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数学分析选讲：习题解答（刘三阳）.pdf
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习题1-1（导数定义求极限）
1．计算下列极限 1 sin x?sin a
（1）lim n[ 1 +
0 （2）lim n→∞ n x→a sin x?a m
（3） 为自然数 （4） ? n
? n， . lim ,
, lim 2 a 1 m n a
?1 n→∞ x x a x
（5）lim a
. （6） lim a x ?aa a
x?a x→a a ? x 10 10 k
sin lim[ ? ]
（7） . （8） n ， 为自然数. lim ∑
m?1 m x→0 sin x n→∞ i 1
p 1+ ?1 p p?1 n ′
解 （1）原式
p. n→∞ n sin x?sin a
（2） 原式 lim ? cos a. x→a x?a sin x?a m x?1 x?1 n 3
原式 lim ? . x→1
2 n 1 ln[1 2
n 1 （4） 原式 lim n
2 ln a 2 . e e e e
e n→∞ n→∞ n→∞
（ 5 ） 原 式 x
x ?a x ′ a ′ a a?1
a lim[ ? ]
a ln a?a?a
? ? x a x a a
（6） 原式 a . lim a ?ln a x
a x→a a ? x
（ 7 ） 原 式 1
1 + x ? ? x ? 9 9 lim ?lim 10 1+t |t 0 +10 1+t
20 . x→0 tan x x→0 ?sin x i k m
m ?1 k n+i ?n n k k+1 （8）原式
lim ∑ m?1 ∑i?lim ∑i?m
m . n→∞ i 1 n i 1
n→∞ i i 1 2 n f x +h
+ f x ?h 2．设
在 处二阶可导，计算 0 0 0 . f x x lim 0 2 h→0 h xf x
? x f x 3．设 ′ 存在，计算 0 0 . f
x lim 0 x→x 0 x? x 0 xf x ? x f x + x f x ? x f x
0 x→x 0 x? x 0 xf x
? x f x x f x
? x f x f x
? f x lim 0 0
? x ?lim 0 0
0 x→x x→x x→x 0 x? x 0 x? x 0
x? x 0 0 0 ′ f x x f
0 0 f x 1 a 0 ′ lim[ ]ln x?ln a
存在，计算 。 x→a f a ln f
x?a ? [ln f t ]′
′ ln x?ln a x?a
ln x?ln a t a
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[三角函数积分公式]史上最全的数学微积分公式+三角函数+定理 三角函数积分公式
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高等数学公式导数公式：(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna(logax)??基本积分表：(arcsinx)??11xlna?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?sin2x??cscxdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?n?1In?2n???x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22三角函数的有理式积分：2u1?u2x2dusinx?，　cosx?，　u?tg，　dx?21?u21?u21?u2一些初等函数： 两个重要极限：ex?e?x双曲正弦:shx?2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x三角函数公式： ?诱导公式：limsinx?1x?0x1lim(1?)x?e?2.045...x??x?和差角公式： ?和差化积公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1ctg(???)?ctg??ctg?sin??sin??2sin???22??????sin??sin??2cossin22??????cos??cos??2coscos22??????cos??cos??2sinsin22cos????倍角公式：sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1ctg2??2ctg?2tg?tg2??1?tg2??半角公式： sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??1?3tg2?sintg?2?????cos??1?cos?　　　　　　　　　　　　cos??2221?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin???　　ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos??2?正弦定理：abc???2R ?余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC?反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx　　　arctgx??2?arcctgx高阶导数公式――莱布尼兹（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)?F(b)?F(a)F?(?)曲率： 当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?????:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?sy????d? M点的曲率：K?lim??.23?s?0?sds(1?y?)直线：K?0;1半径为a的圆：K?.a定积分的近似计算：b矩形法：?f(x)?abb?a(y0?y1???yn?1)nb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n 梯形法：?f(x)?ab抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：功：W?F?s水压力：F?p?Am1m2,k为引力系数 2rb1函数的平均值：y?f(x)dxb?a?a引力：F?k12f(t)dt?b?aa空间解析几何和向量代数： b空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i???c?a?b?axbxjaybykaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bzaybycyazcz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时， ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0xyz3???1abc平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2?x?x0?mtx?xy?y0z?z0??0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面：x2y2z212?2?2?1abcx2y22??z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z22?2?2?1abcx2y2z22?2?2?（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]?????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?vdx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0?????xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组：　　　J????GG(x,y,u,v)?0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)微分法在几何上的应用： ?F?v?Fu?GGu?vFvGv?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)??f??f?i?j?x?y???f??它与方向导数的关系是?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f是gradf(x,y)在l上的投影。?l?多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：?AC?B?0时，　　　　　　无极值?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???重积分及其应用：??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z?f(x,y)的面积A???D??z???z??1?????dxdy????x???y?22平面薄片的重心：?Mx?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD,　　?MyM???y?(x,y)d?D???(x,y)d?DD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?(x?y?a)2222Fy?f??3D?(x,y)yd?(x?y?a)2222Fz??fa??3D?(x,y)xd?(x?y?a)22322柱面坐标和球面坐标：?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)r??2sin?drd?d???d??d?00?F(r,?,?)r02sin?dr重心：?1M???x?dv,　　???1M????y?dv,　　?1M???z?dv，　　其中M??????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv?曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]?2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为?，则：y??(t)???P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：??(D?Q?P?Q?P?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy???x?y?x?yLDL?Q?P1当P??y,Q?x??2时，得到D的面积：A???dxdy?xdy?ydx?x?y2LD?平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！?二元函数的全微分求积：在?Q?P＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?yu(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y)]?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy?????Dxy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：???R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；?Dxy??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；?Dyz??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式：???(??P?Q?R??)dv?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义――通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv?Ands?????斯托克斯公式――曲线积分与曲面积分的关系：??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?dzdxdxdycos????????y?z?x?QRPcos???yQcos???zRdydz?上式左端又可写成：???x?P?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无????y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?Pdx?Qdy?Rdz?A?tds??常数项级数：1?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n 等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n2n?1级数审敛法：1、正项级数的审敛法――根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limn，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???limsn存在，则收敛；否则发散。n??交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法――莱布尼兹定理：??un?un?1如果交错级数满足?，那么级数收敛且其和s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。limu?0??n??n绝对收敛与条件收敛：(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(?1)n调和级数：?n发散，而?n1　　级数：?n2收敛；?１时发散1　　p级数：?npp?1时收敛幂级数：1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时，R?a求收敛半径的方法：设limn?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0函数展开成幂级数： ?f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数：m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??　　　(?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1??　　　(???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式：?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数：a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。傅立叶级数： ?a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx　　　????其中???b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835　111?2?2?2???224246正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2????2?2?2????f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b0nsinnx是奇函数???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a0??ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1lll?1n?xdx　　　(n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?微分方程的相关概念：一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：dy1?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程： P(x)dxdx?C)e??P(x)dx如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y) ?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x) 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型考研数学知识点-高等数学一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）y= （2）y=连续， 则公式1．limsinx=1x→0xnu∫xf(t)dt，其中f(t)连续，则x12dy=f(x) dx∫?()f(t)dt，其中?(x)，?(x)可导，f(t)1?2(x)?1??1?公式2．lim?1+?=e；lim?1+?=e；n→∞u→∞?n??u?lim(1+v)=ev→01vdy′(x)?f[?1(x)]?1′(x) =f[?2(x)]?2dx2．两个无穷小的比较4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）f(x) 设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim=l gx （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以x2xn当x→0时，e=1+x++Λ++0xn2!n!x()(f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以x3x5x2n+1nsinx=x?++Λ+(?1)+0x2n+12n+1!3!5!)2nx2x4nxcosx=1?+?Λ+(?1)+0x2n2n!2!4!()nx2x3n+1xln(1+x)=x?+?Λ+(?1)+0xn23n()(f(x)~g(x)3．常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x2n+1x3x5n+1xarctanx=x?+?Λ+(?1)+0x2n+1352n+1)(1+x) α=1+αx+α(α?1)x2+Λ+α(α?1)Λ[α?(n?1)]xn+0(xn)2!n!6．洛必达法则 法则1．（1?cosx~12x，ex?1~x，ln(1+x)~x，2(1+x) α?1~αx型）设（1）limf(x)=0，limg(x)=0 0二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正整数），则limxn=A存在，且A≥mn→∞（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在f′(x)=A（或∞） （3）limg′x 则limf(x)=A（或∞） gxf′(x)不存在且不是无穷大量情形，则g′x （2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正整数），则limxn=A存在，且A≤Mn→∞（注：如果lim准则2．（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x) 若limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A 3．两个重要公式1不能得出limf(x)不存在且不是无穷大量情形）gx 法则2．（∞型）设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞ ∞Edited by 杨凯钧 2005年10月（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在考研数学知识点-高等数学f′(x) （3）lim=A（或∞） g′x 则lim值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)≤M，则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3．（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上则对于介于m连续，且其最大值和最小值分别为M和m，和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f(x)=A（或∞）gx 7．利用导数定义求极限f(x0+?x)?f(x0)=f′(x0) [如果 基本公式：lim?x→0?x存在]8．利用定积分定义求极限f(ξ)=c推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得1n?k?1基本公式 lim∑f??=∫f(x)dx [如果存在]0n→∞nk=1?n?三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点f(ξ)=0这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1．（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下：定义 设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数2(c)′=0 d(c)=0(x)′=α xαα?1（α实常数）dx()=α xαα?1dx（α实常数）(sinx)′=cosx dsinx=cosxdx (cosx)′=?sinx dcosx=?sinxdx (tanx)′=sec2x dtanx=sec2xdx (cotx)′=?csc2x dcotx=?csc2xdx (secx)′=secxtanx dsecx=secxtanxdx (cscx)′=?cscxcotx dcscx=?cscxcotxdx1(a&0,a≠1) xlnadx(a&0,a≠1) dlogax=xlna(lnx)′=1 dlnx=1dxxx(ax)′=axlna(a&0,a≠1)(logax)′=dax=axlnadx(a&0,a≠1)Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(e)′=exxde=edxxxψ′(t)存在，且?′(t)≠0，则1?x21?x2(arcsinx)′=(arccosx)′1?x21?xdarcsinx=dxdyψ′(t)= (?′(t)≠0)′dx?t二阶导数=?2darccosx=?dx11arctan= dxdx1+x21+x2(arccotx)′=?12 darccotx=?12dx1+x1+x(arctanx)′=?dy?d?dx?d2y??==dxdx2?dy?d??dx??1=ψ′′(t)?′(t)?ψ′(t)?′′(t)dxdt?′t3dt[ln(x+(x+a22)]=′1x+a1x2+a2225．反函数求导法则设y=f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且dlnx+x2+a2=)dxf′(x)≠0则 g′(y)=[ln(x+(x?a22)]=′1x?a1x?a222211(f′(x)≠0) =f′xf′gydlnx+x2?a2=2．四则运算法则)dx?1?d?f′x?d[g′(y)]???1 = 二阶导数g′′(y)=dydydxdx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x) [f(x)?g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)′′=?f′′(x)f′′[g(y)] (f′(x)≠0) =?33f′xf′gy′?f(x)?f′(x)g(x)?f(x)g′(x)= (g(x)≠0) ?2gx?gx?3．复合函数运算法则设y=f(u)，u=?(x)，如果?(x)在x处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[?(x)]在x处可导，且有6．隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y′的方法如下：把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允dydydu==f′[?(x)]?′(x) dxdudx许出现y变量）7．对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y=[f(x)]3g(x)对应地dy=f′(u)du=f′[?(x)]?′(x)dx由于公式dy=f′(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4．由参数方程确定函数的运算法则设x=?(t)，y=ψ(t)确定函数y=y(x)，其中?′(t)，常用的一种方法Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8．可微与可导的关系f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导。9．求n阶导数（n≥2，正整数） 先求出y′,y′′,Λ,总结出规律性，然后写出y用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）y=e yx（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则存在ξ∈(a,b)，使得(n)，最后f(b)?f(a)=f′(ξ) b?a或写成f(b)?f(a)=f′(ξ)(b?a) (a&ξ&b) 有时也写成f(x0+?x)?f(x0)=f′(x0+θ?x)??x(n)=ex（2）y=ax(a&0,a≠1) y(n)=ax(lna)n（3）y=sinx y(n)=sin??nπ??x+2??（4）y=cosx y(n)=cos???x+nπ?2?? (5) y=lnx y(n)=(?1)n?1(n?1)!x?n 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式[nu(x)v(x)](n)=∑Cku(k)n?k)n(x)v((x) k=0其中 Ckn!n=k!n?k!， u(0)(x)=u(x)，v(0)(x)=v(x)假设u(x)和v(x)都是n阶可导。 微分中值定理 一．罗尔定理 设函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)则存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0 二．拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足(0&θ&1)这里x0相当a或b都可以，?x可正可负。推论1．若f(x)在(a,b)内可导，且f′(x)≡0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2．若f(x)，g(x)在(a,b)内皆可导，且f′(x)≡g′(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数f(x)和g(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g′(x)≠0 则存在ξ∈(a,b)使得f(b)?f(a)gb?ga=f′(ξ)g′ξ (a&ξ&b) （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式f(x)=f(xf′(x0)f′′(x0)2f(n)(x0)n0)+!(x?x0)+2!(x?x0)+Λ+n!(x?x0)+Rn(x)14Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(x→x0)其中Rn(x)=0(x?x0) (x→x0)称为皮亚诺n的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点。[]余项。??Rn(x)?? lim?x→x0x?xn=0?0??前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2．必要条件（可导情形）设函数f(x)在x0处可导，且x0为f(x)的一个极值点，则f′(x0)=0。我们称x满足f′(x0)=0的x0为f(x)的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3．第一充分条件设f(x)在x0处连续，在0&x?x0&δ内可导，ex,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+x)（α为实常数）等的nα阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式f(x)=f(x)+f′(x0)(x?x)+f′′(x0)(x?x)2+Λ+0001!2!f(n)(x0)(x?x0)n+Rn(x)n!f(n+1)(ξ)(x?x0)n+1，（ξ在x0与x之 其中Rn(x)=n+1!间）称为拉格朗日余项。上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。当f′(x0)不存在，或f′(x0)=0。1° 如果在(x0?δ,x0)内的任一点x处，有f′(x)&0，而在(x0,x0+δ)内的任一点x处，有f′(x)&0，则f(x0)为极大值，x0为极大值点；2° 如果在(x0?δ,x0)内的任一点x处，有x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式。如果limRn(x)=0，那么泰勒公式就转化为泰勒级n→∞数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用：一．基本知识 1．定义设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的某一点，则如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f′(x)&0，而在(x0,x0+δ)内的任一点x处，有f′(x)&0，则f(x0)为极小值，x0为极小值点；3° 如果在(x0?δ,x0)内与(x0,x0+δ)内的任一点x处，f′(x)的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是极值点。4．第二充分条件设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f′(x0)=0，x(x≠x0)，总有f(x)&f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，称x0为函数f(x)的一个极大值点； 如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f′′(x0)≠0，则当f′′(x0)&0时，f(x0)为极大值，x0为极大值点。 当f′′(x0)&0时，f(x0)为极小值，x0为极小值点。5Edited by 杨凯钧 2005年10月x(x≠x0)，总有f(x)&f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)考研数学知识点-高等数学二．函数的最大值和最小值1．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点y=f(x)在(a,b)内是凸的。求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数f′′(x)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、…、xk；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。四．渐近线的求法 1．垂直渐近线若limf(x)=∞或lim?f(x)=∞ +x→ax→ax1,Λ,xk，其次计算f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b)。最后，比较f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。2．最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。三．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有则x=a为曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。 2．水平渐近线若limf(x)=b，或limf(x)=bx→+∞x→?∞则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。???x1+x2?1?x+x2?1()()[]f?1ffxfx&+??&[f(x1)+f(x2)]??12???2222??????则称f(x)在I上是凸（凹）的。在几何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y=f(x)是凸（凹）的。如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的。 2．拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数f′′(x)， 如果在(a,b)内的每一点x，恒有f′′(x)&0，则曲线f(x)=a≠0，lim[f(x)?ax]=b x→+∞x→+∞xf(x) 或lim=a≠0，lim[f(x)?ax]=b x→?∞x→?∞x若lim则y=ax+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。 五．曲率（数学一和数学二）设曲线y=f(x)，它在点M(x,y)处的曲率3．斜渐近线k=y′′21+(y′)，若k≠0，则称R=1为点M(x,y)处k的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D，使MD=R，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一．基本积分公式y=f(x)在(a,b)内是凹的；如果在(a,b)内的每一点x，恒有f′′(x)&0，则曲线6xα+11．∫xdx=+C (α≠?1，实常数)α+1αEdited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学2．1∫xdx=lnx+C1xx3．∫adx=a+C (a&0,a≠1)lnaxxedx=e+C ∫是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式： （1）∫f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b) a∫(a≠0)（2）fax+bx4．cosxdx=sinx+C 5．sinxdx=?cosx+C 6．secxdx=∫∫∫(∫n)n?1dx=1nnfax+bdax+b ∫na()()(a≠0,n≠0)（3）1∫∫2=tanx+C2f(lnx)dx=∫f(lnx)d(lnx) cosx 7．∫csc2xdx=∫1sin2x=?cotx+C 8．∫tanxsecxdx=secx+C 9．∫cotxcscxdx=?cscx+C 10．∫tanxdx=?lncosx+C 11．∫cotxdx=lnsinx+C 12．∫secxdx=lnsecx+tanx+C 13．∫cscxdx=lncscx?cotx+C 14．∫dxxa2?x2=arcsina+C (a&0) 15．∫dxa2+x2=1aarctanxa+C (a&0) 16．∫dx1aa2?x2=2aln+xa?x+C (a&0)17．∫dxx2±a2=lnx+x2±a2+C (a&0)二．换元积分法和分部积分法 1．第一换元积分法（凑微分法） 设∫f(u)du=F(u)+C，又?(x)可导，则∫f[?(x)]?′(x)dx=∫f[?(x)]d?(x令u=?(x)∫f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就7x（4）∫f??1??x?dx?1??1??x2=?∫f??x??d??x?? （5）∫fxdxx=2∫fx)dx) （6）∫f(ax)axdx=1lna∫f(ax)d(ax)(a&0,a≠1)∫f(ex)exdx=∫f(ex)d(ex)（7）∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)d(sinx) （8）∫f(cosx)sinxdx=?∫f(cosx)d(cosx) （9）∫f(tanx)sec2xdx=∫f(tanx)d(tanx)（10）∫f(cotx)csc2xdx=?∫f(cotx)d(cotx)11）∫f(secx)secxtanxdx=∫f(secx)d(secx) 12）∫f(cscx)cscxcotxdx=?∫f(cscx)d(cscx)13）∫f(arcsinx)?x2dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx) 14）∫f(arccosx)?x2dx=?∫f(arccosx)d(arccosx)15）∫f(arctanx)1+x2dx=∫f(arctanx)d(arctanx)16）∫f(arccotx)1+x2dx=?∫f(arccotx)d(arccotx) Edited by 杨凯钧 2005年10月（（（（（（考研数学知识点-高等数学（17）（∫1??f?arctan?1??1?x???dx=?farctandarctan???? ∫?x??x?1+x218）x2+a2dlnx+x2+a2?Al2?x?x02然后再作下列三种三角替换之一：∫flnx+x2+a2x+a22dx=∫f[ln(x+19)](())(a&0) （）x2?a2dlnx+x2?a2∫flnx+x2?a2x?a22dx=∫f[ln(x+)](())(a&0) （20）3．分部积分法∫f′(x)dx=lnf(x)+C (f(x)≠0) fx2．第二换元积分法 设设u(x)，v(x)均有连续的导数，则，若x=?(t)可导，且?′(t)≠0∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)?∫v(x)du(x) ∫∫∫f[?(t)]?′(t)dt=G(t)+C，则或u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)?u′(x)v(x)dx使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作∫f(x)dx令x=?(t)∫f[?(t)]?′(t)dt=G(t)+C=G[?(x)]+C?1v′(x)有一定规律。ax其中t=??1(x)为x=?(t)的反函数。（1）Pn(x)e，Pn(x)sinax，Pn(x)cosax情形，第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：Pn(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，每次均取eaxax+b第一类：被积函数是x与ax+b或x与或cx+d，sinax，cosax为v′(x)；多项式部分为u(x)。（2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsinx，Pn(x)arctanx情形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v′(x)，而lnx，由e构成的代数式的根式，例如ae+b等。只要令根式gx=t，解出x=?(t)已经不再有根式，那么就作这种变量替换x=?(t)即可。 第二类：被积函数含有如果仍令xxAx+Bx+C (A≠0)，2arcsinx，arctanx为u(x)，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （3）eaxAx2+Bx+C=t解出x=?(t)仍是根号，那sinbx，eaxcosbx情形，进行二次分部积分么这样变量替换不行，要作特殊处理，将A&0时先化为Ax?x0±l22，A&0时，先化为8法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学分法，使尽量多的因子和dx凑成一．定积分的概念与性质 1．定积分的性质 （1）（2）（ba1122x∈[a,b]称为变上限积分的函数定理：（1）若f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=在[a,b]上连续（2）若f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=∫f(t)dtax∫f(x)dx=?∫f(x)dxbaab∫aaf(x)dx=03bb1a12a2∫f(t)dt在ax）∫[kf(x)+kf(x)]dx=k∫f(x)dx+k∫f(x)dx（4）f(x)dx=[a,b]上可导，且F′(x)=f(x)推广形式：设F(x)=∫ba∫f(x)dx+∫f(x)dx（c也可以在[a,b]accb∫?()f(t)dt，?(x),?(x)可导，1?2(x)x12之外）（5）设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则f(x)连续，′(x) ′(x)?f[?1(x)]?1 则F′(x)=f[?2(x)]?22．牛顿一莱布尼兹公式设f(x)在[a,b]上可积，F(x)为f(x)在[a,b]上任意一个原函数， 则有∫baf(x)dx≤∫g(x)dxab（6）设a&b，m≤f(x)≤M(a≤x≤b)，则m(b?a)≤∫f(x)dx≤M(b?a)ab（7）设a&b，则∫baf(x)dx≤∫f(x)dxab∫babf(x)dx=F(x)=F(b)?F(a)a（8）定积分中值定理 设f(x)在[a,b]上连续，则存在（注：若f(x)在[a,b]上连续，可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明；若f(x)在[a,b]上可积，牛顿ξ∈[a,b]，使∫baf(x)dx=f(ξ)(b?a)定义：我们称1bf(x)dx为f(x)在[a,b]上的积∫ab?a一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂）三．定积分的换元积分法和分部积分法 1．定积分的换元积分法设f(x)在[a,b]上连续，若变量替换x=?(t)满足 （1）?′(t)在[α,β]（或[β,α]）上连续； （2）?(α)=a，?(β)=b，且当α≤t≤分平均值（9）奇偶函数的积分性质∫f(x)dx=0（f奇函数）?aa∫f(x)dx=2∫f(x)dx（f偶函数）?aaaβ时，（10）周期函数的积分性质 设f(x)以T为周期，a为常数，则a≤?(t)≤b，则∫baf(x)dx=∫f[?(t)]?′(t)dtαβ∫a+Taf(x)dx=∫f(x)dxT2．定积分的分部积分法 设u′(x),v′(x)在[a,b]上连续，则b′()()()()=?∫u′(x)v(x)dx uxvxdxuxvx∫aaabb二．基本定理1．变上限积分的函数定义：设f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=∫xaf(t)dt，9或∫bau(x)dv(x)=u(x)v(x)a?∫v(x)du(x)babEdited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学定积分的应用一．平面图形的面积 1．直角坐标系 模型I S1=∫[y(x)?y(x)]dxa21b其中y2(x)≥y1(x)，x∈[a,b] 模型II S2=∫[x(y)?x(y)]dyc21d二．平面曲线的弧长（数学一和数学二）1．直角坐标系设光滑曲线y=y(x)，(a≤x≤b)[也即y(x)有连续的导数] 弧长S=其中x2(y)≥x1(y)，y∈[c,d]∫ba+y′xdx22而dS=+y′xdx也称为弧微分2．构坐标系模型I S1=2．构坐标系设光滑曲线r=r(θ)，(α≤θ≤有连续导数]弧长S=22′′+rθrθdθ ∫αβ)[r(θ)在[α,β]上1β2r(θ)dθ ∫α21β22模型II S2=∫r2(θ)?r1(θ)dθ2αβ[]3．参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线C??x=x(t)(α≤t≤β)[x(t)，y(t)在?y=y(t)[α,β]上有连续的导数]曲线C的弧长S=22′′+xtytdt ∫α3．参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程β?x=?(t)，?()y=tψ?三．特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分）1．已知平行截面面积的立体体积设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面(α≤t≤β)?(α)=a，ψ(β)=b，?(t)在[α,β]（或z=c和z=d所围成，z轴每一点z(c≤z≤d)且垂直于[β,α]）上有连续导数，且?′(t)不变号，ψ(t)≥0且连续，则曲边梯形面积（曲线C与直线x=a,x=b和x轴所围成） S=z轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数，则立体体积 V=d∫S(z)dzc∫baydx=∫ψ(t)?′(t)dtαβ2．绕坐标轴旋转的旋转体的体积（1）平面图形由曲线y=y(x)(≥0)与直线x=a，x=b和x轴围成绕x轴旋转一周的体积10Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学Vx=π∫bay2(x)dxbVx=2π∫dcyx(y)dy绕y轴旋转一周的体积 Vy=2π∫xy(x)dxa四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）设平面曲线C=∩位于x轴上方，它绕x轴一周所（2）平面图形由曲线x=x(y)(≥0)与直线y=c，y=d和y轴围成绕y轴旋转一周的体积 Vy=πdAB得旋转曲面的面积为S。∫cx2(y)dy绕x轴旋转一周的体积1．设AB的方程为y=y(x)(a≤x≤b) 则S=2π∩通解dy∫Qy=∫P(x)dx+C∫bay(x)+y′xdx2（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：2．设AB的极坐标方程为r=r(θ)，(α≤θ≤ 则S=2π∩β)M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0通解∫αβr(θ)sinθr′θ2+r′θ2dθM1(x)N2(y)dx+∫M2x∫N1ydy=C∩3．设AB的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，(M2(x)≠0,N1(y)≠0)2．变量可分离方程的推广形式(α≤t≤β)则S=2π（1）齐次方程∫αβy(t)x′t+y′tdt22dy?y?=f?? dx?x?常微分方程二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程令y=u， xdydu 则=u+x=f(u)dxdxdy（1）方程形式：=P(x)Q(y)dx(Q(y)≠0)11∫dudx=∫+c=ln|x|+cfu?uxEdited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学（2）dydx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u， 则dudx=a+bf(u)∫dua+bfu=∫dx=x+c（3）dy?a1x+b?dx=f??1y+c1??a2x+b2y+c2? ?①当?=a1b1a2b≠0情形，先求出2??a1x+b1y+c1=0?a2x+b2y+c的解(α,β) 2=0 令u=x?α，v=y?β?v 则dvdu=f???ab?a?1v???af?1+b1?1u+?属于齐次2u+b2v??=???av?2+b2u??方程情形 ②当?=a1b1a=0情形，2b2令a2b2a==λ 1b1则dy=?a1x+b1y+c1?dxf??λax+by+c? ?112??令u=a1x+b1y， 则du=ady?u+c1?dx1+b1dx=a1+b1f??λu+c??2? ?属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程dydx+P(x)y=0它也是变量可分离方程，通解公式y=Ce?∫P(x)dx，（c为任意常数）2．一阶线性非齐次方程dydx+P(x)y=Q(x) 用常数变易法可求出通解公式 令y=C(x)e?∫P(x)dx代入方程求出C(x) 则得y=e?∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]3．贝努利方程dydx+P(x)y=Q(x)yα(α≠0,1) 令z=y1?α把原方程化为dzdx+(1?α)P(x)z=(1?α)Q(x) 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程：dydx=1Qy?Pyx可化为dxdy+P(y)x=Q(y) 以y为自变量，x为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。四．全微分方程及其推广（数学一） 1．全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，满足?Q?x=?P?y通解：u(x,y)=C，其中u(x,y)满足du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 求u(x,y)的常用方法。第一种：凑全微分法P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Λ=du(x,y)把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。（1）xdx+ydy=d??x2+y2??2???； ? （2）xdx?ydy=d????x2?y2??2?； ?12Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学（3）ydx+xdy=d(xy)； （4）ydx+xdyxy=d(lnxy)；（5）xdx+ydy?12x2+y2=d??2ln(x+y2)???； （6）xdx?ydy?12?x2?y2=d??2ln(x?y2)??；（7）xdy?ydx?y?x2=d??x??；（8）ydx?xdy?y2=d??x?y?； ???（9）ydx?xdy??x?x2+y2=d??arctany??； ?（10）xdy?ydxy?x2+y2=d???arctanx??； （11）ydx?xdy?1xx2?y2=d???y??2lnx+y??； ? （12）xdy?ydx?1x2+y2=d???2lnx+y?x?y??； ? （13）xdx+ydyx2+y2=d?????11?22x2+y2??；? （14）xdx?ydyx2?y22=d???11???2x2?y2??；?（15）xdx+ydy1+x2+y22=d??1?2arctan(x2+y2)???；（16）xdx?ydy1+x2?y2=d??1?2arctan(x2?y2)?2??；第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）u(x,y)=u(x0,y0)+∫(x,y)(x0,yP(x,y)dx+Q(x,y)dy0)=u(x0,y0)+∫xxP(x,y)dx+y∫yQ(x,y)dy第三种：不定积分法 由?u?x=P(x,y)得 u(x,y)=∫P(x,y)dx+C(y)对y求导， 得Q(x,y)=?u??y=?y[∫P(x,y)dx]+C′(y)，求出C′(y)积分后求出C(y)2．全微分方程的推广（约当因子法）设P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0不是全微分方程。 不满足?Q?P?x=?y但是存在R(x,y)使得R(x,y)P(x,y)dx+R(x,y)Q(x,y)dy=0为全微分方程， 也即满足?[RQ]?[RP]?x=?y则R(x,y)称为约当因子， 按全微分方程解法仍可求出R(x,y)P(x,y)dx+R(x,y)Q(x,y)dy=du(x,y)通解u(x,y)=C。这种情形，求约当因子是关键。特殊的高阶微分方程13Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学一．可降阶的高阶微分方程二．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0 （1）二阶非齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x) （2）1．若y1(x)，y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1(x)+C2y2(x)（C1，C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y1(x)≠λy2(x)（λ为常数），也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)2．若y1(x)，y2(x)为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1(x)?y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y(x)为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则x)+y(x)为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x)+C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1，C2为独立的任意常数）则y=x)+C1y1(x)+C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设y1(x)与y2(x)分别是y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)与y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)的特解，则y1(x)+y2(x)是y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解。三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程 y′′+py′+qy=0 其中p，q为常数， 特征方程λ2+pλ+q=0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当?=p2?4q&0，特征方程有两个不同的实根λ1，λ214Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学则方程的通解为y=C1e2λ1x+C2eλ2x通解：y=+C1y1(x)+C2y2(x)其中C1y1(x)+C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？（2）当?=p?4q=0，特征方程有二重根λ1=λ2则方程的通解为y=(C1+C2x)e2λ1x我们根据f(x)的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的f(x)的形式和相对应地的形式如下： 1．f(x)=Pn(x)，其中Pn(x)为n次多项式 （1）若0不是特征根，则令（3）当?=p?4q&0，特征方程有共轭复根α±iβ，则方程的通解为y=eαx(C1cosβ x+C2sinβ x)2．n阶常系数齐次线性方程=Rn(x)=a0xn+a1xn?1+Λ+an?1x+an其中ai(i=0,1,2,Λ,n)为待定系数。（2）若0是特征方程的单根，则令=xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令=xRn(x)2y(n)+p1y(n?1)+p2y(n?2)+Λ+pn?1y′+pny=0其中pi(i=1,2,Λ,n)为常数。 相应的特征方程λ n+p1λ n?1+p2λ n?2+Λ+pn?1λ+pn=0特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有n个不同的实根λ 1,λ2,Λ,λn 则方程通解 y=C1eλ1x2．f(x)=Pn(x)e其中Pn(x)为n次多项式，α为αx实常数（1）若α不是特征根，则令=Rn(x)eαx+C2eλ2x+Λ+Cneλnx（2）若λ0为特征方程的k重实根(k≤n) 则方程通解中含有 C1+C2x+Λ+Ckx（2）若α是特征方程单根，则令=xRn(x)eαx(k?1)eλ0x（3）若α是特征方程的重根，则令=xRn(x)e2αx3．（3）若α±iβ为特征方程的k重共轭复根f(x)=Pn(x)eαxsinβ x或(2k≤n)则方程通解中含有f(x)=Pn(x)eαxcosβ x其中Pn(x)为n次多项式，α,β皆为实常数eαxC1+C2x+Λ+Ckxk?1cosβ x+D1+D2x+Λ+Dkxk?1sinβ x由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。四．二阶常系数非齐次线性方程方程：y′′+py′+qy=f(x) 其中p,q为常数[()()]（1）若α±iβ不是特征根，则令=eαx[Rn(x)cosβ x+Tn(x)sinβ x]其中Rn(x)=a0x+a1xnn?1+Λ+an?1x+anai(i=0,1,Λ,n)为待定系数 Tn(x)=b0x+b1xnn?1+Λ+bn?1x+bnbi(i=0,1,Λ,n)为待定系数15Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学（2）若α±iβ是特征根，则令?∩?? 3．数量积。a?b=ab?cos????a,b?=a1b1+a2b2+a3b3=xeαx[Rn(x)cosβ x+Tn(x)sinβ x]五．欧拉方程（数学一） xyn(n)+p1xn?1y(n?1)+Λ+pn?1xy′+pny=0，?∩?? 其中???为向量a,b间夹角?a,b?a?b为数量也称点乘。a?b表示向量a在向量b上的投影，即其中pi(i=1,2,Λ,n)为常数称为n阶欧拉方程。令x=et代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。注意下面变换公式：a?b=Prjba4．向量积a×b也称为叉乘。dydydtdy1dydydy==?=e?t=， x，dxdtdxdtxdtdxdt?∩?? a×b=absin????a,b?2d2ydtd?dy??td??tdy??2tdy?2tdy a×b的方向按右手法则垂直于a,b所在平面，且==eee=?e????dt?dt?dtdx2dxdt?dx?dt2ijka×b=a1a2a3 1?d2ydy?? =2?， ?2dt?x?b1b2b3??dtd2yd2ydyx=2? 2dtdxdt2a×b是向量，a×b=?b×a。a×b等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。5．混合积：定义(a,b,c)=(a×b)?c，坐标公式向量代数与空间解析几何三．向量的运算a=a1i+a2j+a3k={a1,a2,a3} b=b1i+b2j+b3k={b1,b2,b3} c=c1i+c2j+c3k={c1,c2,c3}(a,b,c)=a1b1c1a2b2c2a3b3 c3几何意义(a,b,c)表示以a,b,c为棱的平行大面体的体积。四．两向量间的关系设a={a1,a2,a3},b={b1,b2,b3}1．加法。a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3} 减法。a?b={a1?b1,a2?b2,a3?b3} 2．数乘。λα={λa1,λa2,λa3}（λ是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。16Edited by 杨凯钧 2005年10月二．平面及其方程 k1(A1x+B1y+C1z+D1)+k2(A2x+B2y+C2z+D2)=01．法（线）向量，法（线）方向数。与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n。法向量{m,n,p}的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2．点法式方程 已知平面π过M(x0,y0,z0)点，其法向量n={A,B,C}，则平面π的方程为 A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0 或n?(r?r0)=0其中r0={x0,y0,z0},r={x,y,z} 3．一般式方程 Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C不全为零。x,y,z前的系数表示π的法线方向数，n={A,B,C}是π的法向量。 特别情形：Ax+By+Cz=0，表示通过原点的平面。 Ax+By+D=0，平行于z轴的平面。 Ax+D=0，平行yOz平面的平面。 x=0表示yOz平面。 4．三点式方程设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)三点不在一条直线上，则通过A,B,C的平面方程为x?x1y?y1z?z1x2?x1y2?y1z2?z1=0 x3?x1y3?y1z3?z15．平面束，其中(k1,k2)≠(0,0)。 6．有关平面的问题 两平面为 π1:A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，而点M(x1,y1,z1)为平面π外的一点，则M到平面π的距离d：d=Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2三．直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2．直线的标准方程（对称式方程）。x?x0y?y0z?z0l=m=n其中(x0,y0,z0)为直线上的点，l,m,n为直线的方向数。3．参数式方程17Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学?x=x0+lt??y=y0+mt?z=z+nt0?s={l,m,n},t为参变量。 4．两点式设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)为不同的两点，则通过A和B的直线方程为Ax+By+Cz+D=0直线L的方程为：x?x0y?y0z?z0== lmnx?x1y?y1z?z1==x2?x1y2?y1z2?z15．一般式方程（作为两平面的交线）： ??A1x+B1y+C1z+D1=0，方向向量?A2x+B2y+C2z+D2=0多元函数微分学多元函数的偏导数与全微分四．方向导数与梯度（数学一）1．平面情形z=(x,y)在平面上过点P0(x0,y0)沿方向S={A1,B1,C1}×{A2,B2,C2}6．有关直线的问题 两直线为 L1:x?x1y?y1z?z1== l1m1n1x?x2y?y2z?z2==l2m2n2L2:l=(cosα,cosβ)的方向导数f(x0+tcosα,y0+tcosβ)?f(x0,y0)?f=lim?l(x0,y0)t→0tz=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的梯度为 gradf(x0,y0)=????f(x0,y0)?f(x0,y0)??, ??x?y??四．平面与直线相互关系而方向导数与梯度的关系为?f=[gradf(x0,y0)]?l?l(x0,y0)=gradf(x0,y0)cosl(gradf(x0,y0),l) 多元函数微分法一．复合函数微分法――锁链公式平面π的方程为：18Edited by 杨凯钧 2005年10月模型 1．z=f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)考研数学知识点-高等数学?z?x=?z?u??u?x+?z?v??v?z?z?u?z?v?x；?y=?u?y+?v?y模型2．u=f(x,y,z)，z=z(x,y)???u=fx′fz′??z???x+?x ??u???y=fy′+f?zz′??y模型3．u=f(x,y,z)，y=y(x)，z=z(x)dudx=fx′+fy′?y′(x)+fz′?z′(x)模型4．w=f(u,v)，u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)???w=f?uu′?+fv′??v??x?x?x ???w=f?u?v??yu′?y+fv′?y ???w??z=fu′?u?z+fv′?v?z还有其它模型可以类似处理二．隐函数微分法设F(x,y,z)=0（1）确定z=z(x,y)则?zFx′?x=?F；?z=?Fy′ z′?yFz′ （2）确定x=x(y,z)则?x?y=?Fy′F；?x=?Fz′ x′?zFx′ （3）确定y=y(z,x)则?yFF′?z=?z′′；?y?x=?xFFyy′多元函数的极值和最值一．求z=f(x,y)的极值 第一步??fx′(x,y)=0求出驻点?fy′(x,y)=0(xk,yk)(k=1,2,Λ,l)第二步令?k=fxx′′(xk,yk)fyy′′(xk,yk)?[fxy′′(xk,yk)]2若?k&0 则f(xk,yk)不是极值 若?k=0 则不能确定（需从极值定义出发讨论）若?k&0 则f(xk,yk)是极值进一步 若fxx′′(xk,yk)&0 则f(xk,yk)为极小值 若fxx′′(xk,yk)&0 则f(xk,yk)为极大值二．求多元(n≥2)函数条件极值的拉格朗日乘子法 求u=f(x1,Λ,xn)的极值??1(x1,Λ,xn)=0 约束条件?? Μ(m&n) ???m(x1,Λ,xn)=0作mF=F(x1,Λ,xn,λ1,Λ,λm)=f(x1,Λ,xn)+∑λi?i(x1,Λ,xn)i=119Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学??Fx′1=0? Μ? ?F?x′n=0?Fλ′=?1(x1,Λ,xn)=0?1? Μ??Fλ′m=?m(x1,Λ,xn)=0求出(x(k)(k)1,Λ,xn)(k=1,2,Λ,l)是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。 多元函数积分学二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域D={(x,ya≤x≤b,?1(x)≤y≤?2(x)}其中?1(x)，?2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续。 则∫∫f(x,y)dσ=,y)dxdyD∫∫f(xD=∫b?2(x)adx∫?1(x)f(x,y)dy模型II：设有界闭区域D={(x,yc≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}其中ψ1(y)，ψ2(y)在[c,d]上连续，f(x,y)在D上连续。 则∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dxdyDD=∫dψ2(y)cdy∫ψf(x,y)dx1(y)关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。三．在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型：设有界闭区域D={(γ,θ)≤θ≤β,?1(θ)≤γ≤?2(θ)}其中?1(θ)，?2(θ)在[α,β]上连续，f(x,y)=f(γcosθ,γsinθ)在D上连续，则∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(γcosθ,γsinθ)γ dγ dθDD=∫β2(θ)αdθ∫??γcosθ,γsinθ)γ dγ1(θ)f( 模型I：设有界闭区域D={(γ,θ)0≤θ≤2π,?1(θ)≤γ≤?2(θ)}其中?1(θ),?2(θ)在[0,2π]上连续，20Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学f(x,y)=f(γcosθ,γsinθ)在D上连续，则∫∫f(x,y)dσ=D∫∫f(γcosθ,γsinθ)γ dγ dθD=∫2πdθ∫?2(θ)?θ,γsinθ)γ dγ1(θ)f(γcos 模型II：设有界闭区域D={(γ,θ)≤θ≤β,0≤γ≤?(θ)}其中?(θ)在[α,β]上连续，f(x,y)=f(γcosθ,γsinθ)在D上连续，则∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(γcosθ,γsinθ)γ dγ dθDD=∫β(θ)αdθ∫?0f(γcosθ,γsinθ)γ dγ模型III：设有界闭区域D={(γ,θ)0≤θ≤2π,0≤γ≤?(θ)}其中?(θ)在[0,2π]上连续，f(x,y)=f(γcosθ,γsinθ)在D上连续，则∫∫f(x,y)dσ=D∫∫f(γcosθ,γsinθ)γ dγ dθD=∫2πdθ∫?(θ)f(γcosθ,γsinθ)γ dγ四．二重积分在几何上的应用1．空间物体的体积V=∫∫[f2(x,y)?f1(x,y)]dσD其中D为闭曲面S在xy平面上投影区域z=f2(x,y)为上半曲面，z=f1(x,y)为下半曲面。2．空间曲面的面积 22A=∫∫1+???z???z?D??x??+????y???dσ 其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程z=z(x,y)三重积分二．三重积分的计算方法1．直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设?是空间的有界闭区域，?={(x,y,z)z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}其中D是xy平面上的有界闭区域，z1(x,y),z2(x,y)在D上连续，函数f(x,y,z)在?上连续，则∫∫∫f(x,y,z)dv=z2(x,y)?∫∫dxdyD∫z1(x,y)f(x,y,z)dz（2）设?={(x,y,z)≤z≤β,(x,y)∈D(z)}其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则∫∫∫f(x,y,z)dv=∫β?αdzD∫∫f(x,y,z)dxdy (z)2．柱坐标系中三重积分的计算∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫f(γcosθ,γsinθ,z)γ dγ dθ dz??相当于把(x,y)化为极坐标(γ,θ)而z保持不变。21Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学3．球坐标系中三重积分的计算?x=ρsinθcos?? ??y=ρsinθsin??ρ≥0???0≤θ≤π?? ?z=ρcosθ??0≤?≤2π??∫∫∫f(x,y,z)dxdydz?=∫∫∫f(ρsinθcos?,ρsinθsin?,ρcosθ)ρ2sinθ dρ d θ d??然后再根据?把三重积分化为关于ρ,θ,?的累次积分。曲线积分一．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数f(x,y,z)，把曲线L任意分割为n段，?S1,?S2,Λ,?Sn在?Sk(1≤k≤n)上任取一 点(ξk,ηk,sk)，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。 nlimλ→0∑f(ξk,ηk,sk)?Skk=1（这里?Sk又表示第k段曲线的弧长，λ=max1≤k≤n?Sk）则称此极限值为f(x,y,z)在曲线L上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以∫Lf(x,y,z)dS如果曲线L是封闭曲线，也记以Lf(x,y,z)dS2．参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L的参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，(α≤t≤β)则∫Lf(x,y,z)dS=∫βf[x(t),y(t),z(t)x′t2+y′t2+z′t2?dt（假设f(x,y,z)和x′(t)，y′(t)，z′(t)皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算。二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线L=AB∩，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在L上皆有定义，把L任意分成n段，?S1,?S2,Λ,?Sn，在?Sk(1≤k≤n)上起点坐标为(xk?1,yk?1,zk?1)，终点坐标(xk,yk,zk)（按L的定向决定起点和终点）令?xk=xk?xk?1，?yk=yk?yk?1，?zk=zk?zk?1，(1≤k≤n)再在?Sk上任意一点(ξk,ηk,sk)考虑极限nlimλ→0∑[P(ξk,ηk,sk)?xk+Q(ξk,ηk,sk)?yk+R(ξk,ηk,sk)?zk]k=1其中λ仍是n段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)对空间曲线L的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以∫LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz它的向量形式为 ∫LF?dS其中F={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} dS={dx,dy,dz}如果L是空间封闭曲线也要说明L的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针，必须用其他方式22Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学加以说明。2．参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间有向曲线L的参数方程x=x(t)，y=y(t)，=∫∩[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ]dsAB其中cosα，cosβ，cosγ为曲线弧AB上点∩(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。z=z(t)，起点A对应参数为α，终点B对应参数为β（注意：现在α和β的大小不一定α&β）如果P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)皆连续，又x′(t)，y′(t)，z′(t)也都连续，则∫L=∩P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzAB=∫β{P[x(t),y(t),z(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y′(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z′(t)}dtα这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三．两类曲线积分之间的关系1．平面情形设L=AB∩平面上一个逐段光滑有定向的曲线，P(x,y)，Q(x,y)在L上连续，则∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]dsAB∩AB∩ 其中cosα，cosβ为曲线弧在点(x,y)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。2．空间情形设L=AB∩为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在L上连续，则∫Py,zAB∩(x,)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz四．格林公式关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1．（单连通区域情形） 设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围成的单连通区域。当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P(x,y)，Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则有∫∫????Q?P?D??x??y??dxdy=LPdx+Qdy?定理2．（多连通区域情形）设xy平面上有界闭区域D是(n+1)连通区域（也即有n个“洞”），它的边界L=C0ΥC1ΥΛΥCn，其中C0的定向为逆时针方向，C1,Λ,Cn定向皆为顺时针方向，仍符合沿L的正定向移动时区域D在它的左边这个原则。函数P(x,y)，Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则23Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学∫∫?D???Q??x??P??y???dxdy=∫LPdx+Qdy =∫CPdx+Qdy+0∑n∫Pdx+Qdyk=1Ck五．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件设F{P(x,y),Q(x,y)}的分量P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价。1．对D内任意一条逐段光滑闭曲线L，都有LPdx+Qdy=02．任意L=AB∩在D内，则∫∩Pdx+Qdy只依赖AB于起点A和终点B，与曲线L=AB∩的取法无关，称为曲线积分与路径无关。3．P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)成立。 4．D内处处有?Q?x=?P?y成立。 5．向量场F{P(x,y),Q(x,y)}是有势场，即存在二元函数V(x,y)，具有F=?gradV，V(x,y)称为势函数，具有P=??V?x，Q=??V?y。 曲面积分一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）1．定义设S为分块光滑曲面，f(x,y,z)在S上有定义，把曲面S任意分成n块小曲面?S1,?S2,Λ,?Sn，在?Sk(1≤k≤n)上任取一点(ξk,ηk,sk)，把小曲面?Sk的面积也记以?Sk，而λ表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等nlimλ→0∑f(ξk,ηk,sk)?Skk=1则称这极限值为f(x,y,z)在曲面S上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记以 ∫∫f(x,y,z)dSS′2．基本计算公式设曲面S的方程z=z(x,y),(x,y)∈D，z(x,y)在D上有连续偏导数。f(x,y,z)在S上连续，则22∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f[x,y,z(x,y)+???z???x??+????z?SD??y???dxdy这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。二．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 1．定义设S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)皆在S上有定义，把曲面S任意分成n个小曲面?S1,?S2,Λ,?Sn，而?Sk(1≤k≤n)在yz平面上投影的面积记以(?Sk)yz，在zx平面上投影的面积记以(?Sk)zx，在xy平面上投影的面积记以(?Sk)xy，又在?Sk(1≤k≤n)上任取一点(ξk,ηk,sk)，令λ是各小块曲面直径的最大值，考虑极限nlimλ→0∑[P(ξk,ηk,sk)(?Sk)yz+Q(ξk,ηk,sk)(?Sk)zx+R(ξk,ηk,sk)(?Sk)xy]k=1如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，则这个极限限称为P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在有向曲面S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面24Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学积分，记以∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyS如果令F={P,Q,R}，dS={dydz,dzdx,dxdy} 则向量形式为∫∫F?dSS2．基本计算公式如果曲面S的方程z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy z(x,y)在Dxy上连续，R(x,y,z)在S上连续，则∫∫R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdySDxy若曲面S指定一侧的法向量与z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分。类似地，曲面S的方程表示为x=x(y,z)，(y,z)∈Dyz，则∫∫P(x,y,z)dydz=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydzSDYZ曲面S指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面S的方程表示为y=y(z,x)，(z,x)∈Dzx，则∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdxSDZX曲面S指定一侧的法向量与y轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行计算，但是当P,Q,R有些为0只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。三．两类曲面积分之间的关系∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]dSSS其中cosα,cosβ,cosγ为曲面S在点(x,y,z)处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。令F={P,Q,R}， n0={cosα,cosβ,cosγ}∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫F?n0dSSS四．高斯公式定理1．（单连通区域）设?是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上有连续的一阶偏导数，则∫∫∫????P?Q?R??x+?y+?z??dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy???S（外侧）=∫∫[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]dSS其中cosα,cosβ,cosγ为S在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。定理2．（多连通区域）设?是(n+1)连通区域，外面边界曲面S0为外侧，每一个“洞”的边界曲面S′k(1≤k≤n)为内侧，彼此不重叠，都在S0的内部。这些曲面都是分块光滑的，?是有界闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上有连续的一阶偏导数，则∫∫∫????P?Q?R??x+?y+?z??dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy???S0（外侧） ∑n+∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdyk=1SK（内侧）五．斯托克斯公式定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含S的一个空间区域25Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学内有连续的一阶偏导数，则有dydzdzdxdxdy???Pdx+Qdy+Rdz=∫∫L???xyzSPQRi?旋度 rotF=?×F=?xPj??yQk? ?zR??R?Q???Q?P???P?R???dydzdzdx+?=∫∫??+???dxdy???????R?Q???P?R???Q?P?=???y??z??i+??z??x?j+???x??y??k??????S??y?z???z?x???x?y?也可用第一类曲面积分cosαcosβcosγ???LPdx+Qdy+Rdz=∫∫S?x?y?zdS PQR六．散度与旋度讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我们已经讨论过梯度：设 u=u(x,y,z)算??=?????????x,?y,?z??? gradu=????u?u?u??x,?y,?z??=?u称为u的梯度。??1．散度设F= (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 散度divF=?P?x+?Q?y+?R?z=??F称为F的散度高斯公式可写成∫∫∫divFdv=?∫∫F?n0dSS（外侧） n0=(cosα,cosβ,cosγ)2．旋度设 F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))称为F的旋度。斯托克斯公式可写成LF?dr=∫∫(rotF)?n0dSS其中dr=(dx,dy,dz), n0=(cosα,cosβ,cosγ)无穷级数 常数项级数1．基本性质 ∞∞（1）如果∑un和n皆收敛，a,b为常数，则n=1∑vn=1∞∞∞∑(aun+bvn)收敛，且等于an=1∑un+b∑vnn=1n=1（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 ∞（4）级数∑un收敛的必要条件是limn=1n→∞un=0。∞（注：引言中提到的级数∑(?1)n+1，具有n=1lim(?1)n+1不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故n→∞∑∞(∞?1)n+1发散。调和级数满足lim=0，但n=1∑11∞1n=1nn→∞n∑n=1n却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件limn→∞un=0，∞而∑un收敛性尚不能确定。）n=12．两类重要的级数26Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学（1）等比级数（几何级数） ∞∑arn(a≠0)n=0当r&1时，∑∞arn=an=01?r收敛； ∞当r≥1时，∑arn发散。n=0（2）p―级数 ∞∑1n=1np∞当p&1时， ∑1p收敛；n=1n∞当p≤1时， ∑1np发散。n=1∞ （注：p&1时， ∑1np的和一般不作要求，但后n=1∞面用特殊的方法可知∑1π2。） n=1n2=6二．正项级数敛散性的判别法 若un≥0(n=1,2,3,Λ)则∑∞un称为正项级数，这n=1时Sn+1≥Sn(n=1,2,3,Λ)所以{Sn}是单调增加数列，它是否收敛就只取决于Sn是否有上界。∞因此∑un收敛?Sn有上界，这是正项级数比较n=1判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。1．比较判别法设c&0，当n≥N时，cvn≥un&0皆成立。∞∞如果∑vn收敛，则n收敛；n=1∑un=1∞∞如果∑un发散，则vn发散。n=1∑n=12．比较判别法的极限形式设un≥0，vn≥0，(n=1,2,3,Λ) 若limunn→∞v=An∞（1）当0&A&+∞时，∑∞un与n=1∑vn同时收敛或n=1同时发散。（2）当A=0时，若∑∞∞vn收敛，则n收敛。n=1∑un=1∞∞（3）当A=+∞时，若∑un收敛，则n收敛。n=1∑vn=13．比值判别法（达朗倍尔）设u+1n&0，而limunn→∞u=ρn（1）当ρ&1时，则∑∞un收敛。n=1（2）当ρ&1（包括ρ=+∞）时，则∑∞un发散。n=1（3）当ρ=1时，此判别法无效。（注：如果limun+1不存在时，此判别法也无法用。）n→∞un4．根值判别法（柯西）设un≥0，而limn→∞n=ρ∞（1）当ρ&1时，则∑un收敛。n=127Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学（2）当ρ&1（包括ρ=+∞）时，则∑u∞（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即n发散。∞∞n=1（3）当ρ=1时，此判别法无效。事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。三．交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 ∞若un&0，∑(?1)n+1un称为交错级数。n=12．莱布尼兹判别法 ∞设交错级数∑(?1)n+1un满足：n=1（1）un+1≤un(n=1,2,3,Λ) （2）limn→∞un=0∞∞则∑(?1)n+1un收敛， 且0&(?1)n+1un&u1n=1∑n=1四．绝对收敛与条件收敛 1．定理 ∞∞若∑un收敛，则n一定收敛；反之不然。 n=1∑un=12．定义 若∑∞un收敛，则称n=1∑∞un为绝对收敛；n=1∞∞∞若∑un收敛，而un发散，则称n=1∑n=1∑un为条件n=1收敛。3．有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。∑1(un+un)或n=12∑1(un?un)一定是发散的。 n=124．一类重要的级数 设∑∞(?1)n+1n=1np（1）当p&1时，∑∞(?1)n+1n=1np是绝对收敛的。∞（2）当0&p≤1时，∑(?1)n+1n=1np是条件收敛的。∑∞（3）当p≤0时,(?1)n+1n=1np是发散的。幂级数 一．函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）1．函数项级数概念 设un(x)(n=1,2,3,Λ)皆定义在区间I上，则∑∞un(x)称为区间I上的函数项级数n=12．收敛域∞设x0 ∈ I，如果常数项级数∑un(x0)收敛，则称xn=1∞是函数项级数∑un(x)的收敛点，n=1∞∞如果∑un(x0)发散，则称x是n)的发散点。n=1∑u(xn=1∞函数项级数∑un(x)的所有收敛点构成的集合就称n=1为收敛域。所有发散点构成的集合称为发散域。3．和函数 ∞在∑un(x)的收敛域的每一点都有和，它与x有关，n=128Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学因此 ∞S(x)=∑un(x)，x ∈收敛域n=1∞称S(x)为函数项级数∑un(x)的和函数，它的定n=1义域就是函数项级数的收敛域。二．幂级数及其收敛域1．幂级数概念∑∞ann(x?x0)称为(x?x0)的幂级数，n=1an(n=0,1,2,Λ)称为幂级数的系数，是常数。∞当x0=0时，∑annx称为x的幂级数。n=0∞一般讨论∑annx有关问题，作平移替换就可以得n=0∞出有关∑a(x?xnn0)的有关结论。n=02．幂级数的收敛域幂级数∑∞anxn的收敛域分三种情形n=0∞（1）收敛域为(?∞,+∞)，亦即∑anxn对每一个xn=0皆收敛。我们称它的收敛半径R=+∞。 （2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞anxn皆n=0发散，我们称它的收敛半径R=0。（3）收敛域为(?R,R)或(?R,R]或[?R,R)或[?R,R]中的一种，我们称它的收敛半径为R(0&R&+∞)。所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论±R两点上的敛散性。如果liman+1n→∞a=l（包括+∞）或liman=nn→∞l（包括+∞）则收敛半径R=1ll=+∞，则R=0；若l=0，则R=+∞）如果上述两极限不成立，那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论。三．幂级数的性质1．四则运算 ∞设∑an∞nx=f(x)，x&R1；n=0∑bnnx=g(x)，n=0x&R2则∑∞(ann±bn)x=f(x)±g(x)x&min(R1,R2)n=0?∞??∑axn???∞?∑bn?∞nnx?=∑(a0bn+Λ+akbn?k+Λ+anb0)xn=f(x)?g(x)n=0??n=0?n=0x&min(R1,R2)2．分析性质∞设幂级数∑anxn的收敛半径R&0，n=0∞S(x)=∑annx为和函数，则有下列重要性质n=0（1）S(x)在(?R,R)内可导，且有逐项求导公式S′(x)=?∞?∑an?′∞n′∞nx?=∑(anx)=n=0?n=0∑na?1?nxnn=1 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出S(x)在29Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(?R,R)内有任意阶导数，公式为∞S(k)(x)=∑n(n?1)Λ(n?k+1)xn?k，n=kx&R(k=1,2,3,Λ)（2）S(x)在(?R,R)内有逐项积分公式∫x∞xn∞S(t)dt=∑∫antdt=ann+1n=0∑n=0n+1x 且这个幂级数的收敛半径也不变 ∞（3）若∑annx=S(x) 在x=R(?R)成立。则n=0有下列性质： ∞（i）xlim→R?S(x)=∑annR成立n=0?∞?limn?+S(x)=∑an(?R)成立?x→(?R)??n=0∞（ii）∫RS(x)dx=∑ann+1Rn+1成立n=0???∫0∞?RS(x)dx=∑?an(?R)n+1成立?? n=0n+1?∞（iii）∑nanxn?1在x=R(?R)不一定收敛n=1∞也即∑nan?1nR=S′?(R)不一定成立，(S+′(?R)) n=1∞如果∑annx在x=R(?R)发散，那么逐项求导后n=0∞的级数∑nan?1nx在x=R(?R)一定发散，而逐项积分n=1∞后的级数∑ann+1xn+1在x=R(?R)有可能收敛。 n=0四．幂级数求和函数的基本方法1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反过来用下列基本公式应熟背 ∞（1）∑xn=1n=01?x，x&1 ∞（2）∑xn=ex，x&+∞ n=0n!∞1)nx2n+1（3）∑(?n=02n+1 !=sinx，x&+∞∞nx2n（4）∑(?1)n=02n !=cosx，x&+∞∞1)nxn+1（5）∑(?=ln(1+x)，(?1&x≤1n=0n+1)∞（6）1+∑α(α?1)Λ(α?n+1)nn=1n!x=(1+x)α，(?1&x&1)（α为实常数）2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解五．利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（强化班再讨论）将函数展开成幂级数一．泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1．基本概念设函数f(x)在点x0的某一领域x?x0&δ内具有∞任意阶导数，则级数∑f(n)(x0)n!(x?xn0)称为函数n=0f(x)在x0处的泰勒级数。（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于f(x)都不知道）特别地，当x0=0，则级数 (n)∑∞f(0)n=0n!n称为f(x)的麦克劳林级数。 30Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学2．函数展成幂级数的条件设f(x)在x?x0&R内有任意阶导数，它的泰勒公式f(x)=f(x0)+f′(x0)(x?x0)+f′′(x0)f(n)(x0)(x?x0)2+Λ+(x?x0)n+Rn(x)x2n例：cosx=(sinx)=∑(?1)，x&+∞2n !n=0′∞n11?x2′∞′?1??∞n?n?1=??=?∑x?=∑nxx&1 ?1?x??n=0?n=12!n!其中Rn(x)为n阶余项，它的拉格朗日型为Rf(n+1)[x0+θ(x?x0)](x?x1n(x)=n+1 !0)n+ (0&θ&1)则f(x)∑∞f(n)(x0)n=0n!(x?xn0)， x?x0&R 的充要条件为nlim→∞Rn(x)=0 x?x0&R 而且f(x)在x0处幂级数展开式是唯一的。 特别地，x0=0时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件。二．函数展成幂级数的方法 1．套公式 ∞f(x)=∑a(x?nnx0)， x?x0&Rn=0f(n) a(x0)n=n!(n=0,1,2,Λ)例ex=∑∞1xn， x&+∞n=0n! ∞nx2n+1sinx=∑(?1)n=02n+1 !， x&+∞ (1+x)α=1+∑∞α(α?1)Λ(α?n+1)n，n=1n!xx&1，（α为实常数）2．逐项求导3．变量替换法例：e.x2=et∞=∑1∞n!tn=∑1x2n，x&+∞n=0n=0n!∞1n∞1+x2=11??x2=∑(?x2)=(?1)nx2n，n=0∑n=0x&14．逐项积分法例：ln(1+x)=∫x1x∞n01+tdt=∫0∑(?t)dtn=0∞=∑(?1)nxn+1n+1(?1&x≤1)n=0∞由此可得 ln2=∑(?1)nn=0n+1x1x∞∞(?1)x2n+1arctanx=∫01+t2dt=∫2n0∑(?t)ndt=n=0∑n=02n+1 (?1≤x≤1) 由此可得 ∑∞(?1)n=arctan1=πn=02n+1431Edited by 杨凯钧 2005年10月欢迎您转载分享：
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