(精品资料）圆锥曲线中的离心率(热点）.rar&&人教版
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离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】& & （大多数学生的解法） 解：由于&为等腰直角三角形，故有 &，而&，& 所以&，整理得& 等式两边同时除以&，得&，即&， 解得&，舍去& 因此&，选D （采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有 & 故选D 以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！ 一、用定义求离心率问题 1.&设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（&&&&）D （A）&&&&&&&&&&&&&（B）&&&&&&&&&（C）&&&&（D）& 2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（&&&&）A &&&&A．&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&D．& 3.在&中，&，&．若以&为焦点的椭圆经过点&，则该椭圆的离心率&&&&&&&&&&&&．& 4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________； 解析：设c=1，则& 5、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为&&&&&&&&&&&&。 解析：由已知C=2，& 6．过椭圆&(&)的左焦点&作&轴的垂线交椭圆于点&，&为右焦点，若&，则椭圆的离心率为B &&&A．&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&D．&&&&&&&&&&&&&&&& 7.已知F1、F2是双曲线&的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（&&&）D &&&&A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 8.双曲线&（&，&）的左、右焦点分别是&，过&作倾斜角为&的直线交双曲线右支于&点，若&垂直于&轴，则双曲线的离心率为（&&&）B A．&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&D．& 9、设F1，F2分别是双曲线&的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90&，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A)&&&&&&&&&&&&&&&(B)&&&&&&&&&&&&&&&&&(C)&&&&&&&&&&&&&&&(D)&& 解．设F1，F2分别是双曲线&的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90&，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中&，&，∴&离心率&，选B。 10、如图，&和&分别是双曲线&的两个焦点，&和&是以&为圆心，以&为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△&是等边三角形，则双曲线的离心率为 &&&（A）&&&&&&&&&&&&&&&&&（B）&&&&&&&&&&&&&（C）&&&&&&&&&（D）& 解析：如图，&和&分别是双曲线&的两个焦点，&和&是以&为圆心，以&为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△&是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=&c，∴&&，双曲线的离心率为&，选D。 11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满&=4:3:2，则曲线r的离心率等于A A.&&&&&&&&&&&&&B.&或2&&&&&&&&&&C.&2&&&&&&&&&&D.& 二、列方程求离心率问题 1．方程&的两个根可分别作为（　　） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率&&&&&&&&Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率&&&&&&&&Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程&的两个根分别为2，&，故选A& 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（&&&&） A．&&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&&&D．& 解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴&&，椭圆的离心率&，选D。 3、设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A&,B两点，&为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B （A）&&&&&&&&（B）&&&&&&&&&&&&（C）2&&&&&&&&&&&（D）3 4.在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半 径的圆，过点(a2c，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=&&&&&．& 5．已知双曲线&的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为&&&&&&&（A）53&&&&&&&&&&&&(B)43&&&&&&&&&&&(C)54&&&&&&&&&&&&&(D)32 解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得&,故选A 6、在平面直角坐标系&中，双曲线中心在原点，焦点在&轴上，一条渐近线方程为&，则它的离心率为（&&） A．&&&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&&&D．& 解析：由&&&&，&&&选A 7．已知双曲线&(a&2)的两条渐近线的夹角为π3&,则双曲线的离心率为 A.2&&&&&&&&&&&&&&B.3&&&&&&&&&&&&&&C.263&&&&&&&&&&&&&&&&D.233 解：双曲线&(a&2)的两条渐近线的夹角为π3&，则&，∴&a2=6，双曲线的离心率为233&，选D． 8.已知双曲线&（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=&,则双曲线方程为（&&）C （A）&－&=1&&&&&(B)&&(C)&&&&&(D)& 9设双曲线&（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2&+1相切，则该双曲线的离心率等于(&&) （A）&&&&&&&&&&（B）2&&&&&&&&&（C）&&&&&&&&&（D）&&&&&&&&&&&&&& 解：设切点&，则切线的斜率为&.由题意有&又& 解得:&&.&&&&&&&&&&&&&【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为&，虚轴的一个端点为&,如果直线&与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）&&&&&&&（B）&&&&&&&（C）&&&&&（D）& 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在&轴上，设其方程为：&， 则一个焦点为&一条渐近线斜率为：&，直线&的斜率为：&，&，&&& 11．如图，在平面直角坐标系&中，&为椭圆&的四个顶点，&为其右焦点，直线&与直线&相交于点T，线段&与椭圆的交点&恰为线段&的中点，则该椭圆的离心率为&&&&&&&&&&&&.& 【解析】&考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线&的方程为：&； 直线&的方程为：&。二者联立解得：&，&&&&&&&&&& 则&在椭圆&上， &，&&&&&&&&&& 解得：& 12已知椭圆C：&（a&b&0）的离心率为&，过右焦点F且斜率为k（k&0）的直线于C相交于A、B两点，若&。则k&= （A）1&&&&&（B）&&&&&&&（C）&&&&&&&（D）2 【解析】B：&，∵&&，∴&&，&∵&&，设&，&，∴&&，直线AB方程为&。代入消去&，∴&&，∴&&， &，解得&，& 13已知&是椭圆&的一个焦点，&是短轴的一个端点，线段&的延长线交&于点&，且&，则&的离心率为&&&&&&&&&&&&&&& 答案：& 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，&, 作&轴于点D1,则由&，得 &,所以&, 即&,由椭圆的第二定义得& 又由&,得&,整理得&. 两边都除以&,得&,解得&&. 14．过双曲线M:&的左顶点A作斜率为1的直线&,若&与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是&(&&&&&&) A.&&&&&&&&&&&&B.&&&&&&&&&&&&C.&&&&&&&&&&&&&D.&& 解析：过双曲线&的左顶点&(1，0)作斜率为1的直线&：y=x－1,&若&与双曲线&的两条渐近线&分别相交于点&,&&联立方程组代入消元得&，∴&&，x1+x2=2x1x2，又&,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得&，∴&b2=9，双曲线&的离心率e=&，选A. 15．过双曲线&的右顶点&作斜率为&的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为&．若&，则双曲线的离心率是&(&&&&)&&&&&&&&& A．&&&&&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&&&&&&D．& 答案：C& 【解析】对于&，则直线方程为&，直线与两渐近线的交点为B，C， &，则有 &，因&． 16.&已知双曲线&的右焦点为&,过&且斜率为&的直线交&于&两点，若&,则&的离心率为&&&. m&&&&&&&A．&&&&&B.&&&&&&C.&&&&&&D.&& 解：设双曲线&的右准线为&,过&分&别作&于&,&于&,&&,由直线AB的斜率为&,知直线AB的倾斜角为&,由双曲线的第二定义有 &&. 又&&&&&&故选A& 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1． 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是&&&&&&&． 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1&B1F2．根据条件可得∠F1&B1F2≥60°，易得ca≥12．故12≤e＜1． 证明，在△F1PF2中，由余弦定理得，& && 当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大． 如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择． 三、离心率范围问题 1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2 ＝60°，则椭圆离心率的取值范围是&&&&&&&．& 2．已知双曲线&的左、右焦点分别为&，若双曲线上存在一点&使&，则该双曲线的离心率的取值范围是&&&&&&&&&&&． 答案：(1,&&) 3.已知&、&是椭圆的两个焦点，满足&的点&总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（&&&）C A．&&&&&&&&B．&&&&C．&&&&D．& 4、椭圆&的焦点为&，&，两条准线与&轴的交点分别为&，若&，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） Ａ．&&&&&&&&&&&&&Ｂ．&&&&&&&&&&&&&Ｃ．&&&&&&&&&&&&&Ｄ．& 解析：椭圆&的焦点为&，&，两条准线与&轴的交点分别为&，若&，&，&，则&，该椭圆离心率e≥&，取值范围是&，选D。 5.设&，则双曲线&的离心率&的取值范围是（&）B A．&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&D．& 6.&已知双曲线&的左，右焦点分别为&,点P在双曲线的右支上，且&,则此双曲线的离心率e的最大值为：（&）B &&&&A．&&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&&&&&D．& 7.双曲线&（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（&&&）B A.(1,3)&&&&&&&&&&&&B.&&&&&&&&&&&&&&&&&C.(3,+&)&&&&&&&&D.& 8．已知双曲线&(a&0,b&0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.(&1,2)&&&&&&&&&&B.&(1,2)&&&&&&&&&&&C.&&&&&&&&&&&D.(2,+∞) 解析：双曲线&的右焦点为F，若过点F且倾斜角为&的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率&，∴&&≥&，离心率e2=&，∴&e≥2，选C
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高中数学 双曲线的第二定义导学案 新人教B版必修1
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　　　　双曲线的第二定义；　　2、 灵活应用双曲线的第二定义。　　【自主学习】　　1、 双曲的简单几何性质的复习　　双曲线的定义 第一定义：　　第二定义：　　标准方程 　　 　　图像 　　 　　范围
　　对称性
　　特殊点
　　离心率
　　渐近线方程
　　2、 等轴双曲线:　　3、 共渐近线的双曲线系：高二理科(假期作业必修5+选修2-1)_百度文库
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