∫兀到0√(sin²x/2-sin4x/2)dx的定积分xsin2xdx

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-12 06:31 标签： 计算定积分∫xexdx
求定积分∫(0,4)x^2√(4x-x^2)dx_百度知道
求定积分∫(0,4)x^2√(4x-x^2)dx
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u+cos²2→π/ucos²]=2cosu∫[0→4] x&#178，若有不懂请追问;2] (sin²2] (sin²2→π&#47，u;2] (1+cos2u) du=4u - sin4u + 16u + 4sin2u
|[0→π/2]=10π 【数学之美】团队为您解答;2u du + 16∫[0→π/u) du其中;2→π&#47，则√[4-(x-2)²2] (1-cos4u) du + 16∫[0→π/2] (1+cos2u) du=4∫[0→π&#47：2sinucos²2→π&#47，dx=22] sin²] dx令x-2=2u) du=8∫[0→π/ du=16∫[-π/(2cosu)²u+cos²2=∫[-π/2] (2sinu+2)&#178，其余部分为偶函数=32∫[0→π&#47，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”;u+2sinucos²ucos²u du=16∫[-π/2] (sinu+1)²cos&#178：-π/√[4-(x-2)²) dx=∫[0→4] x²√(4x-x²u为奇函数
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原来是这样，感谢！
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出门在外也不愁计算二重积分∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dб,其中D是由y=-a+√a²-x²) (a＞0)和直线y=-x围成的区域。是用极坐标来做吗？我用了极坐标在第一次求定积分的时候就不会了。。。
在极坐标下D={(r,θ)|0≤r≤-2asinθ，-π/4≤θ≤0}解法一：∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ){[4a²-(4a²-r²)]/√(4a²-r²)}dr=∫(-π/4,0)dθ{∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr}.........①记大括号中的值为I，则I=∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=4a²*arcsin(r/2a)|(0,-2asinθ)-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=-4a²θ-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr....................................................②对于积分∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr的解法有两种：方法一：套用不定积分公式∫√(a²-x²)dx=(a²/2)arcsin(x/a)+(1/2)x√(a²-x²)+C（其证明过程有两种，一种是换元法，另一种是分部积分法，证明从略）所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=[(4a²)/2]arcsin(r/2a)+(1/2)r√(4a²-r²)=-2a²θ-a²sin2θ代入②，得I=-4a²θ-[-2a²θ-a²sin2θ]=-2a²θ+a²sin2θ，代入①，得∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)(-2a²θ+a²sin2θ)dθ=(π²/16-1/2)a²方法二：利用圆的几何性质，令s=√(4a²-r²)，则r²+s²=4a²，则该定积分可以看成是以(0,0)为圆心，以2a为半径的圆内r∈(0，2asin(-θ)的面积，如图阴影部分的面积即为所求。该阴影部分可分为三角形和扇形，S三角形=(1/2)*2asin(-θ)*2acosθ)=-a²sin2θS扇形=（1/2)*(2a)²*(π/2+θ)=πa²+2a²θ所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=S阴影=S三角形+S扇形=πa²+2a²θ-a²sin2θ，代入①得∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)(πa²+2a²θ-a²sin2θ)dθ=(π²/16-1/2)a²解法二：∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(4a²sin²u)/√(4a²cos²u)]*2acosudu（令r=2asinu）=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)sin²udu=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(1-cos2u)/2]du=4a²∫(-π/4,0)[(-1/2)θ+(1/4)sin2θ)]dθ=(π²/16-1/2)a²
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我是天舞啊28A
看我的分析,不算精彩,但是可以解题,请叫我雷锋.
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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出门在外也不愁累次积分的计算累次积分∫（积分上限）pai/2（积分下限）0 dθ∫（积分上限）cosθ（积分下限）0 f（ρcosθ,ρsinθ）ρdθ怎么化成∫（1,0）dx ∫(√x-x²,0)f（x,y）dy-----根号是包含x-x²的
工口YAKI106
你的题最后应该是dp 就是∫0到π/2dθ∫0到cosθ f（ρcosθ,ρsinθ）ρdp解 先看后面p积分 积分限是0到cosθ 即 0
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做直角坐标系变换x=ρcosθ，y=ρsinθ
∵0≤θ≤π/2，0≤ρ≤cosθ
又ρ=cosθ ==>ρ²=ρcosθ
==>x²+y²=x
==>(x-1/2)²+y²=(1/2)²
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