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已知函数f(x)=13x3-ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟
（I）∵f'（x）=x2-a，当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意&&&&&&&&&&&&（II）&当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．当a＞0时，令f'（x）=x2-a=0，x1=-a，x2=a，当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(a，1)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=a处取得最小值f(a)=1-2aa3．当a≥1时，a≥1，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值f(1)=43-a．综上所述：当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．当0＜a＜1时，f（x）在x=a处取得最小值f(a)=1-2aa3．当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值f(1)=43-a．（III）因为?m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x2-a≠-1对x∈R成立，只要f'（x）=x2-a的最小值大于-1即可，而f'（x）=x2-a的最小值为f（0）=-a所以-a＞-1，即a＜1．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=13x3-ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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函数取极值的必要条件是函数在点x0可偏导并取得极值
还有一句话说 极值点不一定可偏导，那为什么必要条件里说要可偏导呢？
我有更好的答案
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在某一点取得极值的定义是：在该点的邻域内处处有确定的值存在，但该点对应的值最大或者最小，称为极值；由此可见，极值存在，并不代表该点导数一定存在；也就是说，取得极值的点不一定导数存在（对于多元函数就是，极值点不一定可偏导）；对于本身连续可偏导的函数，取得极值就意味着，该点一阶偏导数必为0；
那我说的那个必要条件不是错了？
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出门在外也不愁第六章 第六节 多元函数的极值及其求法_中华文本库
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第八节 二元函数的极值 一、 二元函数的极值 1． 定义 ． 2． 极值存在的必要条件： ． 极值存在的必要条件： 定理：如果函数
f ( x, y )
(x0 , y0 ) 处有极值，且两个一阶偏 处有极值，
导数存在， 导数存在，则有
f x′( x0 , y0 ) = 0
驻 点 ： 满 足
f y′ ( x0 , y0 ) = 0
f x′( x0 , y0 ) = 0
f y′ ( x0 , y0 ) = 0 的点
驻点可能是极值点， 注：驻点可能是极值点，极值点不 一定是驻点， 一定是驻点，极值点有可能是偏导 数不存在的点。 数不存在的点。 的点
例1求 例2求 的极值
f ( x, y ) = x + y
f ( x, y ) = R
f ( x, y ) = y
否有极值。 否有极值。 注：驻点不一定是极值点。 驻点不一定是极值点。 3． 极值存在的充分条件： ． 极值存在的充分条件： 定理 如果函数
f ( x, y )
(x0 , y0 ) 的某一邻域内有连续的二阶 偏导数， 是它的驻点， 偏导数，且 ( x0 , y0 ) 是它的驻点，设 ′′ f xx ( x0 , y0 ) = A ′′ f xy ( x0 , y0 ) = B
′′ f yy ( x0 , y0 ) = C
< 0且A < 0 ，则 极大值。 极大值。 ②
0 ，则 极小值。 极小值。
f ( x0 , y0 ) 是 f ( x0 , y0 ) 是
> 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 不是极值。 不是极值。 需另法判断。 ④
= 0 ，需另法判断。
③ 例 4 求函数
f ( x, y ) = y
的极值。 的极值。 注：极值的一般求法： 极值的一般求法： ①解方程组
f x′( x, y ) = 0
f y ( x, y ) = 0
求出一切驻点； 求出一切驻点； ② 对 每 一 个 驻 点 ， 求 出
′′ f xx ( x0 , y0 ) = A
′′ f xy ( x0 , y0 ) = B ′′ f yy ( x0 , y0 ) = C
③对每一驻点，由判别式法判断。 对每一驻点，由判别式法判断。 4．多元函数最值的求法 ：在实际应 ．多元函数最值的求法： 用中， 只有一个驻点， 即为所求的点。 用中， 只有一个驻点， 即为所求的点。 例 5 要造一个容量一定的长方体箱 子，问选择怎样的尺寸，才能使所用 问选择怎样的尺寸， 的材料最省？ 的材料最省？
例 6 某工厂生产两种产品 I 与 II， ， 出 售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品 I 与 y 单位的产品 II 的总 费用是： 费用是：
400 + 2 x + 3 y + 0.01 3 x 2 + xy + 3 y 2 (元)
求取得最大利润时， 求取得最大利润时，两种产品的产量 各多少？ 各多少？ 二、 条件极值与拉格朗日乘数法 无条件极值： 无条件极值：自变量 x 与 y 相互独立 条件极值： 条件极值：有约束条件 拉格朗日乘数法 （一）
g ( x, y ) = 0
z = f ( x, y )→ 函数
g ( x, y ) = 0 → 约束条件
①构造拉格朗日函数
F ( x, y , λ ) = f ( x , y ) + λ g ( x, y )
②解方程组
Fx′ = f x′ + λg ′ = 0 x
Fy′ = f y′ + λg ′y = 0
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已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0），(1)若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；(2)讨论f（x）的单调性；(3)证明：（n∈N*，e为自然对数的底数）。
题型：解答题难度：偏难来源：北京期末题
解：（1），∵x=0是f（x）的一个极值点，则，∴a=0，验证知a=0符合条件；（2），1）若a=0时，∴f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减；2）若，得当a≤-1时，对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；3）若-1＜a＜0时，由，∴，再令，可得，∴上单调递增，在上单调递减；综上所述，若a≤-1时，f（x）在上单调递减；若-1＜a＜0时，上单调递增，在上单调递减；若a=0时，f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减。（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在上单调递减，当x∈时，由，∴，∴，∴。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0），(1)若f（x）在x=0处取得极值，求a..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的单调性与导数的关系，反证法与放缩法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数的单调性与导数的关系反证法与放缩法
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&反证法的定义：
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a&b,b&c，则a&c.
放缩法的操作：
若求证P&Q，先证P&P1&P2&…&Pn,再证恰有Pn&Q.需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn&Q.
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与“已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0），(1)若f（x）在x=0处取得极值，求a..”考查相似的试题有：
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