考研数学热点问题之高等数学篇超强总结
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行政管理在职研究生
考研数学热点问答之高等数学篇
答疑名师：陈文灯黄先开曹显兵1.目前阶段高数应该如何准备呢？
答：高数是数学内容最多的一部分，数学1要60%高等数学，数学2考到80%，数学3、数学4也要考到50%的分数，我想这部分分块，函数极限或者连续这一块的重点是什么？这个时候把握一下重点是我们求极限的是不定式的极限或者两个重要的极限，另外函数的连续性的探讨这是考试的重点，导数和微分，其实重点不是给一个函数考导数，所以导数这个地方的
重点是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。另外就是积分，定积分，分段函数的积分，分段函数，带绝对值的函数，总而言之看上不好处理的函数的积分是考试的重点，而且一定要注意积分的对称性，我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来，另外就是中值定律这个地方一般每年要考一个题，看看以往考过什么样的题型。多维函数的微积分，一个是多维隐函数的求导，包括复合函数这是考试的重点。二成积分的计算，当然数学1里面还包括了三成积分，这里面每年都考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的。一阶的YZ方程，还有无穷奇数，无穷奇数的求和，主要是间接的展开法，重点主要是这些。2.多元函数微积分是新增加的知识点，您能否讲讲这一块应该怎样复习？二重积分如何复习？
答:函数微积分因为是第一年增加，所以都会考最基本的内容，像线性代数增加的时候第一年考是求具体的三节矩阵的特定值。所以二层积分今年初次考，比如二级积分交换基本次序，这个你一定要会。积分的区域要画出来，各级函数画清楚，根据积分类型确定积分顺序，确定积分线。
二层积分首先你要确定是X积分还是Y积分，你在这个区域画一条线，如果是X积分你做一条平行X轴的射线穿过这个区域。穿进就是积分的下限，穿出就是积分的上限。一般把这个基本原则掌握了，考试就不会有问题了。3.请问在数学二中今年考试大纲中新增多元微分考试要求，请问今年考试如何把握？
答：数学二这位网友说的不对，增加了多元函数的微分和积分，2004年这个章节肯定得考，每年新增加一章内容肯定要考，不象增加一个小小知识点不一定考，增加一个整个章节肯定得考。而且考试的难度应该是最基本的，你这个基本知识、基本概念、基本计算方法掌握了基本就可以了。一个是微分这个地方，
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多元函数微分重点在复合函数的偏导数，尤其是隐函数的偏导数，你不要做太复杂的，你做一些简单的就可以了。数学二的同学只要把基本的多元复合函数、多元隐函数的偏导数掌握就可以了。另外一个地方要注意的是积分的计算，这个地方也是个重点，多元函数微分和积分。X型区域、Y型区域怎么样找到积分限，计算方法你掌握了这个题是没有问题的。4.请问一下高数如何复习能抓住分？
答:数学要考高分首先要明确数学要考些什么。我个人的理解和看法数学主要是考四个方面，一个考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算，数学本来就是一门基础的学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练那你肯定是考不好的。所以基础一定要打扎实。
我觉得高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容，这些内容可以看着刚才我所说的三部分内容的联系和应用，这就是它的基础。
数学要考的第二部分就是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。还有一个就是数学的建模能力，也就是解应用题的能力。解应用题这方面就比较不好说了，因为它要求的知识面比较广了，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是你的运算的熟练程度，换句话说就是你解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行复习，数学考高分我想还是完全可能的。
从一些研究生介绍的经验来看，他们也都是这样做的。说到解题速度，我个人认为一个方面在头脑中应该储存着一些最基本的运算结果。比方说A的平方减X平方，开平方，圆在零至A上的积分就等于四分之πA的平方。还有就是我们有些最基本的一些公式，像SinX的n次方在零到二分之π上，其结果当N是奇数的时候，当N是偶数的时候它们的结果马上就知道。再比方函数像LogX加上根号A平方减X平方括号它的导数，我们马上就应该知道，就是等于根号A平方加X平方分之一，这个应该马上就知道，免得再去计算。再比如常用的变量替换要记住，还有就是常用的一些辅助函数的做法要记得非常牢。所以脑子中有这些基本的储存，到时候做题就快了。
当然了最重要的是平时还是要多加训练，我觉得有的同学就认为现在数学应该放一放，该看看其他的学科了。这种做法是不对的！数学应该一抓到底，应该经常练，一天至少保证三个小时。把我们平时讲的一些概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，像骑自行车一样。尽管你原来骑得非常好，非常溜，但是你长时间不骑，你再骑总有点不习惯。所以经常练习是很重要的，天天做、天天看，一直到考试的那一天。这样的话，就绝对不会生疏了，解题速度就能够跟上去。
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5.多元函数微积分是新增加的知识点，这一块应该怎样复习？二重积分如何复习？
答：函数微积分因为是第一年增加，所以都会考最基本的内容，像线性代数增加的时候第一年考是求具体的三节矩阵的特定值。所以二层积分今年初次考，比如二级积分交换基本次序，这个你一定要会。积分的区域要画出来，各级函数画清楚，根据积分类型确定积分顺序，确定积分线。
二层积分首先你要确定是X积分还是Y积分，你在这个区域画一条线，如果是X积分你做一条平行X轴的射线穿过这个区域。穿进就是积分的下限，穿出就是积分的上限。一般把这个基本原则掌握了，考试就不会有问题了。
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扩展阅读：Qctkmq考研数学总结高数篇
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔
函数（高等数学的主要研究对象）
极限：数列的极限（特殊）函数的极限（一般）
极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势
由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立
在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系
连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近
导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率
微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了
不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分
定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分
求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆
定积分的几何应用和物理应用
高等数学里最重要的数学思想方法：微元法
微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性
微分中值定理，可从几何意义去加深理解
泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的下册（一）：
多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数
最典型的是二元函数
极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势
连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等
导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念
沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数
通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况
高阶偏导数若连续，则求导次序可交换
微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在
仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在
若偏导数存在，且连续，则微分一定存在
极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂
极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零
所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。
梯度运算把一个标量场变成向量场
一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系
物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度
散度运算把向量场变成标量场
散度为零的场称为无源场
高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来
无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充
物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为速度场的旋度
旋度运算把向量场变成向量场
旋度为零的场称为无旋场
斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。
无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的
格林定理是斯托克斯定理的平面情形
进一步考察无旋场的性质
旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数所得的势函数的梯度正好就是原来的力场因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分
总习题二：
1填空题，不多说了，重点
2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项（B）（C）设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导？而（B）（C）项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。而对（A）项来说只能保证右导数存在。只有（D）项是能确实的推出可导的
3物理应用现在基本不要求了
4按定义求导数，不难，应该掌握
5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可
6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可
7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容
8求二阶导数，同上题
9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可
10求隐函数的导数，重要，常考题型
11求参数方程的导数，同样是常考题型
12导数的几何应用，重要题型
13、14、15不作要求
综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12
第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路
1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握
2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会
3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可
4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处
5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题
6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法
9非常见题型，了解即可
10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握
11不等式，一般可用导数推征，典型题
12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些
14、15、16不作要求
17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点
18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要
19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想
20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大
综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20
第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……
积分的题目是做不完的。
当然，如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势，最终把所有题目搞定了，这还是值得恭喜的，尽管可能这会花掉很多时间，但仍然是值得的……因为这有效的锻炼了思维。
1填空，重要，但第（2）、（3）问涉及广义积分，不作要求
2典型题，前3题用定积分定义求极限，需重点掌握，尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式，积分区间和被积函数如何定，这个是需要适当的练习才能把握好的，后2题涉及积分上限函数求导，也是常见题型
3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误，需细心体会，重要
4利用定积分的估值证明不等式，技巧性较强
5两个著名不等式的积分形式，不作强制要求，了解即可
6此题证明要用5题中的柯西不等式，不作要求
7计算定积分，典型题
8证明两个积分相等，可用一般方法，也可利用二重积分的交换积分次序，设计巧妙的重点题目
9同样是利用导数证明不等式，只不过对象变得比一般函数复杂，是积分上限函数，但本质和第三章的类似题目无区别，不难掌握
10分段求积分，典型题
11证明积分第一中值定理，要用到连续函数的介值定理，难度高于积分中值定理的证明，可作为提高和锻炼性质的练习
综上，总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10
定积分的应用一块的考察，现在更偏重的是几何应用
1物理应用，跳过
2所涉及到的图形较为复杂，是两个圆，其中第二个是旋转了一定角度的圆，不易看出，此题可作为一个提高性质的练习
3重点题，积分的几何应用和极值问题相结合，常考题型之一
4旋转体体积，需注意的是绕哪条线形成的旋转体，所绕的轴不同的话，结果不同
9从流量的角度出发理解第二类曲面积分，基本题型
10用Stokes定理积分空间曲线积分，基本题型，01年考过
综上，总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10
第十一章是级数，数二数四不要求，其中傅立叶级数对数三无要求
总习题十一
1填空，涉及级数敛散性的相关说法，重要
2判断正项级数的收敛性，典型题，综合应用比较、比值、根值三种方法，在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小，这样可让思路更清晰
3抽象级数的概念题，重点题型之一，要利用级数收敛的相关性质判断
4设置了陷阱的概念题，因为比较判别法只对正项级数成立，也是重点题型之一
5判断级数的绝对收敛和条件收敛，典型题，通过这些练习来加强对这类题目的熟练度
6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限，体会方法即可
7求幂级数的收敛域，典型题，要多加练习，注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别
8求幂级数的和函数，典型题，重要，一般求和函数都不用直接法而用间接法，即通过对通项作变形（逐项积分或求导等），再利用已知的常见函数的展开式得到结果，注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。
9利用构造幂级数来求数项级数的和，也是一类重要题型
10将函数展开为幂级数，与8是互为反问题，仍是多用间接展开法，方法上异曲同工，需要熟练掌握，同样注意不要忘记收敛域
11、12傅立叶级数的相关题目，基本题，此类题目记得相应的系数表达式就可解决，一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记，只能平时多加回顾，还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况（即狄利赫莱收敛定理）
综上，总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11
第十二章微分方程，二阶以上的方程对数四不作要求，下面不再详细说明
总习题十二
1填空，涉及微分方程理论的若干说法，基本题，第（2）问只数一要求
2通过解的形式观察出相应的微分方程，典型题，其中第（2）问更重要
3、4求解不同类型的微分方程，通过这些题目的练习，基本对各种方程的解法有一定了解，同时也培养了一些解题思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求
5微分方程的几何应用，基本题
6微分方程的物理应用，不作要求
7由积分方程推导微分方程，典型题，要求掌握
8用变量代换化简微分方程，典型题，只对数一有要求，注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系
9涉及微分方程基本理论的题目，非常见题型，但可体会其出题思路
10欧拉方程的练习，数一要求友情提示：本文中关于《考研数学热点问题之高等数学篇超强总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，考研数学热点问题之高等数学篇超强总结：该篇文章建议您自主创作。
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　　作为物理工程类的学生来说，只要记住“黎曼面是一个抽象的拓扑空间，以便我们把多值函数变成单值函数，方便我们做计算”就行了。&
　　在这里，大家可以看到我前面提到的两种不同世界观的差异：对于物理学家和工程师来说，工作已经结束了；对于数学家来说，工作才刚刚开始。&
　　关于黎曼面的严格定义和性质，我以后会专门为复分析写一本习题解答，其中会作比较详细的讨论，大家少安毋躁。这次上载的文档里有两个文件：riemann_surface_1.pdf和riemann_surface_2.pdf。是美国一所大学的本科复分析课程的补充笔记，大家可以看看。&
　　第二，我以前读书的时候求全责备，总是希望一本书尽善尽美，以后我需要学习或者查阅什么东西，只看这一本书就行了。年纪稍长之后才觉得当年的天真。现在的习惯是以一本较好的教材或者专著为主，以其他书籍、文章、笔记为辅，尤其注重用一个个独立的模块为自己的知识体系打补丁。这其实是由哲学观的变化导致的学习方法上的变化。我在以前的帖子里曾经讲过自己的这个心路历程，这里就不赘述了。只是从“用模块化的方式为已有的知识体系打补丁升级”这个观点出发，向大家推荐一个网站：http://cnx.org/。这个网站的宗旨是&
　　Connexions is:&
　　a place to view and share educational material made of small
knowledge chunks called modules that can be organized as courses,
books, reports,etc.&
　　我自己的工作学习从这个网站获益匪浅，建议大家对于一个具体的知识点有疑问的时候，不妨先查阅一下这个网站。&
　　对于把“知识分割成小模块逐步吸收”这种学习教学方式还有疑惑的同学，可以参阅纽约大学柯郎研究所的退休教授Peter
Lax的著作Functional
Analysis。Lax教授是世界著名的应用数学家，沃尔夫终身成就奖获得者（陈省身先生也曾获此殊荣）。他的这本泛函分析很有特色，每一章节通常不超过6页，因为他认为这大概是一次阅读而不使大脑疲劳的最大限度。所以“小型化”、“模块化”这种土头土脑的学习方式不是俺自己胡诌的。我不是刻意去遵循主席“愚公移山”的“伟大指示”，也不是刻意去模仿大学问家的学习方式。实在是按照事物的本来规律来做事，必然会殊途同归，就如庖丁解牛必然会从骨头缝隙之间下刀一样。所以我在以前的帖子里强调过要用“道”来统摄“术”。&
　　顺便八卦一下，中共重庆市委宣传部出了一个“读点经典”的系列丛书，用的是同样思路。不得不感叹一下重庆王做事颇有手腕。&
　　第三，以前读书的时候，曾经读到过“见树”与“见森林”的说法。曾经很疑惑：“见树俺明白，无非就是格物致知，具体到学数学就是每个证明或者计算都搞清楚，自己背着书也能自行推导而已。可是这个‘见森林’却是怎么一个见法？”&
　　大家不要笑，我就是这么笨。从来木有什么人跟俺讲解这些，俺都是自己琢磨。我是多年以后，尤其是在自己大量阅读文献并做过独立的科研以后，才有了一点自己的理解：“无非是看大脉络而已。一言以蔽之，从哪里来，来干嘛，到哪里去”。以前面黎曼面的概念为例子。“见树”就是要一点点搞清黎曼面的概念是如何严格建立起来的，它的性质如何。与此对应的行动就是仔细读专著。“见森林”就是前面我那句极其功利的话：“俺要用多值函数做计算，为了定义好多值函数，俺大致需要如此如此的一个概念和构造。就给它取名为黎曼面吧”。当然，你要把它叫“旺财”、“小强”我也不反对，反正有大数学家希尔伯特替俺站台呢：“在我看来，几何对象也可以称作啤酒瓶”（大意，语出二十世纪初数学公理化高潮时期，希尔伯特写作《几何基础》前后）。&
　　所以，一个数学对象不是什么神秘化的东西，而是因为有确实的需要，才被人们发现或者发明出来的。我们要了解一个新理论，首要的一个问题是：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”用阿汤哥的台词来说，就是“Show
me the money!”。&
　　这在其他自然科学中是很自然的想法。但是在数学中，尤其是纯数学中，当无人点醒时，如我一样资质不高的人就容易转晕了。这一点和现代教科书的写法也有很大关系。&
　　我想强调一点：“见森林”的基础是“见树”的功夫足够了。我们可以只看大的脉络而不看细节，是因为我们的基本功够扎实，有足够的自信能够在了解大方向和核心想法后，把东西全盘逆向工程出来。至于什么时候就可以从“见树”变为“见森林”了，我自己是一个跳跃过程，所以说不好。只能说，水滴石穿，水到渠成。&
　　最后一条，我在这章的习题解答里用了一点常微分方程论的结果。东西很简单，但是我写的时候图简洁，用了一点微分形式的语言。有感觉我装B而不爽的同学可以直接去读我给出的参考资料，那里用的是微积分的语言。本来那本常微分方程的习题解答应该先贴的，现在打乱了次序，大家见谅，以后一定补上。&
　　【第三章：复变积分】&
　　这一章的核心内容是柯西积分定理和柯西积分公式。后者其实是前者的推论，而前者则来自于解析函数的可微性对实部和虚部同时提出了要求，使得可以用格林定理建立一个和谐美好的世界。这个主线抓住了，其他的就都是细枝末节了。&
　　这一章都是很简单的计算，大家一线平推就是了。我把习题都做了，大家伙可以对照对照。&
　　考大家一个问题。微积分里面有中值定理 f(a) & f(b) = f’(c) (a &
b)。对于复可微的函数，这一条还对吗？如果不对，我们在实际工作中往往需要估计 |f(a) & f(b)|
的大小，如何估计？&
　　我上载的文档里有篇文献：qazi.pdf
，对第一个问题给出否定回答，并给出了反例。对于第二个问题，使用柯西积分公式就可以达到类似效果。所以解析函数一定是（局部）李普西茨的。&
　　【第四章：无穷级数】&
　　这一章没有太多的说法。总而言之，这就是为解析函数的一个等价定义做准备，与第五章其实是密不可分的。有兴趣的同学们可以去查阅历史上维尔斯特拉斯使用这种等价定义的来龙去脉。&
　　我的习题解答跳过了第6题第（4）小题，原因是没做出来。俺没觉得有啥不好意思：俺每道题都没有太多的时间去想，20分钟之内做不出来就会放弃。所以有题目一下子想不出来也很正常。反正俺也是颇做过一些难题的，不缺这几道。&
　　这一章结尾处讲了一点发散级数和渐进分析。我个人感觉没有讲透。但我不是这方面的专家，所以就不评论了。只是上载一些书中提过的和没提过的参考资料，清单如下：&
　　【1】 Hardy. Divergent Series.
（你要不知道这本书就谈“发散级数”，不如一头撞死）&
　　【2】 Wong. Asymptotic Approximations of Integrals
（美国工业与应用协会“经典应用数学丛书”中的一本）&
　　【3】 de Bruijn. Asymptotic Methods in
Analysis.&
　　【4】 Erdelyi. Asymptotic Expansions.
（美帝海军赞助，加州理工出品，短小精悍）&
　　【5】 Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and
Interpretation （看名字就知道比较平易近人）&
　　外加一个网上找到的笔记，一并放进“渐进分析”的文件夹里了。&
　　（待续，参考资料在这个主题结束时一并上传）&
　　【原创】漫谈数学物理方法和特殊函数（三） [ 厚积薄发 ] 于: 17:32:35
复:2556296&
　　【第五章：解析函数的局域性展开】&
　　在第四章完成相关的准备工作之后，这一章开始系统讲解析函数的一个等价定义：级数展开。这个等价定义的好处是便于我们研究解析函数的奇点和零点。&
　　从哲学的观点看，这是“形式决定内容”的一个具体例子。在语言学里，则是你的词汇表圈定了你所能表达的思想。&
　　在数学史上，这样的例子层出不穷：一个数学对象，在大家研究它很久之后，突然发现其实还有另外一种观点来看待它，从而引发了一系列新的进展。复分析的发展过程中，就曾经有过三种等价的看法：从分析的角度（可微性的定义），从级数展开的角度（这一章的局域性展开），从几何的角度（黎曼面）。&
　　大家可以尝试一下，如果不用级数展开这种“语言”，是不是这一章的很多结果不但不好证明，就是直观上也不那么显然了（例如解析函数的零点孤立定理和唯一性定理）？&
　　这章末尾的解析延拓我觉得讲得还不够透。还有就是省略了维尔斯特拉斯分解定理和米塔格-列夫勒定理。这两个定理的威力在于为函数的各种展开形式提供了一个统一的方法，从而把欧拉在
《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the
Infinite）里让人眼花缭乱的变化用一个统一的观点统摄了起来，达到了化繁为简的目的。我以后关于复分析的习题解答会给出较多的相关例子。&
　　习题没什么难度，我都做了，大家可以参考一下。&
　　【第六章：二阶线性常微分方程的幂级数解法】&
　　这章是幂级数的应用，背景是物理学中出现的各种常微分方程，也是引出各种特殊函数的源泉。习题比较繁琐，涉及不少计算，俺都做了。下面谈几点看法。&
　　第一，这一章的计算量比较大。老实说，见过更漂亮的数学之后，这些习题都没啥意思。不过我认为这是理工科学习的一个必经训练。如果我这个时间不够、精力不济的中年大叔都能坚持下来，全职在校读书的大学生们没有理由坚持不下来。这其实是对意志品质的一个磨练。对于这一点，我特别推荐忙总的一篇帖子作为参考：我觉得做事情要想顺利，保持不贪，不急，不忿的心态最重要&
　　第二，用幂级数方法解常微分方程，不可避免地涉及到解递归方程（recurrence
equation）。这也是我们公司面试的一个经典题目，其背景是计算机算法复杂度的分析通常由递归方程表出。这本教材里的递归方程大多是齐次的，有很简单的解法。但是对于非齐次的就麻烦一点。其实如何解递归方程，很多中学奥赛题里面就有--一般是用一个特殊的技巧来解决。&
　　但是从认识世界的角度看，越简洁的东西越容易记忆，尤其当我们面临的问题只是一类问题中的一个特例的时候。从这个角度出发，我个人偏好用生成函数的办法对齐次和非齐次的情形产生一个统一的解法。普林斯顿大学计算机系的一门离散数学课程有一个笔记对此作了系统总结，我把这个笔记也上载了，文件名是
solving_recurrence_relations.pdf。（模块化打补丁。。。）&
　　第三，在对线性方程求解的时候，教材里面使用了一点线性空间的基的概念。这个概念在线性微分方程解空间的应用可以在丁同仁、李承治的《常微分方程教程》里找到。再次道歉：本来我应该先贴线性代数的习题解答，再贴常微分方程的习题解答，最后循序渐进地来讲数学物理方法的。不过我现在急着结束一些事情，所以只能打乱次序，把这本习题解答先贴上来了。以后我会把线性代数和常微分方程的习题解答补充上来的。&
　　【第七章：留数定理及其应用】&
　　这一章的内容大概是数学物理方法里面讲的复分析的高潮了。高潮在于我们真正看到了复分析解决问题的威力：以前对各种稀奇古怪的定积分的求解，在数学分析里需要依赖于含参变量的积分，对技巧的要求比较高。现在则是有了一个统一的、甚至有些机械的方法：留数定理。同时我们也看到了多值函数的定义的确是有必要的：一些计算因此有了意义。&
　　几点说明。第一，第7题第(4)小题和第9题第（4）小题我没有做出来。大家尽管鄙视我吧，我一定保持情绪稳定。第二，这一章的计算题又臭又长，习题解答写了18页，所以有错误难免。凡是和书后的答案对不上的，我都加了注，大家自己查对吧。第三，我在习题解答里提到了几本复分析的参考书，除了方企勤的《复变函数教程》我没有电子版之外，其他三本都上传了，大家可以作为参考资料。&
　　我想重点介绍一下 Whittaker 和 Watson 的 A Course of Modern
Analysis。这一本书的价值在于，它写作于数学公理化运动（尤其是布尔巴基学派）彻底改变现代数学的表述形式之前，从而较好地展现了数学家、尤其是英国的分析学派是如何分析思考问题的（与此类似的是法国古尔沙（Goursat）的《分析教程》）。&
　　我前面曾经抱怨过现代数学教材写得不好：文雅的说法是割裂了数学与其他学科的联系，使得数学至少在表面上看起来成了数学家凭空创造的产物；通俗的说法则是：“太装B了”。&
　　这种看法不是我愤世嫉俗之语，不少成名的数学家都对现代数学一本正经、上来就是讲大套理论的做法不以为然。我曾经听过证明对数索伯列夫不等式的著名数学家Leonard
Gross教授的讲座。他曾是《泛函分析杂志》的主编。他讲泛函分析很有特色，一上来就装傻，“俺不懂啥抽象理论，俺就一研究数学物理的。俺对薛定谔微分算子很有兴趣，今天我们就来看看能不能七拼八凑地把这个算子折腾明白”。&
　　这和国内教材和教授讲课的情形形成鲜明的对比。我认为这除了个人风格以外，一个重要区别就是讲课人是否真地吃透了讲授内容，是否真地在活生生地使用这些内容，是否真地对自己的理解有足够的自信。F&
　　话题扯远了，有兴趣了解这本书的同学，可以读读
英文亚马逊网站上的书评。我自己在工作中曾经使用过这本书，里面很多结果很实用，可以用来做很细致的估计和分析。具体情况俺就不好多谈了。“臣失其密则失其身”，呵呵呵。F&
　　【第八章：伽玛函数】&
　　没啥多说的，书上讲得够明白，习题也不错。对于伽玛函数的很多实用公式，大家可以去Whittaker 和
Watson的书上查。&
　　【第九章：拉普拉斯变换】&
　　这一章第5题的第（1）（2）小题、第6题的第（3）小题、第7题，以及第8题的第（4）小题我都略过了。原因已经记不清了。可以确定的是第6题第（3）小题好像是没做出来，第8题的第（4）小题仅仅批注了一个“用Phi函数简单得多”，大家自己补全吧。&
　　诉一下苦。兄弟我都是熬夜做题。晚上下班后做到凌晨两三点，就是连续工作十几个小时了，铁打的大脑也神志不清了。如果有简单题目没做，大家也不要奇怪。实在是“强弩之末势不能穿鲁缟也”。&
　　【第十章：德尔塔函数】&
　　要理解定义德尔塔函数的动机，大家回顾一下我前面说过的那段话：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”然后看看由德尔塔函数引出的格林函数法是如何威力强大地解决问题的。&
　　这章内容要去华尔街上面试的兄弟姐妹们一定要操练纯熟。多的话俺就含笑不语了。F&
　　【第十一章：Mathematica中的复变函数】&
　　这一章没有习题，主要是介绍Mathematica这个软件的使用。其实我在前面的习题解答里已经使用它来验证我的计算结果了。这个软件的好处是能够做符号计算，也即可以帮我们推公式。它背后的支撑是各种各样的数学用表—以前我们需要手动查公式的地方，现在可以用Mathematica自动化操作了。&
　　一方面，这让数学家们的重要性下降了，另一方面，又把数学家解放了出来去做更重要的工作。我从来不会觉得Mathematica
抢了我的饭碗：这世界上等待我们去创造性解决的问题实在太多了。通过垄断已有的知识，尤其是过时陈旧的知识，来人为地制造门槛，从而显得自己牛掰轰轰，这是卢瑟的做法，也是“砖家叫兽”们赖以为生的伎俩之一。俺对此表示严重的不屑和鄙视。F&
　　（待续）&
　　【原创】漫谈数学物理方法和特殊函数（四） [ 厚积薄发 ] 于: 23:34:30
复:2556296&
　　现在谈谈《数学物理方法》这本教材的第二部分：数学物理方程。我把这一部分翻来覆去地看了几遍，发现将近两百页的篇幅其实就写了四个大字：“变换”、“逼近”。&
　　我承认我是懒人，时时刻刻都在琢磨如何偷奸耍滑，用最小的力气换取最大的回报。所以我会喜欢克莱因的《高观点下的初等数学》。所以我认为在周星驰的电影《鹿鼎记》里，陈近南实在是一个很有大爱的人：一上来就传授绝世武功秘籍的目录。这是真正地授人以道啊。同理，当我发现这本教材用两百页的篇幅只解释四个字的时候，我马上做了决定：“习题解答就做它了！”&
　　说数学物理方法只有这两条当然是不对的。但是从这两个观点看过去，确实可以统摄一批工具和技巧。接下来我就按章节逐一讨论，和兄弟姐妹们切磋一番。&
　　【第十二章：数学物理方程和定解条件】&
　　这一章是搭建主人公表演的舞台，没有什么可以多说的。物理学出身的人比我有资格得多，我就不聒噪了，老老实实做题。&
　　【第十三章：线性偏微分方程的通解】&
　　要去华尔街面试的兄弟姐妹们这一章要熟悉哈。原因俺就含笑不语了。&
　　这一章的方法有个明确的名目，曰“operational
calculus”。最早来源于一些数学家和工程师从形式上解微分方程的努力（大家熟悉的Heaviside
就是其中一位）。具体的做法就是把微分方程的求解通过形式化的微分算子，转化成代数方程求解。&
　　例如求解一个二阶常微分方程y’’(t) + a y’(t) + by(t) = 0。我们通常被告知：“先求解特征方程x^2 +
ax + b = 0，然后方程解的一般形式就是 c1 exp(x1 * t) + c2 exp(x2 *
t)了”。验证一下这确实是对的，可是除了死记硬背，怎么把这个技巧看得比较“自然”呢？&
　　办法就是把原方程看作（D^2 + a D + b） y = （D & x1）(D & x2) y = 0。这里 D
是微分算子。然后问题就简化为解一阶线性常微分方程 （D - x1）y = 0 和 (D & x2) y =
0。而这是可以通过积分因子法轻易求解的（参见丁同仁李承治的书）。最后利用解的线性叠加性，把方程的通解表示为两个基解的线性组合就行了。所以这么一道微分方程求解的题目，把“变换”和“逼近”这两个思想都用足了。&
　　这是一个很好诠释数学家们口耳相传的一个常识的例子：“一开始，我们只是发现了一个技巧；然后技巧演化成了一个方法；最终方法变成了一个理论”。&
　　所以在很多情况下，用这种形式化的算子法来解微分方程，当其适用的时候，往往是最简单的。丁同仁李承治的《常微分方程教程》有一章专门讲这个方法。但是第二版却把相关内容拿掉了，俺很不解，也很不满。F&
　　这种形式化的operational
calculus能够解线性常微分方程，也能够解线性偏微分方程。这就是第十三章的一条主线。其他还有一些相关不相关的细节，大家逐一学习就是了。习题当然还是全做。&
　　【第十四章：分离变量法】&
　　我第一次读变量分离法的时候，先是不信：“你咋知道解可以写成变量分离的形式”？然后就是掉眼镜了。。。&
　　其实回过头来看，这无非就是逼近罢了。以求解一个二元偏微分方程为例。基本想法就是把未知函数 f(x,y) 用形如 g(x)h(y)
这样的函数的线性组合来逼近。而每一个g(x)
和h(y)又各自用一组基来表示。这个想法是很自然的，例如用多元多项式去逼近多元函数，用傅立叶级数去构造一个函数，等等。&
　　碰巧我看到最近还有人在研究这类问题：&
　　V. A. Daugavet and M. V. Kireeva. Approximation of a Function of
Two Variables by a Product of Functions of One Variable on a Given
Domain. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2010, Vol.
43, No. 3, pp. 131-138.链接出处&
　　所谓的“本征函数”，无非就是满足一定限制条件的逼近函数而已。为了能够达到逼近的目的，我们还需要确认它们构成了函数空间的一组基。而为了让逼近方式尽量简洁，我们还希望取正交基，等等。这大致就是后面第十八章解释的“高观点”。&
　　第十四章的习题我略掉了第4题、第8题、和第11题。主要是因为我的大学物理已经忘光了。不太确定我列出的数理方程是正确的。&
　　【第十五章至第十七章】&
　　这几章并没有什么新的东西。无非就是如第十五章开篇所言，由于微分方程的作用区域不同而需要引入新的坐标，从而导致产生新的方程、新的函数（作为方程的解）。&
　　这几章涉及的计算虽然直接，但是量实在是太大了。我一是体力上吃不消了，二是觉得在技巧上并没有新东西需要展示的。所以我就只挑了其中一部分给出了解答，而没有全做。有兴趣的同学们可以自己把解答补全。容我偷懒了。&
　　【第十八章：分离变量法总结】&
　　这一章的内容和动机已经在前面解释过了。大家逐一做题就是了。题目简单，当然还是全做。&
　　(待续。需要睡觉了，明天写完。）&
　　【原创】漫谈数学物理方法与特殊函数（五） [ 厚积薄发 ] 于: 11:43:00
复:2556296&
　　【第十九章：积分变换的应用】&
　　习题解答做了第1-4题。第5题偷懒没做；第6题不知该如何列方程。&
　　关于这章我没有什么太多可说的。只是提供几本关于积分变换的参考资料。&
　　1. U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier
Transform Methods in Finance.&
　　2. B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd
　　3. L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their
Applications, 2nd edition.&
　　4. D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential
Equations, 2nd edition.&
　　5. A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I,
　　6. A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd
　　7. J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and
Applications.&
　　谈几点看法。&
　　第一、在没有Mathematica的年代，物理学家和工程师往往需要查这些手册表格来推演公式。即使现在有了Mathematica，有这些资料在案头做参考也是好的：兄弟我就曾经在工作中把Mathematica搞得神经崩溃了，后来靠了手动查资料才解决问题（
有些怀念那段和特殊函数们同吃同睡的日子了）。&
　　第二、无论理论上多么漂亮，实践中我们都需要用计算机来进行计算。所以我们不能只满足于推导一些closed-form的公式，而要确实解决问题。说白了，就是要给出一个数字作为结果，并给出误差估计。&
　　在这方面，理论结合实际、实践检验真理的典范就是把我们学来的理论方法用到挣钱、卫星上天这种事情上去：数字不准或者误差估计不好，就是公司破产、个人破财、国家航天事业受损这样“影响极其恶劣，不杀不足以平民愤”的结果。F&
　　所以我在这里重点推荐 Fourier Transform Methods in Finance 和 Transform
Methods for Solving Partial Differential
Equations这两本书。前者浅显易懂，直接应用到了金融建模中。后者的作者 Dean
Duffy博士毕业于麻省理工，曾长期为美国军方效力（美国海军学院、美国军事学院、美国空军），现在是美国航空航天局的工程师。他写的这本关于积分变换的书和另外一本关于格林函数的书（稍后会提），实用性和针对性都非常的强，解决的都是他自己和他的同事朋友们在工作中遇到的实际问题。他写书的一个特色就是提供“一条龙”的解决方案：不但有理论公式推导，更重要的是有数值计算的解决方案。&
　　当然我们不能指望他在书中告诉我们他都工作过哪些具体问题，但是我希望国内的工程技术人员能够从中有所收益。&
　　第三、以我浅薄的学问，是没有资格在这里谈论数学物理方法和特殊函数的 ---
专业不对口啊。而且老实说，中国大学里本科阶段教授的数学物理方法是非常简单的，不足以专门用来开帖讨论。但我终究还是冒昧地开贴了。无他，有恃无恐的是“钢多气少”，也就是资料丰富而已。&
　　抗美援朝的时候，毛主席曾有“美国人钢多气少，中国人钢少气多”的评论。时代发展到今天，由于互联网和开放课程开源运动的兴起，中华民族正面临一个千载难逢的赶超机会。如果我的这个系列帖子能够把美国的“钢”源源本本地传递给国内的学子和科技人员，那我的一个主要目的就达到了。这大概就是历史对于我们这些尴尬地夹在时代的裂缝之间的过渡性人物的要求吧。F&
　　【第二十章：格林函数】&
　　我对教材里的讲法不太满意，主要是太强调技巧，有些见“树”而不见“森林”的感觉。我所心仪的讲法是把格林函数作为微分算子的逆算子来看。然后从这个“高观点”出发，对各种寻找格林函数的技巧做一个统一处理。这种讲法的好处是可以把有限维线性空间、积分方程、泛函分析作为一个有机的整体，按照华罗庚先生“一条龙”的方式一气呵成地讲出来。尤其考虑到北大版的这本教材没有专门讲积分方程（复旦版则讲了）。&
　　这种讲法的路线图是先从Roach 的 Green’s Functions
开始，从线性代数自然地过渡到积分方程，引出高观点。然后介绍上文提到过的Dean Duffy博士的Green’s Functions
with Applications，尤其强调具体的使用和数值方法。最后再介绍Dieudonne的History of
Funtional Analysis，为以后泛函分析的学习打下坚实的基础（例如前面提过的Lax的 Functional
Analysis，或者是Lebedev和Vorovich合著的Functional Analysis in
Mechanics）。&
　　我原打算把Roach书上的习题都解答一遍（都不难），然后再把吴崇试书里这一章的习题解答一遍，并在适当的地方给予“高观点”的评论。但遗憾的是，我一直没有时间精力完成此项工作，所以这一章的习题解答只好交白卷了。作为补偿，我上传了Duffy、Dieudonne、Lebedev
Vorovich的书，大家可以自己尝试一下，看这条路是否走得通。&
　　【第二十一章：变分法初步】&
　　这一章的内容其实比较庞杂，理论分析、数值解法都有一些。我学习时的主要参考书是 Gelfand 和 Fomin 合著的
Calculus of
Variations。这大概是学术界公认的最好的变分法教材。比较突出的特点是叙述非常详细，读来有娓娓道来的感觉。同时覆盖面很广，短短200多页的篇幅，把变分法的来龙去脉解释得一清二楚。其中场论的章节对于物理系的同学们以后学习分析力学（汉密尔顿力学和拉格朗日力学）帮助很大。该书对于控制论的学习也不无裨益（参见Fleming
和 Rishel的著作 Deterministic and Stochastic Optimal
Control。这本书很有名，但是我个人不推荐。）&
　　Calculus of Variations这本书的作者之一Gelfand
（中译名盖尔方德）是前苏联著名数学家，苏联数学学派的领袖人物，列宁奖和沃尔夫奖获得者，皇家学会会员，美国科学院外籍院士，“二十世纪最伟大的数学家之一”（纽约时报）。所以从这本书里学习变分法，不用担心投错了主公。事实上，如果让我来开一个一学期的变分法课程，我一定会选这本书，并且让学生们把章末的习题都做一遍。&
　　回到吴崇试的《数学物理方法》。章末有6道习题，我只做了第1-3题。原因是去年冬天熬夜熬得太厉害，最终生病了，所以写完第3题的解答后就去度假休养了--赶在了BP漏油之前玩了西加勒比海，呵呵呵F。&
　　课本上最后一节讲了一点瑞利-里兹方法。我觉得篇幅太短，讲得不够透彻。所以从 Gelfand &
Fomin的书上摘录了部分内容，做了一个小结。这是习题解答里的第21.2小节。同时也摘录了他们书上的3道习题，做了解答。&
　　有意思的是，在我对其中一道习题给出解式，并试图用Matlab做一个数值试验的时候，Matlab报错了。原因是计算涉及的矩阵性质不太好，造成了算法的不稳定性。我正在写
Numerical Linear Algebra (by Trefethen and
Bau)的习题解答。到时候大家可以试试看，用上数值线性代数的知识，我们是否能够设计出稳定强健的算法来。&
　　我希望这个例子可以让同学们意识到，写出公式只是第一步，后面还有大量的工作需要做。做理论的千万不要觉得自己了不起翘尾巴，一定要和工程师以及一线的技术工人一起摸爬滚打，才能真正地把问题吃透解决掉。&
　　【第二十二章：数学物理方程综述】&
　　对于这部分内容，我建议大家查阅丁同仁李承治的著作《常微分方程教程》（高等教育出版社）最后两章的内容作为补充（首次积分、一阶偏微分方程）。&
　　我在这章的习题解答里加了一个小结，对二阶线性偏微分方程做了一个总结。章末的习题也都做了，希望对大家有所帮助。&
　　文末我加了一个附录，活学活用对数学金融里的 Black-Scholes
方程的推导及解答做了一个示范，希望对大家准备面试有所帮助。&
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　基本上这就是我要谈论的了。我这一路下来，对吴崇试教授的这本教材提了不少批评意见，可能有读者对此有看法，或者对我个人，或者对这本书。我解释一下。&
　　这本书是一本相当不错的教材，和国内外的同类教材相比较并不逊色。否则我也不会为它写了100多页的习题解答。由于篇幅所限，这本书作为本科生的入门教材没办法讲太多的东西，而我又带着“引出更多参考资料”的目的，所以批评起来难免刻薄，让人觉得这本教材写得太浅。&
　　同时，我个人又带着学数学出身的偏见，哲学观方法观和物理科班出身的有所不同。例如我偏好用统一的“道”去统摄各种具体的“术”，这是典型的布尔巴基风格（我出身法国概率学派，所以这个毛病非常的明显）。&
　　但这是后知后觉的“整理”，与现实中科研进展的曲折反复是不符合的。推而广之，用“高观点”整理过的东西，往往容易让人误以为历史的发展是线性的。实际上这是违背历史的本来面目的。&
　　我借此场合再次重申一点：我自己学问不高，前面的若干见解几乎都是自己瞎琢磨。所以偏颇乃至错误是难免的。请大家用批判的态度阅读我的帖子。&
　　接下来给上传资料写个总目录，并做点评论,尤其是关于数值方法的。随后结束“数学物理方法和特殊函数”这个主题。&
　　（待续）&
　　【原创】漫谈数学物理方法与特殊函数（六--完） [ 厚积薄发 ] 于: 14:49:41
复:2556296&
　　文件上载在http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。下面是上传文件的目录。&
　　北大版《数学物理方法》（第二版，吴崇试编著）习题解答（solution_PKU_methods_of_math_physics.rar）&
　　【1】wu_public.tex,
wu_public.pdf&
　　【2】qazi.pdf&
　　【3】rieman_surface_1.pdf,
rieman_surface_2.pdf&
　　【4】solving_recurrence_relations.pdf,
solving_recurrence_relations.ps.&
　　渐进分析（asymptotic_analysis.rar）&
　　【1】Hardy. Divergent Series&
　　【2】Wong. Asymptotic Approximations of
Integrals&
　　【3】de Bruijn. Asymptotic Methods in
Analysis.&
　　【4】Erdelyi. Asymptotic
Expansions.&
　　【5】Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and
Interpretation&
　　复分析（complex_analysis.rar）&
　　【1】J. B. Conway. Functions of One Complex Variable, 2nd
　　【2】Gong Sheng. Concise Complex Analysis, 2nd edition.
(有中文版《简明复分析》，龚昇著)&
　　【3】E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern
Analysis.&
　　【4】T. Driscoll and L. Trefethen. Schwarz-Christoffel
　　我不是相关的专家，但是我依稀记得共形映射（conformal
mapping）在流体力学和电磁力学中很有用，因为它可以把不规则区域映射为性质很好的规则区域，从而把不规则区域上的偏微分方程变换为定义在规则区域上的偏微分方程，以便于我们求解。这种变换的一个系统方法就是Schwarz-Christoffel
mapping。参考资料【4】的作者之一Lloyd
Trefethen是牛津大学著名的数值分析学家。他在【4】这本书里面，为各种区域之间的共形变换提供了具体的公式和数值方法，非常实用。希望这本短小精悍的专著能够对我们的工程技术人员有所帮助。&
　　积分变换（integral_transform.rar）&
　　【1】U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier
Transform Methods in Finance.&
　　【2】B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd
　　【3】L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their
Applications, 2nd edition.&
　　【4】D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential
Equations, 2nd edition.&
　　【5】A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I,
　　【6】A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd
　　【7】J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and
Applications.&
　　格林函数（greens_functions.rar）&
　　【1】D. Duffy. Green’s functions with
Applications.&
　　【2】J. Dieudonne. History of Functional
Analysis.&
　　【3】L. P. Lebedev and I. I. Vororich. Functional Analysis in
Mechanics&
　　变分法（calculus_of_variations.rar)&
　　【1】I. M. Gelfand and S. V. Folmin. Calculus of
Variations.&
　　【2】W. G. Smiley and G. C. Evans. The First Variation of A
Functional. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 36, Number 6 (1930),
　　数学物理方法（methods_of_math_physics.rar）&
　　【1】R. Courant and D. Hilbert. Methods of Mathematical Physics I,
　　【2】P. Morse and H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics, I,
　　【3】C. Harper. Analytic Methods in
　　【4】C. Pope. Methods of Theoretical
　　【5】M. Masujima. Applied Mathematics in Theoretical Physics.
（主要关于积分方程和变分法）&
　　【6】L. I. Sedov. Similarity and Dimensional Methods in
Mechanics.（维度分析，对物理专业有用）&
　　数学物理方法中文教材（chinese_methods_of_math_physics.rar)&
　　【1】《数学物理方法》（复旦大学出版社，胡嗣柱、倪光炯编著）&
　　【2】《数学物理方法解题指导》（高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军著）&
　　【3】《数学物理方法教程》（南开大学出版社，潘忠诚编）&
　　【4】《数学物理方法》（科学出版社，汪德新编著）&
　　【5】《广义函数与数学物理方程》（高等教育出版社，第二版，齐民友、吴方同编）&
　　【6】《数学物理方法》（李政道）&
　　偏微分方程解析解（pde.rar）&
　　【1】H. Bateman. Partial Differential Equations of Mathematical
　　【2】G. Evans, J. Blackledge and P. Yardley. Analytic Methods for
Partial Differential Equations.&
　　【3】R. Iorio and V. Iorio. Fourier Analysis and Partial
Differential Equations.&
　　【4】S. V. Meleshko. Methods for Constructing Exact Solutions of
Partial Differential Equations.&
　　特殊函数（special_functions.rar）&
　　【1】W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling and B. Flannery.
Numerical Recipes in C, 2nd
　　【2】M. Abramowitz and I. Stegun. Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical
　　【3】I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series,
and Products, 7th edition.&
　　【4】G. Andrews, R. Askey and R. Roy. Special
Functions.&
　　【5】R. Bellman. A Brief Introduction to Theta
Functions.&
　　【6】A. Cayley. An Elementary Treatise on Elliptic
Functions.&
　　【7】A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1, 2,
　　【8】A. Levelt. Hypergeometric
Functions.&
　　【9】A. Nikiforov and V. Uvarov. Special Functions of Mathematical
　　【10】G. Szego. Orthogonal
Polynomials.&
　　【11】E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta
Function.&
　　【12】Wang and Guo. Speical
Functions.&
　　【13】王竹溪，郭敦仁：特殊函数论&
　　【14】G. Watson. A Treatise on the Theory of Bessel
Functions.&
　　【15】A. Zygmund. Trigonometric Series, Volume I,
　　【16】刘式适，刘式达：特殊函数&
　　前面说过，无论多好的理论，多漂亮的公式，最后往往都需要用计算机实现出来。Numerical Recipes in C
这本书是就是帮助我们实现这一步的经典参考书，其中介绍了很多实现特殊函数的算法，并配有C代码。&
　　Abramowitz & Stegun和Gradshteyn &
Ryzhik则是非常实用的数学手册，里面给出了各种函数的逼近公式，便于我们用计算机代码去实现。前者在美国非常流行，连同Numerical
Recipes in
C，在我同事们间几乎是人手一册。后者则在前苏联地区享有盛誉，是俄国人做科研经常引用的文献。&
　　对于工作中涉及数值计算的网友们来说，可能这三本参考书的有用程度超过了我前面所有的“高观点”和习题解答的总和。F&
　　（完）
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