求积分∫√(x^2+3^2)dx=?_百度知道
求积分∫√(x^2+3^2)dx=?
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设x=3tant,dx=3(sect)^2dt,tant=x/3,sect=√(1+x^2/9)原式=∫√[9(tant)^2+9]*3(sect)^2dt=9∫(sect)^3dt∫(sect)^3dt=∫sectd(tant)=sect*tant-∫tantd(sect)=sect*tant-∫(tant*tant*sectdt)=sect*tant-∫[(sect)^2-1]sectdt=sect*tant-∫(sect)^3dt+∫sectdt,∴2∫(sect)^3dt=sect*tant+ln|sect+tant|+C1,∴∫(sect)^3dt=(1/2)sect*tant+(1/2)ln|sect+tant|+C2,∴原式=(9/2)sect*tant+(9/2)ln|sect+tant|+C2,=(9/2)*√(1+x^2/9)*(x/3)+(9/2)ln|√(1+x^2/9)+x/3|+C2=(x/2))*√(9+x^2)+(9/2)ln|x+√(9+x^2)+C.
答案是对的，但好难啊，看不懂啊
1、这里用到第二类换元法,三角函数代换,建议多看看书,根号内基是平方和,则用正切函数替换,如√(x^2+a^2),则用x=atant,dx=a(sect)^2dt,因为(tant)^2+1=(sect)^2,所以根号可去掉,若是√(a^2-x^2),则设x=asint,√(a^2-x^2)=acost,dx=acostdt,若是√(x^2-a^2).则设x=asect,dx=asecttantdt,√(x^2-a^2)=atant,2、要用到分部积分法，∫(sect)^3dt,设u=sect, v'=(sect)^2,u'=settant, v=tant,∫(sect)^3dt=secttant-∫sect(tant)^2dt=secttant-∫sect[(sect)^2-1]dt=secttant-∫(sect)^3dt+∫sectdt2∫(sect)^3=secttant+ln|sect+tant|+C,∴∫(sect)^3=（1/2）secttant+（1/2）ln|sect+tant|+C,不知是否明白？
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按照你说的，真的成功了，好开心，谢谢你！
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∫（x-2）dx/x²+2x+3=?
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令u=x+1，则du=dx原式=∫(u-3)du/(2+u^2)=∫udu/(2+u^2)-∫3du/(2+u^2)=1/2·ln(2+u^2)-3/√2·arctan(u&#弧罚汾顾莴该风双袱晶47;√2)+C=1/2·ln(x^2+2x+3)-3/√2·arctan((x+1)/√2)+C
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
大学数学老师
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没看懂题、除是怎么除
说一说怎么做
令u=x+1，则du=dx原式=∫(u-3)du/(2+u^2)=∫udu/(2+u^2)-∫3du/(2+u^2)=1/2·ln(2+u^2)-3/√2·arctan(u/√2)+C=1/2·ln(x^2+2x+3)-3/√2·arctan((x+1)/√2)+C
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出门在外也不愁∫1/x(x^3+2)dx不定积分怎么做.._百度知道
∫1/x(x^3+2)dx不定积分怎么做..
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1/[x(x^3+2)=(1/2)[1/x-x^2/(x^3+2)]∴原式=(1/2)∫dx/x-(1/2)∫x^2dx/(x^3+2)=(1/2)ln|x|-(1/2)(1/3)∫ d(x^3+2)/(x^3+2)=(1/2)ln|x|-(1/6)ln|x^3+2|+C. 注:用待定系数,求系数,设1/[x(x^3+2)=A/x+(Bx^2+Cx+D)/(x^3+2),A=1/2,B=-1/2,C=0,D=0,∴1/[x(x^3+2)]=1/(2x)-(1/2)x^2/(x^3+2).
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太感谢了，真心有用
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出门在外也不愁∫ [xln(x+√(1+x^2)]/(1-x^2)^2 dx 求不定积分_百度知道
∫ [xln(x+√(1+x^2)]/(1-x^2)^2 dx 求不定积分
最好写下 分部积分后半部分怎么做的
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∫ [xln(x+√(1+x²))]/(1-x²)² dx=1/2∫ [ln(x+√(1+x²))]/(1-x²)² d(x²)=-1/2∫ [ln(x+√(1+x²))]/(1-x²)² d(1-x²)=1/2∫ [ln(x+√(1+x²))] d(1/(1-x²))=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ 1/(1-x²) d[ln(x+√(1+x²))]由于：[ln(x+√(1+x²))]'=[1/(x+√(1+x²))]*(1+x/√(1+x²))=1/√(1+x²)=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ 1/[(1-x²)√(1+x²)] dx令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ 1/[(1-tan²u)secu]sec²udu=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ secu/(1-tan²u)du=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ cosu/(cos²u-sin²u)du=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ 1/(cos²u-sin²u)d(sinu)=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))-1/2∫ 1/(1-2sin²u)d(sinu)=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))+1/4∫ 1/(sin²u-0.5)d(sinu)由公式：∫ 1/(x²-a²) dx=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+C=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))+(1/4)(1/√2)ln|(sinu-√2/2)/(sinu+√2/2)|+C=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))+1/(4√2)ln|(2sinu-√2)/(2sinu+√2)|+C由于tanu=x，则sinu=x/√(1+x²)=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))+1/(4√2)ln|(2x/√(1+x²)-√2)/(2x/√(1+x²)+√2)|+C=1/2(1/(1-x²))ln(x+√(1+x²))+1/(4√2)ln|(2x-√(2+2x²))/(2x+√(2+2x²))|+C
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x ln[(x+√(1+x²)] / (1-x²)² dx
= (1/2) ∫
ln[(x+√(1+x²)] d [1/(1-x²)]= (1/2) ln[(x+√(1+x²)] /(1-x²) ﹣(1/2) ∫ 1/(1-x²) /√(1+x²) dx
①其中 I2 = ∫ 1/(1-x²) /√(1+x²) dx
利用换元法求。令 x = tant, dx = sec²t dtI2 = ∫ sect /(1﹣tan²t) dt
∫ cost / (cos²t - sin²t) dt
∫ cost / (1 ﹣2sin²t) dt
令 u= sint
= (1/2) ∫
du / (1/2﹣u²) = (√2/4) ln |(√2/2+u) /(√2/2﹣u)| + C
= (√2/4) ln| (1+√2u) /(1﹣√2u)| + C
u= sint = x /√(1+x²)
= (√2/4) ln| (√(1+x²)+√2x) /(√(1+x²)﹣√2x)| + C 代入 ① 中即可。
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出门在外也不愁不定积分∫x^3√(1+x^2)dx_百度知道
不定积分∫x^3√(1+x^2)dx
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解：∫x³√(1+x²)dx=(1/2)∫(1+x²-1)√(1+x²)d(1+x²)
=(1/2)∫[(1+x²)^(3/2)-(1+x²)^(1/2)]d(1+x²)
=(1/2)[(2/5)(1+x²)^(5/2)-(2/3)(1+x²)^(3/2)]+C
(C是积分常数)
=(1/5)(1+x²)^(5/2)-(1/3)(1+x²)^(3/2)+C。
=(1/2)∫[(1+x²)^(3/2)-(1+x²)^(1/2)]d(1+x²)这一部怎么来的 详细过程 谢谢。
这一步是应用乘法分配律：((1+x²)-1)√(1+x²)=(1+x²)^(3/2)-(1+x²)^(1/2)
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∫ x³√(1+x²) dx=(1/2)∫ x²√(1+x²) d(x²)令√(1+x²)=u，则x²=u²-1，d(x²)=d(u²)=2udu=∫ (u²-1)u² du=∫ (u^4 - u²) du=(1/5)u^5 - (1/3)u³ + C=(1/5)(1+x²)^(5/2) - (1/3)(1+x²)^(3/2) + C希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的&选为满意回答&按钮，谢谢。
再问你一题（提高悬赏）：不定积分
∫x^2/(2-x)^(2/3) dx
你确定是三分之二次方吗？不是二分之三次方？因已推荐，不能修改的，你再追问我一下，我有事要出去，回来再看。
&sorry& 一定选为满意答案& &是&三分之一次方
∫ x²/(2-x)^(1/3) dx令(2-x)^(1/3)=u，则x=2-u³，dx=-3u²du=-3∫ [(2-u³)²/u]u² du=-3∫ u(2-u³)² du=-3∫ (4u-4u^4+u^7) du=-6u² + (12/5)u^5 - (3/8)u^8 + C=-6(2-x)^(2/3) + (12/5)(2-x)^(5/3) - (3/8)(2-x)^(8/3) + C
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能做一遍吗？非常感谢
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