[转载]有限元方法是我们认识世界的科学工具
& &（FEA）即，它是一种()工具，但不是唯一的工具。在工程领域还有其它的数值方法，如：有限差分法、边界元方法、有限体积法。但由于FEA具有多功能性和高数值性能，使它占据了绝大多数的工程分析市场，其它的因此而被归入小规模应用。
&已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。事实上，已经成为在已知边界条件和初始条件下求解偏微分方程组的一般数值方法。
&在工程上的应用属于的范畴，而是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种，解决力学中的实际问题的一门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围，同时也在逐渐发展自己的理论和方法。&
&从大的方面说，有如下的研究内容：
&物理（Physics）、
&分析（Analysis）、
&几何（Geometry）、
&数值方法（Numerical
method）、
&拓扑（Topology）、
&可视化（Visualization）、
&数据结构（Data
structure）、
&AI（Aritificial
Intelligence）、
&优化（Optimization）。
&&&&&&&&&是指研究问题的背景，当年冯康教授、钱伟长教授、胡海昌教授等正是从许多物理背景模型特别是固体力学出发成为一代有限元法大师的，有限元方法应用的领域非常广阔，在固体力学、结构动力学、流体力学、传热学、电磁场、渗流力学等领域发挥着很大的作用，在数学方面，像偏微分方程等也有很大的用途。
&&&&&&&&&是指有限元法的数学基础为变分原理，它将物理模型的连续方程、守恒方程等转化为变分形式，变分问题和原来的偏微分方程是等价的，变分原理降低了原来偏微分方程解的连续性要求。变分的不同构造形式衍生出了多种多样的有限元的分枝。
&&&&&&&&&是需要计算具体实现的，实现时首先要划分计算网格，网格从本质上是几何问题，单元的几何形态对精度有影响，因此不可能随便划分单元，像边界元法只需要在边界上划分，它的基础是格林方程，无网格方法只需要在域内部点即可。任何物理场的存在都能视为一种几何结构，单元的集合构成了物理场全部的几何信息，涉及到几何问题，自然可以使用几何方法，比如边界表示法等，划分是计算几何的研究内容，目前已经完全做到了几何实体的表示到有限元网格数据的自动转换。
&&&&&&&&在具体计算时最消耗时间，可见数值计算在有限元方法中发挥着可以省工省时的作用，数值计算包括数值积分、线性代数方程求解、特征值求解三方面。后两个是纯算法问题，算法的构造直接影响着计算的效率，经过几十年的研究，诞生了很多高效、稳定的算法，任何好的算法都是计算时间与数据贮存空间的某种“平衡”，数据贮存空间分为内存与外存，省时间的算法占空间，省空间的算法费时间，目前的算法很少有人考虑空间问题；有些算法还考虑了硬件环境，如并行算法，一个值得注意的方向是所谓“Cluster”计算机，它将多种性能的计算机按照一定协议连接，可得到巨大的计算性能，形成所谓的“计算力”，而软件获取费用几乎是免费的。实际上用户可以想象，完全可以利用因特网或局域网上的空闲资源，为密集数值计算服务，比如问题有一亿个自由度，不同用户可以计算出方程中一个小块的某种特性，为解方程所用。目前这在解方程领域还是处女地，但在密码分解、素数分解、素数发现等领域已有实现。“网格”系统是一个新的概念，有限元在其上的应用是一个发展方向。基于完全异步的松耦合系统的算法是绝对是未来几十年的发展方向。
以上四个方面是基本的，下面几点是一些技术因素：
在中，节点和单元都是需要互相连接的，这可以视为一种拓扑结构，节点的位置可以变化，拓扑连接不变，依照这种拓扑结构甚至能构造出不同物理形状的物体，拓扑连接在结构优化时也非常关键。
无论是物理场还是几何场，人们总希望以某种形象的方式表示它，这样就能研究场的细节，这就是可视化的内容。目前，可视化几乎成了有限元软件的基本要求，从前处理到后处理，用户对可视化提出来非常高的要求，前处理要求和CAD软件无缝集成，后处理则要求和一般的可视化软件集成，这样能大幅度降低开发成本。
数据结构是研究数据贮存和检索的科学，在有限元程序中数据结构可以说是系统分析的内容，系统分析一般用结构化方法或OOP方法，这时要确定模块的功能，甚至要考虑硬件的能力，比如贮存能力，用何种方法贮存“总体刚度”矩阵，像这方面的内容有带宽压缩贮存、稀疏矩阵贮存等，这方面的技术非常成熟，依靠专业的数据库服务器是最佳选择。
AI指人工智能，人工智能是研究逻辑及其推理的科学，有限元法和它结合可以解决求解策略、人工干涉程序计算方向的问题，目前有关人工智能的应用还不多见，商用软件也未考虑此方面的因素，这个领域是广阔的。
优化问题在有限元中有这几个方面的需求，如边界形状优化、最小质量、等强度、等应变、动力学参数优化等，优化问题的特点是变量多（几十/数百），许多实际的优化算法这样多的变量中稳健性还有待提高。优化问题要必须考虑K*U=P、K(U)*U=P(U)、K*U=alpha*M*U方程的灵敏度分析，这是个公认的难点问题，精确计算往往因为计算量太大而用差分法来替代。
未来的一些可能方向：
1）辛问题：将问题转化为辛几何问题，建立基于辛几何场的有限元方法，辛几何是面积守恒的，可望在大尺度时间、大空间尺度等应用领域（如天体、粒子的大范围输运等）发挥作用；
2）斯塔法问题：建立完整的全空间、全时间尺度的有限元方法，以解决两相乃至多相的自由边界问题，如轧钢、南极的冰线移动预测等；
3）发展方程：如孤波问题，孤波是强非线性问题，如果能使用有限元方法比将开阔一个新的领域，目前已有研究，但是高维问题进展缓慢，这类问题目前在光通信领域有迫切应用；
4）计算材料学问题：从原子、分子、团簇等的原始物理方程，研究介质的微观或者宏观性能，是计算材料学的目标，但是微观粒子的互相作用模型大都是强非线性，弱解方程的建立，以及如何与宏观的物理量，如应力等建立有效联系还是很大的问题；计算材料学所涉及的海量计算一般用户难以承受。
5）湍流问题：目前已经有一些较好的方法，如有限体积法等，仍需深入，目前湍流问题实际上根本不是算法问题，而是介质的物理模型问题；人们对湍流的认识可能还受到目前科学技术水平的限制。
6）相变问题、多物理场耦合问题：物质的相变或多场作用产生了特定的行为，相变意味着从一种稳态跃迁或者变化到另一种稳态，描述这种强烈的非线性行为，有限元方法还可能应用吗？在何种尺度上应用？多物理场耦合问题目前热点很多，关键是不同场的作用机理，方程的解耦等研究，单从方法上，原创点不多。
7）分子力学、纳米力学问题：在分子、纳米的尺度上，介质或材料展现了迥异的行为，这是目前的研究热点，目前这类问题还主要是物理问题，有限单元方法只是一种算法、思想；如果科学家们研究清楚了分子之间的互相作用、纳米团聚间的互相作用，才可能到有限元发挥作用的时候。
8）与小波分析结合：“小波”被称为“数学显微镜”，对于时关系统，时间与频率是同一系统的两个不同方面，缩短时间与就能提高频率的分辨率，这种思想可说是“奇妙的”，有些类似有限元中的谱法；受小波法启示，如果在有限元中能够找到一对分辨率彼此消长的物理量，有可能大大提高有限元的应用效率，在有限元中单元的大小与求解精度就是这样一对物理量，还有其它的吗？
9）经济、社会、管理领域：像目前固体力学中的多尺度方法一样，在经济、社会、管理应用领域微观行为及其发展研究非常热，我们想，在一个自封闭的系统内，只要存在两种微观团体的互相作用，互相作用的关系是可以量化的，这种作用能够使得“系统”稳定，耗散最小，能量最低，“系统”演化可以量化，有限元方法就一定能够发生效用。当然这并不排斥其它的解决方法。
在研究时，理解解析与数值计算的关系、理解逼近的思想、理解抽象与具体的相互关系，会发现此法是一个方法学集大成者，它不但将多种概念汇聚一身，又衍生出多种多样的研究内容，无怪乎科学家们将它作为20世纪应力力学的最伟大成就之一。
&&&&&&&&&不是万能的，关键是其思想，它完美的体现了哲学中局部与整体的关系，要解决整体问题，必须先研究局部问题，局部问题研究清楚后，还要研究局部之间作用的关系，然后各个局部在一个统一的坐标尺度下综合，还要考虑整个系统和外部的关系，最后得到全局的特征。这种思想是自然的，符合人类的思维规律，与企图用公理化或者纯解析化的思想来解决问题不同。人类最关心全局的东西，比如宇宙，及它的过去、现在和将来，但要穷极完全时间尺度、完全空间尺度的全局的性能只是人类的“梦想”，并不符合认识论的一般规律，有些时候完全的“穷极”可能会导致“悲观化”。
&&&&&&&&&不能解决全部的问题，但这种局部与整体的思想加上计算机技术将这种工具发挥的淋漓尽致。早在创立以前，科学家们就已经有了思想的“雏形”，比如：瑞利-里兹、伽列金等，但因计算工具落后，难能将这种思想发扬光大，当时他们根本无法看到用这种方法解决大范围问题的希望，只能在较小的范围内应用，但确也取得了巨大的成就。
& &&&综上，有限元方法是我们认识世界的科学工具。
（以上改编自Internet）
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有限元法的发展简史
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长；圆周率的
求法…等。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。1941年A.Hrennikoff首次提出用构架方法求解弹性力学问题，当时称为离散元素法，仅限于杆系结构来构造离散模型。
<font COLOR="#1A年，纽约大学教授Richard
Courant第一次尝试应用“定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合”来求解St.Venant扭转问题。
1950年代，美国波音公司首次采用三结点三角形单元，将矩阵位移法应用到平面问题上。
20世纪60年代初，克拉夫（Clough）教授首次提出结构力学计算有限元概念。
我国著名力学家，教育家院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国
。他于1974年编著出版了我国第一部关于有限元法的专著《弹性力学问题的有限单元法》&
有限元发展至今，其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象已从分析和校核发展到优化设计并和CAD技术相结合。&
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是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、等连续性问题。
目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC
这四个比较知名和比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在方面有较强的能力，目前是业内最认可的两款&ANSYS、MSC进入比较早，所以在国内知名度高且应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA以外的其它三个必须与别的软件搭配方能进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。
ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析，目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件，目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大，但进入中国时间比较晚，市场还没有完全铺开。
结构分析能力排名：
ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS
流体分析能力排名：
ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS
耦合分析能力排名：
ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS
性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC.
&&软件使用的快速有限元算法（）。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（）与迭代法（）两种。由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效的保证数值计算的收敛性，快速有限元法是一种可以保证收敛性的迭代法，该方法计算速度也很快。&
在应力疲劳特性分析有：FE-SAFE…等；
& 非线性变形分析有：美国MSC/NASTRAN、ANSYS、MSC/MARC、HKS/ABAQUS、ADINA…等；
振动与噪声分析方面有：SYSNOISE、AUTOSEA…等；
有限元热分析有：ANSYS、MSC/NASTRAN…等；
大变形碰撞与冲击仿真有：LS-DYNA、MSC/DYTRAN…等；
计算流体动力学有：STAR/CD、FLUENT、FLOW/3D…等；
液压与控制方面有：法国AMESIM、美国Matlab工具包、美国MSC/ADAMS工具包…等。MSC/ADAMS支持多领域物理系统混合建模与仿真的则有：MSC/EASY5、DYMOLA、AMESIM、CRUISE…等。
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Multiphysics：&
&公司是全球多物理场建模与仿真解决方案的提倡者和领导者，其产品
Multiphysics，使工程师和科学家们可以通过模拟，赋予设计理念以生命。它有无与伦比的能力，使所有的物理现象可以在计算机上完美重现。COMSOL的用户利用它提高了手机的接收性能，利用它改进医疗设备的性能并提供更准确的诊断，利用它使汽车和飞机变得更加安全和节能，利用它寻找新能源，利用它探索宇宙，甚至利用它去培养下一代的科学家。翻译为多物理场，因此这个的优势就在于方面
COMSOL最先是Matlab的一个工具箱（Toolbox），叫做Toolbox 1.0。后来改名为 Femlab
1.0（FEM为有限元，LAB是取自Matlab），这个名字也一直沿用到 Femlab 3.1。从3.2a
版本开始，正式命名为 COMSOL Multiphysics，因为COMSOL公司除了Femlab外又推出了COMSOL
Script和COMSOL Reaction Engineering…等一系列相关软件。这两款软件也相当于 Femlab
的工具箱，也是为了满足科研人员更高的要求。如在 COMSOL Script
中，你可以自己编程得到自己想要的模型并求解；你也可以通过编程在COMSOL基础上开发新的适用本专业的软件，也就是一个二次开发工具。所以COMSOL只是个公司名，软件名应该是
COMSOL Multiphysics，但由于现在大家都习惯了，也就不再计较这些了。
&&公司是全球多物理场建模与仿真解决方案的提倡与领导者，其产品COMSOL
Multiphysics，使工程师和科学家们可以通过模拟，赋予设计理念以生命。它有无与伦比的能力，使所有的物理现象可以在计算机上完美重现。COMSOL只是个公司名，COMSOL
Multiphysics是软件名。
&&的用户利用它提高了手机的接收性能，利用它改进医疗设备的性能并提供更准确的诊断，利用它使汽车和飞机变得更加安全和节能，利用它寻找新能源，利用它探索宇宙，甚至利用它去培养下一代的科学家。
&&是全球第一款真正的&最专业的多物理场全耦合分析软件。
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&有限元方面的名著:&
& &&1.《The
Finite Element Method》O.C.Zienkiewicz，R.Taylor著，第五版，三卷本，有中文译本
&《有限元法》(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元
& 研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》，曾攀译，2008年出版）
&&2.《Nonlinear Finite
Element for Continua and Structures》T.Belytschko等著，有中文译本
&《连续体和结构的非线性有限元》庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作&
&&3.《Concepts and
Applications of Finite Element Analysis》Cook R.D.著，有中文译本
&《有限元分析的概念和应用》程耿东等译，第一版1981年，第二版1989年，年代较久远内容很经典
&&4.《Finite Element
Procedures in Engineering Mechanics》K.J.Bathe著
另一本有限元方法的经典教材，书中内容全面，实例丰富&
&&5.《Finite Element in
Plasticity》D.R.J. Owen，E.Hinton著
& 该书侧重于介绍各类弹塑性问题的有限元方法&
&&6.《Nonlinear Finite
Element Analysis of Solids and Structures》M.A.Crisfield著，两卷本
& 全面系统介绍非线性有限元分析的著作。Crisfield教授另有一本著作是《Finite
elements and&
& &solution procedures for
structural analysis》，其中介绍了线性分析的内容&
&&7.《Computational
Inelasticity》J.C.Simo等著
一位英年早逝的天才学者的著作，研究成果独具特色，深得学术界的肯定&
&&PS：国内的有限元书籍中，比较全面的是王勖成的《有限单元法》（第三版），该书的第二版叫做《有限单元法基本原理和数值方法》。
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&&有限元技术论坛：&&&
&中国CAE联盟：
&&&&中国仿真互动：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。正演模拟与反演成像（18）
有限元漫谈
从博研论坛上看到的一个接触有限元时间不算常也不短，从03年到现在吧，中间断断续续的学习有限元，大大小小软件也用了不少，牛人的帖子大师的著作读了一些，最近常来论坛逛逛，发现还有很多学弟学妹初学fem，提出的问题五花八门但大多不对正路，不竟回想起了当年自己学习有限元时情景，孤立无助到处瞎碰，通宵熬夜啃手册也得不出一个所以然来，现在回头想想如果有几个良师益友会是多么幸福的事情，写此文仅仅只为了让后生少走些当年自己走过的弯路，有更多的精力去研究更深层次的问题，而不是在门槛上打转，同时也算是报答论坛多年来陪伴。$Y%
\0 }: t4 U9 P' D5 ~* Q4 S- q0 [! [) @* @
本文如有疏漏的地方，还请各位高手补充指正。&&|% Y! D, M( L. o# Q4 E- v
1什么是有限元* c7 e& {+ \: y
1.1 PDE5 J& E9 [# d' ~3
^& p3 K. S0 {/ R5 }) k
有限元是一种求解问题的数值方法，求解什么问题呢？－－求解PDE(偏微分方程).那么PDE是做什么用的呢？－－描述客观物理世界。我想如果这两个问题搞清楚了也就明白了为什么要用fem,fem可以做那些东西。PDE可以描述很多物理现象，电磁，流体，换热，diffusion,力学，河床变迁，物种竞争，股票金融，等等等等。。。。乃至整个宇宙，当然也不是所有的物理现象都可以用PDE描述，如微观世界分子原子的运动等等，所以我从来都不建议用有限元方法仿真微观物质现象的原因，这是题外话就不多说了。除了PDE以外，ODE同样也可以描述客观世界，但ODE多用于控制系统，很多线性PDE的解法也都是将PDE转化为ODE来解的，如separatingvariables方法。&
Z( m& y$X& _&&W9n3 Q# l# {( Q2R&&_&&\
1.2 求解PDE% N2E) X7 I2k5 k# d4 M&&q&K) b6 k! x# M(
有了PDE以后，问题是如何求解并得到结果，首先要说明的是不是所有的PDE都有解的，往往有解的PDE才有实际工程意义。对于数值解法，常用的是有限差分，有限元和谱方法，还有蒙特卡罗法。有限差分出现的较早，计算精度相对较高，但是费时，且模型形状必须规则，边界条件处理困难。有限元方法效率高且满足精度要求，边界条件容易处理，得到了广大的应用。谱方法是基于FFT方法的解法，精度高，收敛快，必须使用periodicboundarycondition，适合微观尺度的PDE解。蒙特卡罗法不是基于弱解形式的，多用于金融分析，这里还是着重有限元解PDE，顾名思义，有限元将整个计算几何模型划分为很多小的单元（element）,每个单元的含有一定数量的节点(node)，具体单个单元有多少节点，有对应的不同算法与差值方程，拿一个简单的线性4节点平面单元来说，每个单元包含4个节点，每个节点有对应的variable值，比如简单固体力学问题，每个节点就有对应的位移值，热力学问题每个节点就有对应的温度值，等等。然后单元内部的variables就通过差值方法计算得出。
1.3 Galerkin approximation 与 weakformation4 O$B/
f, C&R3 s4 z8 {;J8 z7 o' Z. n1 _. G! _8 n
弱解(weak formation)是建立在变分法基础上的，通过这个方法将strong form的PDE转换为weakform,使得有限元的求解成为可能，具体如何推导weakform可以参考一些有限元书籍，如果一本基础的有限元书籍没有介绍如何推导weakform,那么可以考虑选择换一本了。推导所得的弱解形式仍需要通过计算机来计算，Galerkin方法推导出含有求和符号的公式，在计算机中多半以loop的形式来计算这个量，往往这个量就是stiffnessmatrix中的component。公式中还会存在积分计算，有限元方法多用gaussquaradure的方法来计算，精度一般可以满足。也就说一般有限元计算中存在两次approximation,一次是Galerkin一次是gauss,这也是很多人在计算完以后需要进行validation的原因。单个单元的stiffnessmatrix计算完成后，还需要将所有单元的矩阵装配为一个大型的矩阵，然后进行线性代数计算。这个装配是很有技巧的，因为一般情况下stiffness matrix是一个很大的稀疏矩阵，０值往往可以省去以节省计算量。要知道，一个１００个单元的４节点平面单元单个变量的stiffnessmatrix会有101x101大，随着单元数或变量的增加，计算是惊人的。
1.4 后处理#
其实对于最基本的有限元方法，求解得到的仅仅是variable的值，如力学就是节点位移值，thermalproblem就是温度值，流体就是位移速度加压力值，如果我们想知道应力或者应变怎么办呢？后处理系统里面个都会增加相应子程序来计算stress,strain,flux等等。这也就是为何我们能看到各种各样contour的原因了，当然读者也可以自己加入计算各种量的子程序，如应变能密度什么的。关于什么是有限元就介绍到这里，仅仅是一些随笔和想法，具体的理论和推导需要自身实践与探索，本文行文仓促只是阐述自己对有限元的粗浅理解。有不对的地方还请指正。下一章会谈及一些我曾经用过得软件。7x1
X6 J1 T& [, e$ a4 j
2有限元软件的介绍与比较7]&&w&&s1o, P/ q( e$w%
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有限元软件很多，有商业的，开源的，免费的，并行的，多物理场的，专业于某领域的，这里仅仅介绍一些笔者曾经用过的，遗漏的还请高手补充，我会注明是你的补充。&P4 Y$ e1 }# `/ E1 l+}&&W
2.1 ANSYS& j% g6
b6 a( t% i
&&&第一个学习的有限元软件，也是上世纪末本世纪初国内最流行的，为什么流行呢？应为ansys的教程铺天盖地，所以大家都学习ansys因为有教程上手快，那个时abaqus的教程可谓是凤毛麟角，自然学习的人也就不多，当时组里导师都是用ansys，自然我也就用了。如果一个有限元软件推广的好，那么他的教程一定要推广的好，fem是一个专业性很强的软件，教程推广不够，销售自然不行。题外话，接下来说说对用他的感受。6O+
C0 a9 \5 z( s;b&&H5 Z; b4 S' g, C! ^%c
/ G- R: G5 w5 X$ U5 u4 X2I8 |- g
当时学习ansys是直奔apdl去的，加上理论背景很弱所以学习过程异常艰苦。总得说来ansys是一个很中规中具的软件，功能很强大，计算也很可靠，速度快，基本上固体力学的问题都能解决。作为一个工程软件还是很不错的。帮助文件很丰富，我也挑不出他什么缺点。只是感觉国内学习ansys已经陷入了一个怪圈，用户喜欢就某一个应用技巧钻的很深，对于其基础的理论却忽略不视，这无不于大量ansys教材的编写误导有关。是指算例，却不关心原理，悲哀。。。
2.2 ＣＯＭＳＯＬ （femlab）
&&&第一次用comsol的时候它叫femlab2.0,直奔多物理场耦合而去的，无奈的是只是作为一种兴趣学习的，因为时间精力问题最后也没有很深入，偶然机会１年后又开始认真的学习，逐渐体会到他的强大，我想说的是comsol对于各种物理场的research的确是一把利器，他可以任意的由用户输入ＰＤＥ,计算结果并出contour,这对于懂得有限元理论却又不想花大量的时间来编程的人来说，就是种bliss,然而缺点就是速度太慢，这也是可以理解的，毕竟comsol是将单元与pde信息进行重组后计算，而不是很多商业有限元已经将Ｐde固化在单元信息里了，但是其出色的weakform
PDE模块是不可多得的有限元分析模块。还有其建模与后处理模块相当方便，比ansys方便很多。至于计算的精确性笔者还抱有怀疑态度，细节就不提了。国内现在这个软件推的很好，大有赶超ansys之势。-c5 u5 K7 ]- N0 x4 ^)
c8 F9 I4 T0 j. r$ N% U) C) g-k
9 C: w/ j, r% S9 `) ~! q& j/y1 o# Q5 c/_8 z
2.3 FEAP 1 m1 ]#f, `8 A%H
这个其实是老大哥，虽然很多人不知道它。开源，不免费，但是很便宜，也有免费的学生版本，大家可以下载学习用。据说abaqus和ansys都是源于这套程序，abaqus技术部里面的人都是feap搞这个组里出来的，虽然是用fortran编的，但是编程思路清晰，注解丰富，参考文档相近，实在是不可多得学习fem的神器。不提供gui的输入方式，命令的输入和apdl和umat方式很像，都是文本macro方式。计算速度超快，带有后处理功能，提供强劲的二次开发接口，可以自己编写子程序输出其他后处理软件如tecplot.具有openmpi并行能力，提供丰富的elastic,plastic，hyperelastic模块。缺点是之用于固体力学与热计算，当然可以自己开发其他单元，如电磁的。还有就是feap只运行于linux下，使用者需要知道如何make程序。
2.4 libmesh 和 deal II%w8 |. u$O' W7 `7 {+l5 N&&F-
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&&&之所以把这两个程序放在一起，是因为都出自于同一个大师。c++开源免费程序，非常的robust，但是还有一些小bug存在，可以应用于更广泛的领域如流体，强劲在于adaptivemeshing,和remesh,从而可以解决很多常规有限元无法解决的问题，如singularity问题。需要有c++背景以及有限元理论知识，也是笔者遇到门槛最高的一个有限元软件，推荐给专业人事。同样是在Ｌinux下运行的软件。.M(
V1 J) V- o. N) h7 \. P) q8 @0 j4 H8 s' G) X' i7I
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6 F)这个软件在也挺有名，但是国内用的少，主要是固流耦合这快做得比较好，就我所知一些有名的飞机和流体机械厂都用他，我主要是用pipeline这个插件，也许名字记得不对，就是用来计算整个管路系统的震动的，前处理中设定管路，就可以计算出各阶振型与频率，很方便，据说准确性挺好。其主模块用的不多，不做讨论了。
&&基本上笔者主要使用的就是这几种有限元软件，我想如果能精通上面任何一种软件，学习其他的软件都是一个很快的过程。如果你是博士生且有一个比较长得研究学习时间，推荐用feap和dealII,如果是硕士，推荐comsol，本科毕业设计，推荐ansys.当然每个人水平周围环境都不一样，不能一概而论，总之多学一点东西没有坏处，每个软件都有其深厚的背景。也欢迎高手补充其他软件，投条给我。7W#
w' P0 @0 i. ?
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3有限元的数值方法
&&&这里先略过有限元的几何建模与网格划分部分，因为一来不是数值方法的主要部分，二来我对这块也不是很精通，所以直接从数值解法入手。这部分可以说是ch4与ch5的总体概览部分。也是fem的核心。4a7 J6 X3
P)O, K%3.1单元离散化与jacobian:|5 C: Q( I* {; I
划分好网格后，就意味着单元编号以及节点都已确定下来了，其实这步在有限元分析的一开始就设定好了。拿平面单元为例，如果选用平面8节点矩形单元来计算热力学问题，那么每个单元有8个节点温度值，要知道每个节点的位置并不是规则均匀分布在实际有限单元上的，人们通常将节点的global坐标转换到local坐标上，以方便计算推导，之后再通过jacobian转换到global上，这点和连续介质力学的reference转换是同一道理。3W&
z! A& ^! p: b
运动方程与各种矩阵
得到了单个单元的8节点test function 或 grediant of testfunction的积分值以后（积分的计算用gauss法），就需要联系所有的单元，装配成为一个整体的矩阵，这个矩阵就是stiffnessmatrix,如果是一个4单元简单正方形区域，那么装配好的stiffnessmatrix就是一个21x21矩阵，以k标记，除此以外，如果是瞬态问题，也会有质量矩阵存在，多半是一个对角矩阵，其值一般是testfunction的积分值，如果存在damping那么还会存在dampingmatrix,一个有限元系统一般只存在这3个矩阵，然后通过一个运动方程将其连立起来，即M*u_tt+D*u_t+K*u=F,F是source。这就是将pde转化为弱解再转化为有限元方程的最后形式
3.4 Ax=b求解
& 有了 M*u_tt+D*u_t+K*u=F方程，接下来要做得就是求解他，如果是一个2x2的矩阵，手工即可计算得到，实际应用中，往往都是上万阶的矩阵。也许有人会问了u_tt和u_t是怎么解得的？瞬态问题由于有了时间变量的加入，所有必须要有对应的时间积分求解器，这点在求解器部分会详述，经过时间求解器的计算后，运动方程还可以化简为K_tilde＊u=F的形式，也就是线代求解器需要解的最后方程，求解后，各节点的u值得到。完毕。&&n&&L-K$
Z. N4 f0 v8 k
3.5多场耦合方法& s. s! z!L& V* p$v&&^# `. M, P2 Q5 Z5 ~, h, @2_
如果有多个场存在怎么办呢？道理很简单，比如一个固体场一个温度场，两个pde出来的运动方程是这样的M1*u_tt+D1*u_t+K1*u=F1和 M2*u_t+K2*u=F2,将两个场的运动方程线性进行叠加（线性耦合），得到M1*u_tt+(D1+M2)*u_t+(K1+K2)*u=F1+F2 ,再化简，得到K_tilde＊u=F3，使用求解器求解既得结果。这里只是简单的线性耦合，对于复杂物理现象的非线性耦合都是在这个基础之上进行变化。而且要注意的是，最后所得的K_tilde不一定是对称矩阵，也就意味着求解器必须要有解Unsymmetricmatrix的能力。1L$L&&x7
D) W7 B9 `, R5 s- I0k% }, Q% S-B3 h* v* M( D+ U' r
3.6 边界条件加载2N7 \$ c8 h: [4 _6 d
边界条件的加载，往往都是在单元矩阵装配完毕以后进行的，往往是variable或是gradiant ofvariable的值被限定住了，如果pde存在3阶grediant，那么还会存在laplace operator ofveriable的边界条件。具体编程的实现我能完全总结出来，先欠着回头再写，以免误人子弟。
4常用固体单元; U3 p9 T3 N+ u0 C& |4F4 c4b& }' O' j/ Q&&\
记得自己刚学ansys的时候就被自带的100多个单元模型搞的晕头转向，到底应该选择什么样的单元？这些单元有什么不同？这些问题一直困扰着我，其实把每一种单元都搞透是一件不太可能的事情，但有件事情可以做得就是对于几个大类的单元有个底层数值方法上的了解，这对于单元的选择与开发是至关重要的。这里仅以3d单元作为例子。
有限元方法中以单个单元为基础，所有的单元都有相同的属性，这些单元组成了整个domain,可以说了解了单元也就了解了整个模型，现代有限元软件都将pde整合在了单元信息里面，还句话说，Pde所推导出的弱解形式中非边界条件term都体现在了单元中。%c3 f6 H1 ]; P$ X( U
4.1 固体单元, 变量：位移u1,u2,u3.
工程力学中最常用的单元，常用于连续介质的力学计算，一般分为smalldeformation 和 finite deformation两个区域，记得ansys里面有个大变形开关，一打开后计算变得惨不忍睹，所以选择small还是finite要看具体的问题，常见工程材料一般都是smalldeformation,此外对于不同的材料，如超弹，粘弹，弹塑材料都有不同的数学模型，这里选择的时候一定要慎重，不要想当然，最好要看看手册和理论，计算方法上常用的有displacement,mixed,enhancedstrain方法，displacement是最原始的，收敛效果不好，可以用于解决一般基础问题，推荐后面两种来解非常规材料。此外，对于同样的pde模型，单个单元节点越多计算越精确，单元数目相同情况下，八面体单元比6面体单元精度高。,?%
E&&i% Y, ?0 [,s$ d3 W) S,E/ C4 q5 o
2 _9 O7 j8 y) [(B
4.2 热单元，变量：温度T.&&F
是相对简单的一种单元，pde本身也很简单，就是换热方程，节点自由度就是T,由于温度T没有方向性，所以T只有1维量，计算量小。另外heatflux = gradient of T, 重点参看一下Fourier heat conductionequation.% g9 K, H4 |* h$|2 U- W* g8 h
3 m& H+ X; j4 a% [' U
4.3 壳单元，变量：u1 , u2 , u3 , θ1 , θ2 , θ35 @4 n5 i1 N: v. L$ [* L!B
有些具有曲面外壳的材料，其一个方向的变形要远远小于其他方向的，如人的骨头表面，就是一层非常硬的皮质骨，所以生物力学的人都用shell单元作表面单元.也有一种大变形的壳单元，只含有5个变量,少一个θ或是u,但是有可能在计算的时候不收敛，所以在使用不同的shell单元时，一定要多看看说明，遇到不收敛的情况也不用慌张，多从手册分析解决问题。5j9 V5 r/ M7 r% B, n
, t+ |. y4 i/v, v% z4 A(A& Z- j
4.4 框架单元,变量:u1,u2,u3,θ1,θ2,θ33 N( d8 `7 o9 L7 s4
常用于结构计算，如弯曲，剪切变形。也就是材料力学里面各种梁的计算，这里pde方程是关于u的4阶grediant,解的方法是将二阶gradiantof u 看作是Moment,3阶看作是shear stress，这类单元通常是2节点单元，一头一尾相互连接。; Z/ l2 J/ A(K&&|/ s8 l
2 U. c. o6 h3j&&b; _(`;O&&q(R&&m2 b4 r& t( d+~&&u; o
索单元和板单元就不赘述了，可以参看相关资料，与框架单元大同小异。索单元甚至更简单，和热单元类似。还有一些薄膜单元点单元什么的应用很少，就不多说了。7o9 Q/ ~) S- F4 G
看到simwe上很多人开口闭口二次开发，其实所谓二次开发很大程度上都集中于新单元的开发，如果你有新的pde，要想计算实现它，就必须写出新的单元代码，从而实现计算。其他方面的二次开发无外乎一些后处理或是mesh上面的新功能，而这些商用有限元基本成熟，所以再提二次开发之前，先想想现有的单元库里面有没有我需要的单元，如果没有再二次开发它，而这个过程是漫长而检苦的。
有限元的求解器
最后的问题都围绕求解Ax=b这个方程组了，也就是要求解它，那么高效的求解器是必要的。其实很多商业有限元的使用者都忽略求解器的选择，实际上求解器直接决定了求解的正确与否，选择正确有效的求解器也是所有分析人员必须了解的问题。有人抱怨有限元计算太费时，或是老报错，很有可能选择了不正确的求解器，这里仅对主流一些求解起作一些介绍。毕竟solver成千上万，很多人也喜欢编写自己的求解器来解决特定的问题，这样他们认为更加有效率且误差小。本节主要介绍线代求解器和时间求解器，线代求解器又分为直接求解和迭代求解器。!z(
z3 E, o3 J6 l& E6 b8 l& L0 z1 P* t( d0 Z. ~;W&&o% V4 F5 ]4 G7 n
& O3 {; _, G+ I3 @+ [2V6 F; x% F)q8 O& N
5.1 常用直接求解器 F/ l* S'c& I1 [
UMFPACK, SPOOLES, TAUCS, PARDISO等* m6 y+ e9 \# g4 J$ T
易于使用,鲁棒性,占用内存大7 ]) e( e7H# M% H# w# c
适于处理小规模问题,高度非线性和多物理场问题
对一般的非对称矩阵是鲁棒和高效的&&–要么计算成功,要么运算内存不足&&Z0 R& B3 v5 `'K&&N5 L
O/ \; U) S1 ]$ k* U7y
利用对称矩阵&&–内存使用比UMFPACK有效,但计算速度较慢
–利用对称矩阵&&–&&和UMFPACK类似,但使用内存比SPOOLES少&&–&&共享内存式并行处理&&–&&在矩阵分解过程中不需要选主元从而节省内存,这导致不精确的因子&&–&&由于支持并行的折中处理,不是100%的鲁棒性(~%
y, }, y. u0 Y1A, F8 I*r&&{- o5 n: Z
o TAUCS& &–非常适合于对称,正定矩阵$ X; u8}&&^+ D8 j9]&&I8 c2 i7 P
+ Q, l5 T. y/ _2 d.e
5.2 常用迭代求解器 u- p' o.S#
t'W0 y. N# ^5_, V&&q& W
&&– GMRES, FGMRES, ConjugateGradient, BiCGSTAB等
占用内存少,更多的选择,调整比较困难# y. W0 a)W& }3 X
&应用于特定的物理场,如,EM,CFD等' y6 K.W&&[) F/ |* H# \
需要预处理器,网格框架,平滑器等0 K0 T#l3 c: z6 ^; O2 o
; b& V7 t5 o: B1 l1 Y$m2 L& d$ n&z$ Y
o GMRES& &–在前面所有搜索方向上最小化残差,直到重新开始& &–如何调整重新求解前迭代步数(默认为50)&&& &o更节省内存& &&&&&---减小& &&&o 得到较好的鲁棒性 --- 增加* [)x&&i. |2{&&r9
4 }8 B/ t1 q2m&&Q7 R) J) x5 f$ o5 o
& &–GMRES的一个灵活的变种& &–能有效地处理更多类的预处理器& &–比GMRES开销2倍多的内存3 W& R(W+& ConjugateGradient& &–对称正定问题& &–在计算时比GMRES更快、内存使用效率更高/
h4 r6Y&&M0 J1 x
?7 G! r# c/ v9 F$?
% Y8 ~% q9 k! o) V3}* s6 T% L7j9 L4 `! U
5.3 常用时间求解器* H( `' N5g/
{&q&&q1 K; d! D/ D; u
对于无时间求导的PDE也就是稳态问题,时间求解器有 quasi-static method 和 Midpoint staticMethod。一阶时间求导的PDE，如thermal or diffusion equation, 有Backward Eulerimplicit method, backward difference formular methed(BDF),和Generalized midpoint method,其中BDF方法收敛快精度好，推荐使用。二阶时间求导的PDE方法很多，比较代表性的是NEWMark
method和HHT alphamethod。当然也可以编写自己定义的求解器，好的求解器痕量标准就是准确度高速度快。'V8 u& T1 p6 w3 {+ H! {, t2 O% w
N9 D3 D, {7t
这里只是简单提及了常用的求解器，具体的理论和方法在网上和教材上都有，就不赘述了。想要说的是求解器是数学背景人非常关心的问题，而放到的工程应用领域却被极大的忽视了，方便了使用者，但这也许是商用有限元黑盒子带来的弊端。这里直接引用了中仿科技关于comsolsolver的介绍，介绍的很全面我不用费力大字了，偷个懒。上面有很多求解器都是开源免费的，如果自己编写程序，可以直接从网上下载并使用。
有限元的未来, f' Y/O) {1 a, W0 J* O% M% H) q
基本上有限元数值方法的最核心内容已经差不多说完了，对应不同的问题人们题出了很多很好的方法，但这些方法都是基于我之前所述的理论基础之上的。接下来谈谈我对有限元将来发展趋势的看法，或许能和打算或正在从事fem的朋友有些共鸣。,d5 q8 W+ n& e1 m6 }
6.1并行计算8 [- f. |6 X6 o,|0 c6 x$W8 e- W! n
随着多核cpu进入个人电脑市场，并行软件已经是大势所趋，那么并行fem软件作为大型科学计算软件，并行趋势极为明朗，各大fem公司分分研制推出并行版，但是并行版的计算准确性与效率还需要经受考验，由于并行机制的设定，每个cpu返回的计算结果不同步，会导致误差。而且目前个人电脑上并行计算的效率并不能提高很多，有2倍就已经很不错了。所以并行fem仍需经历考验，但一定是大势所趋。1[8 L$ {: r4 Z+
y3 x& d! Z3 s( i( ?
7 o9z&&q, F+ X6 B5 E2 n& O/S0 K2 S( t#\9 [: q: Y
6.2 多尺度模型计算( s%U1 e) Z& D
高性能显微设备的诞生，人们对于微观尺度的物质越发感兴趣，fem能否描述微观世界呢？纳米级材料，微流场，原子的diffusion,dislocation等等，量子力学由于考虑的电子的作用，使得计算量过于庞大，分子动力学方法虽然已获得了一定成功，但是终归不如fem来的有效和方便。描述不同尺度下的材料，俨然以成为众多学者们研究的主要方向，在坚凯围棋的第6版有限元书中增加了此方面内容，也有不少学者结合md和mc的方法，来建立多尺度仿真系统，都有一些进展。#e4
l&&o,B&&P; L& Z! b) {%\) |/ z# w3I% d. j&&Q8 `
. M7 I9 K5 ]: u+ p9 _*P3 R3f& Y- q& Q
动网格，边界元，无网格等等都是fem的发展或联系方向，本人不是很了解，不赘述，欢迎补充指正。
参考知识库
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