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如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）线段AB长度的最小值为4理由如下：连接OP因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB取AB的中点C，则&&&&&&&&&&&&&&…………3分当时，OC最短，即AB最短，此时&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…………4分（2）设存在符合条件的点Q，如图①，设四边形APOQ为平行四边形，因为四边形APOQ为矩形又因为所以四边形APOQ为正方形所以，在Rt△OQA中，根据，得Q点坐标为（）。&&&&&&&&&…………7分如图②，设四边形APQO为平行四边形因为OQ∥PA，，所以，又因为所以，因为 PQ∥OA，所以 轴。设轴于点H，在Rt△OHQ中，根据，得Q点坐标为（）所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短；（2）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（，﹣），如图（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（﹣，）．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是..”主要考查你对&&圆的认识，正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算），弧长的计算 ，扇形面积的计算 &&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆的认识正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）弧长的计算 扇形面积的计算
圆的定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.……在实际应用中，一般取π≈3.14。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙ ； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒ ； 直径—d ；扇形弧长—L ；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&周长—C ；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 面积—S。圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。点、线、圆与圆的位置关系：点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO&r。②P在圆O上，则 PO=r。③P在圆O内，则 0≤PO&r。反过来也是如此。直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d&r。②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d&r。③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）圆和圆位置关系①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P&R+r；外切P=R+r；内含P&R-r；内切P=R-r；相交R-r&P&R+r。圆的计算公式:1.圆的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）圆的方程:1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。特别地，以原点为圆心，半径为r（r&0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：①当D2+E2-4F&0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径的圆；②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；③当D2+E2-4F&0时，方程不表示任何图形。3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。圆的历史:&&&&& 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。&&&&&& 约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。&&&&& 会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。&&&&&& 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3..1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆的关系：把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 与正多边形有关的概念： （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。圆的计算公式：1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）· r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。弧长：在圆周长上的任意一段弧的长弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为。（n是圆心角度数，r是半径，l是圆心角弧长。）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。扇形面积公式：(其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。)设半径R,1.已知圆心角弧度α（或者角度n）面积S=α/(2π)·πR2=αR2/2 S=(n/360)·πR22.已知弧长L：面积S=LR/2
发现相似题
与“如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是..”考查相似的试题有：
731729674913715265741695700522688530已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．
（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．
（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得；
（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC=90°，则△BPO∽△CPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标；
（4）假设成立有△ABD∽△APQ或△ABD∽△AQP，则有∠ABD=∠APQ，或∠ABD=∠AQP，判断是否满足即可．
解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c，
得解析式y=x2-x+1；
（2）设C（x0，y0），
∴C（4，3），
由图可知：S=S△ACE-S△ABD，又由对称轴为x=可知E（2，0），
∴S=AEoy0-AD×OB=×4×3-×3×1=；
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
整理得a2-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有二个；
（4）存在符合条件的t值，使△APQ与△ABD相似．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点，弦AF交半径OB于点E，过点F作⊙O的切线分别交x轴、y轴于P、Q两点．
（1）求证：PE=PF；
（2）若∠FAQ=30°，求直线PQ的函数表达式；
（3）在（2）的前提下，动点M从点A出发，以单位长度/s的速度沿向终点F运动（如图2），设运动时间为t&s，那么当t为何值时，△AMF的面积最大？最大面积是多少？
（1）连OF，如图1，根据切线的性质得到∠1+∠2=90°，而∠4+∠A=90°，∠4=∠3，则∠3+∠A=90°，而∠1=∠A，可得到∠2=∠3，即可得到结论；
（2）由∠FAQ=30°，易得到∠FQO=30°，而OF=3，根据含30°的直角三角形三边的关系得到OQ=2OF=6，OP=OQ=2，则P（-2，0），Q（0，-6），然后利用待定系数法确定直线PQ的函数表达式；
（3）要使△AMF的面积最大，则AF边上的高最大，即M运动到的中点．过O作ON⊥AF于N，交于M′，如图2，根据垂径定理得到AN=FN，弧AM′=弧FM′，在Rt△ANO中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ON=OA=，AN=，则AF=2AN=3，M′N=+3=，然后根据三角形面积公式即可求最大面积即△AM′F的面积；又∠AOF=120°，得到∠AOM′=∠FOM′=120°，根据弧长公式计算出弧AM′的长度，然后除以速度即可得到此时t的值．
（1）证明：连OF，如图1，
∵PQ切⊙O于F点，
∴OF⊥PQ，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠4+∠A=90°，
而∠4=∠3，
∴∠3+∠A=90°，
又∵OA=OF，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
（2）解：如图1，
∵∠FAQ=30°，
∴∠1=30°，
∴∠FOQ=60°，
∴∠FQO=30°，
又∵A点的坐标为（0，3），
∴OQ=2OF=6，
∴P（-2，0），Q（0，-6），
设直线PQ的函数表达式为y=kx+b，
把P（-2，f），Q（f，-6）代入得，-2k+b=0，b=-6，解得k=-，b=-6，
∴直线PQ的函数表达式为y=-x-6；
（3）解：要使△AMz的面积最大，则Az边上的高最大，过O作ON⊥Az于N，交于M′，如图2，
∴AN=FN，弧AM′=弧FM′，
在Rt△ANO中，∠NAO=30°，OA=3，
∴ON=OA=，AN=，
∴AF=2AN=3，
∴M′N=+3=，
∴△AM′F的面积=××3=；
∵∠AOF=120°，
∴∠AOM′=∠FOM′=120°，
∴弧AM′的长度==2π，
∴t==6（s），
∴当t为6s时，△AMF的面积最大，最大面积是．利用图象与,轴交点坐标得出,从而得出的度数,计算出的值即可;利用勾股定理求出,的长度,求出矩形的面积即可;根据,得出即可;分别从当点在直径上时,以及当点在线段的延长线上时得出与的长度关系,进而求出即可.
解:过点的直线的解析式为,图象与轴交点坐标的为:,图象与轴交点坐标的为:,,,,则.故答案为:;,,,设,则,如图,连接,在中,,;不变.垂直平分,,且,,,,,,,;当点在直径上时,,,又,,,如图,当点在延长线上,同理可得:.综上,的长为或.
此题主要考查了圆的综合题,三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用,要注意的是中,要根据点的不同位置进行分类求解.
3950@@3@@@@圆的综合题@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 如图,在直角坐标系中,圆O的圆心O在坐标原点,直径AB=8,点P是直径AB上的一个动点(点P不与A,B两点重合),过点P的直线PQ的解析式为y=x+m,当直线PQ交y轴于Q,交圆O于C,D两点时,过点C作CE垂直于x轴交圆O于点E,过点E作EG垂直于y轴,垂足为G,过点C作CF垂直于y轴,垂足为F,连接DE.(1)点P在运动过程中,sin角CPB=___;(2)当m=3时,试求矩形CEGF的面积;(3)当P在运动过程中,探索P{{D}^{2}}+P{{C}^{2}}的值是否会发生变化?如果发生变化,请你说明理由;如果不发生变化,请你求出这个不变的值;(4)如果点P在射线AB上运动,当\Delta PDE的面积为4时,请你求出CD的长度.过点作轴于点,与相交于点,为直径.,把相关数据代入,可求得点的坐标为;连接,,则,且通过证明,得,即,所以.则,可求点的坐标为,设图象经过,两点的一次函数的解析式为,利用待定系数法解得一次函数的解析式为;因为,,可知点在的四分之一的圆上运动(点不与点,点重合),在的四分之一的圆上任取一点(点不与点,点重合),连接,过点作轴于点,利用,得到.根据的大小始终不变,可知的大小始终不变.
如图,过点作轴于点,与相交于点,为直径,,,点的坐标为,,,,,,点的坐标为;(分),,,如图,连接,,,且,轴于,又点中,且,点的坐标为,是以为底的等腰三角形,,,,,,,即,,,点的坐标为,设图象经过,两点的一次函数的解析式为,,解得,一次函数的解析式为;(分)猜想:当点在上运动时,的大小始终保持不变,(分)证明:因为,,可知点在的四分之一的圆上运动(点不与点,点重合),如图,在的四分之一的圆上任取一点(点不与点,点重合),连接,过点作轴于点,,,,,,的大小始终不变,的大小始终不变,综上所述,当点在的四分之一的圆上运动(点不与点,点重合)时,的大小始终不变.(分)(注:其他解法酌情给分)
主要考查了函数和几何图形的综合运用.解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义,待定系数法解函数解析式和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系,再结合具体图形的性质求解.试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
3804@@3@@@@一次函数综合题@@@@@@253@@Math@@Junior@@$253@@2@@@@一次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第一大题，第5小题
第三大题，第6小题
求解答 学习搜索引擎 | 如示意图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A是x轴的负半轴上一点,以AO为直径的圆P经过点C(-8,4).点E(m,n)在圆P上,且-10<m小于等于-5,n<0,CE与x轴相交于点M,过C点作直线CN交x轴于点N,交圆P于点F,使得\Delta CMN是以MN为底的等腰三角形,经过E,F两点的直线与x轴相交于点Q.(1)求出点A的坐标;(2)当m=-5时,求图象经过E,Q两点的一次函数的解析式;(3)当点E(m,n)在圆P上运动时,猜想角OQE的大小会发生怎样的变化?请对你的猜想加以证明.