毕.12. 设Tn?B ?X?Y??n?1,2,??,其中X是Banach空间,Y是赋范线性空间,若对每个x?X,?Tnx?都收敛,令Tx?limTnx.证明:T是X是到Y中有界线性算子,并且T?limTn.n??n??证 因为对每个x?X,?Tnx?收敛,从而{Tnx}有界.由一致有界定理,存在M?0,supn?nM???.若定义Tx?limTnx,则易证T是线性的,且Tx?limTnx?limn?x,所以T是有界的,且T??limTn.n??n??n??n??证毕.13. 设X是可分的Banach空间,M是X?中有界集,证明M中每个点列含有弱*收敛子列.证 设?fn??X?,由M的有界性知,存在K?0,fn?K,n?1,2,?.设?xn?是X中的可数稠密子集.考察有界数列fn?x1????n?1.由Weierstrass定理,存在收敛子列f1,n?x1??fn?x1?.同理f1,n?x2?也有收敛子列f2,n?x2?.一????????般地,若已有子列fk,n?xk?收敛,考察fk,n?xk?1?,由数列的有界性知,存在收敛子列fk?1,n?xk?1?我们用对角线法则,取泛函列fk,k?????????n?1,?.?????fn?n?1,?fk,k?在稠密子集?xn?上点点收敛.事实上,由定义,对任意k?1???i,?fi,n?xi??n?1是收敛的,而?fk,k?k?i是?fi,n?n?1的子列,因此?fk,k?xi??k?1也是收敛的,即?fk,k?在?xn?上点点收敛.由第十章第5节的定理1知,?f?弱*收敛.证毕.k,k14. 证明:空间C?a,b?中点列?xn?弱收敛于x0的充要条件是存在常数M,使得xn?M,n?1,2,?,并且对任何的t??a,b?,成立limxn?t??x0?t?.n??证 [充分性] 若?M?0,使xn?M,n?1,2,?,且对?t??a,b?,成立limxn?t??x0?t?,则设f是C?a,b?上任一n??有界线性泛函,由第十章第2节的Riesz表示定理,存在有界变差函数g,使f?x???x?t?dg?t?.因为abxn?M,n?1,2,?,由勒贝格控制定理,limn??n???baxn?t?dg?t???x?t?dg?t?,ab即limf?xn??f?x0?,因此?xn?弱收敛于x0.[必要性] 设?xn?弱收敛于x0.因为弱收敛点列必为有界点列,因此, ?M?0,使xn?M,n?1,2,?.对?t??a,b?,定义C?a,b?上泛函ft:ft?x??x?t?.因x?t??maxx?t??x,所以ft是C?a,b?上有界线性泛函.?xn?弱收敛于x0,即a?x?bft?xn??ft?x0??n????xn?t??ft?xn??ft?x0??x0?t??n???,即xn?t??x0?t??n???.证毕.15. 设X是赋范线性空间,M为X的闭子空间,若M中有点列?xn?弱收敛于x0,那么必有x0?M. 证 若x0?M,则d?x0,M??0,由本节的第2题知,存在f?X?,满足条件: (1)f在M上恒为零; (2)f?x0??d?x0,M?; (3)f?1.由于?xn??M,所以f?xn??0?f?x0??limf?xn??0,此与f?x0??d?x0,M??0矛盾.证毕.n??16. 证明:lp?p?1?中点列xn???1?n?,?2?n?,??,n?1,2,?,弱收敛于x???1,?2,???lpn??的充要条件为nsupxn???,且对每个k,lim?k????k.nq证 [充分性] 设xn?M,n?1,2,?,对?f?l,设f???1,?2,??,对???0,确定k0,使k?k0?1??kqk0?????n????.然后确定N,使当n?N时,有??k??kk?,这样, ?2M?x?2k?1??qf?xn??f?x?????k?11p??n?k??k?k???k??kk?k?11q?k0?n?k?k0?11q???k?k??n?k?k0?1???k?k ?????q?q??n?p???????k??M?x????.?????k???k?2?k?k0?1222??k?k0?1??k?k0?1?????因此,?xn?弱收敛于x.??[必要性] 若?xn?弱收敛于x,则由一致有界性定理,supxn???.对任一k,令fk??0,?,0,1,0,??,则?????nk?1个??nnfk?lq,且fk?xn??fk?x??n???.因fk?xn???k??,fk?x???k,所以k,lim?k????k.n??17. 设X是线性空间,x1和x2是X上两个线性范数.若X按x1及x2都完备,并且由点列?xn?按x收敛于0,必有按x2也收敛于0.证明存在正数a和b,使ax1?x证 定义Banach空间X,?的.对?x0?0.若?xn?按?2?bx.?1?到Banach空间?X,n???2?的线性映射T:Tx?x??x?X?.由题设T在原点是连续1收敛于x0,则limxn?x0?0,由题设条件得limxn?x0n??12?0,即limTxn?Tx0n??2?0,这说明T在任一非零点也连续,因此T是有界的.又T是?X,??1?到?X,?2?上的一对一的映射,由逆算子定理,T也是有界的,故x令a?2?Tx2?T?x1,x??1x?T?1?x2,11?1,b?,则ax?x2?bx1.证毕.18. 设T是Banach空间X到赋范线性空间F中的线性算子,令Mn?xTx?nx,n?1,2,?,证明:总有Mn0在X中稠密.
证 因为X???Mn?1?n,X又是第二纲集,所以,必有MK在某一球O?x0,???xx?x0??内稠密.??对于任一x?X,x0??x?x和x0?都在O?x0,??中,所以存在xn,yn?Mk?O?x0,??,使 2x2xlimxn?x0?n???x2x,limyn?x0?n???x2x,不妨设xn?P,yn?P,n?1,2,?,其中P?x0??2?1.于是lim?yn?xn??n???xx,即limxn????yn?xn??x.而?xT???选取n0??x?yn?xn???K?yn?xn????2PK?x,2PK?,则??x.即对点列y?x?M?x?X,????n0?nn???x??y?x?nn???Mn0,使得??limxn????yn?xn??x.即Mn 在X中稠密.证毕.19. 用闭图像定理证明逆算子定理.证 设T为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界性线性算子.T?1的图像G?T?1????y,Ty?y?Y??1,若?y,Tn?1yn???y0,x0??n???,则yn?y0,T?1yn?x0?n???.设xn?T?1yn,则xn?x0,Txn?y0?n???.因为T连续,所以Tx0?limTxn?y0,即x0?T?1y0.这样,?y0,x0??G?T?1?.于是,我们证明了G?T?1?在Y?X中是闭集,故T?1是闭n??算子.再由闭图像定理,T是有界的,证毕.20. 设T为定义在复Hilbert空间X上的有界线性算子,若存在常数?0?0,使Tx,x??0x,x,则称T为?1的.证明:正定算子必有有界逆算子T,并且T?1?1?1?0.证 对x?X,Tx,x为实数,由第九章第5节定理1得T?T*.又由于Tx,x??0x,x,因此若Tx?0,则x,x?0,从而x?0.这样T是一一映射.*由第九章习题11知,R ?T?的闭包=N T???= N ?T??X,所以T的值域是稠密的.n???对?y0?X,?yn?Txn?R ?T??n?1,2,??,使limTxn?y0,因而?Txn?是X中的Cauchy列,故当n??,m??时,T?xn?xm??0.又xn?xm2?1?xn?xm?,xn?xm,因此?xn?是X中Cauchy列.设?0limxn?x0,于是y0?limTxn?Tx0.因此T是Hilbert空间X上的一一到上的有界线性算子,由逆算子定理,T有有n??n??界逆算子T.因为对任意的x?X,?1,x??0x,x,因此对任意的x?X,,即?0T?1x?x,T?1x.因此x?,从而TT?1x?2?0T?1?21,x?T?1?0x.由x的任意性得T?1?1?0.证毕. 第十一章
线性算子的谱1． 设X?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X。证明?(A)?[0,1]，且其中没有特征值。证明
当??[0,1]时，常值函数1不在?I?A的值域中，因此?I?A不是满射，这样???(A)。 反之若?[0,1]，定义算子R?:R??1x(t)。则由于?[0,1]，且 ??ta?t?bR?x?max因此R?是C[0，1]中有界线性算子。 11x(t)?x ??td(?,[0,1])易验证R?(?I?A)?(?I?A)R??I，所以??(A)。总之?(A)?[0,1]，若Af??f，则对任意t??，tf(t)??f(t，可推得。由于f(t)?C[0,，必有，所以A)f(t)?01]f(t)?0无特征值。证毕。2． 设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X.，证明 it?(A)?{???1}。e0I?Ax)t(?)e(0?e证明
对任意e0,(这样{???1}??(A)。反之，若??1，定义R?:(R?x)(t)?ititititititxt)。()因为常值函数1不在eI?A的值域中，因此e??(A)。001x(t)。类似第1题可证R?是有界线性算子，且??eitR?(?I?A)?(?I?A)R??I。即??(A)。 因此?(A)?{???1}。证毕。3． 设X?l,2Ax?A(x1,x2,?xn,?)?(x2,x3,?xn,?)，试求?(A)。解 对任意?，若??1，定义x??(1,?,?,?n,?)，显然x??l2,Ax??(?,?2,?,?n,?)??(1,?,?,?n,?)??x?，因此{???1}的内点都是A的点谱，由于?(A)是闭集，则{???1}??(A)。对任意x?A，显然Ax?x，因此A?1，所以?(A)?{???A?{???1}。 这样我们就证明了?(A)?{???1}。4． 设F是平面上无限有界闭集，{?n}是F的一稠密子集，在l中定义算子T： 2Tx?(x1,x2,?xn,?)?(?1x1,??nxn,?)则?n都是特征值，?(T)?F,F\{?n}中每个点是T的连续谱。证明 对任意n，en?(0,0,?,1,0,?)，其中1在第n个坐标上。由题设，Ten??nen，因此?n是T的特征值。又由于?(T)是闭集，所以{n}?F??(T)。 若??F，则d(?,F)?0。定义算子R?，若x?(x1,x2,?xn,?)?l2，R?x?(111x1,x2,?,xn,?)???1???2???n易验证R?x?1x，且R?(?I?T)?(?I?T)R??I。d(?,F)因此?(T)?F。若??F?{?n}，且x?(x1,x2,?xn,?)?l，使Tx??x。则对任意n，?xn??nxn。由于???n，则xn?0，2n?1,2,?。这样x=0，因此?不是特征值，而是连续谱。证毕。5． 设?为线性算子A的特征值，则?的n次根中至少有一个是算子A的特征值。n证明 设?是A的特征值，?的n次根为?1,?2,?,?n。存在x?0，使(A??I)x?0，则nn(An??I)x?(A??1I)(A??2I)?(A??nI)x?0。若(A??1I)x?0，则?1就是A的特征值，否则必有某i，(A??iI)(A??i?1I)?(A??1I)x?0，而(A??i?1I)(A??iI)?(A??1I)x?0， 则?i?1是A的特征值。证毕。?0??(A)，6． 设A为Banach空间X上的有界线性算子，又设{An}为X上一列有界线性算子，且limAn?A?0，n??证明当n充分大后，An也以?0为正则点。 证明
?0I?An??0I?A?(An?A)?(?0I?A)[I?(?0I?A)?1(An?A)]。?1当n充分大时，(?0I?A)(An?A)?1，这样 I?(?0I?A)(An?A) 是可逆的。此可逆性由本章§2定?1理1可证，又?0I?A也是可逆的。因此当n充分大后，?0I?An也可逆。证毕。7． 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当??A时，R??(A??I)???1n?0?An?n?1，R??1。 ??A证明 当??A时幂级数??n?01?Ann?收敛，因此级数??n?0?Ann?1必按算子范数收敛。(?I?A)?这就证明了(A??I)??1?Ann?1n?0????Ann?1n?0?(?I?A)???Annn?0????An?1n?1n?0??1 ??n?0?An??n?1， R????n?0Ann?1??n?0?An?n?11。
证毕。 ??A8． 设A为X上的有界线性算子，?,???(A)，则R??R??(???)R?R?。其中与R?,R?的意义同第7题。证明
在等式R??1?R??1?(?I?A)?(?I?A)两边左乘R?右乘R?得R?(???)R??R?((?I?A)?(?I?A))R??R??R?。因此R??R??(???)R?R?，证毕。9． 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明?(A*)?{???(A)}?(A)证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且(T*)?1?1?1?(T?1)*。 事实上，对任意x,y?H，?x,y???TTx,y???x,(T)*T*y?。这样?x,y?(T)*T*y??0对任意?1x?H成立，因此y?(T?1)*T*y恒成立，进而T*(T?1)*?I。同理T*(T?1)*?I。这一证明了T*也可逆，且(T?1)*?(T*)?1。 现在设??(A)，则A??I可逆，因此(A??I)*?A*?I也可逆，从而?(A*)。同理若??(A*)，则?(A)，这就证明了?(A*)?{???(A)}。证毕。10． 设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1到X3的全连续算子。证明
设{xn} 是X1 中有界点列。因为T1全连续，所以{T1xn}中必有收敛子列。我们记之为{T1xnk}。又因为T2有界，所以{T2T1xnk}也收敛，因此{T2T1xn}有收敛子列。这就证明了T2T1是全连续算子。证毕。 11． 设A是l2上线性算子，记en?(0,0,?????,0,1,0,??)，n?1个?Aek??ajkejj?1其中Aek?i??a2ij??，证明A是全连续的。,j?1?n?证明 若x?(x1,x2,?xn,?)，定义An:Anx?(?xkajk)ej：j?1k?1则An是有界秩算子，且(A?A2??2n)x?kjk j??n?1?xak?1?j???2?2(?n?1?xk)(k?1?ajk)k?1?2???a2jkxj??n?1k?1所以A?An??0(n??)。由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。 12． e2n的符号同第11题。作l上算子U。Ue1k?kek?1,k?1,2,?. 证明U是l2上全连续算子且?(U)?{0}。?2??证明
若x??x11iei?l，则Ux?i?1?xiei?1。令Unx?i?1i?xiei?1，则Un是有限秩算子，i?1i2?2(U?U2??1?x12?2??1n)x?i?x2 i?1ii?()?n?1ii?xi?n?1i?1i所以Un?U??0(n??)。这样U是有限秩算子Un的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证?(U)?{0}，只要证U无非零特征值。倘若??0，且?1x??xiei?l,Ux??x,?xiei?1???xiei。i?1i?1ii?12??11x2,?,xn,?)??(x1,x2,?xn,?)。 2n1则?x1?0,?xi?1?xi,i?1,2,?，由此可得xi?0,i?1,2,?。因此?不是U的特征值。证毕。 i即
(0,x1,13．设
(A?)(s)??10es?t?(t)dt，
求A的特征值和特征函数。10（提示：记 c?解
记c?1t?et?(t)dt
） s?e?(t)dt。设?为对应特征值?的特征函数，则A????，即ce0???。若??0，则??c?es。代入c的表达式：c??es0111esds，解得???e2sds?(e2?1)。因此非零特征值02?c??(e2?1)，特征函数为?(s)?c0es，其中c0为任意非零常数。若??0，则12?10es?(s)ds?0，特征函数{es}?为中任意非零函数。14． 积分算子的核为，K(s,t)??p(s)q(t)， kkk?1n其中{pk} 为线性无关的函数组，则其非零特征值?相应的特征向量e有形式
e?b?ck?1nkpk， ck 是常数。 若记
qij??aqi(x)pj(x)dx，则ck可由下式决定：?ck??cqi?1niik,k?1,2,?n。证明
A???baK(s,t)?(t)dt??nbna?p(s)q(t)?(t)dt kkk?1ba??(?qk(t)?(t)dt)pk(s)。k?1若?为A的特征值，?为对应的特征向量，则?(?k?1nbaqk(t)?(t)dt)pk(s)???(s)。即?(s)??ck?1nkpk(s)，其中ck?将?(s)???1baqk(t)?(t)dt。?ck?1nkpk(s)代入表达式得1bck???naqk(t)?cipi(s)dti?1bn?1??c?i?1iaqk(t)pi(t)dt?nq??i?11nik(t)ci。即?ck??qi?1ik(t)ci，k?1,2,?n。证毕。(i?j)。试求特征值和特征函数。b15． 在14题中，若qi(x)?pi(x),?pi,qj??0,解
采用14题的符号，因为?qi,pj??0,(i?j)，所以qij?0，(i?j)，qii??pi2(x)dx,i?1,2,?。a这样决定ck的方程组?ck??qikci,k?1,2,?n.。i?1n变为
(qkk??)ck?0，k?1,2,?n.。因此{qkk}k?1就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个qkk，其相应的特征函数为pk。显然由{p1,p2,?,pn}张成的有限维线性子空间M的正交补空间M中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16． 若K(s,t)?cos(s?t),??0?s,t??.，求积分算子K 的特征值和特征函数。解
cos(s?t)?cosscost?sinssint?cosscost?(isins)(isint),。令p1(t)?q1(t)?cost,p2(t)?q2(t)?isint, 可验证?p1,p2???cost*isintdt?0 ?q11??p12(t)dt? ??2,q22???sint*isintdt?? ??2。因此积分算子K有两个非零特值?1??2,?2???2。其中?1相应于特征函数为ccost，?2相应于特征函数为csint。如15 题，0相应的特征函数为{cost,sint}?中非零函数。17． 解方程。?(s)?2?? cos(x?s)?(s)ds?1解
K(x,s)?2cos(x?s)?2(cosxcoss?sinxsins)。 p1?q1?x,p2?q2?sinx,?1??2cos2xdx??, ?e1?x, ?2???2sin2xdx???, ?e2?x,??xx,e3,e4??为L2[0,?]的完全规范正交系，则由本章§5定理1，方程解为设??1?(s)?1???? 1xdxs?1???? xdxs???1,ek?ekk?3? ?4?sins???1ek,?ek。 ?(1??)k?3?但??1,ek?3k，因此 ?ek?14?1,e?e??1?1,e?e??e1,?e???kk1122k?3??inss所以??444sins?1sisn??(1??)???12是积分方程的解。 sin本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。 18． 解方程?(s)?3? xs?(s)ds?3x?2.。p1?q1?,2解K(x,s)?3xs, ??q11??3x2dx?8,e1? 。。 设?x,e2,e3,??为L[0,2]的完全规范正交系，由本章§5定理1， ?3?8??2?12?(s)?(3x????3x?2,ek?ek?1?80k?2?3??*4s???3x?2,ek?ek 7*8k?23??s?3s?2??3x?2,e1?e1 1423??s?3s?2??x?2)xdx 14因此?(s)?97s?2为本积分方程的解。0?97s?2
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