求下列求幂级数收敛域的收敛域

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-23 06:56 标签： 求幂级数收敛域
上的函数列
&&&&&&&&&&(1)
，函数项级数(1)成为常数项级数
&&&&&&&&&&(2)
收敛，则称点是函数项级数(1)的收敛点；
发散，则称点是函数项级数(1)的发散点；
，(1)收敛， 其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记
的前项之和(即部分和)记作，则在收敛域上有&
叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上)，则& &。
&&&&&&&&&(4)
称作幂级数系数。
可以把它化为(3)的形式。
式作为讨论的对象。
显然也是幂级数 )
时，该级数收敛于和；
时，该级数发散。
，发散域是及，如果在开区间内取值，则
时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；
时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。
是幂级数的收敛点， 即级数
时，，等比级数收敛，从而
绝对收敛；
当时发散，而有一点适合使级数收敛。
时应收敛，这与定理的条件相矛盾，故定理的第二部分应成立。
处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；
处发散，则在开区间之外，它亦发散；
在数轴上既有收敛点(不仅仅只是原点，原点肯定是一个收敛点)，也有发散点。
搜寻，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，设这两部分的界点为P，点P可能是收敛点，也可能是发散点；
搜寻，情形也是如此，也可找到一个界点P’
’之间的点，就是幂级数的收敛域；位于这两点之外的点，就是幂级数的发散域。
不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质
时，幂级数绝对收敛；
时，幂级数发散；
时，幂级数可能收敛，也可能发散。
通常称作幂级数的收敛半径。
处的敛散性就可决定它在区间，，或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。
处收敛，则规定收敛半径；如果幂级数对一切都收敛，则规定收敛半径。
(是幂级数的相邻两项的系数)
存在，据比值审敛法，
时，级数(*)收敛，从而原幂级数绝对收敛；
，即时，级数(*)从某个开始，有
不趋向于零，进而 也不趋向于零，因此原幂级数发散。
，则对任何，有
收敛，原幂级数绝对收敛
，则对任何，有
】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间
，幂级数成为
，幂级数成为
缺少奇次幂项比值审敛法
，即时，幂级数收敛；
，即时，幂级数发散；
，幂级数成为
，幂级数成为
】求函数项级数的收敛域
，则函数项级数变成了幂级数
，幂级数成为
，幂级数成为
及的收敛区间分别为与，记，当时，有
的和函数在收敛区间内连续。
收敛，则其和函数在处右连续，即；
处收敛，则其和函数在处左连续，即。
的和函数在收敛区间内可导，且有
的和函数在收敛区间内可积，且有
】求数项级数& 之和。
时，幂级数成为
时，幂级数成为
】求的和函数。
时，幂级数成为
时，幂级数成为
】求 的和。教学目的：了解幂级数的收敛域的构造及求法，如何将函数展开成幂级数，寒暑的幂级数展开式的应用。
教学重点：幂级数收敛域的求法，函数展开成幂级数的充要条件。
教学难点：幂级数收敛半径的求法，函数展开成幂级数的间接方法，近世计算中的误差估计&
教学内容：
如果级数的各项都是定义在某区间中的函数，就叫做函数项级数。当自变量取特定值，如时，级数变成一个数项级数。如果这个数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点，如发散，称为发散点， 一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域。
1. 形如的幂级数
从简单的一个幂级数公比为的等比级数，当时收敛；当时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，引课到收敛域构造的阿贝尔定理：
若有使收敛，则当时，幂级数绝对收敛；若有使发散，则当时，幂级数发散。
定理 1. (Cauchy-Hadamard)
对冪级数， 总存在非负数， 使其在内绝对收敛， 在内发散.
因此关于收敛半径的求法有如下定理：
已给幂级数，设当充分大以后都有，且，则: ⑴当时，
例 1：求下列各幂级数的收敛域
当时，级数成为（发散）
当时，级数成为（收敛）
∴收敛域为
∵级数中只出现的偶次幂，缺项. ∴不能直接用定理来求
可设，由比值法
可知当，即，幂级数绝对收敛
当，即，幂级数发散，故
当时，级数成为，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是
幂级数一般形式的讨论，可用变换，使之成为进行。
a0+a1x+a2x2+…+anxn+…
及&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…
分别在区间（-R,R）及（-R′,R′）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算：
(a0+a1x+a2x2+…+anxn+…)±(b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…)
=(a0± b0)+(a1± b1)x+( a2±b2)x2+…+(an±bn) xn+…
(a0+a1x+a2x2+…+anxn+…)×(b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…)
= a0 b0+( a0 b1+ a1 b0)x+( a0 b2+ a1 b1+ a2 b0) x2+…
+( a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0) xn+…
可以证明上2式在（-R,R）与（-R′,R′）中较小的区间内成立.所以有:
定理 设, ,
幂级数的和函数有下列重要性质：
性质1 幂级数的和函数s(x)I.
2 幂级数的和函数s(x)I
3 幂级数的和函数s(x)(-R,R)内可导，且有逐项求导公式
x=1.I=[-11].
s(0)s(0)=a0=1将下列函数展开成x的幂级数,并求收敛域 x除以括号1加x的平方 _作业帮
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将下列函数展开成x的幂级数,并求收敛域 x除以括号1加x的平方
将下列函数展开成x的幂级数,并求收敛域 x除以括号1加x的平方
x/(1+x²)=x· Σ(-1)^n (x²)^n=Σ(-1)^n x^(2n+1)
n从0到∞收敛域为（-1,1）求下列幂级数的收敛域 _作业帮
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求下列幂级数的收敛域
求下列幂级数的收敛域&
lim(n->∞)[x^(2n+3)/2^(n+1)]/[x^(2n+1)/2^n]=x^2/2<1x^2<2|x|<√2收敛|x|>√2发散x=±√2时,级数发散所以收敛域为（-√2,√2）求下列幂级数的收敛区间和收敛域∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n_作业帮
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求下列幂级数的收敛区间和收敛域∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n
求下列幂级数的收敛区间和收敛域∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n
幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n=∑(-x/2)^n是公比为-x/2的等比级数,当|-x/2|＜1时绝对收敛,当|-x/2|＞1时发散,所以收敛半径是2,收敛区间与收敛域都是(-2,2).幂级数∑3^n*x^n=∑(3x)^n是公比为3x的等比级数,当|3x|＜1时绝对收敛,当|3x|＞1时发散,所以收敛半径是1/3,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).所以,幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n的收敛半径是min{2,1/3)=1/3,当=±1/3时,幂级数都发散,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).

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