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淘豆网网友近日为您收集整理了关于2015年高考数学（人教A版，理）一轮复习配套讲义：第2篇 第5讲 指数与指数函数的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：2015年高考数学（人教A版，理）一轮复习配套讲义：第2篇 第5讲 指数与指数函数 第 5 讲指数与指数函数[最新考纲]1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为 2,3,10,12,13的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n&1 且 n∈N*当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数na 零的n次方根是零当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式①nan=a,n 为奇数,|a|=a,a≥0,-a,a&0,n 为偶数.②(na)n=a.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①零指数幂:a0=1(a≠0).②负整数指数幂:a-p=1ap(a≠0,p∈N*);③正分数指数幂:anm=nam(a&0,m,n∈ N*,且 n&(来源：淘豆网[/p-7601313.html])1);④负分数指数幂:a nm=anm1=1nam(a&0,m,n∈N*,且 n&1);⑤0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a&0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a&0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a&0,b&0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质y=axa&1 0&a&1图象定义域 R值域(0,+∞)性质过定点(0,1)当 x&0 时,y&1;x&0 时,0&y&1当 x&0 时,0&y&1;x&0 时,y&1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数辨析感悟1.指数幂的应用辨析(1)(4-2)4=-2.(×)(2)(教材探究改编)(nan)=a.(×)2.对指数函数的理解(3)函数 y=32x是指数函数.(×)(4)y=1a x是 R 上的减函数.(&#21(来源：淘豆网[/p-7601313.html])5;)(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图,无论在 y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小.(×)(6)(2013金华调研改编)已知函数 f(x)=4+ax-1(a&0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是(1,5).(√)[感悟提升]1.“nan”与“na n”的区别当 n 为奇数时,或当 n 为偶数且 a≥0 时,nan=a,当 n 为偶数,且 a&0 时,nan=-a,而(na)n=a 恒成立.如(1)中4-2不成立,(2)中6-22=32≠3-2.2.两点注意一是指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0&a&1 和 a&1 进行分类讨论,如(4);二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系,在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在 y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.如(5).学生用书第 22 页考点一指数幂的运算【例 1】(1(来源：淘豆网[/p-7601313.html]))计算:
20.53 2 1 13 2 23 43 5 0.008 0.02 0.328 9
÷0.062 50.25;(2)若12x +12x=3,求3 32 22 223x xx x
的值.解(1) 原式=32827
÷ 50 ×4 210÷
=49-73+25×15 2×4 210 ÷12=-179+2×2=29.(2)由12x +12x=3,得 x+x-1+2=9,∴x+x-1=7,∴x2+x-2+2=49,∴x2+x-2=47.∵3 32 2x x =1 12 2x x
3-31 12 2x x
=27-9=18,∴原式=18+247+3=25.规律方法进行指数幂运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.需注意下列问题:(1)对于含有字母的化简求值(来源：淘豆网[/p-7601313.html])的结果,一般用分数指数幂的形式表示;(2)应用平方差、完全平方公式及 apa-p=1(a≠0)简化运算.答案 C考点二指数函数的图象及其应用【例 2】(1)(2014郑州模拟)已知函数 f(x)=2x-2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是( ).(2)下列各式比较大小正确的是( ).A.1.72.5&1.73B.0.6-1&0.62C.0.8-0.1&1.250.2D.1.70.3&0.93.1解析(1)y=2x―――→向下平移2 个单位y=2x-2 ――――――→把 x 轴下方的部分翻折上去y=|f(x)|.(2)A 中,∵函数 y=1.7x是增函数,2.5&3,∴1.72.5&1.73.B 中,∵y=0.6x是减函数,-1&2,∴0.6-1&0.62.C 中,∵(0.8)-1=1.25,∴问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小.∵y=1.25x是增函数,0.1&0.2,∴1.250.1&1.250.2,即 0.(来源：淘豆网[/p-7601313.html])8-0.1&1.250.2.D 中,∵1.70.3&1,0.93.1&1,∴1.70.3&0.93.1.答案(1)B (2)B规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.【训练 2】已知实数 a,b 满足等式 2 011a=2 012b,下列五个关系式:①0&b&a;②a&b&0;③0&a&b;④b&a&0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( ).A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析设 2 011a=2 012b=t,如图所示,由函数图象,可得(1)若 t&1,则有 a&b&0;'(2)若 t=1,则有 a=b=0;(3)若 0&t&1,则有 a&b&0.故①②⑤可能(来源：淘豆网[/p-7601313.html])成立,而③④不可能成立.答案 B考点三指数函数的性质及其应用【例 3】已知函数 f(x)=12x-1+12 x3.(1)求函数 f(x)的定义域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)求证:f(x)&0.审题路线由 2x-1≠0 可求 f(x)的定义域分别求 g(x)=12x-1+12与 h(x)=x3的奇偶性可利用 g(-x)±g(x)=0 判断 g(x)的奇偶性利用“奇×奇=偶,奇×偶=奇”判断 f(x)的奇偶性先证 x&0 时,f(x)&0再证 x&0 时,f(x)&0.解(1)由 2x-1≠0 可解得 x≠0,∴定义域为{x|x≠0}.(2)令 g(x)=12x-1+12,h(x)=x3.则 h(x)为奇函数,g(-x)+g(x)=12-x-1+12+12x-1+12=2x1-2x+12x-1+1=0.∴g(x)为奇函数,故 f(x)为偶函数.(3)证明当 x&0 时,2x-1&0,∴12x-1+12 x3&0(来源：淘豆网[/p-7601313.html]),即 f(x)&0.又∵f(x)是偶函数,∴当 x&0 时,f(x)=f(-x)&0,∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒大于零.∴f(x)&0.规律方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.学生用书第 23 页【训练 3】已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求 a,b 的值;(2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)&0.解(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即-1+b2+a=0,解得 b=1,所以 f(x)=-2x+12x+1+a.又由 f(1)=-f(-1)知-2+14+a=--12+11+a.解得 a=2.(2)由(1)知 f(x)=-2x+12x+1+2=-12+12x+1.由上式易知 f(x)在(-∞,+∞(来源：淘豆网[/p-7601313.html]))上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x)在 R 上是减函数).又因为 f(x)是奇函数,所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)&0 等价于 f(t2-2t)&-f(2t2-1)=f(-2t2+1).因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t&-2t2+1,即 3t2-2t-1&0,解不等式可得 t|t&1 或 t&-13 .1.判断指数函数图象的底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较.2.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.3.画指数函数 y=ax(a&0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a .4.熟记指数函数 y=10x,y=2x,y=110 x,y=12 x在同一坐标系中图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.易错辨析 2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012山东卷)若函数 f(x)=ax(a&0,a≠1)在(来源：淘豆网[/p-7601313.html])[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________.[解析] 若 a&1,有 a2=4,a-1=m,此时 a=2,m=12,此时 g(x)=- x为减函数,不合题意.若 0&a&1,有 a-1=4,a2=m,故 a=14,m=116,检验知符合题意.[答案]14[易错警示] (1)误以为 a&1,未进行分类讨论从而求得错误答案.(2)对条件“g(x)在[0,+∞)上是增函数”不会使用,求得结果后未进行检验得到两个答案.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分 a&1 和 0&a&1 两种情况讨论.(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.【自主体验】当 x∈[-2,2]时,ax&2(a&0,且 a≠1),则实数 a 的范围是( ).A.(1, 2)(来源：淘豆网[/p-7601313.html]) B.22,1C.22,1∪(1, 2) D.(0,1)∪(1, 2)解析 x∈[-2,2]时,ax&2(a&0,且 a≠1),若 a&1,y=ax是一个增函数,则有 a2&2,可得 a& 2,故有 1&a& 2;若 0&a&1,y=ax是一个减函数,则有 a-2&2,可得 a&22,故有22&a&1.综上知 a∈22,1∪(1, 2).答案 C对应学生用书 P235基础巩固题组(建议用时:40 分钟)一、选择题1.函数 y=ax-1a(a&0,a≠1)的图象可能是( ).解析当 a&1 时单调递增,且在 y 轴上的截距为 0&1-1a&1 时,故 A,B 不正确;当 0&a&1 时单调递减,且在 y 轴上的截距为 1-1a&0,故 C 不正确;D 正确.答案 D2.(2014陕西质检三)函数 y=2x-2-x是( ).A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减解析令 f(x)=2x-2-x,则 f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数是奇函数,排除 C,D.又函数 y=2x,y=-2-x都是 R 上的增函数,由增函数加增函数还是增函数的结论可知 f(x)=2x-2-x是 R 上的增函数.答案 A3.(2014济南一模)若 a=30.6,b=log30.2,c=0.63,则( ).A.a&c&b B.a&.c&b&a D.b&c&a解析 30.6&1,log30.2&0,0&0.63&1,所以 a&c&b,选 A.答案 A4.设 2a=5b=m,且1a+1b=2,则 m 等于( ).A. 10 B.10 C.20 D.100解析∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴1a+1b=1log2m+1log5m=logm2+logm5=logm10=2.∴m= 10.答案 A5.函数 y=ax-b(a&0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab的取值范围为( ).A.(1,+∞) B.(0,+∞)C.(0,1) D.无法确定解析函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点在负半轴上.而当 x=0 时,y=a0-b=1-b,由题意得0&a&1,1-b&0,解得0&a&1,b&1,所以 ab∈(0,1).答案 C二、填空题6.a3a5a4(a&0)的值是________.解析a3a5a4=31 42 5aa a=1 432 5a =1710a .播放器加载中，请稍候...
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2015年高考数学（人教A版，理）一轮复习配套讲义：第2篇 第5讲 指数与指数函数 第 5 讲指数与指数函数[最新考纲]1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为 2,3,10,12,13的指数函数的图象.4.体会指...
内容来自淘豆网转载请标明出处.设a&0,函数f(x)=1/(x^2+a)_百度知道
设a&0,函数f(x)=1/(x^2+a)
证明: (1)存在唯一实数x0∈(0,1/a),使f(x0)=x0
(2)对任意正整数n都有X（2n订恭斥枷俪磺筹委船莲-1）＜X0＜X(2n)
（1）证明（1）即证在x∈(0,1/a)上,方程f(x)=x有唯一解而方程方程f(x)=x即1/(x^2+a)=x可化成x^3订恭斥枷俪磺筹委船莲+ax-1=0令g(x)=x^3+ax-1 问题就转化为g(x)=0在x∈(0,1/a)上有唯一解g'（x)=3x^2+a由于a&0 故 g'（x)&0恒成立所以g(x)在(0,1/a)为增函数故g(x)=0在(0,1/a)最多一个解
①又因g(0)=-1&0
g(1/a)=1/a^3&0所以g(x)=0在(0,1/a)一定有解
②由①②知g(x)=0在(0,1/a)一定有唯一解即存在唯一实数x0∈(0,1/a),使f(x0)=x0 （2)假设当n=k(k&=1,且k∈N*)时成立，即X(2k-1)&X0&X(2k)，则当n=k+1时，由f(x)单减,且X0&X(2k)，知f(X0)&f[X(2k)]X0&X(2k+1)，即X[2(k+1)-1]&X0。再由f(x)单减，知f{X[2(k+1)-1]}&f(X0)X[2(k+1)]&X0，即X0&X[2(k+1)]由上知X[2(k+1)-1]&X0&X[2(k+1)]也成立所以对任意正整数n都有X（2n-1）＜X0＜X(2n)
综上，X(2n-1)&X0&X(2n)对于任意正整数n都成立
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(1)解：设g(x)=(1/(x^2+a))-x,原命题等价于g(x)=0在(0,1/a)上有且只有一个零点，g'(x)=-(2x/(x^2+a)^2)-1&0,所以g(x)在区间(0,1/a)单调递减，又因为g(0)=1/a&0,g(1/a)=-1/(a(1+a^3))&0,所以g(x)在区间(1,1/a)上有且只有一个零点,所以存在唯一实数x0属于(1,1/a),使f(x0)=x0.X(2n-1)订恭斥枷俪磺筹委船莲什么意思啊？
g(x)=f(x)-x是减函数g(0)=1/a,g(1/a)&0故存在唯一实数x0∈(0,1/a),使g(x0)=f(x0)-x0=0 (2)不对吧 X(2n)是什么f(2n)还是什么
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的另一种表达形式,例如:8134 与 81log4 3 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式.log NxNa ax②“log ”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面。③对数的底数和真数从对数的实质看:如果 ab=N(a&0 且 a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,即 b=logaN.它是知道底数和幂求指数的过程.底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等于 1;N在对数式中叫真数,在指数式中,它就是幂,所以它自然应该是大于 0 的.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a(a&0 且 a≠1) logaN常用对数底数为__10____ lg_N自然对数底数为__e__ ln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a&0 且 a≠1)①Naalog=__ N __; ② 1loga =__0__;③Na alog =_ N ___; ④ aalog =_1___.(2)对数的重要公式①换底公式:logbN=____logaNlogab______(a,b 均大于零且不等于 1);②logab=1logba,推广 ogablogbclogcd=_ logad ___.(3)对数的运算法则如果 a&0 且 a≠1,M&0,N&0,那么..① loga(MN)=___ logaM+logaN _____;②logaMN=___ logaM-logaN ________;③logaMn=___ nlogaM __ (n∈R);④ naMmlog =nmlogaM.点评:(1)要熟练掌握公式的运用和逆用。(2)在使用公式的过程中,要注意公式成立的条件。例如:真数为两负数的积, ).5(log).3(log 22
不能写成).5(log).3(log 22
= ).5(log)3(log 22 3.对数函数的图象与性质①对数函数定义:函数)1,0(log
aaxy a 且称对数函数,说明:(1)一个函数为对数函数的条件是:①系数为 1;②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数;③变量为真数.④在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=logax 的定义域应为{x|x&0}.⑤对数型函数的定义域:特别应注意的是:真数大于零、底数大于零且不等于 1。②函数图像:1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 10
a 时,图象向上无限接近 y 轴;当 1a 时,图象向下无限接近 y 轴);3)对于相同的)1,0(
aaa 且,函数 xyxyaa 1loglog
与的图象关于 x 轴对称。a&1 0&a&1图象性质(1)定义域:__(0,+∞) ______(2)值域:__ R ____(3)过点___(1,0)_______,即 x=1 ______时,y=_0_____(4)当 x&1 时,_ y&0 _______当 0&x&1 时,__ y&0______(5)当 x&1 时,__ y&0______当 0&x&1 时,__ y&0 ______(6)在(0,+∞)上是___增__ (7)在(0,+∞)上是_减____..4.反函数反函数及其性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线 xy
对称。②若函数)(xfy
上有一点),( ba ,则),( ab 必在其反函数图象上,反之若),( ab 在反函数图象上,则),( ba 必在原函数图象上。由对数的定义容易知道:指数函数 y=ax与对数函数___.y=logax _______互为反函数,它们的图象关于直线___y=x _____对称. 由指数函数)1,0(
aaay x的定义域Rx ,值域 0y ,容易得到对数函数)1,0(log
aaxy a 的定义域为 0x ,值域为R ,题型分析题型一对数形式与指数形式的互化[ 例 1]( 1) 下列指数式改写成对数式; 3; 205 45.021b( 2) 下列对数式改写成指数式;3125log5 23l o g31 699.1lg a(3)求下列各式的.x①32log8 ②4327③ 0)(loglog 52 ④.1)(lglog3 x[解析]①由32log8 x ,得 x ,即41②由4327log x ,得 2743x ,即 3433x ,故 813)3( 4343③由 0)(loglog 52 x ,得.12log 05 x 故 551变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐减小.奇偶性非奇非偶..④由 1)(lglog3 x ,得.3lg x 故.)若 loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。[点评]对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。题型二对数式的化简与求值例 2 (1)计算下列各式.①lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2;②lg 32-lg 9+1lg 27+lg 8-lg 1 000lg 0.3lg 1.2;③(log32+log92)(log43+log83).解①原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.②原式=lg 32-2lg 3+132lg 3+3lg 2-32lg 3-1lg 3+2lg 2-1=1-lg 332lg 3+2lg 2-1lg 3-1lg 3+2lg 2-1=-32.③原式=lg 2lg 3+lg 2lg 9 lg 3lg 4+lg 3lg 8 =lg 2lg 3+lg 22lg 3 lg 32lg 2+lg 33lg 2 =3lg 22lg 35lg 36lg 2=54.(2)已知,518,9log18
ba 求.45log36解法一:∵ 518,9log18
ba ,∴.5log18 b∴.2918log12log15log9log)218(log)59(log36log45log45log181836ababa解法二:∵,518,9log18
ba ∴.18lg5lg,18lg9lg ba ∴.218lg18lg218lg18lg9lg18lg25lg9lg918lg)59lg(36lg45lg45log 236abaaba(3)设 3643
yx,求yx12 的值.[解析](1)∵,364,363
yx∴,36log,36log 43
yx∴ 3log3log36log136logx, ,4log4log36log136logy..∴ 4log3log2123636 yx.1)49(log36 探究提高(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.变式训练 2 : (1) 计算: log2.56.25 + lg1001+ ln e +3log1 22 =213.(2)求下列各式的值:① 3log333558log932log2log2[ 解析] 原式32log3)9log32(log2log2
32log 2 5log 2 2 3log 2 3 1
② 22lg25 lg8 lg5 lg20 (lg2)3原式= lg2 lg lg(2 10) lg 22
= 2lg)12)(lg2lg1()25lg(2 2 =3③ 5 7235 7log 2 log 9log ( 3 5 3 5).1log log 43
解:∵5 75 735 7 5 71log 2 2log 3log 2 log 9 21 1log log 4 log 3 log 43 3
lg 2 lg33lg5 lg7,lg3 1 lg 4 2lg5 3 lg7
21 13 5 3 5 (6 2 5) (6 2 5)2 21 1 1 1( 5 1) ( 5 1) ( 5 1) ( 5 1) 2,2 2 2 2
∴原式.121232log232 (3)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值.解析令 3x=t,f(t)=4log2t+233,∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4×(1+2+…+8)+8×233=4×36+1 864=2 008...(4)设 2a=5b=m,且1a+1b=2,则 m 的值为( )A. 10 B.10 C.20 D.100(5)已知 zyx ,, 均大于 1, 12log,40log,24log,0 )(
aaaa xyzyz ,求.log ax[解析]由 24log az 得,241log za 由 40log ay 得401log ya ,由 12log )( axyz 得121)(log xyza ,即.121logloglog
zyx aaa∴log xa ,解得.601log xa∴.60log1log xaax题型三对数函数的图象与性质探究点三含对数式的大小比较例 3 (1)比较下列各组数的大小.①log323与 log565;②log1.10.7 与 log1.20.7.解(1)①∵log323&log31=0,而 log565&log51=0,∴log323&log565.②方法一∵0&0.7&1,1.1&1.2,∴0&log0.71.1&log0.71.2.∴1log0.71.1&1log0.71.2,由换底公式可得 log1.10.7&log1.20.7.方法二作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7&log1.20.7.(2) 已知 2log 3.4=5a , 4log 3.6=5b , 3log 0.31=( )5c ,则( )A.a&b&c B.b&a&c C.a&c&b D.c&a&b(3)55ln,33ln,22ln cba ,则( )A. cba
D. cab [解析] ln,3ln,2ln
,∴.bac (1)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则( )A.a&b&c B.a&c&b C.b&a&c D.b&c&a解:a=log3π&1,b=12log23,则12&b&1,c=12log32&12,∴a&b&c.(2)设 a、b、c 均为正数,且 2a= 12log a ,(12)b= 12log b , (12)c=log2c,则( )..A.a&b&c B.c&b&a C.c&a&b D.b&a&c∵a,b,c 均为正,∴log12a=2a&1,log12b=(12)b∈(0,1),log2c=(12)c∈(0,1).∴0&a&12,12&b&1,1&c&2. 故 a&b&c.(3)设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( )A.f(13)&f(2)&f(12) B.f(12)&f(2)&f(13) C.f(12)&f(13)&f(2) D.f(2)&f(12)&f(13)解:由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x=2-x+x2=1 对称,又当 x≥1 时,f(x)=lnx,所以离对称轴x=1 距离大的 x 的函数值大,∵|2-1|&|13-1|&|12-1|,∴f(12)&f(13)&f(2).(4)已知 10
ayx ,则有( )A. 0)(log xya B. 1)(log0
xyaC. 2)(log1
xya D. 2)(log xya[ 解析] ∵ ayxa
,10 , ∴ 1loglog
ax aa , 同理1l o gya .∴ 2loglog
yx aa ,即.2)(log xya故选 D。(5)已知 0&a&b&1&c,m=logac,n=logbc,则 m 与 n 的大小关系是__ m&n ____解析∵m&0,n&0,∵mn=logaclogcb=logab&logaa=1,∴m&n.点评:用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如,比较 logaf(x)与 logag(x)的大小,其中 a&0 且 a≠1.①若 a&1,则 logaf(x)&logag(x)f(x)&g(x)&0.②若 0&a&1,则 logaf(x)&logag(x)0&f(x)&g(x).(2)同真数的对数值大小关系如图:图象在 x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即 0&c&d&1&a&b.(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法;(3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较.探究点四对数函数的性质例 4 (1)作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单调区间,并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎样的变换而得到.解作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y=log2|x|的图象,再将图象向左平移 1 个单位长度..就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数 y=log2|x+1|的递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞).探究提高作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象.(2)已知 y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.解析:先求函数定义域:由 2-ax&0,得 ax&2又 a 是对数的底数,∴a&0 且 a≠1,∴x&a2由递减区间[0,1]应在定义域内可得a2&1,∴a&2又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a&1∴1&a&2(3)方程 3log (1 2 3 ) 2 1xx
的解 x .[解析]2
2 3 0,21 2 3 3 ,3 3 2 3 1 0.xxx xx x
令,3 tx∴.131,210,或ttttt∴,31t ∴,313 x∴.1x 故应填:-1(4)设函数).)(12lg()( 2Rxxaxxf ①若)(xf 的定义域为 R,求 a 的取值范围;②若)(xf 的值域为 R,求 a 的取值范围。[解析]①因为)(xf 的定义域为 R,所以对一切 12, 2 xaxRx 恒为正数,由此可得 0a ,且 044
a ,解得.1a②因为)(xf 的值域为 R,所以真数 122 xax 能取到一切正实数,由此可得 0a ,且 044
a ,解得.10
a变式训练 4(1) 若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )..A.1a,b B.(10a,1-b) C.10a,b+1 D.(a2,2b)(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a&0 且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 a=__2____,b=__2____.(3)函数 f(x)= 12log (x2-2x-3)的单调递增区间是_____(-,-1)_____求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤:①确定定义域;②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x);③分别确定这两个函数的单调区间;④若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.(4).函数 y=lg (x-12-1)的图象关于( )A.y 轴对称 B.x 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称(5)若函数 2 2( ) log ( 2 )af x x x a
是奇函数,则a 解:由于 2 2( ) log ( 2 )af x x x a
是奇函数,∴( ) ( ) 0f x f x
,即 2 2 2 2log ( 2 ) log ( 2 ) 0a ax x a x x a
,∴2 2 2log 2 0 2 12a a a a
,∴22a (6)已知函数xxxf11lg)( ,若21)( af ,则)( af
等于( )A.21B.-21C.2 D.-2题型四对数函数的综合应用例 5 (1)已知a 、b 、 x 为正数,且lg( ) lg( ) 1 0bx ax
,求ba的取值范围.[解析]∵lg( ) lg( ) 1 0,bx ax
∴.01)lg)(lglg(lg
axxb∴2(lg ) (lg lg )lg lg lg 1 0.x a b x a b
∵ 0x ,∴上式关于 xlg 的方程有实根。∴ 0)1lg(lg4)lg(lg 2 baba ...∴.4)lg(lg 2 ba ∴ 2lglg
ba ,或.2lglg
ba∴ 100ba或.10010 ba(2)已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a&0 且 a≠1).(1)若 f(2)=2,求 a 的值;(2)当 a&1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值.解(1)f(2)=loga4,依题意 f(2)=2,则 loga4=2,∴a=2.(2)由题意知 8-2x&0,解得 x&3,由 8-2-x&0 知,x&-3,∴函数 y=f(x)+f(-x)的定义域为(-3,3).又 y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)],∵658&2x+2-x≥2,当且仅当 x=0 时取等号,∴0&65-8(2x+2-x)≤49,∴当 a&1 时,函数 y=f(x)+f(-x)在 x=0 处取得最大值 loga49.探究提高本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用,主要涉及对数式的求值,对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等).变式训练 5(1)已知函数 f(x)=loga(x+1) (a&1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象.①写出函数 g(x)的解析式;②当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围.解(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点,∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即 y=g(x)=-loga(1-x).(2)f(x)+g(x)≥m,即 logax+11-x≥m.设 F(x)=loga1+x1-x,x∈[0,1),由题意知,只要 F(x)min≥m 即可.∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0. 故 m≤0 即为所求.播放器加载中，请稍候...
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2013届高三数学一轮复习讲义 对数与对数函数(人教A版) ..10 对数与对数函数高考要求: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数 y=ax与对数函数 y=logax 互为反函数(a&...
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