高二数学高二立体几何复习第二问

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学年高二数学教学学案：第2章 空间向量与立体几何 5.1-5.2《直线间的夹角、平面间的夹角》（北师大版选修2-1）
学年高二数学教学学案：第2章 空间向量与立体几何 5.1-5.2《直线间的夹角、平面间的夹角》（北师大版选修2-1）
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5.1　直线间的夹角
5.2　平面间的夹角
课时目标　理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题．会灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．
1．直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角，两直线的夹角范围是________；两条异面直线夹角的范围是________，其大小可以通过这两条异面直线的______________的夹角来求．若设两条异面直线的夹角为θ，它们的方向向量的夹角是φ，则有θ＝______或θ＝________.
2．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是____________，二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个面的__________的夹角求得，二面角和两平面法向量的夹角的关系是______________．
一、选择题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)
C．30°或150°
D．以上均错
2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
3．如果二面角α—l—β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为(　　)
A．45°或30°
B．15°或75°
C．30°或60°
D． 15°或60°
4．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)
题　号 1 2 3 4 5 6
二、填空题
7．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1, 0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
9．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．
三、解答题
10．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E， F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
在三棱锥S—ABC中，SAB＝SAC＝ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，SB＝4.
(1)证明：SCBC；
(2)求二面角A—BC—S的大小．
如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.
(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的余弦值．
1．异面直线所成的角可以利用两个向量的夹角来求．
2．二面角可以利用立体几何方法作出二面角的平面角，然后利用几何方法或向量进行计算；也可以直接利用两个平面的法向量来求，要注意角的范围．
3．利用向量解题，大致可以利用基底法和坐标法．
§5　夹角的计算
5．1　直线间的夹角
5．2　平面间的夹角
1．[0，]　　方向向量　φ　π－φ
2．[0，π]　法向量　相等或互补
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