如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x+b与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B．
（1）填空：b=8；
（2）已知点P是y轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
①若PA=PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②当⊙P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离．
（1）将A点坐标代入直线1中即可求出b．（2）①当PA=PB，题中等量关系OA的平方+OP的平方=AP的平方．根据等量关系求出OP，然后可以判断⊙P与直线l的位置关系．②根据相切以及直线1的方程求出BP，然后求出OP．（1）b=8；（3分）（2）由（1）得B（0，8）设OP=x，则AP=BP=8-x，在Rt△AOP中，由勾股定理得42+x2=（8-x）2（4分）解得x=3（5分）∵PO=3=半径∴⊙P与x轴相切．（6分）（3）当点P在点B下方时，如图，设⊙P1与直线l相切于点M，连接P1M，则P1M=3由△BMP1∽△BOA得$\frac{{M{P_1}}}{OA}=\frac{{B{P_1}}}{AB}$（7分）即$\frac{3}{4}=\frac{{B{P_1}}}{{4\sqrt{5}}}$，解得$B{P_1}=3\sqrt{5}$∴$O{P_1}=OB-B{P_1}=8-3\sqrt{5}$（8分）当点P在点B上方时，如图，设⊙P2与直线l相切于点N，连接P2N，同理可得$B{P_2}=3\sqrt{5}$，（9分）$O{P_2}=OB+B{P_2}=8+3\sqrt{5}$（10分）综上所述，此点P与原点O间的距离为$8-3\sqrt{5}$或$8+3\sqrt{5}$．（11分）（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．-乐乐题库
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（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12√3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2√3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-红河州
分析与解答
习题“（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A...”的分析与解答如下所示：
（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；（4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．
解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=OBOA=1212√3=√33，∴∠OAB=30°．（2）如图，连接O′P，O′M．当PM与⊙O′相切时，有：∠PMO′=∠POO′=90°，△PMO′≌△POO′．由（1）知∠OBA=60°，∵O′M=O′B，∴△O′BM是等边三角形，∴∠BO′M=60°．可得∠OO′P=∠MO′P=60°．∴OP=OO′otan∠OO′P=6×tan60°=6√3．又∵OP=2√3t，∴2√3t=6√3，t=3．即：t=3时，PM与⊙O‘相切．（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．∵∠BAO=30°，AQ=4t，∴QE=12AQ=2t，AE=AQocos∠OAB=4t×√32=2√3t．∴OE=OA-AE=12√3-2√3t．∴Q点的坐标为（12√3-2√3t，2t），S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=12o12o12√3-12o2√3to(12-2t)-12(12√3-2√3t)o2t-12o2t(12√3-2√3t)=6√3t2-36√3t+72√3=6√3(t-3)2+18√3． （0＜t＜6）当t=3时，S△PQR最小=18√3；（4）分三种情况：如图①当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=12√3，∴2√3t+4t=12√3．∴t=6√3√3+2，或化简为t=12√3-18；②当PQ2=AQ2=4t时，过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．∴PA=2AE=2AQ2ocosA=4√3t，即2√3t+4√3t=12√3，∴t=2；③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．AH=PAocos30°=（12√3-2√3t）o√32=18-3t，AQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t，∴t=3.6．综上所述，当t=2或t=3.6或t=12√3-18时，△APQ是等腰三角形．
此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．
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（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动...
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经过分析，习题“（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A...”主要考察你对“切线的判定”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
与“（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A...”相似的题目：
如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线．
如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．&&&&
已知：如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，∠AOD=∠APC．求证：AP是⊙O的切线．&&&&
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（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动...
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该知识点好题
1下列命题中，为真命题的是（　　）
2（2002o咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（　　）
3（2011o江西模拟）如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD=120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC=BC；②AC=OC；③OC=BC；④AB=BD中，能使命题成立的有&&&&（只要填序号即可）．
该知识点易错题
1已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于12BG．则其中正确的是（　　）
2有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（　　）
3有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）等腰梯形一定有一个外接圆；（7）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2010o红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12根号3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2根号3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．”相似的习题。【答案】分析：（1）由直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标．（2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90&从而得∠OMB=90&．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值．（3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15-3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=-时对应的S的值即可求出此时的最大值．②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90&时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．解答：解：（1）在y=-x+9中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．又抛物线经过B，C两点，∴，解得∴y=-x2+x+9．于是令y=0，得-x2+x+9=0，解得x1=-3，x2=12．∴A（-3，0）．（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM．∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90&．∴∠OMB=90&．∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线．而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO．又∵∠POM+∠OBM=90&，∠PMO+∠PMB=90&，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB．∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）．∴当t=3秒，PM与⊙O′相切．（3）①过点Q作QD⊥OB于点D．∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=．又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t．∴S△BPQ=BP?QD=．即S=．S=．故当时，S最大，最大值为．②存在△NCQ为直角三角形的情形．∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO．∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90&，只存在∠NQC=90&和∠QNC=90&两种情况．当∠NQC=90&时，∠NQC=∠COA=90&，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=．当∠QNC=90&时，∠QNC=∠COA=90&，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得．综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，以及圆的切线的有关性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．（1）求点B的坐标；（2）当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标．
科目：初中数学
（2012?渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是．
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为5．
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数的解析式为（　　）A．B．C．D．
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．（1）求梯形OABC的面积；（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．（2000o绍兴）如图，以⊙O两条互相垂直的直径所在直线为轴建立平面直角坐标系，两坐标轴交⊙O于A，B，C，D四点，点P在弧CD上，连PA交y轴于点E，连CP并延长交y轴于点F．
（1）求∠FPE的度数；
（2）求证：OB2=OEoOF；
（3）若⊙O的半径为，以线段OE，OF的长为根的一元二次方程为x2-x+m=0，求直线CF的解析式；
（4）在（3）的条件下，过点P作⊙O的切线PM与x轴交于点M，求△PCM的面积．
（1）根据圆周角定理可知∠APC=90°，很显然∠FPE=90°．
（2）很显然本题要证的是△OCF和△OEA相似，这两个三角形中已知的条件有一组直角，而∠OAE和∠OCF是一组对顶角的余角因此也相等，得出这两个三角形相似后可知：OAoOC=OEoOF，而OA=OB=OC，由此可得证．
（3）根据韦达定理可知OEoOF=m，根据（2）的结论可知：OEoOF=3，因此m=3，据此可求出OE，OF的长，即可得出F的坐标．
根据C、F两点的坐标可用待定系数法求出直线CF的解析式．
（4）根据（2）可得出E点的坐标，也就能求出直线AE的解析式，联立直线CF的解析式即可得出P点坐标．
连接OP，则OP⊥PM，可先求出直线OP的解析式，然后根据OP⊥PM得出直线PM的解析式即可求出M点的坐标．
已知了M点的坐标就能求出MC的长，然后根据P点纵坐标即可求出△MCP的面积．
（另一种解法：先在直角三角形APC中，用AC的长和∠CAP的余弦值求出AP的长，同理求出PN，AN的长，即可得出ON的长．然后在直角三角形OPM中根据射影定理求出MN的长，即可求出MC的长，已知了MC和PN的长即可求出三角形PMC的面积．）
解：（1）根据圆周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．
（2）∵∠OAE=∠PFE=90°-∠OEA=90°-∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∵OA=OB=OC，
∴OB2=OEoOF．
（3）由题意知：OEoOF=m=OB2=3，
x+3=0，解得x=√3&
，x=2√3&．
∵OF＞OE，
，OF=2√3，即E（0，-√3
），F（0，-2√3）；
设直线CF的解析式为y=kx+b，易知：C（-√3，0），则有：
{b=-2√3-√3k+b=0&，解得{b=-2√3k=-2．
∴直线CF的解析式为y=-2x-2√3．
（4）过P作PN⊥x轴于N．
在直角三角形OAE中，OA=√3，OE=√3
，因此AE=√15&
在直角三角形ACP中，AP=ACocos∠OAE=ACoA
在直角三角形APN中，PN=APosin∠OAE=APoE
AN=APocos∠OAE=√3
∴ON=AN-OA=√3
在直角三角形MPO中，根据射影定理可得：
PN2=ONoMN，∴MN=√3
∴MC=MN+PN-OC=√3
∴S△PCM=oMCoPN=×√3