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线性代数线性相关问题
老师您好，李永乐2012版，数三。381页，例5.41中 解答中说，由于（n-r）个阿尔法向量线性无关，（n-s）个贝塔向量也线性无关，为什么k1,k2,...kn-r，以及l1,l2,....,ln-s必分别不全为零？
提问时间： 14:14:23提问者：
两个结合起来我也不明白，为什么分别不全为0
这个要结合上一行来理解，上边已经说&存在不全为零的实数k1....kn-r,l1,....ln-s&
回答时间： 14:25:06
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京公安备110-1081940《线性代数》电子教程之十(向量组的线性相关性)_百度文库
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《线性代数》电子教程之十(向量组的线性相关性)|线​代
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你可能喜欢线性代数中向量线性相关的问题有个定义是：m个n维向量a1`a2``````am,若m大于n ,则a1`a2``````am一定线性相关.我问下,这里的n维是啥?不都说am了么,不应该是m维向量吗?_百度作业帮
线性代数中向量线性相关的问题有个定义是：m个n维向量a1`a2``````am,若m大于n ,则a1`a2``````am一定线性相关.我问下,这里的n维是啥?不都说am了么,不应该是m维向量吗?
m是向量的个数,n是向量的维度.比如：5个三维向量.顺便说下这个定理吧：向量组线性无关的充要条件是向量组的秩等于向量组的个数,然而向量组的秩不可能大于向量的维度是吧?所以当向量组的个数大于向量的维度时,就肯定不满足那个条件了,所以一定相关.
对于一个n维向量，即是指向量有n个分量，如3维向量（1,2,3）。题目中m是指个数。线性代数第二章习题部分答案(本)_百度文库
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线性代数第二章习题部分答案(本)|线​性​代​数
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大一线性代数期末考试要用的！！各位帮帮忙！！分少不了~~~
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 
线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有： 
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 
我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 
r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 

进而可求矩阵A或B中的一些参数
上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 
三、注重逻辑性与叙述表述 
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。


其他回答 (1)
线性代数教学中线性相关性的一种解释和理解

［摘要］线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以
及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对学生来说是很难理解的，在教学中，我们把线性相关解释为“多余”，线性无关
解释为“没有多余”，在教学上可收到较好的效果。
［关键词］线性相关线性无关多余没有多余

线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，对学生来说是非
常困难的内容，许多学生学完线性代数后还没有弄懂，有的学生学到这
一内容时觉得很难学，就丧失信心。认为整个线性代数都很难学，甚至
放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方
程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。根
据不同层次的学生采用不同的教学要求。使得学生正确的理解线性相
关性的定义,定理。
大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无
关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是
从定理到定理,从证明到证明,例子较少。在教学中,在讲完线性相关的定
义和有关定理后，在介绍向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性
相关性,可使后面的问题简单化,直观化。我们以龚德恩等主编的《经济
数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。
首先来看线性组合的概念。对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果
存在s个数k1,k2,…,ks使得
β=k1α1+k2α2+…+ksαs
则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相
对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。
关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数
k1,k2,…,ks使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设
α1≠0则α1=-k
2
k1α
2-…-k
s
k1α
s。因此向量组α1,α2,…,αs线性相关,看成是
向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。
关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都
等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线
性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余
向量线性表示，因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中
“没有多余”的向量。
一些结论也可作相应的理解和解释。如:
“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相
关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也
有多余的向量。
“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，
解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后
也没有多余的向量。
下面两个定理是学生们在学习向量组的线性相关性的过程中感到
最难理解和掌握的。
定理1设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt线性表
示，且s＞t，则α1,α2,…,αs线性相关。
在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs称为
“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，
看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs相对于表示
向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt有多余的向量，则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释
便于学生理解和记忆。
推论1如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关，并且可由向量组β1,
β2,…,βt线性表示。则s≤t。
推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表
示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量，
即s≤t。
推论2两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。
两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此
相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的
个数相同。
下面再举一些例子进行说明。
例1设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性
表示,则必有()。

Ａ.t≤sＢ.t≥sＣ.t＜sＤ.t＞s
分析：被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示向量组α1,α
…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt来说，没有多余的向量，因此有t≥
s，故选择Ｂ。
例2设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs；向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt的秩分别为
r1和r2，若（Ⅰ）中每一个向量均可由（Ⅱ）线性表示，则r1与r2的关系
为。
解应填“r1≤r2”其理由是:
设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs的极大无关组为αi1,…,αir2，向量组（Ⅱ）β
β2,…,βt的极大无关组为βj1,…,βjr2。则αi1,…,αir2可由βj1,…,βjr2线性表
示，因αi1,…,αir2线性无关,被表示向量组αi1,…,αir2相对于表示向量组
βj1,…,βjr2没有多余的向量，则r1≤r2。
例3设向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则（）。
A.α必可由β,γ,δ
B.β必不可由α,β,δ
C.δ必可由线性表示
D.δ必不可由α,β,γ线性表示。
解选C。这是因为α,β,γ线性无关，则α,β线性无关。而α,β,δ线
性相关，故δ可由α,β线性表示，从而δ可由α,β,γ线性表示。
例4已知向量组（Ⅰ）α1,α2,α3;向量组（Ⅱ）α1,α2,α3,α4;向量组（Ⅲ）
α1,α2,α3,α5;如果向量组的秩分别为（rⅠ）=（rⅡ）=3,（rⅢ）=4。证明向量组
α1,α2,α3,α4-α5的秩为4。
分析:由条件向量组（Ⅰ）α1,α2,α3没有多余的向量（,Ⅱ）向量组α
α2,α3,α4有多余的向量α4,得向量α4可由向量组α1,α2,α3线性表示向量
组（,Ⅲ）α1,α2,α3,α5没有多余的向量，得α5不能由α1,α2,α3线性表示，从
而α4-α5不能由α1,α2,α3线性表示，所以α1,α2,α3,α4-α5没有多余的向
量。
证明由于r(α1,α2,α3)=3,即向量组α1,α2,α3线性无关,又因r(α1,α2,α

α4)=3,即向量组α1,α2,α3,α4线性相关,故存在t1,t2,t3使得
α4=t1α1+t2α2+t3α3
又如果向量组α1,α2,α3,α4-α5线性相关,且r(α1,α2,α3)=3,则存在k1,k
k3使得
α4-α5=k1α1+k2α2+k3α3
所以α5=(t1-k1)α1+(t2-k2)α2+(t3-k3)α3
这与r(α1,α2,α3,α5)=4矛盾,故向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关,则
r(α1,α2,α3,α4-α5)=4。
参考文献
［1］龚德恩等.经济数学基础（第二分册线性代数）（最新修订本）
［M］.四川人民出版社，2000年.
［2］刘庆华,韩云瑞.提高数学教学课堂效果的几点思考［J］.大学数
学，）.



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