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& 陕西省咸阳市2015届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析
陕西省咸阳市2015届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析
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资料概述与简介
陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩?RB=(
A． C．（1，2） D．（1，2]
2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=(
A． B． C．2 D．
3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(
A． B． C． D．
4．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且?q的一个充分不必要条件是?p，则实数a的取值范围是(
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣3] C．
20．如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kADokAE=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．
21．已知函数．
（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明：．
选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q．
（Ⅰ）求证：QCoBC=QC2﹣QA2；
（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩?RB=(
A． C．（1，2） D．（1，2]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
解答： 解：由A中的不等式变形得：（）x≤1=（）0，得到x≥0，
∴A= B．（﹣∞，﹣3] C．
点评：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题．
7．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=(
A．14 B．30 C．20 D．55
考点：循环结构．
专题：计算题；算法和程序框图．
分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．
解答： 解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，
第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，
第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，
第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，
输出S=30，
点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．
8．在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，则所有数的和为(
A．18 B．17 C．19 D．21
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由每列的3个数依次成等差数列及a22=2，可得a12+a22+a32=3a22=6，根据各行成等差数列及等差数列的性质可求得答案．
解答： 解：∵数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，
∴a12+a22+a32=3a22=6，
又每行的3个数依次成等差数列，
∴a11+a12+a13=3a12，a21+a22+a23=3a22，a31+a32+a33=3a32，
∴a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=3a12+3a22+3a32=3×3a22=18，
点评：本题借助矩阵的形式，实际考查数列的求和、等差数列的运算性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
9．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）=0，则f（﹣1）=(
A． B．2 C． D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据A、B两点之间的距离为5，求得T的值，可得ω的值，根据f（1）=0，结合φ的范围求得φ的值从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．
解答： 解：∵A，B两点之间的距离为5，则有：=5，求得T=6，
∴f（x）=2sin（x+φ），
∵f（1）=2sin（+φ）=0，
∴+φ=kπ，k∈Z，
∴可解得：φ=kπ﹣，k∈Z，
∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2×=，
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．
10．函数f（x）=ln（x﹣）的图象大致是(
A． B． C． D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．
解答： 解：由x﹣＞0 得，﹣1＜x＜0或x＞1，
即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．
当x＞1时，y=x﹣为增函数，
∴f（x）=ln（x﹣）也为增函数，
点评：本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键．
11．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为(
A． B．4π C． D．
考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．
专题：球．
分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
解答： 解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，
∵α截球O所得截面的面积为π，
∴d=R时，r=1，
故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=
∴球的表面积S=4πR2=．
点评：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．
12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有(
A．11 B．4 C．5 D．0
考点：进行简单的演绎推理．
专题：综合题；推理和证明．
分析：正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，求出前k层的个数，即可得出结论．
解答： 解：依题设第k层正四面体为1+2+…+k=，
则前k层共有（12+22+…+k2）+（1+2+…+k）=≤60
∴k最大为6，剩4，
点评：本题考查进行简单的演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知向量，，则在方向上的投影为．
考点：平面向量数量积的含义与物理意义．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量投影的定义，计算在方向上的投影即可．
解答： 解：∵向量，，
∴在方向上的投影为
||cos＜，＞=||×
故答案为：．
点评：本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题目．
14．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为11．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+3y，得
平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．
由得，即A（2，3），
此时z=x+3y=2+3×3=11，
故答案为：11．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
考点：微积分基本定理．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求出原函数，即可求得定积分．
解答： 解：==+++﹣+
故答案为：+．
点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．
16．设f（x）=，x=f（x）有唯一解，f（x0）=，f（xn﹣1）=xn，n=1，2，3，…，则x2015=．
考点：进行简单的演绎推理．
专题：综合题；推理和证明．
分析：由已知得f（x）=，从而xn=f（xn﹣1）=，﹣=，由此能求出数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．由此能求出结果．
解答： 解：∵f（x）=，f（x）=x有唯一解，
∴x=，解得x=0或x=﹣2，
由题意知﹣2=0，∴a=，f（x）=，
∴xn=f（xn﹣1）=，
又∵x1=f（x0）=，∴=1008，
∴数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．
∴=1008+o=2015，
∴x2015=．
故答案为：．
点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．
（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．
解答： 解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，
化简得sinB=cosB，
即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．
（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=，
∴sin（﹣A）=2sinA，
化简可得tanA=，而0＜A＜，
∴A=，C=．
解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，
∴a：b：c=1：，知A=，C=．
（2）由正弦定理得，
由C=﹣A，得===+1
又由≤A≤，
知1≤tanA≤，
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．
18．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．
分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．
（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．
解答： 解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，
∴取出的4个球均为黑球的概率为P（AoB）=P（A）oP（B）=．
（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．
（III）ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得，
从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
ξ的数学期望．
点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
19．如图，正方形 ACD E所在的平面与平面 A BC垂直，M是C E和 AD的交点，AC⊥BC，且 AC=BC．
（Ⅰ）求证：A M⊥平面 E BC；
（Ⅱ）求二面角 A﹣E B﹣C的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：几何法：
（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
（Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．
（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面EAC，…
∵BC?平面EAC，∴BC⊥AM，
又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…
（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，…
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AEoAB=EBoAH，
设EA=AC=BC=2a，得，AB=2a，EB=2a，∴=，
∴sin=，∴∠AHM=60°．
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…
（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…
∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），…
=（0，1，1），=（0，2，﹣2），，
∴，∴AM⊥EC，AM⊥BC，
又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…
（2）设平面EAB的法向量为，则，
∴，取y=﹣1，则x=1，则=（1，﹣1，0），…
又∵为平面EBC的一个法向量，
∴cos＜＞==﹣，
设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴θ=60°，
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kADokAE=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
专题：探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由抛物线定义及|AF|=2即可求得p值；
（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m≠0），直线DE方程与抛物线方程联立消x得y的方程，由韦达定理及kADokAE=2可得关于m，n的关系式，从而直线DE方程可用m表示，由直线方程的点斜式即可求得定点．
解答： 解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），
由其定义知，又|AF|=2，
所以p=2，y2=4x；
（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），
DE方程为x=my+n（m≠0），
把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，
由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即﹣4n+2×4m=4，
所以n=2m﹣1，代入DE方程得：x=my+2m﹣1，即（y+2）m=x+1，
故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查直线方程的点斜式，考查学生分析解决问题的能力．
21．已知函数．
（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明：．
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题；证明题．
分析：（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导，根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．
（II）当m=1时，构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x），同理得到函数在上递减，得到递减的条件，得到结论．
解答： 解：（I），
对，，故不存在实数m，
使对恒成立，
由对恒成立得，
m≥对恒成立
而＜0，故m≥0
经检验，当m≥0时，对恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．
（II）证明：当m=1时，令
在上总有g′（x）≥0，
即g（x）在上递增
∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），
由（2）知它在上递减，
∴h（a）＜h（b）
综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜．
点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力，是一个中档题．
选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q．
（Ⅰ）求证：QCoBC=QC2﹣QA2；
（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：立体几何．
分析：（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QCoBC=QC2﹣QA2．
（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．
解答： （本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1
证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，
由切割线定理得：
QA2=QBoQC=（QC﹣BC）oQC，
∴QCoBC=QC2﹣QA2．
（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，
∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，
∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，
∴△QAB∽△QCA，
∴=，∴AB=．
点评：本题考查等式的证明，考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：选作题；坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．
解答： 解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．
（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a﹣2|≥a，由此求得a的范围．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，
而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集为．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．
而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，
∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．
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黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=()A．（1，2]B．[1，2]C．（∞，3）∪（1，+∞）D．[1，2）2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于()A．1B．C．2D．33．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=()A．30°B．45°C．60°D．75°4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是()A．y=|x1|B．y=exC．y=ln（x+1）D．y=x（x+2）5．方程log2x+x=2的解所在的区间为()A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()A．B．C．0D．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是()A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8．变量x、y满足条件，则（x2）2+y2的最小值为()A．B．C．D．59．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=()A．1B．C．D．10．如图，四棱锥PABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A．90°B．75°C．60°D．4511．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=()A．B．C．3D．212．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4m）f（m）≥84m．则实数m的取值范围为()A．[2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（∞，2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{an}中，a2=4，a4=16，则数列{an}的前9项和等于__________．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为__________．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinAsinB）（sinA+sinB）=sin（B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．18．已知数列{an}满足（an+11）（an1）=3（anan+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角AGIC的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞1），曲线y=f（x）过点（e1，e2e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1||x|2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=()A．（1，2]B．[1，2]C．（∞，3）∪（1，+∞）D．[1，2）考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜3}，Q={x|y=}={x|2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．点评：本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力．2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于()A．1B．C．2D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．3．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=()A．30°B．45°C．60°D．75°考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为ABACsinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为ABACsinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是()A．y=|x1|B．y=exC．y=ln（x+1）D．y=x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=|x1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=ex，在（∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=x（x+2）在（1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．方程log2x+x=2的解所在的区间为()A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：判断f（x）=log2x+x2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解答：解：设f（x）=log2x+x2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）=0+12=1＜0，f（1.5）=log21.50.5=log21.5log2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）故选：B．点评：本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()A．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是()A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①利用异面直线的定义即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不一定平行，即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理可得：α∥β，即可判断出正误．解答：解：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题．8．变量x、y满足条件，则（x2）2+y2的最小值为()A．B．C．D．5考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，（x2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，求阴影内的点到点A（2，0）的距离的范围可得．解答：解：由题意作出其平面区域，（x2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，由图象知点B（0，1）到点A的距离最短，故（x2）2+y2的最小值为（02）2+12=5；故选：D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．9．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=()A．1B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．解答：解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则=（）==（）21×=．故选：B．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．10．如图，四棱锥PABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A．90°B．75°C．60°D．45考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，利用四边形AEFG是等腰梯形，求其余弦值．解答：解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，如图过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，AG=，AE＞FG，过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，在△GHA中，GH=EF=，AH=AEFG==，AG=，AG2=GH2=AH2，所以∠AEF=90°，故选A．点评：本题考查了异面直线所成的角；首先要将空间角转化为平面角，然后通过解三角形求之．11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=()A．B．C．3D．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．解答：解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4m）f（m）≥84m．则实数m的取值范围为()A．[2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（∞，2]∪[2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=f（x）x2，由g（x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4m）f（m）≥84m，即g（4m）≥g（m），可得4m≤m，由此解得a的范围．解答：解：令g（x）=f（x）x2，∵g（x）+g（x）=f（x）x2+f（x）x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4m）f（m）=g（4m）+（4m）2g（m）m2=g（4m）g（m）+84m≥84m，∴g（4m）≥g（m），∴4m≤m，解得：m≥2，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{an}中，a2=4，a4=16，则数列{an}的前9项和等于510．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知的a4的值比上a2的值求出公比q的值，然后由a2和q的值求出a1的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前4项之和，把求出的a1和q的值代入即可求出值．解答：解：由a2=4，a4=16，得到q2===4，解得：q=2（舍去负值），∴a1==2，则数列的前9项之和S9==，即S9=510．故答案是：510．点评：此题考查了等比数列的求和公式，考查了等比数列的性质．学生做题时注意求出的公比q的值有两个，都符合题意，不要遗漏．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的表面积S=×π×22+×π×4×2+×4×4=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（ai，bi＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，nm=2a2，由于∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，化简整理即可得出．解答：解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（ai，bi＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，nm=2a2，解得m=a1a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+（a1a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间[1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间[1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根．由x3+mx=?x3+mxm1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1?（1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即?3＜m≤．?＜m≤∴所求实数m的取值范围是3＜m≤．故答案为：3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinAsinB）（sinA+sinB）=sin（B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知条件化简表达式，求出A的正弦函数值，然后求角A的值；（Ⅱ）利用=12，求出bc的值，利用余弦定理得到关系式，然后求b，c（其中b＜c）．解答：解：（Ⅰ）（sinAsinB）（sinA+sinB）=sin（B）sin（+B）．可得：=，∴，∴．…（Ⅱ），∴bc=24，又a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，∴b+c=10，∵b＜c，∴b=4，c=6．…点评：本题考查余弦定理的应用，实数的化简求值，基本知识的考查．18．已知数列{an}满足（an+11）（an1）=3（anan+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用已知条件推出，即可证明{bn}是等差数列．（Ⅱ）求出bn，然后求解数列{an}的通项公式．解答：解：（Ⅰ）（an+11）（an1）=3[（an1）（an+11）]，∴，即，∴{bn}是等差数列．…（Ⅱ）∵b1=1，∴，…，∴．…点评：本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角AGIC的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明ED∥BC，推出ED∥平面BCH，利用直线与平面平行的性质定理以及平行公理证明IH∥BC．（Ⅱ）建立空间右手直角坐标系，求出平面AGI的一个法向量，平面CHI的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角AGIC的余弦值．（Ⅲ）法（一），通过，解得，然后求解即可．法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，通过△HKJ与△CKA相似，求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC?平面BCH，ED?平面BCH，所以ED∥平面BCH因为ED?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI所以ED∥HI又因为ED∥BC，所以IH∥BC．…（Ⅱ）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），，，，，设平面AGI的一个法向量为，则，，令z1=1，解得x1=1，y1=1，则设平面CHI的一个法向量为，则，，令z2=2，解得y1=1，则，，所以二面角AGIC的余弦值为…（Ⅲ）解：法（一），设则，解得，…法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，△HKJ与△CKA相似，得，易证HI∥GK，所以…点评：本题考查空间向量求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的性质定理以及判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过三角形△OAB的面积，求出B的纵坐标，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出p，即可得到抛物线方程．（Ⅱ）存在直线l：x±11y4=0符合条件．通过设直线l的方程x=my+4，与抛物线联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），通过，求出，然后求出m，得到直线l即可．解答：解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（Ⅱ）存在直线l：x±11y4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y28my32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=32∴=．…由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…可得要使，只需…即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y4=0符合条件…点评：本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题以及转化思想的应用，考查计算能力．21．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞1），曲线y=f（x）过点（e1，e2e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x）．利用f′（0）=a+b=0，f（e1）=e2e+1，即可求解a，b．（Ⅱ）设g（x）=（x+1）2ln（x+1）xx2，（x≥0），求出导函数，利用导函数的判断函数的单调性，推出g（x）≥g（0）=0．推出结果f（x）≥x2．（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）xmx2，求出导函数h′（x），利用（Ⅱ）中的结果，通过讨论m的范围，求解即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e1）=ae2+b（e1）=a（e2e+1）=e2e+1∴a=1，b=1．…（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）x，设g（x）=（x+1）2ln（x+1）xx2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）x，（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2．…（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）xmx2，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x2mx，（Ⅱ）中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x2mx，①当32m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．②当32m＜0即时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（12m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+32m，令h′′（x）=0，得，当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不成立．综上，．…点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及导函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．解答：解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，设PA=x，PD=y则有，所以…（Ⅱ）因为PA=1，=，所以PB=4，因为PAPB=PDPC，=，所以PC=2，因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，所以BC==2．…点评：本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线xy+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与...
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