怎么证明切线的方法圆的切线垂直于过切点的直径

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-02-19 09:10 标签： 平分弦的直径垂直于弦
怎么证明过切点的半径与切线垂直
怎么证明过切点的半径与切线垂直
09-09-07 &匿名提问 发布
切线 曲线切线和法线的定义 曲线切线和法线的定义 P和Q是曲线C上邻近的两点，P的定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点T并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想） 说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；在图5－26中，PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线．
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怎样证明圆的切线垂直于过切点的半径
A为切点，这与AT是⊙O的切线相矛盾，垂足为M，AT与OA垂直，根据“垂线段最短”的性质，有OM＜OA，那么AT和半径OA垂直。反证法。因此命题如果直线AT是⊙O的切线，于是AT就要与⊙O相交，这就是说圆心到直线AT的距离小于半径，作OM⊥AT：假设AT与OA不垂直
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用垂线定理 证明
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出门在外也不愁用反证法证明圆的切线垂直于过切点的半径&br/&。
用反证法证明圆的切线垂直于过切点的半径。 5
假设半径不垂直于过切点的切线过圆心做OM垂直于切线于M显然OM&半径 （点到线的距离垂线最短)那么该直线与圆必有另外一个交点与题设切线不符所以得证不懂，为什么OM&半径，不应该=吗？
不区分大小写匿名
你没有按照假设去想 反证假设后 切线不能再用的。
你可以画个图啦！（虽然和假设的不一样）画出来后会有一个三角形，按照假设 &OM是直角边，半径是斜边，所以OM＜半径如果实在不懂，看看下面这个解法，比较清楚证明：圆的切线一定垂直于过切点的半径用反证法。设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。假设直线l不垂直于OA，过O作OM垂直l于M因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，所以OA&OM（直角三角形斜边大于直角边）即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l即圆的切线垂直于圆的半径
因为假设半径不垂直于过切点的切线，当过圆心作OM⊥切线时，在连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，所以有OM＜半径
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导2.5.2圆的切线(二)切线的性质_中华文本库
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本章内容 第2章
本课内容 本节内容 2.5
直线与圆的位置关系
子目内容 2.5.2
——切线的性质
如图，直线l是⊙O 的切线，A为切点， 切线l与半径OA 垂直吗？
我用量角器量得切线l 与 半径OA 所成的角90°， 即切线l 与半径OA 垂直.
假设直线l 与半径OA 不垂直. 过圆心O 作 OB⊥直线l 于点B. 由于垂线段最短，可得 OB ＜ OA，那么圆心O 到直线l 的距离小于 半径，即直线l 与⊙O 相交. 这与已知直线l 是⊙O 的切线相矛盾.因此直线l⊥OA.
结论 圆的切线垂直于过切点的半径．
∵l是⊙O的切线，切点 为A， ∴l⊥OA.
切线判定定理： ①过半径外端; ②垂直于这条半径. 切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
切线垂直于半径
例1 如图， AB 是⊙O的直径， C 为⊙O上一 点， BD 和过点C 的切线CD 垂直， 垂足为D. 求证： BC 平分∠ABD．
知切线，连半径，得垂直
证明 连接OC. ∵ CD 是⊙O的切线， ∴ OC⊥CD . 又∵ BD⊥CD ， ∴ BD∥OC . ∴ ∠1 =∠2 . 又OC = OB ， ∴ ∠1 =∠3 . ∴ ∠2 =∠3 ， 即BC 平分∠ABD.
平行+等腰=平分
例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行． 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，l1 , l2分别 是经过点A，B 的切线． 求证： l1 ∥l2．
证明 ∵ OA 是⊙O 的半径， l1是过点A的切线， ∴ l1⊥OA． 同理l2⊥OB． ∴ l1⊥AB 且l2⊥AB． ∴ l1 ∥l2．
练习 如图， ⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则 ⊙O的半径是多少？
解:连接OB. PB为切线,则PB垂直OB. 设OA=OB=R, 则OP=PA+OB=2+R. PB? +OB? =OP? , 即4? +R? =(2+R)? ,R=3. 故圆O的半径为3.
小结与复习
1、知识：切线的性质： (1)切线和圆有唯一公共点； (2)切线和圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于过切点的半径； (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 2、能力和方法： 凡是题目中给出切线的切点，往往“连结” 过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产 生垂直的位置关系．
例1（2013年广东珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的 三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．
（1）证明：如图，连结OA、OB、OC、BD. ∵AB与⊙O切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC， ∴△ABO≌△CBO， ∴∠BCO=∠BAO=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC为⊙O的切线.
（2）解：∵△ABO≌△CBO， ∴∠ABO=∠CBO， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC， ∴点O在BD上. ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°，
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证明圆的切线垂直于过切点的直径
作三角形△AEB,延长BE与CD交点C.则△AEB是直角△（直径所对的圆周角是直角）在△AEB和△AEC中,∠AEB=∠AEC=90°,∠ABE=∠CAE（弦切角等于三角形所对的内对角）所以△AEB∽△AEC.∠ABE+∠BAE=90度,而∠ABE=∠CAE,∴∠CAE+∠BAE=90°,∴AB⊥CD

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