已知直线l为x y 8:y=x+1与椭圆q:ax+y2=2(a>1)交于a、b两点,以ab为直径的圆过原点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-21 13:14 标签： 斜率为1的直线l与椭圆
直线l：y=mx+1与椭圆c：ax^2+y^2=2交于A、B；两点,以OA、OB为邻边做平行四边形OAPB.（o为原点）.（1）当a=2时,求点p的轨迹方程.（2）当a,m满足a+2m^2=1,且记平行四边形OAPB的面积函数S(a）,求证2小于S(a）小于4 允儿0002106 （一）易知,a＞0.联立直线L与椭圆C的方程,得：(m²+a)x²+2mx-1=0.可设点A(x1,mx1+1),B(x2,mx2+1),P(x,y).故由题设及韦达定理知,x1+x2=-2m/(m²+a).且x=x1+x2=-2m/(m²+a),y=m(x1+x2)+2=2a/(m²+a).当a=2时,点P的坐标为x=-2m/(m²+2),y=4/(m²+2).消去参数m,得点P的轨迹方程：2x²+(y-1)²=1.(0＜y＜1).【注：因y=4/(m²+2),m∈R,故0＜y＜2】（二）因2m²+a=1,且a＞0,故0≤2m²＜1.===>-√2/2＜m＜√2/2.此时直线与椭圆的联立方程为(1-m²)x²+2mx-1=0.解该方程得：x1=1/(m-1),x2=1/(m+1).故点A(1/(m-1),(2m-1)/(m-1)),点B(1/(m+1),(2m+1)/(m+1)).由三角形面积的行列式公式可得四边形OAPB的面积S(a)=2/(1-m²).因0≤m²＜1/2,故2≤S(a)＜4. 为您推荐： 其他类似问题 把y=mx+1代入2x^2+y^2=2求出XA+XB=-2m/(2+m^2)YA+YB=4(2+m^2)AB的中点即OP的中点 又因为O为原点所以P(XA+XB,YA+YB)令X=XA+XB,Y=YA+YB相除的m=-2X/Y 在代入Y=YA+YB整理得:Y^2+X^2+2Y=02,椭圆则a=1-2m^2>0

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